第一次数学危机 数学史论文

鲁东大学数学与信息学院2010－2011学年第一学期

《数学史》课程论文

课程号：2102192

任课教师范永顺成绩

第一次数学危机的产生及对数学发展的影响

数学中有各种各样的许多矛盾，比如说正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。今天我们就主要了解一下第一次数学危机的产生及其对数学发展的影响。

1. 数学史上的的第一次危机

1.1 什么是数学危机

为了讲清楚数学危机的来龙去脉，首先来说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

1.2 第一次数学危机

人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

1.2.1 数学的第一次危机的产生。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

从某种意义上来讲, 现代意义下的数学, 也就是作为演绎系统的纯粹数学, 来源于古希腊毕达哥拉斯学派, 这个学派兴旺的时期为公元前五百年左右。它是一个唯心主义学派。他们重视自然及社会中不变因素的研究, 把几何、算术、天文学、音乐称为四艺!, 在其中追求宇宙的和谐及规律性。四艺!即数学!, 毕达哥拉斯学派首次使用了数学!这个词。他们认为万物皆数!, 数学的知识是可靠的、准确的, 而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得, 并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯学派从前人所取得的数论研究成果出发开始研究所谓的毕达

哥拉斯数∀∀∀整数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了毕达哥拉

斯定理即我们所说的勾股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题, 即: a2 + b2 = c2 ( 1) a 和b分别代表直角三角形的两条直角边, c表示斜边。这个学派还认为满足( 1)式的数有无穷多个,并提供了下述三元数组, 即若是奇数,并且m > 1则有

a = m, b= 1/2(m² - 1), c= 1/2(m² + 1) ( 2) 这三元数组只是使( 1)式成立的充分条件, 而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式( 1)和等式( 2) 的研究时, 米太旁登的希帕苏斯, 发现了在等腰直角三角形中, ( 1) 式中出现了下述结果:

2a² = c² ( 3) 如果直角三角形的两条直角边都等于1时, 其斜边的长就恰好等于2# 。而2与1 找不

到可以公度的几何实体, 这在当时的认识水平下, 无疑是一个∃ 88∃矛盾。此外, 2

是否是个数? 对于毕达哥拉斯学派来说, 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数, 就要与数即万物!中所说的整数发生不可调和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海上, 就因这一发现把希帕苏斯投到海里, 因为他在宇宙中搞出这样一

个东西否定了毕达哥拉斯学派的信条∀∀∀宇宙中的一切现象都归结为正整数或正

整数之比。等式( 3)所引出的2对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。数即万物!的世界观被彻底地动摇了。由此引发了数学的第一次危机% 。毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比, 意即相比两量可用公度单位量尽, 而把不能这样表达的比称作不可公度比。

1.2.2 数学的第一次危机的解决。

数学的第一次危机的解决大约在公元前370年, 才华横溢的希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关, 其实这也是自然的, 因为两个线段的比本来与第三个线段无关。

毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正

方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明

方法, 证明过程如下:

假设: 根号二是有理数, 设根号二等于 q/p

( p, q 均为自然数,且( p, q ) = 1),

∴根号二乘以p等于 q

两边平方得 2p² = q² ( 1) ∴q²必是2的倍数,

∴q²也是2的倍数,

∵ (p, q ) = 1,

∴ p 为奇数,

∴ 2q’( q’(是自然数), p= 2p’- 1(p是自然数), 将上面两个式子代入( 1)得

2( 2p’- 1) ² = ( 2q’) ²

即 2( 4p’² - 4p’+ 1) = 4q’²

两边除以2得4p’²- 4p’+ 1= 2q’²

观察此式可看出等式左边为奇数, 右边为偶数, 这样出现奇数等于偶数, 引出矛盾。故2是无理数。目前, 证明2是无理数的方法很多, 无论是用初等数学知识还是高等数学知识都可以证明2是无理

数, 并且可以从不同的角度来加以证明, 例如: 从无理数被发现的角度, 从方程的角度, 从正整数的标准分解式的角度, 从数的进位制角度, 从自然数公理角度等等。随着数学学科的发展, 还____竉0可能会产生更多更新的证明方法。2是无理数的种种证明, 使我们对无理数有了进一步的认识, 对数学中的美、对各种丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。

1.2.3 数学的第一次危机的实质。

从第一次数学危机的历史论述中可知, 哲学、逻辑与数学之间有紧密的联系, 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重要的指导意义; 此外, 哲学与逻辑也必须不断总结数学的新成果来发展自己。这两方面的关系是不能偏废的, 否则就会使人类的知识出现不必要的曲折和危机。数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思维囿于错误的哲学思想, 即主要在于数学家的思维被错误哲学思想支配了。2本来就是一个数, 但它的发现结果反而导致了数学的危机, 并成了数即万物!, 而数!又只能是整数或整数的比这种错误哲学观点的牺牲品。

二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一"逻辑上的丑闻"，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

2. 数学的第一次危机的影响

2.1 第一次数学危机的产物

矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。因此第一次数学危机也