第二讲正项级数收敛判别法(一)
第二节 正项级数及其收敛的判别法
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
判定下列级数的敛散性: 例 3 判定下列级数的敛散性:
∞
比值判别法的优点: 不必找参考级数. 比值判别法的优点 不必找参考级数.
两点注意: 两点注意
1.当 时比值判别法失效; 判别法失效 1. 当 ρ = 1时比值 判别 法失效 ;
1 例 级数∑ 发散, n =1 n
∞
级数 ∑
n =1
∞
n
(ρ = 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要. 2.条件是充分的,而非必要. 条件是充分的
∑v
n=1
∞
敛 散 n 收 (发 ).
比较判别法的不便: 须有参考级数. 比较判别法的不便 须有参考级数
举 例
例 1 证明级数
∑
n =1
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
证明
Q n( n + 1) < ( n + 1)2
1 , ∴ > n( n + 1) n + 1
1 而级数 ∑ 发散, n =1 n + 1 ∞ 1 ∴ 级数 ∑ 发散. n( n + 1) n =1
∞
1
例 2 讨论 P - 级数
1 1 1 1 的收敛性. 1 + p + p + p + L + p + L的收敛性. ( p > 0) 2 3 4 n 1 1 设 p ≤ 1, Q p ≥ , 则P − 级数发散 . 解 n n 设 p > 1, 由图可知
第二节正项级数及其敛散性判别法
第二节 正项级数及其敛散性判别法正项级数是数项级数中比较简单，但又很重要的一种类型．若级数∑∞=1n nu中各项均为非负，即u n ≥0(n =1，2，…)，则称该级数为正项级数．这时，由于u n =s n -s n -1， 因此有s n =s n -1＋u n ≥s n -1,即正项级数的部分和数列｛s n ｝是一个单调增加数列．我们知道，单调有界数列必有极限，根据这一准则，我们可以得到判定正项级数收敛性的一个充分必要条件．定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是正项级数∑∞=1n nu的部分和数列｛s n ｝有界．例1 试判定正项级数∑∞=122sin n nnπ的敛散性． 解 由s n =21121121218141212sin 8sin 4sin 21264-⎪⎭⎫⎝⎛-=++++<++++n n nn πππ＜1, 即其部分和数列｛s n ｝有界，因此正项级数∑∞=1πn nn2sin 2收敛． 直接应用定理1来判定正项级数是否收敛，往往不太方便，但由定理1可以得到常用的正项级数的比较判别法．定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，如果存在正整数N ，使当n＞N 时，u n ≤v n 成立，那么(1) 若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；(2) 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散．证 我们不妨只对结论(1)的情形加以证明. 设∑∞=1n nu的前n 项和为A n ，∑∞=1n nv的前n 项和为B n ,于是A n ≤B n ．因为∑∞=1n nv收敛，由定理1，就有常数M 存在，使得B n ≤M (n =1,2,3,…)成立．于是A n≤M (n =1,2,3,…)，即级数∑∞=1n nu的部分和数列有界，所以级数∑∞=1n nu收敛．证明结论(2)的方法与上面相同，读者不难自行完成． 推论1 (比较判别法的极限形式) 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv满足nnn v u ∞→l i m=ρ，则(1) 当0＜ρ＜+∞时，∑∞=1n nu与∑∞=1n nv具有相同的收敛性；(2) 当ρ=0时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(3) 当ρ=+∞时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu亦发散．证 (1) 由于nnn v u ∞→lim=ρ＞0，取ε=2ρ＞0，则存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-n n v u ＜2ρ即n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ρρ＜u n ＜n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2ρρ．由比较判别法，知结论成立．结论(2)、结论(3)的证明类似，请读者自己完成．例2 判断级数∑∞=1n nn 31sin2的收敛性． 解 由于0≤2n n 31sin ＜2n ·n 31=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32，而级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n 收敛，由比较判别法知∑∞=1n n n 31sin2收敛． 例3 讨论p -级数∑∞=1n pn1的敛散性．解 当p =1时，p -级数即为调和级数∑∞=1n n 1,它是发散的． 当p ＜1时，p n 1≥n 1＞0，由∑∞=1n n 1发散及比较判别法知，∑∞=1n p n1发散．当p ＞1时，由习题8-1的习题3知，正项级数加括号不影响其收敛性．