凸函数的性质和一些不等式的证明

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一元凸函数的若干性质探讨

1 凸函数的定义定义1.1 设)(x f 在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点1x ，2x ，恒有)2(21x x f +2)()(21x f x f +≤，则称)(x f 在[a,b]上是凸函数。

定义1.2 若f （x ）在[a ，b]上是凸函数，对于任意θ)1,0(∈，恒有f )()1()())1((2121x f x f x x θθθθ-+≤-+.定义1.3 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--.定理1.1 以上三个定义是等价关系。

证明：1)定义1.1⇒定义1.2 ),(,b a y x ∈∀ 及有理数)1,0(∈θ 用二进制表示θ为θ =n n a a a 222221+++ ，10或=i a ，（11-≤≤n i ）. 1=n a 时，则nn b b b 2221221+++=- θ.其中1),11(,1=-≤≤-=n i i b n i a b ，且对于),(b a 内任意两点21,x x ，显然有1,,2,1),()()(2121-=+≤+n i x f b x f a x b x a f i i i i .此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++++++++=+++++++=-+------2123211232211121232112322111212321123221112221122121)222()222(21)(21)222()222(21)(21])222()222[()(2))222()222(())1((x b b b x a a af x b x a f x b b b x a a a f x b x a f x b b b x a a a x b x a f x b b b x a a a f x x f n n n n n n n n n n n n nn n n θθ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++++≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++++≤----2224312243222211221222431224322122111)222()222(21)()22()()22()222()222()(41)(2)(2x b b b x a a a f x f b b x f a a x b b b x a a a x b x a f x f b x f a n n n n n n n n ),()1()()222()2222122211221x f x f x b b b x a a a n n n n θθ-+=+++++++≤ 即有)()1()())1((2121x f x f x x f θθθθ-+≤-+.2)定义1.2⇒定义1.3 记1323x x x x --=θ，则312)1(x x x θθ-+=.由f 的凸性知道 )()1()())1(()(31312x f x f x x f x f θθθθ-+≤-+=)()(3131211323x f x x x x x f x x x x --+--=，从而有)()()()()()(31212323x f x x x f x x x f x x -+-≤-，整理后即得23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--.3)定义1.3⇒定义1.1 在I 上任取两点在),(,3131x x x x < []31,x x 上任取一点312)1(x x x θθ-+= ，)1,0(∈θ ，即1323x x x x --=θ. 由必要性的推导逆过程，可证得 )()1()())1((3131x f x f x x f θθθθ-+≤-+，即)(x f 是凸函数，取2/1=θ时可得定义1.1.综上所述：关于凸函数的三个定义是互相等价的,知道一个即可证出另外两个。

凸函数在证明不等式中的运用

凸函数在证明不等式中的运用不等式是数学中一个重要的概念，经常出现在数学问题的解决过程中。

而凸函数作为一种特殊的函数类型，具有很好的性质。

本文将介绍凸函数在证明不等式中的运用。

首先，我们来定义凸函数。

在实数集上的函数f(x)被称为凸函数，如果对于任意的x1、x2∈[a,b]，以及0≤λ≤1，有：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)这个定义表明，在凸函数上，任意两点的连线实际上都位于函数曲线的上方或切于函数曲线。

凸函数具有很多良好的性质，其中一个非常有用的性质是“切线大于曲线”，即对于凸函数f(x)，对于任意x1，x2∈[a,b]，有f(x2)≥f(x1)+f'(x1)(x2-x1)。

1.使用切线法。

利用凸函数的“切线大于曲线”性质，我们可以通过构造或应用合适的凸函数来证明各种不等式。

例如，考虑证明柯西-施瓦茨不等式，即：对于任意的a1，a2,…,an和b1，b2,…,bn，有：(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^2我们可以取凸函数f(x)=x^2，然后应用“切线大于曲线”性质，即：f(b1^2+b2^2+…+bn^2- λ(a1^2+a2^2+…+an^2)) ≥f(b1^2+b2^2+…+bn^2)− λf(a1^2+a2^2+…+an^2)然后，通过选择合适的λ值，并利用普通不等式，我们可以得到柯西-施瓦茨不等式的证明。

2.使用幂平均不等式。

幂平均不等式是一类难题中常见的不等式之一，它可以通过利用凸函数的特性来证明。

根据幂平均不等式的定义，对于任意的正实数x1,x2,⋯,xn和正实数p,q（p≠q），我们有：((x1^p+x2^p+⋯+xn^p)/(n))^(1/p) ≥((x1^q+x2^q+⋯+xn^q)/(n))^(1/q)这个不等式可以通过定义幂函数f(x) = x^p（其中 p>1）来证明。

凸函数在不等式中的证明

凸函数在不等式中的证明凸函数在数学中是一类具有特殊性质的函数。

它在实数域上的定义是对于任意的实数x1和x2，以及0≤λ≤1的实数λ，满足以下不等式的函数称为凸函数：f（λx1+(1-λ)x2）≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)这一定义说明了凸函数的弧线上的任意两点的连线都不会位于函数图像的下方。

