生存模型与生命表
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保险学课件-生存模型与生命表
一、延期死亡概率
¡例：在某特定的人口群体中，所有年龄的死亡力为0.025，计算： 年龄为10岁的人在12岁前死亡的概率。 年龄为5岁的人在10-12岁死亡的概率。 新生婴儿的完全生命期望。
新生婴儿的简单生命期望
二、非整数年龄的生命表函数
（一）一年内死亡时间均匀分布假设
（二）死亡力为常数的假设
四、未来生存时间和简单未来生存时间的方差
第四节 生命表函数
¡ 一、生命表的概念 ¡ 二、 函数 ¡ 三、 函数
一、生命表的概念
二、 函数
三、 函数
第五节 延期死亡概率和非整数年龄的生命表 函数
¡ 一、延期死亡概率 ¡ 二、非整数年龄的生命表函数
（一）一年内死亡时间均匀分布假设 （二）死亡力为常数的假设
¡ 选择表是一种不同与终极表的生命表。在人寿保险的承 保过程中，经过体检等选择的被保险人的死亡率等风险 低于一般人口的风险，而且最近几年选择的被保险人的 死亡率风险低于前些年选择的被保险人的死亡率风险， 考虑到这种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择 表。
¡ 总合生命表是指不考虑保险契约有效后经过的年数，以 整个保险期间为对象，根据不同年龄的被保险人的死亡 率数据编制的生命表。
¡ 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条件支 付(contingent payment)。其最重要特征就是它发生的不 确定性。一个人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊 情况下才是预先可知的。
¡ 被保险人在未来某个时期的生死是一个不确定性事件， 对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之 一，它决定着保险金的给付与否。它的研究把数学和生存 与死亡概率结合在一起。
二、选择表
¡对于生命表函数的所有概率公式适用于选择表函 数，例如：
生存模型 (周渭兵)
七、死力x，也就是危险率函数(x)
x
d dx
S
(
x)
S(x)
d dx
ln
S(x)
八、期望寿命
出生婴儿未来寿命的期望值：
0
e E(x) xf (x)dx 0
0
x岁的人的未来寿命的期望值
e 0 x
t
dSd(tt:x)dt
t
dS(tx)
dt
S(x)
dt
0
0
例1.1 设某随机变量x生存函数S(x) ax3 b, 0 x k,若x的数学期望值为90，则x的方差 为多少？
• F (x y＜X≤z)= • f(x y＜X≤z)= • λ(x y＜X≤z)=
1.4.4截尾分布的矩 X的双截尾分布的一阶矩为
z
E(X y X z) x f(Xy X z)dx y
特别地
E(X X y) x f(X X y)dx y
y岁人的余命
o
ey E(X X y)- y
表编制、社会保障中的应用。包括：
•
死亡模型
•
人口模型
•
人口规划及人口普查应用
• C、修匀法
• 掌握表格数据修匀、参数修匀的各种方 法。
• 1、对于表格数据修匀：掌握移动加权修 匀法、Whittaker修匀、Bayes修匀的概念 及相关计算。
• 2、对于参数修匀：三种含参数的人口模 型估计方法；掌握分段参数修匀、光滑连 接修匀的方法及相关计算。
S
xn X
x
S(xn) S(x)
类似地，n qx Prx X x n X x Fx n X x
我们可以证明：
F
xn X x
S(x)S(xn) F(xn)F(x)
3.1生存模型与生命表教案资料
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
生命表算法
生命表函数及计算通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。
以下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。
1、年龄区间[x,x+1][x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。
通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。
2、生存人数l x设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。
生存人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。
在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，但为方便，一般设为100 000人。
3、死亡人数d xd x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。
dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，不同于实际人口死亡数。
根据定义可知l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)4、死亡概率q xq x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。
以x至x+1的死亡人数d z占x岁存活人数l x的比例表示。
q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。
l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x5、生存人年数L xx岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。
人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。
把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：L x=1tx ttl dt++⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：L x =(l x +l x+1)/2又根据公式(7.23)得：L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。
实验三 生命表与存活曲线的编制
实验二生命表与存活曲线的编制生命表（life table）的概念：生命表是描述种群存活和死亡过程的一种统计表格。
记录了生物发育的不同年龄阶段的出生率和死亡率，以及由此计算出的种群生命期望值等特征值。
生命表一般可以分为如下几种类型：1）特定年龄生命表：以一群同年龄个体为起始点，始终跟踪各年龄阶段的种群动态，记录期繁殖和死亡个体数，直至该年龄群全部死亡为止。
适用于世代周期短、世代不重叠的种群。
2）特定时间生命表：假设不同年龄段种群的大小和结构相同的前提下，对一时刻各年龄段个体的调查统计而制成的生命表。
适用于世代重叠且稳定的种群。
3）图解生命表：将某世代个体数的动态特征以图解的形式直观地表现出来便成了图解生命表。
适用于生活史简单的种群。
总之，生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用工具，它包括了各年龄组的实际死亡数、死亡率、存活数及平均期望年龄值等。
根据生命表绘制的种群存活曲线图可以直观地描述种群的时间动态。
生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用的工具。
可以体现各年龄或各年龄组的实际死亡数、死亡率、存活数目和群内个体未来预期余年（即平均期望年龄）。
生命表的意义在于提供一个分析和对比种群个体起作用生态因子的函数数量基础。
也可以利用生命表中的数据，描述存活曲线图，说明种群各年龄组在生命过程中的数量；说明不同年龄的生存个体随年龄的死亡和生存率的变化情况。
一、目的要求1．了解生命表的类型及其结构；2．通过给定种群各年龄时期的存活个体数，计算生命表各特征值，理解种群生命期望的含义，领会生命表的生态学意义。
二、材料用品调查或利用已有的资料，如某年某地人口统计数据、电脑或计算器等三、实验原理生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用工具。
可以体现各年龄或各年龄组的实际死亡数、死亡率、存活数目和群内个体未来预期余年（即平均期望年龄）。
生命表的意义在于提供一个分析和对比种群个体起作用生态因子的函数数量基础。
寿险精算学-ch2
未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和 死亡力函数（以年为最小计量单位） 为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386
第四章 生命表