现对级数从左至右依次按1，2，22， (2),…个项对p -级数加括号，得１＋⎪⎭⎫⎝⎛+p p 3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++p p p p 71615141+⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181 +…． 而⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 3121＜⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 2121=121-p ,⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 7141＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 4141 =2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 8181 =181-p =3121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，………………于是，p -级数加括号后的级数的每一项均小于以r =121-p （＜1)为公比的等比级数的相应项，而该等比级数收敛，故由比较判别法知，原级数∑∞=1n p n 1收敛． 综上所述，当p ＞1时，∑∞=1n p n 1收敛；当p ≤1时，∑∞=1n p n1发散．例4 判断级数∑∞=+1n n n )1(12的敛散性．解 因为231)1(1lim2n n n n +∞→=nn n n +∞→323lim =2111lim n n +∞→=1，而p -级数∑∞=1231n n收敛(p =23＞1)，故由推论1知∑∞=+1n n n )1(12收敛．例5 试证明正项级数∑∞=+++1n n nn 2512发散． 证 注意到2512+++n n n ＞28n n =n181⋅ (n =1,2,3,…)，因调和级数∑∞=1n n1是发散的，由比较判别法知，∑∞=+++1n n n n 2512发散．仔细分析例4与例5，我们就会发现，如果正项级数的通项u n 是分式，而其分子分母 都是n 的多项式(常数是零次多项式)，只要分母的最高次数高出分子的最高次数一次以上(不 包括一次)，该正项级数收敛，否则发散．利用比较判别法，把要判定的级数与等比级数比较，就可建立两个很有用的判别法．定理3 ［达朗贝尔(d ′Alembert)比值判别法］ 设有正项级数∑∞=1n nu，如果极限n n n u u 1lim+∞→=ρ，那么(1) 当ρ＜1时，级数收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，级数发散；(3) 当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散． 证 (1) 由于nn n u u 1lim+∞→=ρ＜1，因此总可找到一个小正数ε0＞0，使得ρ+ε0=q ＜1．而对此给定的ε0，必有正整数N 存在，当n ≥N 时，有不等式ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＜ρ+ε0=q ． 这就是说，对于正项级数∑∞=1n nu，从第N 项开始有u N +1＜qu N ， u N +2＜qu N +1＜q 2u N ，…．因此正项级数u N +u N +1+u N +2+…=nn Nu∞=∑的各项(除第一项外)都小于正项级数u N +qu N +q 2u N +…=∑∞=1n Nu ·q n -1 的各对应项，而级数∑∞=1n Nuq n -1是公比的绝对值|q|＜1的等比级数，它是收敛的，于是由比较判别法可知，级数nn Nu∞=∑收敛，由上节性质1，知∑∞=1n nu也收敛．(2) 由于nn n u u 1lim +∞→=ρ＞1,可取ε0＞0，使得ρ-ε0＞1．对此ε0，存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＞ρ-ε0＞1 这就是说正项级数∑∞=1n nu从第N 项开始，后项总比前项大．这表明n n u ∞→lim ≠0，因此，由级数收敛的必要条件可知，正项级数∑∞=1n nu发散．(3) 当ρ=1时，正项级数∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．这个结论从p -级数就可以看出．事实上，若∑∞=1n nu为p -级数，则对于任意实数p ，有nn n u u 1lim+∞→=ppn n n 1)1(1lim +∞→=1, 但当p ≤1时，p -级数发散；p ＞1时，p -级数收敛．例6 试证明正项级数∑∞=1πn nn 3tan 2收敛．证 因为n n n u u 1lim +∞→=nn n n n 331tan 2tan 2lim 1ππ⋅⋅++∞→=32＜1，所以由比值判别法知，级数收敛．例7 讨论级数2!∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1n n x n （x ＞0）的敛散性．解 因为nn n u u 1lim +∞→=n n n n x n n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→!1)!1(lim 1=ex n x nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim， 所以当x ＜e,即e x ＜1时，级数收敛；当x ＞e ，即ex＞1时，级数发散． 当x =e 时，虽然不能由比值判别法直接得出级数收敛或发散的结论，但是，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11是一个单调增加而有上界的数列，即nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11≤e (n =1,2,3,…)，因此对于任意有限的n ，有n n u u 1+=n n n n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111e＞1． 