这个性质在许多实际问题中具有很好的应用，例如优化问题、经济学和凸优化等领域。

为了证明凸函数在不等式中的性质，我们需要先证明凸函数的一个引理：若函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数a和b，有以下不等式成立：f(b)≥f(a)+f'(a)(b-a)证明如下：首先，构造一个函数g(t)=f(a+t(b-a))。

这个函数可以理解为函数f(x)在x=a+t(b-a)处所取得的值。

由于f(x)是凸函数，根据凸函数的定义可得：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)令x1=a+t1(b-a)，x2=a+t2(b-a)，其中0≤t1≤t2≤1，λ=t2-t1，则可得：f(a+t2(b-a))≤(t2-t1)f(a+t1(b-a))+(1-(t2-t1))f(a+(t2-t1)(b-a))整理可得：g(t2)≤(t2-t1)g(t1)+(1-(t2-t1))g(t2-t1)令h(t)=(t2-t1)g(t1)+(1-(t2-t1))g(t2-t1)，则上述不等式可以写为：g(t2)≤h(t)对t∈[0,1]，将h(t)在[0,1]上进行插值，可以得到以下两个不等式：g(t2)≤h(1)-(1-t)h(0)+(t-t^2)(h(0)-h(1))g(t1) ≤ h(1) - th(0)对第一个不等式两边同时对t求导，得到：g'(t2)≤-h(0)+2h(1)-h(t)由于g(t)=f(a+t(b-a))，则有：g'(t)=f'(a+t(b-a))(b-a)将t2替换为t，可得：f'(a+t(b-a))(b-a)≤-h(0)+2h(1)-h(t)令t=0，则有：f'(a)(b-a)≤-h(0)+2h(1)再次将h(t)代入，可得：f'(a)(b-a)≤-(t2-t1)g(t1)+2(1-(t2-t1))g(t2-t1)将g(t)=f(a+t(b-a))替换回去，得到：f'(a)(b-a)≤-(t2-t1)f(a+t1(b-a))+2(1-(t2-t1))f(a+(t2-t1)(b-a))整理可得：f'(a)(b - a) ≤ -tf(a) + 2(1 - t)f(b)再整理可得：f(b)≥f(a)+f'(a)(b-a)这个结论在数学上被称为切线不等式，它在证明凸函数在不等式中的性质时起到了至关重要的作用。

凸函数与琴生不等式

2(x y)( y z)
(x y)( y z)
2 x yz
同理 sin B 2
y
xz xz
， sin
C 2
xy z xy
由 y sin x 为 (0, ) 上的上凸函数，得
6
sin
A 2
sin
B 2
sin
C 2
sin
A
BC
sin
3
6
6
即 yz xz xy sin A sin B sin C 3sin 3
只须构造 (0,) 上的上凸函数 y ln x ，则有
2
ln a1 ln a2 ln an ln(a1 a2 an )
n
n
ln n
a1a2 an
ln( a1 a2
an ) n
n
a1a2 an
( a1 a2
an ) （证毕） n
例
4. xi
(0,
2
), (i
1,2n)
cos x1 cosx2 cos xn (cos
构造 (0, ) 上的辅助函数 y
x1 ln
求证：
x2 n
cos x
xn
)
n
2
函数 y ln cos x 在 (0, ) 上是否是凸函数，可看其二阶导数：y sec2x 0
2
所以， y ln cos x 在 (0, ) 上是上凸函数， 2
22
提示：构造 R+上的辅助函数 f (x) x ，则
tan B tan C tan C tan A tan A tan B
22
22
22
3 1 tan B tan C tan C tan A tan A tan B

02-凸函数

02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。

函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。

仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。

⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。

如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。

那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。

解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。

上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。

：凸函数与琴生不等式(带解答)

For personal use only in study and research; not for commercial use第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则 ()f x 为上凸函数。

常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=ln sin ,=ln cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上，常见的（下）凸函数，[)2310+=,=,=,=n n y x y x y x y x∞，上，二、琴生不等式性质：若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ，总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ ；当且仅当12n x x x ===时取到等号。

若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ，总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ 。

当且仅当12n x x x ===时取到等号。

三、加权形式：[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++;n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++.n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有附：应用21)(xx f =，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。

