人教版初中九年级数学知识点32 矩形、菱形与正方形(1)

一、选择题

1. （2019江苏省无锡市，7，3）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.内角和为360°

B.对角线互相平分

C.对角线相等

D.对角线互相垂直

【答案】C

【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C．

【知识点】矩形的性质；菱形的性质

2. (2019山东泰安,12题,4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,

连接PB,则PB的最小值是

A.2

B.4

C.2

D.

第12题图

【答案】D

【思路分析】首先分析点P的运动轨迹,得到点P在△DEC的中位线上运动,点B到线段MN距离最短,即垂线段最短,过点B作MN的垂线,垂足为M,根据勾股定理可求出BM的长度.

【解题过程】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP

取到最小值,在Rt△BCP中,BP

【知识点】三角形中位线,正方形的性质,勾股定理

3. （2019四川省眉山市，11，3分）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC 交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是

A．1B．7

4C．2D．12

5

【答案】B

【思路分析】连接CE，利用EO垂直平分AC，可得AE=CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE的长即

可.

【解题过程】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵

EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=7 4

，故选B.

【知识点】矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理

4.（2019四川攀枝花，6，3分）下列说法错误的是（）

A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形

【答案】B

【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．

【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；菱形的判定；轴对称图形；中心对称图形

5.（2019四川攀枝花，10，3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G。连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由题易知AD＝AB＝AF，则Rt△ADG≌Rt△AFG（HL）．

∴GD＝GF，∠DAG＝∠GAF．

又∵∠FAE＝∠EAB，

∴∠EAG＝∠GAF＋∠FAE＝

1

2

（∠BAF＋∠FAD）＝

1

2

∠BAD＝45°，所以①正确；

设GF＝x，则GD＝GF＝x．

又∵BE＝4，CE＝8，∴DC＝BC＝12，EF＝BE＝4．

∴CG＝12－x, EG＝4＋x．

在Rt△ECG中，由勾股定理可得82＋（12－x）2＝（4＋x）2，解得x＝6.

∴FG＝DG＝CG＝6，又∠FGC≠60°,∴△FGC不是等边三角形，所以②错误；

连接DF，由①可知△AFG和△ADC是对称型全等三角形，则FD⊥AG．

又∵FG＝DG＝GC，

∴△DFC为直角三角形，∴FD⊥CF，∴FC∥AG，∴③成立；

G

F

D

A

B C

∵EC ＝8,∴S △ECG ＝1

2

EC ·CG ＝24，

又∵

FCG ECG

S S

＝

FG EG ＝3

5

， ∴S △FCG ＝35S △ECG ＝725

. ∴④错误，

故正确结论为①③,选B ．

【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等高不同底的三角形面积比

6.（2019浙江省金华市，10，3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，

展开铺平后得到图⑤，其中FM 、GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FM

GF

的值是（ ）

1 C.12

【答案】A ．

【解析】连接EG ,FH 交于点O ,由折叠得△OGF 是等腰直角三角形，OF

GF ．∵正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，∴（OF ＋FM ）2＝GF ＋14GF ＝54

GF

2，

GF ＋FM

＝2GF ，∴FM

＝2GF

GF ，∴

FM GF

.故选A ．

【知识点】正方形；折叠；直接开平方法 ；等腰直角三角形的性质；特殊角的锐角三角函数值

7. (2019浙江台州,8题,4分) 如图,有两张矩形纸片ABCD 和EFGH,AB ＝EF ＝2cm,BC ＝FG ＝8cm,把纸片ABCD

交叉叠放在纸片EFGH 上,使重叠部分为平行四边形时,且点D 与点G 重合,当两张纸片交叉所成的角α最小

D A

N

C