于是可知，级数的后项总是大于前项，故n n u ∞→lim ≠0，所以级数发散．例7说明，虽然定理3对于p =1的情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在n n n u u 1lim+∞→=1的过程中，n n u u1+是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的．此外，凡是用比值判别法判定发散的级数，都必有n n u ∞→lim ≠0．定理4 ［柯西(Cauchy)根值判别法］ 设正项级数∑∞=1n nu满足n n n u ∞→lim =ρ，那么(1) 当ρ＜1时，∑∞=1n nu收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，∑∞=1n nu发散；(3) 当ρ=1时，∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．它的证明与定理3的证明完全相仿，这里不重复了．但同样要注意的是，若ρ=1，则级数的敛散性仍需另找其他方法判定．例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12的敛散性．解 因为n nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim =12lim +∞→n n n =21＜1, 故级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12收敛．例9 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛1n na x 的敛散性，其中x ,a 为正常数．解 因为n nn a x ⎪⎭⎫⎝⎛∞→lim =ax a x n =∞→lim ． 故当x ＞a 时，a x＞1，级数发散；当0＜x ＜a 时，ax ＜1，级数收敛；当x =a 时，一般项u n =1不趋于零，级数发散．习题9-21． 判定下列正项级数的收敛性： (1)∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2)∑∞=+1n n n 1; (3)∑∞=++1n n n n )2(2;(4)∑∞=+1n n n )5(12；(5)∑∞=+1n na )1(1(a ＞0); (6)∑∞=+1n nba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n 22 (a ＞0);(8)∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nnn 23； (10) ∑∞=1n nn n !;(11)∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12)∑∞=1n n n3； (13)∑∞=1n n n 22)!(2；(14) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn 3sin 2;(16) ∑∞=1πn nn n 2cos 32． 2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n nnx ;(2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法正项级数是指级数中每一项都是非负数的级数。
在数学中，我们常常关注正项级数的收敛性，即该级数的和是否有界。
为了判别正项级数的收敛性，有以下几个方法。
1.比较法比较法是最常用的判别正项级数收敛性的方法之一、比较法分为两种情况：-若存在一个已知的发散级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≤b_n，则可以得出该正项级数也是发散的。
-若存在一个已知的收敛级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≥b_n，则可以得出该正项级数也是收敛的。
2.极限比值法（达朗贝尔判别法）极限比值法是另一种判别正项级数收敛性的重要方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其相邻两项的比值a_(n+1)/a_n的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限比值法无法确定级数的收敛性。
3.极限根值法（柯西判别法）极限根值法和极限比值法类似，也是一种判别正项级数收敛性的方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其每一项的根值(a_n)^(1/n)的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限根值法无法确定级数的收敛性。
4.积分判别法积分判别法可以用来判别一类特殊的正项级数的收敛性。
对于形如∑(f(n)) 的级数，其中 f(n) 是一个递减的连续函数，则将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较：-若积分收敛，则级数同样收敛；-若积分发散，则级数同样发散；-若无法确定积分的收敛性，则积分判别法无法确定级数的收敛性。
5.积分判别法的特殊应用（比较法的延伸）积分判别法的特殊应用是一种将比较法与积分判别法结合使用的方法。