在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。

1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。

如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。

2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。

3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。

在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。

这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。

由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。

2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。

这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。

凸函数的性质和一些不等式的证明

凸函数的性质和一些不等式的证明高等教育自学考试毕业论文论文题目：凸函数的性质和一些不等式的证明作者姓名：XXX专业：数学教育主考学校：兰州大学数学与统计学学院＿＿准考证号： XXXXXXXXXXXX指导教师姓名职称：XXX甘肃省高等教育自学考试办公室印制2013 年 3 月 4 日XX 专业论文标题:凸函数的性质和一些不等式的证明论文标题（Properties of convex function andinequality ）论文作者（XX ）论文作者（XXXXXXXXX ）数学专业本科论文目录内容摘要： (4)关键词： (4)一、凸函数 (5)1.凸函数的定义 (5)2.常见的凸函数 (6)4.凸函数的定理 (6)二.凸函数在证明不等式中的简单应用 (7)1．凸函数在几何平均值中的应用 (7)2．凸函数在Young不等式中的应用 (9)3.凸函数在Jensen不等式中的应用 (9)4.凸函数在三角不等式中的应用 (10)注释： (11)参考文献： (11)凸函数的性质和一些不等式的证明——凸函数的证明XX内容摘要：我们通过学习通过我们熟知的一元二次函数:y=x2一些凸函数的定义、概念和它的性质，还有凸函数在Jensen不等式、三角不等式中的应用，让我们了解凸函数的用途。

并且用它的一些特殊的性质来解决我们实际生活中的实际问题。

关键词：凸函数、性质、Jensen不等式、三角不等式、一、凸函数1.凸函数的定义我们都学习了二元一次的函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧线总在这两点连线的下方。

我们把具有这一种特性的曲线称为凸的由此，我们定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧线总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是简单的描述性定义，下面我们介绍关于凸函数的精确定义，以便于我们更好的利用它的性质。

凸函数的知识点总结

凸函数的知识点总结一、凸函数的定义凸函数是一种具有很多重要性质的函数。

在数学上，凸函数的定义如下：设$f$是定义在实数集上的函数，如果对于任意的$x_1, x_2$和任意的$t \in [0,1]$，都有$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$，则称$f$是凸函数。

凸函数的定义实际上描述了函数图像上两点之间的连线位于函数图像之上，即函数的下凹性。

二、凸函数的性质1. 一阶导数的非减性：凸函数在其定义域上是处处可导的，在其定义域上的各点处，函数的导数保持不减。

2. 二阶导数的非负性：凸函数在其定义域上是处处二阶可导的，并且在其定义域上的各点处，函数的二阶导数大于等于零。

3. 零阶条件：如果$f$是定义在实数集上的连续函数，那么$f$是凸函数当且仅当对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。

三、常见的凸函数1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中$a, b \in \mathbb{R}$，且$a \geq 0$。

2. 指数函数：$f(x) = e^{ax}$，其中$a \geq 0$。

3. 幂函数：$f(x) = x^a$，其中$a \geq 1$或$0 \leq a \leq 1$。

4. 对数函数：$f(x) = \log(x)$，其中$x > 0$。

四、凸函数的应用1. 在优化领域中，凸函数是一类非常重要的函数。

因为凸函数具有许多良好的性质，比如局部最小值也是全局最小值、一阶导数大于零等等。

所以在优化问题中，可以采用凸函数作为目标函数或约束条件，从而使得问题更容易求解。

2. 在经济学中，凸函数通常被用来描述一些经济变量之间的关系。

比如成本函数、效用函数等都可以用凸函数来描述。

3. 在凸优化问题中，凸函数也是一种标准形式的函数。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。

在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。

一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。

如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。

二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。

2.凸函数的二阶导数是非负的。

3.函数的局部极小值点是凸函数。

4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。

三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。

下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。

如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。

3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。

如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。

4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。

我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。

在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。

它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1 引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#）若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （@）若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向. 证明由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bbf x naan i f a nn n b a f x dx edx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e（b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2ni b aif a bnn b aan a blmf b a ef x dxa bb a eb a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e（其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤-()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a bbbbf x x b aaaaa b a a b b a a b bbb ab aa ab a f x dx edx edx edxb a b a eedx ex b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x xg x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数. 注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少.(4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 内的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 内部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11ni i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤---（4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 内存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰（7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'---在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x --''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x xη-'=-因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 内有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.证明第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景；第二个结论，先证充分性由于0f ''≥在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证. 再证必要性（反证法）因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen 不等式.Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1）此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用范围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n 有1212...111...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1）设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3）证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nni i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1iini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i ip p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2）设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤，（2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥证明（1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B C f ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2）令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ (%)证明设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=-在上式中令n →∞时，则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x=+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，ii a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i ii i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen 不等式，Hadamard 不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵阳,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,绍兴,2005,3[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报,太原,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南宁,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身后的帮助.。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用凸函数（Convex function）是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。

在证明不等式中，凸函数的性质可以帮助我们简化问题，提供了一种有效的方法。

1. 定义：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2∈R以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么f(x)是凸函数。

