非线性规划

非线性规划报告
一、什么是非线性规划？
因为在实际问题求解中，很多情况下，目标函数以及约束条件不可能都是线
性的，往往包含非线性函数，那么这时就是非线性规划问题。

简单概括，非线性规划研究一个n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。

二、非线性规划和线性规划的区别是什么？
除了目标函数和约束条件的形式不同外，线性规划的最优解只可能在可行域
的边界达到（特别是顶点处），而非线性规划可能在可行域的任意一点达到。

三、非线性规划的一般模型：
min f(x)
()0,j 1,...q s.t. ()0,i 1,...j i h x g x p
≤=⎧⎪⎨
==⎪⎩ 其中：1,2,,[...]n x x x x =称为决策变量，f 为目标函数，j h 和i g 称为约束函数，
()0i g x =称为等式约束，()0j h x ≤称为不等式约束。

四、非线性规划的两类问题 1、无约束的极值问题
我们一般都将求解的非线性规划问题都转化为无约束的最优化问题。

这里主
要介绍求解无约束问题的解析法，解析法就是通过计算()f
x 的一阶，二阶偏
导数及其函数的解析性质来实现极值的求解方法。

这里介绍牛顿法（详见手写稿
件）。

2、有约束的极值问题
带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，求解约束极值问题要比求解无
约束极值问题困难得多。

为了简化优化工作，通常采取以下解题思路： （1） 将约束极值问题转化为无约束极值问题。

（2） 将非线性规划问题转化为线性规划问题。

（3） 将复杂的问题分解为若干简单问题。

这里主要介绍二次规划模型。

二次规划的显著特征是“目标函数”是二次函数，且约束条件又是线性的。

在matlab 中二次规划模型表示如下：
1
min
2
,.. ,
.T
T x Hx f x Ax b s t Aeq x beq lb x ub +≤⎧⎪⋅=⎨⎪≤≤⎩
其中：H 表示实对称矩阵；f ，b ，beq ，lb ，ub 是列向量；A ，Aeq 是相应维数矩阵。

对于二次规划的求解，本文主要介绍拉格朗日乘子法，如下：
min f(x)
s.t. h ()0,1,2,...i x i n
==
转换为
1
min f(x)+()n
i i i h x λ=∑
其中i λ称为拉格朗日乘子。

值得注意的是如果非线性规划还有不等式约束条件，则引入松弛变量，转化为等式约束。

接下来解释为什么拉格朗日乘子法可以求最优值。

现有一个二维的优化问题：
max f(x,y)s.t. g(x,y)=c
我们可以画图来辅助解释。

绿线标出的是约束g(x,y)=c 的点的轨迹。

蓝线是f 的等高线。

箭头表示斜率，和等高线的法线平行。

假设g(x,y)=c 与等高线相交，交点就是同时满足等
工厂生产问题
摘要
本文充分考虑存储费用对生产成本的影响，尽可能地减少存储费用，即本月的生产量应尽可能满足本月的需求量，这样就可以使得总花费最小，从而达到利益最大化。

因此本文建立二次规划模型，如（4.5）式，最终得出最优方案，即第一季度生产50台，第二季度生产60台，第三季度生产70台，总花费最小为11280元。

关键词：二次规划
The problem of factory production
Abstract:This paper considers the effects of storage costs on production costs, reducing storage costs as much as possible. It means this month’s production is to meet the needs of the month so that profit will achieve the maximization.
So this paper constructs the quadric programming model. At last, we get optimal plan for the production line.
Keywords: quadric programming model
1.问题重述
某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40 台，第二季末交60 台，第三季末交80 台。

工厂的最大生产能力为每季100 台，每季的生产费用是2()500.2f x x x =+（元），此处x 为该季生产发动机的台数。

若工厂生产的多，多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮费，每台发动机每季的存贮费为4 元。

问：该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）？
2.问题假设
（1） 第一季度末没有存货； （2） 每个季度末均按时交货；
3.符号说明
每个季度的生产数量：,(1,2,3)i x i = 第i 个季度的生产数量：i f 总费用：f
4.模型建立与求解
假设工厂第一、二、三季度的生产数量分别为1x ，2x ，3x 台。

对于第一季度，140x ≥，费用为
2111500.2f x x =+ （4，1）
对于第二季度，12100x x +≥，第二季度的费用包含生产和存储两部分，第二季
度的费用为 2
222
1500.24(40)f x x x =++- （4.2） 对于第三季度，123180x x x ++=，第三季度的总费用为：
2
33312500.24(100)f x x x x =+++- (4.3)
三个季度的总费用为：
222
1231231230.2()585450560f f f f x x x x x x =++=+++++- (4.4)
综上，可建立如下二次规划模型：
222123123123max 0.2()585450560f f f f x x x x x x =++=+++++-
1121232340,
100180,0100,1,2,3.
i x x x x x x x x x i ≥⎧⎪
+≥⎪⎪
++=⎨⎪≥⎪⎪≤=⎩ (4.5) 求得最优解为：1x =50，2x =60，3x =70，f =11280
5.附录
程序：
H=[0.4,0,0;0,0.4,0;0,0,0.4]; f=[58;52;50]; A=[-1,0,0;-1,-1,0]; b=[-40;-100]; Aeq=[1,1,1]; beq=[180]; lb=0; ub=100;
[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x =
48.3333 63.3333 68.3333 fval =
1.1717e+004。