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生存分布与生命表
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19
令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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23
下面讨论几个概念的关系：
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所以
于是
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15
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作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
F(x)
分布函数 密度函数 生存函数 死力 x
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
x
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第二节 生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。
F (x)描述了随机变量X的分布函数， 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
10000
1,
x0
sX
(
x)
(100 x)2 10000
,
0
x 100
பைடு நூலகம்0,
x 100
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生命表
基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下，2003年8月， 正式启动了新生命表编制项目。
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
有关寿命分布的参数模型
生命表理论
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate
生存函数与剩余寿命生存函 数的对比图示
剩余寿命基本函数
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去
世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
例2.2
, 0 x 100
请计算 F(75), f (75) 和 （75）
0 x
Gompertze模型(1825)
x Bcx
S(x) exp{B(cx 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
x A Bcx
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate
生存函数与剩余寿命生存函 数的对比图示
剩余寿命基本函数
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去
世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
例2.2
, 0 x 100
请计算 F(75), f (75) 和 （75）
0 x
Gompertze模型(1825)
x Bcx
S(x) exp{B(cx 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
x A Bcx
第二章--生命函数与生命表理论
均匀分布下
0
ex
ex
1 2
第四节 死亡效力
瞬时死亡率，简记
x
lim
h0
S(x) S(x h) h S(x)
S ( x) S(x)
(ln S(x))
f (x) S(x)
死亡效力曲线称为“浴盆曲线”
死亡效力与生存函数关系：
x
S(x) exp{ 0 sds}
寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ;
(3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x) S(x t) S(x t u) S(x)
第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法
1）均匀分布假定(线性插值) 2）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定(调和插值)
均匀分布假定(线性插值)
s(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
s(x t) s(x)(1t) s(x 1)t , 0 t 1
例 假设某人群的生存函数为S(x) 120 x , 0 x 120. 求： 10
（1）39岁的人至少还能再活45年的概率； （2）56岁的人能活过71岁但活不过84岁的概率.
剩余寿命的期望和方差
o
e 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记 x
o
wx
ex E(T (x)) t fT (t)dt t pxdt
生命表基础课件
t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；
（8）
qx
lim
t
FT
(
x
)
(t
)
0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px
d dt
(1
t qx )
d dt
t qx
t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx
SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px
SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px
SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)
S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
第二章生命表(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)
qx
n qx n dx lx
n dx
lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx
dx l x (1 f x ) d x
qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有
0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0
n
nf x
n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )
0
Tx dx
定义： Y0 得： ( 4)
0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0
2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和
n qx n dx lx
n dx
lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx
dx l x (1 f x ) d x
qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有
0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0
n
nf x
n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )
0
Tx dx
定义： Y0 得： ( 4)
0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0
2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和
生存模型与生命表
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保 险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男性公民 未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
3、设 x x 5 1 ,x 0 ,求 S x (t),fx (t),F x (t).