2.几何意义：凸函数的几何意义可以通过以下两点来理解。

首先，凸函数的图像上的任意两点形成的线段在函数图像的上方或者处于函数图像上。

其次，凸函数的下方的切线都位于函数图像下方。

3.一阶导数条件：对于凸函数来说，一阶导数是单调递增的。

也就是说，如果f(x)是凸函数，则f'(x)≥0。

4.二阶导数条件：凸函数的二阶导数是非负的。

也就是说，如果f(x)是凸函数，则f''(x)≥0。

凸函数在证明不等式中的应用：1.约束条件：凸函数在一些约束条件下的最大值或最小值通常是问题的关键。

我们可以通过构造一个约束函数和一个目标函数，来求解最优化问题。

通常情况下，约束函数是一个凸函数，而目标函数是可以转化为凸函数的。

2.差分近似：在证明不等式过程中，我们常常需要利用凸函数近似一些复杂的函数。

这是因为凸函数在大部分区间上是递增的，所以可以将复杂的问题简化为凸函数问题。

3. Jensen不等式：Jensen不等式是证明凸函数不等式的重要工具。

Jensen不等式指出，如果f(x)是凸函数且x1, x2, ..., xn是任意实数，那么有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)，其中λ1, λ2, ..., λn是非负实数且满足λ1+λ2+...+λn=14. Karamata不等式：Karamata不等式是一种更加广义的不等式，可以被用于证明许多重要的几何不等式。

这个不等式是基于对凸函数定义的一个扩展。

hadamard不等式凸函数证明

hadamard不等式凸函数证明摘要：1.哈达玛不等式简介2.凸函数的概念和性质3.哈达玛不等式的证明过程4.哈达玛不等式在实际应用中的例子正文：1.哈达玛不等式简介哈达玛不等式（Hadamard Inequality）是微积分学中的一个基本不等式，由法国数学家皮埃尔·哈达玛（Pierre Hadamard）于19 世纪末提出。

该不等式主要描述了任意两个实数的平方和不小于任意一个实数的平方，即对于任意实数a 和b，都有(a + b) ≥ 2ab 成立。

2.凸函数的概念和性质凸函数是微积分学中的一个重要概念，它在数学、物理和经济学等多个领域都有广泛的应用。

凸函数的定义是：若函数f(x) 在定义域内满足对于任意的x1 和x2，都有f((x1 + x2) / 2) ≤ (f(x1) + f(x2)) / 2，则称函数f(x) 为凸函数。

凸函数具有以下性质：（1）凸函数的图像总是位于其切线的上方；（2）凸函数在定义域内是连续可导的；（3）凸函数的导数在其定义域内恒大于等于0。

3.哈达玛不等式的证明过程为了证明哈达玛不等式，我们可以引入一个凸函数来进行说明。

考虑函数f(x) = x - 2ax + a，其中a 为任意实数。

我们可以发现，该函数的图像是一个开口向上的抛物线，且以直线x = a 为对称轴。

对于函数f(x)，我们可以求导得到f"(x) = 2x - 2a。

令f"(x) = 0，解得x = a。

因此，函数f(x) 在x = a 处取得最小值，即f(a) = a。

由于函数f(x) 是凸函数，根据凸函数的性质，我们有f((x1 + x2) / 2) ≤ (f(x1) + f(x2)) / 2。

将x1 = a 和x2 = a 代入，得到f(a) ≤ f(a)，显然成立。

结合以上分析，我们可以得出结论：对于任意实数a 和b，都有(a + b) ≥ 2ab 成立，即哈达玛不等式成立。

数学均值不等式的证明方法

数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。

我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。

二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。

利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。

例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。

例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。

应用凹凸函数的性质证明不等式解读

2
sin Α+co s Α
2
=1+2sin2Α+
4
2sin (Α+
Π4
≥1+2+4
2
=3+2 2.
例2已知A 1,A 2,A 3,…,A n是凸n边形的n个内角.求证:
sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin (n -2Π
n
.
证明由平面几何知识可知A i ∈
(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n
f (x 2≤2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凸函数;若恒
有f (x 1+f (x 2≥2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凹函数.
应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.
定理若函数f (x在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n有以下不等式成立:
一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处
论:
当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有
(x1+1
x12+(x2+1
x2
2+…+(x n+1
x n
2
≥(n2+12
n
.
例4设a、b、c为△A B C的三边,S是

凸函数及其在证明不等式中的应用

凸函数及其在证明不等式中的应用凸函数是数学分析中的重要概念，它在不等式的证明中发挥着重要作用。

本文将介绍凸函数以及它在证明不等式中的应用。

凸函数是一个定义在实数轴上的函数，它的一个重要特性是对于函数上任意两点，连接这两点的弦不会低于函数上的任意一点。

凸函数的形象化理解是函数图像位于对应的弦的上方。

具体定义上，设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果对于任意的x1,x2∈[a,b]以及任意介于x1和x2之间的t∈[0,1]，有f(tx1 + (1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2)则称函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数。