当我们需要比较一个难以处理的正项级数∑a_n 时，可以利用积分判别法找到一个相对简单的函数 f(x)，使得将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较时能够确定级数的收敛性。
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
第二节正项级数及其收敛法
(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
正项级数的判敛方法
nn
n nn
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
而 n1
4
n3
1 收敛， 4
n3
n
∴原级数收敛。
ln n
(3) n1 n
（4） ln n 3 n n1 2
若 un与 vn 同阶，则 un 与 vn 同敛散。
n1
n1
若 un是比 vn 高阶的无穷小，则 vn 收敛 un 收敛；
n1
n1
若 un是比 vn 低阶的无穷小，则 vn 发散 un 发散。
n1
n1
定理2.3 （比值判别法 达朗贝尔判别法）
设 an
n1
为正项级数，且 an
0(
n
解（3）∵ lim un1 lim 3n 2 3 1 ，∴原级数收敛。
u n n
n 4n 1 4
（4）∵ lim n n
un
lim n
n
( an )n n1
lim
n
an n1
a，
∴当 a 1 时，级数收敛；当a 1 时，级数发散；
当 a 1时，根值判别法失效。
但∵
lim
n
un
lim( n )n n n 1
x
2x x
∴ f ( x) ln x 在 (e2 , ) 内单调减少， x
例 7 说明，虽然定理 3 对于 1 的情形，不能判定级
数的敛散性，但若能确定在 lim un1 1 的过程中， un1
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
正项级数收敛性的判别方法
正项级数收敛性的判别方法正项级数是指级数的每一项都是非负数的级数。
1.比较判别法：比较判别法是通过与已知收敛（或发散）的级数进行比较，判断待定级数的收敛性。
具体有以下两种情况：a.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≤c*b_n，那么只要∑b_n收敛，∑a_n也收敛；b.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≥c*b_n，那么只要∑b_n发散，∑a_n也发散。
2.比值判别法：比值判别法是通过计算级数的项之间的比值的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_{n+1})/a_n的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
3.根值判别法：根值判别法是通过计算级数的项的根的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_n)^{1/n}的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
4.积分判别法：积分判别法是将级数中的每一项转化为一个函数f(x)，然后通过计算该函数在区间[a,∞)上的不定积分，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：a.将级数的每一项a_n转化为函数f(x)在区间[a,∞)上的函数表达式；b. 计算函数f(x)在区间[a, ∞)上的不定积分∫f(x)dx；c. 若不定积分∫f(x)dx收敛，那么级数∑a_n收敛；d. 若不定积分∫f(x)dx发散，那么级数∑a_n发散。
数项级数收敛性判别法
2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
28
目录
上页
下页
返回
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
2021/4/21
n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
2021/4/21
20
目录
上页
下页
返回
二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
2021/4/21
23
目录
上页
下页
返回
三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
高等数学12.2数项级数的收敛性判别法
讨论级数
1 n1 np
的收敛性, 其中 p 为正常数。
此级数称为 p 级数.
解 当 p =1 时 ， p 级数就是调和级数
1 发散.
n1 n
当 p < 1 时 ，因为 1 ≥ 1(n1,2,3,), np n
而调和级数发散，所以由比较审敛法的结论 (2) 可
知，这时 p 级数发散.
的收敛性 .
解 考察级数
n1
n(n1)
1 2
n2 2n
n1
n2 2n
.
利用正项级数比值判别法，
不
难
判
定
级
数 n2
2n
n1
是收敛的，即任意项 n 1 级 1n(n2数 1) n 2n 2
绝对收敛. 因此由定理 5 可知该级数收敛 .
如 果 级 数un 发 散 ,但级数 un 收敛,
单调减小 . 由此可以推得
2n 1
≥
n2
2((n n 1 1)) 21(n1,2,3, ),
即
un≥ u n1(n1,2,3, ).
因交 此错n 级 1(1)n 数 12n n 21收 敛 .
三、绝对收敛与条件收敛
定义3 将级数un 的各项取绝对值 得到 后正项 n1
试判定交错级数
(1)n1
n1
n 2n
的
收
敛
性 .
例 7
试判定交错级数
(1)n1
n1
n 2n
的收敛性 .