4、设 x t t2 ,t 0 ,求 fx ( t) ,F x ( t) .
5 已知生存函数 S0(x)10 10 2x,0x100
计算 17p19, q 15 36 和 (36) 。
1F0(x) t0 t
1 1F0(x)
f0(x)
注：
（1）从以上关系式可以把 x 解释为一个活到x岁
的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概率）。
（2） x 应满足的条件：
x 0，x 0,
0 xdx
.
死亡力、密度函数及生存函数三者关系：
f0(x)xS0(x)
□定理
S 0 ( x )和 f 0 ( x )可由死亡力函数表示，即
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”，但 不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从生存 与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型，用 数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出部分解 释。
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
死亡概率、生存概率与死亡力的关系
结论：
(1)tqx
Fx(t)
t 0
fx(s)ds
t 0s
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保 险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男性公民 未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
3、设 x x 5 1 ,x 0 ,求 S x (t),fx (t),F x (t).
4、设 x t t2 ,t 0 ,求 fx ( t) ,F x ( t) .
5 已知生存函数 S0(x)10 10 2x,0x100
计算 17p19, q 15 36 和 (36) 。
1F0(x) t0 t
1 1F0(x)
f0(x)
注：
（1）从以上关系式可以把 x 解释为一个活到x岁
的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概率）。
（2） x 应满足的条件：
x 0，x 0,
0 xdx
.
死亡力、密度函数及生存函数三者关系：
f0(x)xS0(x)
□定理
S 0 ( x )和 f 0 ( x )可由死亡力函数表示，即
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”，但 不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从生存 与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型，用 数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出部分解 释。
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
死亡概率、生存概率与死亡力的关系
结论：
(1)tqx
Fx(t)
t 0
fx(s)ds
t 0s
生命表计算公式
生命表计算公式一、生命表基本概念。
1. 定义。
- 生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用工具。
它反映了在特定条件下，一个初始数量为一定值的种群，随着年龄增长，其存活数量、死亡数量等的变化情况。
二、生命表的主要函数及计算公式。
（一）存活函数l(x)1. 定义。
- l(x)表示年龄为x时的存活个体数与初始个体数（通常设初始个体数为l(0)）的比例。
2. 计算公式。
- l(x)=(N(x))/(N(0))，其中N(x)是年龄为x时存活的个体数，N(0)是初始个体数。
例如，若初始有100个个体，到年龄x = 5时还有80个个体存活，则l(5)=(80)/(100) = 0.8。
（二）死亡概率函数q(x)1. 定义。
- q(x)表示年龄为x的个体在到达年龄x+ 1之前死亡的概率。
2. 计算公式。
- q(x)=(d(x))/(l(x))，其中d(x)=l(x)-l(x + 1)，即年龄x到x+1之间死亡的个体数与年龄为x时存活个体数的比例。
例如，若l(5)=0.8，l(6)=0.7，则d(5)=l(5)-l(6)=0.8 - 0.7=0.1，q(5)=(d(5))/(l(5))=(0.1)/(0.8)=0.125。
（三）死亡率函数m(x)1. 定义。
- m(x)表示在年龄x时的死亡率，它是瞬间死亡率的一种度量。
2. 计算公式。
- m(x)=(d(x))/(L(x))，这里L(x)是年龄x到x + 1之间存活个体的平均存活数。
一种近似计算L(x)的方法是L(x)=(l(x)+l(x + 1))/(2)。
例如，若l(5)=0.8，l(6)=0.7，则L(5)=(0.8 + 0.7)/(2)=0.75，若d(5)=0.1，则m(5)=(d(5))/(L(5))=(0.1)/(0.75)=(2)/(15)≈0.133。
（四）平均余寿函数e(x)1. 定义。
- e(x)表示年龄为x的个体的平均剩余寿命。
2. 计算公式。
第4章 人口统计学和生命表
4.1.3 人口转变理论与人口金字塔
ACTUARY
当今世界城市化和工业化趋势在中国和印度尤为明显。这两国家成为世界上人口最为 稠密的国家，这两国的变化发展对全球经济的发展都起到了主导作用。
2．人口金字塔 人口金字塔是用以展示一个国家人口的性别和年龄分布状况的类似金字戴的图形，由 许多条形块结合组成。比如下图印度1989年人口金字塔所示，男性人口数量如图右边所 示，女性人口数量如图左边所示。金字塔中年龄组的组间距为5年，0—4岁为第一组，往 后类推。 人口金字塔可以直接根据各年龄组男女人数来确定坐标刻度进行绘制；也可以先计算 出各年龄组男女人数各自所占总人口百分比来确定坐标刻度进行绘制。人口年龄金字塔 具有反映人口年龄结构状况的作用。
进行分类。包含索赔记录和行业数据
4.1.1 人口统计概述
ACTUARY