凸函数具有很多重要的性质，这些性质在证明不等式中起到了关键作用。

下面将介绍几个常见的凸函数的性质。

首先，凸函数的导函数递增。

也就是说，如果f(x)是一个凸函数，则f'(x)≥0。

这个性质可以用凸函数的定义来证明。

假设存在x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，使得f'(x1)>f'(x2)。

根据导函数的定义，可以得到f'(x1) = lim┬(h→0)⁡(f(x1+h)-f(x1))/hf'(x2) = lim┬(h→0)⁡(f(x2+h)-f(x2))/h由于f'(x1)>f'(x2)，因此存在一个Δ>0，对于任意的0<h<Δ，均有(f(x2+h)-f(x2))/h≤(f(x1+h)-f(x1))/hf(x2+h)-f(x2)≤f(x1+h)-f(x1)由此可得f(x2)≤f(x1)，与凸函数的定义矛盾，因此f'(x)必须递增。

其次，凸函数的二阶导函数非负。

也就是说，对于凸函数f(x)，有f"(x)≥0。

这个性质的证明可以通过分别计算f(x)的一阶导函数和二阶导函数来完成。

如果一阶导函数f'(x)≥0，那么f(x)是递增函数，因此它的二阶导函数f"(x)≥0。

凸函数的应用

凸函数的应用在许多数学问题的证明过程中，我们经常遇到一些有关于不等式的证明，所以我们可以学会着去运用凸函数来证明，因为凸函数的性质和判定方法可以很大程度化简化证明.通过例举出的例子可以得出，运用凸函数的性质证明来证明与之相关的不等式，则可让一些难度比较大的和不容易证明的不等式得以求证出结果.所以要学会用凸函数来解决一些不等式的问题，这样才能让发挥数学这门学科的优势，和凸函数的存在意义，更能方便我们的学习和生活. 凸函数在不等式的应用凸函数的性质证明初等不等式（例）证明：当,0x y >且x y ≠时，有()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑.思路：将不等式()2x y y x y x +>+㏑x+y㏑㏑变形，即两边同时乘以12，得新式222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑，因此我们可以构造辅助函数()()ln 0f s s s s =>，则可证出()()222fx fy x y x yln +++>. 证：设()()ln 0f s s s s =>∴ ()'1ln f s s =+ ()()''10f s s s=> ∴()f s 在区间()0,+∞是凸函数∴对 ,0x y ∀>且 x y ≠，得 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 所以得222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑即()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑1. 凸函数的性质证明函数不等式（例）证明：对任何非负实数,x y 有2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭证：设()()arctan ,0,f s s s =-∈+∞，()()''22201sfs s =>+，()0,s ∈+∞，则()f s 在()0,+∞上是凸函数，由凸函数性质知，对任何的非负实数,x y 有()()22f x f y x y f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，既arctan arctan arctan 22x y x y ++⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭ 所以2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭. 2. 凸函数的性质证明积分不等式（例）证明：()f x 在[],a b 上可积且()n f x N ≤≤，()t ϕ是在[],n N 上的连续凸函数，则()()11bbaafx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰证：设(),s k s f f a b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(),1s k x b a k =-由于()t ϕ是凸函数，故有()()()1212......k k kk k k kk f f f f f f k kϕϕϕϕ++++++≤① 由定积分的定义知在①中令k →∞时使得()()11bbaa fx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰.（Jensen ）不等式琴生不等式是一个十分重要凸函数的性质，因为每一个凸函数都可以满足琴声不等式性质，于是琴生不等式是重要方法对于研究不等式来说.定理：假设函数()f x 是区间I 上的凸函数，则存在i x I ∀∈并且()01,2,...,i p i n >=，总有()1111nn ni i i i i i i i p f p x p f x ===⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑.（例）若()0,01,2,...,1ni i i ix q i n q >>==∑求证：12121122......n q q qn n n x x x q x q x q x ≤+++证：因为对所有的,0i i x >，可以令ln i i y x =，所以有()()exp ln exp iyi i i i i x q x q y ==又因为(),tf t e x R =∈是凸函数所以有()()121211111...exp exp n n n nn nq q q n i i i i i i i i i ii i i i i x x x q y f q y q f y q y q x =====⎛⎫⎛⎫==≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.注：①当212'112,k kn q q x x x y k k=====时，则存在'11k kxy x y k k=+. ②当()11,2,...,i q i n n==时，有12...nx x x n+++≤.（Holder ）不等式赫尔德不等式是数学分析的重要内容，不等式的命名来自奥图.赫尔德.This inequality clearly s hows the relationship between LP spaces. There are many Hölder's inequality, and of course there are also proofs of convex functions. 定理：假设0,0,1i i a b i n >>≤≤，则存在 11111pqpqnnni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 其中1p >，并且111p q+=. （例）证明存在n 个正数，这些数倒数的算术平均值大于或等于这些数的算术平均值的倒数.证：假设函数()()10f x x x =<<+∞，因此()()()'''2312,0f x f x x x x =-=<<+∞所以()1fx x =在()0,+∞上是凸函数，在Jensen 不等式中取1,1,2,...,i p i nn== 则得到12121111......nn n x x x n x x x ⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭ 既121211111......n n x x x n x x x n⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭.凸函数在极值的应用根据常识的数学知识我们可以得知，一个连续函数如果是有界的，那么在这个区间内一定有max 和min.但是对于函数来说max 和min 可能是在区间上的随机处.又因为对于凸函数，它的max(min)具有一些特征性质。