解
因为 un
n 2n
,
un1
n1 2n1
数项级数的收敛判别法
1 (n n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2)
n 1
n2
1
(3)
1
n2 (ln n)
第12页/共62页
1
(4)
n2
(ln
n)n
(1)
因为2n
1
n，所以un
(2n
1 1) 2n
1 n 2n
1 2n2
由于
1 ，根据比较判别法可知
n1
1 n2
收敛,
n2
由定理(2)知级数
n1
ln(1
1 n2
)收敛.
第21页/共62页
练习1 判别级数
1 的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n
n2 a2 1
1
(即=1为常数)
n
1
又
是调和级数，它是发散的
n1 n
1
故原级数 n1 n2 a 2
发散.
第22页/共62页
解 : 级数的通项为
由于
nn un n! (n 1)n1
lim un1 lim
u n0 n
n0
(n 1)! nn
lim(1 1 )n e 1,
n0
n
n!
由比值判别法可知所给级数发散.
第27页/共62页
例9 判别级数 1 xn 的敛散性,其中x>0为常数 n1 n!
解：记
un
xn ，则 n!
1 收敛；
n1 2n2
n1 2n2
(2)
7.2 正项级数敛散性的判别-1
n! ∑ n 的敛散性 例3. 判别级数 n=1 4 n! ( n + 1)! un+1 n + 1 解： un = n , un+1 = , = n+1 un 4 4 4 un+1 n+1 ∞ n! lim = lim = ∞ 故级数 ∑ 发散. 发散 n n→ ∞ u n→ ∞ 4 n =1 4 n ∞ n! 的敛散性(典型例题 典型例题) 例4. 判别级数 ∑ n 的敛散性(典型例题) n =1 n n! ( n + 1)! , un+1 = ( n ) n 解：u n = n , un+1 = un n+1 n ( n + 1) n+1 un+1 1 lim = lim = 1 / e <1 n n→ ∞ u n→ ∞ (1 + 1 / n ) n ∞ n! 由比值判别法可知： 收敛. 由比值判别法可知：级数 ∑ n 收敛 n =1 n
∞
y
1 y= p x
x 1 1 1 n dx + p + ... + p < ∫1 p 0 1 2 3 ... n − 1 n p 2 3 n x ∞ 1 dx x 1− p n 1 n ⇒ ∑ p 收敛 S n < 1 + ∫1 p = 1 + |1 < 1 + n =1 n 1− p 1− p x
1 我们称级数 ∑ p 为 p 级数 n =1 n
到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数： 到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数：
∞
q 1 )几何级数 ∑ aq n=1 q ∞ 1 p 2 ) P − 级数 ∑ p n=1n p
∞ n −1
正项级数
目录 上页 下页 返回 结束
机动
例4：判定下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n 1 n 10
3
;
(2)
n1
1 3 n
n
;
2n 1
2n n n 10 ( lim 解： 1 ) lim 3 n 1 n n 10
3
3
2
2
n1
1 n
特别地， 当 u n ~ v n ( n ) 时 ，
两级数有相同的敛散性；
(2) 当 l 0 时 ， 若
v n 收敛
n1
，则
u n 收敛
n1
，
( 3 ) 当 l 时 ，若
vn
n1
则 发散 ，
un
n1
机动
发散 ，
目录
上页
下页
返回
结束
证明
( 1 ) 由 lim l l 2 un vn un ห้องสมุดไป่ตู้n
1
收敛 发散
重要参考级数:
几何级数，p-级数，调和级数。
推论：设
un 、 vn 均为正项级数，且存在 N ，当
n 1 n 1
n N 时，有 un kv n ( k 0 ) ，则
（1）若
vn 收敛，则 un
n 1 n 1
收敛；
（2）若
un
n 1
发散，则
2
收敛 ,
n
2
1
(2)
故原级数收敛.
高等数学第二节 正项级数审敛法1
1
）;
n 1
n
1
(6)n2 (ln n)2 .