5．总体特征 任何总体都有大量共有的特征，为达到研究目的，一个总体需满足一个最起码的条件， 即总体中的个体需要有同质性，比如
· 以同样的方式进入这个总体 · 以同样的方式离开这个总体
“同质”是指至少存在一种方式可以辨认出某个个体是属于这个总体的。比如，精算 学家是一直从事精算研究的一群人，这就是同质性的一个特征。考虑一个国家，我们可 以以下面的标准对其进行分组：
第四章 人口统计学与生命表简 介
ACTUARY
生存模型是描述单个个体由生存状态到死亡状态这一过程（或由开始运行到报废或失效状态这一
过程）的数学模型。通常研究机械设备从运行到失效，或动物由生存到死亡的生存模型，其所研究
的精确年龄意义不大，比如一台机械从运行5年至6年间报废的概率的测度并没有多大意义，但对于
· 同一地区 · 同一行业 · 同一工种 · 同一嗜好
3.1生存模型与生命表PPT
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
1
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
2 |2 q 2 2 2p 2 22 q 2 4 S S 0 0 ( (2 2 4 2 ) )(1 S S 0 0 ( (2 2 6 4 ) )) 0 .0 1 9 6
5p20
S0(25) S0(20)
0.9512
1
例8 设(x)的未来寿命的密度函数为
fx(t)
1
，0t
95
95
0,
其他
利息力=0.06， 保额为一个单位的终身寿险的现值
P(Tx u)P(Tx t u)
u px tu px
（3）对 0ht，
QP(Tx
t)|Tx
h)
P(Tx t,Tx h) P(Tx h)
P(Tx t) P(Tx h)
tpxP (T xt)P (T xh )P (T xt|T xh ) hpxt hp x h
1
□例2 已知生存函数 S0(x)(110 x0)1/2,0x100
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
1
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
1
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
2 |2 q 2 2 2p 2 22 q 2 4 S S 0 0 ( (2 2 4 2 ) )(1 S S 0 0 ( (2 2 6 4 ) )) 0 .0 1 9 6
5p20
S0(25) S0(20)
0.9512
1
例8 设(x)的未来寿命的密度函数为
fx(t)
1
，0t
95
95
0,
其他
利息力=0.06， 保额为一个单位的终身寿险的现值
P(Tx u)P(Tx t u)
u px tu px
（3）对 0ht，
QP(Tx
t)|Tx
h)
P(Tx t,Tx h) P(Tx h)
P(Tx t) P(Tx h)
tpxP (T xt)P (T xh )P (T xt|T xh ) hpxt hp x h
1
□例2 已知生存函数 S0(x)(110 x0)1/2,0x100
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
1
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
第2章 多生命生存模型
求两者中第一个死亡者的期望寿命
28
例3答案
1 1 1 30 15 10
f m
e fm e
0
0
0.1t
dt 10
1 1 t t 30 15
q q
1 20 , 50 1 20 , 50
e
0
e
1 dt 1 / 3 30
1 q
1 20 , 50
等价公式
t
pxy t pxy t px t py
16
密度函数
等价公式
fT ( xy ) (t ) fT ( xy ) (t ) fT ( x) (t ) fT ( y) (t )
17
死亡效力函数
18
最后生存者状态整值剩余寿命为k的概率
等价公式
k
qxy k qx k qy k qxy
n
t
t p y y t (1t p x )dt (1 n p y ) t p xy y t dt
0 0
Hale Waihona Puke n q y n q n q n p y n q x
1 xy 1 xy
27
例3
假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性 已知 1 1 f m 30 15
25
o
o
o
o
o
o
o
o
2.6 与死亡次序相关的概率
1 — 在n年之内，(x) 先于(y)死亡 q n xy
1 q n xy f x (t ) f y ( s ) dsdt f x (t ) f y ( s ) dsdt 0 t 0 t
28
例3答案
1 1 1 30 15 10
f m
e fm e
0
0
0.1t
dt 10
1 1 t t 30 15
q q
1 20 , 50 1 20 , 50
e
0
e
1 dt 1 / 3 30
1 q
1 20 , 50
等价公式
t
pxy t pxy t px t py
16
密度函数
等价公式
fT ( xy ) (t ) fT ( xy ) (t ) fT ( x) (t ) fT ( y) (t )
17
死亡效力函数
18
最后生存者状态整值剩余寿命为k的概率
等价公式
k
qxy k qx k qy k qxy
n
t
t p y y t (1t p x )dt (1 n p y ) t p xy y t dt
0 0
Hale Waihona Puke n q y n q n q n p y n q x
1 xy 1 xy
27
例3
假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性 已知 1 1 f m 30 15
25
o
o
o
o
o
o
o
o
2.6 与死亡次序相关的概率
1 — 在n年之内，(x) 先于(y)死亡 q n xy
1 q n xy f x (t ) f y ( s ) dsdt f x (t ) f y ( s ) dsdt 0 t 0 t
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（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型，用 数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出部分解 释。