凹凸函数的性质在不等式证明中的应用

凹凸函数的性质在不等式证明中的应用凹凸函数是数学分析中的重要概念，在不等式证明中有着广泛的应用。

凹凸函数在不等式证明中的应用可以帮助我们更精确地估计函数的取值范围，以及确定不等式的成立条件。

下面将分别从凸函数和凹函数两个方面来讨论凹凸函数在不等式证明中的应用。

首先，我们来解释凸函数和凹函数的定义：设函数f(x)在区间I上连续，如果对于区间I上的任意两点x1和x2以及任意t∈[0,1]，都有以下不等式成立：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凸函数；f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凹函数。

接下来，我们将讨论凸函数在不等式证明中的应用。

1.凸函数在不等式证明中的应用：凸函数在区间上的取值比割线的取值更小。

这个性质被称为下凸性。

具体来说，如果函数f(x)在区间I上是凸函数，对于区间上的任意两点x1和x2，都有以下不等式成立：f(x)≥f(x1)+f′(x1)(x-x1)，其中f′(x)表示函数f(x)的导数。

基于凸函数的这个性质我们可以得到以下结论：1.1瑕疵卡西：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意两点，有：f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)，即凸函数的和大于等于函数的和。

1.2 杨辉三角形不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意n个实数x1, x2, ..., xn，有：f(x1+x2+...+xn)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ，即凸函数的和大于等于函数的和。

1.3 杨辉不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I 上的任意n个不等的实数x1, x2, ..., xn，有：f((x1+x2)/2)+f((x2+x3)/2)+...+f((xn-1+xn)/2)≤(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/(n-1) ，即凸函数的均值小于等于函数的均值。

凸函数在不等式中的证明

凸函数在不等式中的证明1.函数的定义及其常见的凹凸函数大家都熟悉函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。

我们可以下这样一个定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,x x 恒有 1212()()()22x x f x f x f ++≤ 那么称()f x 在(,)a b 内是凸函数.定义2 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,,(0,1)x x λ∈ ，有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 则称()f x 在(,)a b 内是凸函数.以上若不等式的方向相反，则称()f x 在(,)a b 内是凹函数.1.1常见的凹凸函数有1.1.1 )0()(<=k x x f k 或)0(>k ,x x x f ln )(=均为(0,)∞内的严格凸函数;1.1.2 ()ln(1),()0)x f x e f x c =+=≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.1.2 凸函数的常见性质及其判定定理性质1 设()f x 为凸函数，0k >为常数，则()kf x 是凸函数：若()(1,2,...,)i f x i n = 是凸函数，则1()ni i f x =∑ 仍是凸函数：若()u ϕ是增凸函数，()u f x =也是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数[1].性质2 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则在(,)a b 的任一闭子区间上有界.性质3 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则()f x 在(,)a b 内连续.定理1[1]()f x 是区间I 上的凸函数的充要条件是：对于满足11ni i λ==∑ 的任意12,,...,0n λλλ≥ ，有：11()()n n i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 12,,...,n x x x I ∀∈ (1)定理2 若()f x 在区间I 上二阶可微，则()f x 在I 上是凸函数的充要条件是：1.3凸函数的不等式 1.3.1 凸函数基本不等式设()f x 是(,)a b 内的严格凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组不全相同的值12,,...,n x x x ，必有不等式[2]：1.3.2 Jensen 不等式Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：（1）设()f x 是(,)a b 内的凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组值12,,...,n x x x 及任意正数12,,...,n p p p 必有不等式： 112211221212...()()...()()()......n n n n n np x p x p x p f x p f x p f x f p p p p p p ++++++≤≥++++++ （2）设(),()f x p x 为[,]a b 上的可积函数，而 (),()0,()0ba m f x M p x p x dx ≤≤≥>⎰则当()()t m t M ϕ≤≤为凸（凹）函数时有()()()[()]()()()()bbaabbaap x f x dxp x f x dxp x dxp x dxϕϕ≤≥⎰⎰⎰⎰2.凸函数在证明不等式中的简单应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1 设0,1,2,...,i a i n >= ，证明：1212...111...nna a a n na a a +++≤≤+++证明设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有01)(2''>=x x f ，从而，函数()ln f x x =-在(0,)∞是严格凸函数，取121(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a q i n q q q n=∈∞==+++=有1212ln ln ln ln(...)...n n a a a a a a n n n n n n-+++≤----或n n n n n n na a a a a a na a a ...ln )ln ...ln (ln ...ln 211121121-=+++-≤+++- 即12...na a a n+++≤取 1211(0,),,1,2,...,,...1i i n i x q i n q q q a n=∈∞==+++= 同样方法，有12...nn a a a ≤+++于是，n N +∀∈ ，有1212......nna a a n na a a +++≤≤+++例2 证明12,,...,,1n x x x R p +∀∈≥ 有 11212......()p p p pn n x x x x x x n n++++++≤上式称为算术平均不大于(1)p p ≥ 次平均，特别的，当2p = ，得到算术平均值不大于平方平均值。