解
(1)因为
sin
n2
1 a2
1 n2
,
级数
n 1
1 n2
收敛，因此该级数收敛；
(2 )因为 n 1 1 , n2 1 n
级数
1发散，因此该级数发散；
n=1 n
1
(3) 因为
lim 3n n 1, n 1
~
k np
(k
0)，那么当p>1时级数
un 是收敛的，当p≤1时级数
n 1
un是发散的．
n 1
例 4 设 an 为正项级数，下列正确的是( )． n1
（A）若
lim
n
nan
0
，则级数
n1
an
收敛
（B）若存在非零常数
，使得
lim
n
nan
，则级数
n1
则则当当rr<<11时时级级数数收收敛敛；；当当rr>>11((或或lnnilnmimnnnuunnn ))时时级级数数发发散散；；当当rr11
k 1
n 1
若ρ>1,则…………
例６ 判别下列级数的敛散性：
(1)
ann!(a 0),并在a e时求极限 lim ann!;
(2) 4 4 7 4 7 10
nn
n1
n n n
2 2 6 2 610
(3)
n 1
n 3n
sin2
名师推荐第二节正项级数敛散性的判别
n2 n
1 n2 n
的敛散性.
解
因
11 nn n2
(n 2)
且 1 n1 n2
收敛,
故 1
n1 nn
收敛.
解
因
n
1
n2 n n
1
n(n 1) n
1 n n
2 n2
2
且 1 n1 n2
收敛,
故
1
收敛.
n2 n n2 n
例2
判断
p
n1
1 2n
1
的敛散性.
解 因 1 11
2n 1 2 n
且 1 发散 n1 n
故
1
n1 2n 1
发散.
例2
判断
p
级数 1 n1 n p
的敛散性.
1
n1 n p
收敛
发散
p1 p1
例3
判断级数
n1
1 nn
11
1 n
n ln
n
1 1
1 的敛散性.
1
ln(1
n1 lim n ln n n 1
n
2
1
)
n nn
limln(n 1)n n n 1
limln(1 2 )n
n
n1
2 0
且
1
收敛,
n1 n n
故 n2
1 ln n 1 收敛.
n1
n1
(2)当c 0 时,
因
lim un 0 v n
n
正项级数
根据推论1，级数收敛.
前页 后页 返回
nx n1 ( x 0) 的敛散性. 例7 讨论级数
解 因为
un1 ( n 1) x n n 1 x x ( n ), n1 un nx n
根据推论1,当 0 < x <1时级数收敛;当 x>1时级数发 散; 而当 x = 1时, 所考察的级数是 n, 它显然也是
前页 后页 返回
*推论2设 un 为正项级数.
un1 (i) 若 lim q 1, 则级数收敛; n u n un1 (ii) 若 lim q 1, 则级数发散; n un
*例8 研究级数
1 b bc b 2 c b 2 c 2 b nc n1 b nc n (8)
n
界, 由定理12.5级数 un 收敛, 这就证明了(i).
(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.
前页 后页 返回
1 的收敛性. 例1 考察 2 n n1
解 由于当 n 2 时, 有
1 1 1 2 . 2 n n 1 n n n( n 1)
1 因为正项级数 n( n 1) 收敛 (§1例5的注), 故由 n 2
2 1 lim n o 2 n n
所以 lime
n 1 2(1 n sin )ln n n
ln n 0, n
1. 根据比较原则, 原级数收敛.
前页 后页 返回
二、比式判别法和根式判别法
本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象
收敛的必要条件可知, 级数 un 是发散的.
前页 后页 返回
推论1(根式判别法的极限形式) 设 un 为正项级 数,且
第二讲正项级数收敛判别法(一)解剖
nn1
n1
n1 (n2 1) 2
（A）收敛
（B）发散
#2014021901
例4 判别敛散性
1
x
(2)
n1
n 0
1
x2
dx
（A）收敛
（B）发散
#2014021902
例4 判别敛散性
nn1
x 1
(1)
n1
n1 (n2 1) 2
(2)
n
0 1 n1
x2
dx
证：(1)0
u n
nn1
n1
(n2 1) 2
也发散 .
说明：
1. 比较判别法仅适用于正项级数 ；
2. 不等式条件可以从某一个N后都满足就行；
3.常用的参考级数
几
何
级
数
aq
n
n0
常用的不等式
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
例2.