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？ （2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？ （3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保 险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！） （4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男性公民 未来的生存时间有怎样的影响？
又记
Tx 的整数部分为 K x ，小数部分为 Sx 则
Tx K x S x
同时， Tx 的分布函数、生存函数及密度函数分别用
Fx (t ), S x (t )和f x (t ) 表示。
Tx的分布函数：
Fx (t ) P(Tx t )
生存函数（生存分布）： Sx (t ) P(Tx t ) 1 Fx (t )
t
Байду номын сангаас
qx 1 t px ,
t u
Px t px u px t u px t px u
u|t
u|t
qx u px t qx u ,
qx u px u t px
（3）对 0 h t ，有 t px h px t h px h
■定理证明:
S0 (t )与Sx (t )的关系：
S x (t ) P(Tx t ) P(T0 x t T0 x)
所以有，
P(T0 x t ) S0 ( x t ) P(T0 x) S0 ( x )
S0 ( x t ) S0 ( x) Sx (t ) Sx (t u) Sx (t ) Sxt (u) Sx (u) Sxu (t )
S0 (t ) P(T0 t ), t [0, )
与分布函数的关系： S0 (t ) 1 F0 (t )
(t ) 与密度函数的关系： f0 (t ) S0
新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
Pr(m X n) F0 (n) F0 (m) f 0 (t )dt
从定义中可以看出： px 1 qx
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率 1） t p x: 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再 活t年的概率； 2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
3）u|t qx: 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率，
即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。 特别地，
m n
注：生存函数 S0 (t ) 的性质
1
2
S0 (0) 1
S0 ( x)单调下降，右连续
3
S0 ( x) 0, x 时。
■ 例如：（ 1 ）一个 0 岁的人在 50 岁之后死亡的
概率是 P(T0 50) S0 (50) 岁之前死亡的概率可表示成
；（2）而在60
P( X 0 60) F0 (60)
◆ 注明
u|
qx = u|1 qx .
从定义中可以看出： t px S x (t ) P(Tx t ); t qx Fx (t ) P(Tx t )
□定理1
（1）生存概率
t px
S0 ( x t ) S0 ( x )
（2）对 t 0, u 0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
二、新生婴儿的生存分布
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0 (t ), f0 (t ) (t 0),
F0 (t ) P[T0 t ], f 0 (t ) F0 (t ).
下面引入生存分布概念。
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
(1)
t
px Pr(Tx t ) Pr( X x t X x)
密度函数：
(t ) f x (t ) Fx(t ) Sx
F0 (t )与Fx (t )的关系：
Fx (t ) P (Tx t ) P ( x T0 x t T0 x ) P ( x T0 x t ) P (T0 x) F0 ( x t ) F0 ( x ) 1 F0 ( x)
四、未来生存时间的密度函数 （一些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）px Sx (1) P(Tx 1) 个体(x)在x+1岁仍然生存 的概率；被称为生存概率。 2）qx Fx (1) P(Tx 1) 个体(x)在未来一年内死亡 的概率； 称为死亡概率。
◆ 注明
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
（ 3 ）被保险人在未来某个时期的生死是不确
定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过程， 这个过程有以下特征： （1）存在两个状态：生存和死亡； （2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分为生 存者和死亡者； （3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”，但 不能相反； （4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从生存 与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P(50 X 0 60) F0 (60) F0 (50)
三、 x 岁个体的生存分布
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号
(x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为
一随机变量，记为 Tx ，则 Tx T0 x 。