怎么证明严格凸函数

怎么证明严格凸函数严格凸函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将从数学角度出发，证明严格凸函数的性质，并说明其在实际问题中的应用。

我们来定义严格凸函数。

一个函数f(x)在定义域上是严格凸的，意味着对于任意的x1和x2，以及0<λ<1，都有以下不等式成立：f(λx1 + (1-λ)x2) < λf(x1) + (1-λ)f(x2)这个不等式可以简化为：f(λx1 + (1-λ)x2) - f(x2) < λ(f(x1) - f(x2))接下来，我们将使用反证法来证明严格凸函数的性质。

假设存在一个函数f(x)在某个区间上是凸的，但不是严格凸的。

那么存在x1和x2，以及0<λ<1，使得不等式：f(λx1 + (1-λ)x2) - f(x2) ≤ λ(f(x1) - f(x2))成立。

由于f(x)是凸函数，根据凸函数的定义，我们有：f(λx1 + (1-λ)x2) - f(x2) ≥ λ(f(x1) - f(x2))将上述两个不等式结合起来，我们得到：f(λx1 + (1-λ)x2) - f(x2) = λ(f(x1) - f(x2))进一步整理，得到：f(λx1 + (1-λ)x2) = λf(x1) + (1-λ)f(x2)这与我们的假设相矛盾，因为严格凸函数的定义要求不等式是严格成立的。

因此，我们可以证明严格凸函数的性质。

接下来，我们来看一些严格凸函数的应用。

严格凸函数在经济学、优化问题和机器学习等领域中都有广泛的应用。

在经济学中，严格凸函数可以用来描述效用函数，衡量消费者对不同商品的偏好程度。

在优化问题中，严格凸函数可以用来建模目标函数，求解最优解。

在机器学习中，严格凸函数可以用来定义损失函数，训练模型并进行分类和回归任务。

严格凸函数的性质使得它在实际问题中具有很强的表达能力和优化能力。

严格凸函数的图像呈现出一种向上凸起的形状，这种形状对于建模和求解问题非常有帮助。

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高等教育自学考试毕业论文论文题目：凸函数的性质和一些不等式的证明作者姓名：XXX专业：数学教育主考学校：兰州大学数学与统计学学院＿＿准考证号： XXXXXXXXXXXX指导教师姓名职称：XXX甘肃省高等教育自学考试办公室印制2013 年 3 月 4 日XX 专业论文标题:凸函数的性质和一些不等式的证明论文标题（Properties of convex function andinequality ）论文作者（XX ）论文作者（XXXXXXXXX ）数学专业本科论文目录内容摘要： (4)关键词： (4)一、凸函数 (5)1.凸函数的定义 (5)2.常见的凸函数 (6)4.凸函数的定理 (6)二.凸函数在证明不等式中的简单应用 (7)1．凸函数在几何平均值中的应用 (7)2．凸函数在Young不等式中的应用 (9)3.凸函数在Jensen不等式中的应用 (9)4.凸函数在三角不等式中的应用 (10)注释： (11)参考文献： (11)凸函数的性质和一些不等式的证明——凸函数的证明XX内容摘要：我们通过学习通过我们熟知的一元二次函数:y=x2一些凸函数的定义、概念和它的性质，还有凸函数在Jensen不等式、三角不等式中的应用，让我们了解凸函数的用途。

并且用它的一些特殊的性质来解决我们实际生活中的实际问题。

在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,x x 恒有 1212()()()22x x f x f x f ++≤那么称()f x 在(,)a b 内是凸函数.定义2 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,,(0,1)x x λ∈ ，有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 则称()f x 在(,)a b 内是凸函数.上图是凸函数的几何形2.常见的凸函数1.2.1 )0()(<=k x x f k 或)0(>k ,x x x f ln )(=均为(0,)∞内的严格凸函数;1.2.2 22()ln(1),()(0)x f x e f x c x c =+=+≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.3.凸函数的性质性质1 设()f x 为凸函数，0k >为常数，则()kf x 是凸函数：若()(1,2,...,)i f x i n =是凸函数，则1()ni i f x =∑ 仍是凸函数：若()u ϕ是增凸函数，()u f x =也是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.性质2 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则在(,)a b 的任一闭合子区间上有确界. 性质3 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则()f x 在(,)a b 内一定连续.4.凸函数的定理定理1 ()f x 是区间I 上的凸函数的充要条件是：对于满足11ni i λ==∑ 的任意12,,...,0n λλλ≥ ，有：11()()nni i ii i i f x f x λλ==≤∑∑ 12,,...,n x x x I ∀∈ (1)定理2 若()f x 在区间I 上二阶可微，则()f x 在I 上是凸函数的充要条件是：f ()0x ≥ ，x I ∈ (2)y0 X定理3 设f 为区间I 上的可导函数，则下列论述互相等价： 1) f 为I 上的凸函数； 2) f '为I 上的增函数；3) 对I 上的任意两点x 1、x 2，有 4) f (x 2)f ≥(x 1)+f '（x 1）（xx 12-）.5.凸函数的不等式1.5.1 Jensen 不等式定义4 设函数f （x ）定义在某一区间上，对于这区间的任意，如果恒有f ()()2f f 2x x xx 2121+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+,则称f （x ）在这区间上是凸函数。