讨论
p
收敛。 发散。
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
#2014021903
（A）收敛
（B）发散
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例7.
判别级数 ln1
(n N)
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ;
02第二节正项级数的判别法
第二节 正项级数的判别法 一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★ 正项级数★ 比较判别法 ★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 比较判别法的极限形式★ 例6 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 比值判别法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 根值判别法★ 例14★ 例15★ 例16 ★ 积分判别法 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-2★ 返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim 或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性. 例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E 02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证 )1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n n a c ∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=4tan πxdx a n n ⎰<42sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim nn n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛. )2(因为n n u n2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π= 根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn na n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nna n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sin lim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n nnn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n nn . (3) ().21211∑∞=⋅-n n n解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛.)2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n n n 发散. )3(nn n u u 1lim+∞→)22()12(2)12(lim +⋅+⋅-=∞→n n nn n ,1=比值判别法失效,改用比较判别法,因为n n 2)12(1⋅-,21n <而级数∑∞=121n n 收敛,所以∑∞=⋅-12)12(1n n n 收敛.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n 的散敛性.解 因为n nn )12(2+,22nn <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 nn n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a n a n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11于是,11>=+nn n x e u u 即,n n u u >+1故,e u u n =>1由 此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14 判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的散敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法.因为n nn u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→11lim e1=1<故所求级数收敛.例15（E 09）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n)1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16（E10） 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→n n n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2l i m -+∞→21=1< 故原级数收敛.例17（E11）试确定级数∑∞=1ln n n n的敛散性. 解 若设,xxx f ln )(=则显然)(x f 在1>x 时非负且连续. 因,2ln 1)(x xx f -='所以在e x >时有,0)(<'x f 函数)(x f 单调减少, 于是,可以对级数∑∞=1ln n n n应用积分判别法.注意到 dx xxe⎰∞ln ⎰∞→=beb dx x xln limbeb x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞→2ln lim 22ln ln lim 22e b b -=+∞→,+∞= 即广义积分以散,所以级数∑∞=1ln n n n发散.课堂练习1.设正项级数∑∞=1n n u 收敛, 能否推得∑∞=12n n u 收敛? 反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性.1)3(;22)2(;cos 1)1(111∑∑∑∞=∞=∞=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n n e n n n π达朗贝尔（D ’Alember Jean Le Rond ，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(n N )
(1) 当0 < l <∞时,
同时收敛或同时发散 ;
由定理 2 可知
n 1
vn
(2) 当l = 0时,
若 vn 收敛 ,
n 1
由定理2 知
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
是两个正项级数,
(1) 当 0 ≤ l <∞ 时, (2) 当 0＜l ≤∞时 ， 则 则
n
n
2
n 1 n 1 2
(n 1)
n 1 n n
n 1 n 1
2
1 而 收敛。 n
n 1 2
3 2
故原级数收敛。
x ( 2) 0 u dx 1 x
n 1 n 0 2
1 n 0
2 1 xdx ( ) 3 n
而
2 1 ( ) 3 n
n 1
1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
n
注1：调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.注 若存在 N Z , 对一切 n N ,
1 n 2 n
1
1
, 1
发散．
例10. 判别级数敛散性
#2014022308
1 (1) (n 1) ln ( n 1)
n 1 2
（A）收敛
（B）发散
#2014022309
1 1 (2) sin ln n n
n2
（A）收敛
（B）发散
n的最高次数，则
( a )若 (b)若
p q 1 p q 1
,则 ,则
收敛。
发散。
1 例6. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1
#2014021903
（A）收敛
（B）发散
1 例6. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
Hale Waihona Puke 3 2收敛。故原级数收敛。
a an 与 例5 若 a 0, a 收敛，则 n 1 n
2
n
n
n 1
n
n 1
收敛。
证明： (1) an 0 an 收敛， lim n n 1
1, N Z , n N , 有 a 1 0 n
0 a 1
则 n N ，有
1 1 1 S 1 1! 2! (n 1)!
n
1 1 11 2 2
1 1 ( ) 2 1 1 1 2
n 1
n2
1 3 3 2
n2
故 S 有界. 则
n
1 收敛. n!
n 0
由有界判别法出发不仅能判断级数敛散性还可以给出 新的判别方法。 2. 比较判别法及其极限形式 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 则有 (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ; 也发散 . 对一切 有
n 1 p
对于
取 则
而
n 1
n 1
1 n ln n
1 3
p
5 6
5 6
lim n u
n n
1 n
5 6
发散，故原级数发散。
ln n (1) ,当 1时发散 ,当 1时收敛； n2 n
注意到
1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛 散性的级数；
sin 1 n ～
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1
#2014021904
例7. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. n n 1
（A）收敛 （B）发散
1
1 1 的敛散性 . ln 1 例7. 判别级数 ln(1 2 ) ～ n 2 2 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 n n 1
n
则级数
与广义积分 f ( x)dx
1
有相同敛散性．
y
1
2
3
4
5
n
n 1
x
例9. 讨论级数
解: 设
的敛散性 .
当 x 2 时， f ( x) 是正值递减函数， 且
记
1 Y f ( x)d x dx x(ln x)
n n n 2 2
1 Y f ( x)d x dx x(ln x)
第一节（2） 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第四章
三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
注意到： 1.部分和数列单调递增 2.单调有界数列存在极限
1. 有界判别法
定理 1. 正项级数
有界 . 证: “ ” 若
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n un 发散 0l p lim n u l p 1, 0 l un 收敛
n n
注
1. 若 un ~ vn , (n )， 则 2. 设
n 1
vn
同敛散。
p, q
分别为通项 u n 的分母，分子关于
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
un lim l, n vn
证: 据极限定义,
( l ) vn u n ( l ) vn
p
4 3
1 lim ( p ) x 3
x
p
1 3
1 lim ( p ) x 3
x
p
1 3
讨论：（1）若
p
1 3
p
极限为0， 此时只能判断收敛性，
而
n 1
1 1 ( p )发散，矛盾。 n 3
（2）若
p
1 3
极限为正无穷， 此时只能判断发散性，
1 1 而 ( p 1)发散，可取 p 1判断。 n 3
1 1 1 例2. 讨论 p 级数1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
2) 若 p 1,
1 y p x
1 矩形的面积 曲线y p 下的面积 x
n
a a
2 n
2
n
a 收敛。
2 n 1 n
a 1 1 1 a 而 与 (a ) (2)0 都收敛， 2 n n n a 收敛。 n
n
n
n 1
n
n 1
2
n
n 1
用比较法关键
1：找到不等式 2：找到可比的已知敛散性级数 为了应用上方便，给出下面比较法的极限形式
2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。
常用比值法与根值法判断 u 0 速度。
n
3. 积分审敛法
－－－－广义积分敛散性与无穷级数敛散性联系
适用：通项单调减少！
定理3. 积分审敛法 设通项 u n 满足 u1 u2 un 0 若存在单调减函数 f ( x) ( x 1) ，使 f (n) u
例4 判别敛散性
x ( 2) dx 1 x
n 1 1 n 0 2
#2014021902
（A）收敛
（B）发散
例4 判别敛散性 n (1) (n 1)
n 1 n 1 2
n 1 2
x ( 2) dx 1 x
n 1 1 n 0 2
(1) 0 u 证：
是两个正项级数,
(常数 k > 0 ),
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数
因此对一切
收敛, 则有 有
由定理 1 可知, 弱级数
也收敛 .
(2) 若弱级数
因此
发散, 则有 这说明强级数
1
例8. 判别级数
解：
n 1
1 n ln n
p n 1 3
1 3
的敛散性.
n lim n u lim n lim ln n n ln n
p n n n
1
p
1 3
1 ( p )x x 3 lim lim 1 ln x x
p 1 3 x x
收敛
部分和序列
收敛 , ∴部分和数列 收敛 , 从而
故有界. 单调递增, 也收敛.
“
又已知
”
有界, 故
发散
S
n
(n )
1 1 1 1 例1. 证明：正项级数 n! 1 1! 2! n! 收敛.