例用琴森不等式证明G A n n ≥证明设f(x)=㏑x ，对于任意两个相异正实数x ，y ，有㏑nnx xxxxnnlg...lglg (2)121x++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=lg x xx n n...21.因为lgx 在定义域区间上是增函数，所以nn nx xx x xxn (2)121≥++，即GAnn≥二.凸函数在证明不等式中的简单应用1．凸函数在几何平均值中的应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1 讨论函数f （x ）=arctanx 的凸性区间. 解由于()()x 21x2x f +-=''，因而当x 0≤时，()0x f ≥''；x 0≥时()0x f ≤''.从而在(]0，∞-上f 为凸函数.例1 设0,1,2,...,i a i n >= ，证明：121212......111...nnn na a a na a a na a a +++≤≤+++证明设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有01)(2''>=xx f ，从而，函数()ln f x x=-在(0,)∞是严格凸函数，取 121(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a q i n q q q n=∈∞==+++=有 1212ln ln ln ln(...)...n n a a a a a a nnnnnn-+++≤----或 nn n n n nna a a a a a na a a ...ln)ln ...ln (ln ...ln211121121-=+++-≤+++-即 1212......nn n a a a a a a n+++≤取 1211(0,),,1,2,...,,...1i i n ix q i n q q q a n=∈∞==+++=同样方法，有1212...111...nn nna a a a a a ≤+++于是，n N +∀∈ ，有121212......111...nnn na a a na a a na a a +++≤≤+++2．凸函数在Young 不等式中的应用凸函数在Y oung 不等式中应用很广.现在让我们来看看凸函数在Y oung 不等是怎么应用的例2 若0,0,0,0,0a b p q ε>>>>> 且111p q+=，求证：Y oung 不等式pq q pa b ab pq εε≤+证明从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。

不妨不等式两边同取自然对数，则有 ln()ln()pq q pa b ab pq εε<+由此很容易找到合适的凸函数。

考察函数()ln (0)f x x x =->，因为01)(2''>=xx f ，由定理1知，()f x 在0x >时为凸函数，因为有110,0,1p q pq>>+=，所以111111ln()ln()ln()ln()ln()ln()pq pqp pppqpa b a b a b ab ppqq εεεεεε---+≤--=--=-于是 ln()()pq q pa b ab ln pq εε≤+即 pq q pa b ab pq εε≤+特别地，当1,2p q ε=== 时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。

3.凸函数在Jensen 不等式中的应用例3 设,[0,]i i p R x π+∈∈ ，证明： 112211221212...sin sin ...sin sin......n nn nnnp x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++≥++++++证明取()sin f x x =-它是[0,]π 上的凸函数，由Jensen 不等式，得112211221212...sin sin ...sin sin......n nn nnnp x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++-≤-++++++所以 112211221212...sin sin ...sin sin......n nn nnnp x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++≥++++++特别的：（1）如果在这个不等式中，令1(1,2,...,)i p i n == 则得 1212 (i)sin sin ...sin nnx x x n x x x n+++≥+++ ；（2）对于三角形的三个内角,,αβγ，有 33sin sin ...sin 3sin32αβγαβγ+++++≤=4.凸函数在三角不等式中的应用凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。

例4 设(0,)2x π∈，证明：1cos 21cos 2(sin )(cos )2x x x x -++≥证明先将原不等式化为 222sin 2cos (sin )(cos )2x x x x +≥ 因为()x f x x = 为(0,)∞上的凸函数，故当0,0a b >>时，有 ()()()22a b f a f b f ++≤令22sin ,cos a x b x ==则 1222sin cos 112()()()()22222a b x xf f f ++====而222sin 2cos ()()(sin )(cos )22xxf a f b x x ++=所以 222sin 2cos (sin )(cos )2x x x x +≥注释：[1]华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社.148页[2]李长明周焕山.初等数学研究.高等教育出版社.1995年6月.266页. 参考文献：[1]吴良森数学分析（上册）高等教育出版社 2001年.[2]李长明周焕山.初等数学研究.高等教育出版社.1995年6月.[3]高尚华数学分析（下册）高等教育出版社。