十)数学分析1考试试题

(十)《数学分析1》考试试题 、叙述题

1叙述闭区间套定理；

2用肯定的形式叙述函数 f(X )在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理；

1、计算题

x 1

1求极限lim ( ------ )x ；

x x 1

x

t si nt d 2

2求摆线

0 t 2

， 在t 处的二阶导数的值;

y

1 cost

dx

四、证明题

3若数列X n 收敛于a (有限数)，它的任何子列 X n k 也收敛于a 。

(十一) 一年级《数学分析》考试题

一(满分1 0分，每小题2分)判断题：

1

设数列｛a *｝递增且(有限)•则有a sup ｛a n ｝.()

2设函数f(x)在点X 。的某邻域U(X 。)内有定义•若对X n U (X 。)，当

X n X 0时，数列｛ f(X n )｝都收敛于同一极限•贝U 函数f (X)在点X 0连续•()

3设函数y

f(x)在点X 0的某邻域内有定义•若存在实数 A ,使X 0时,

f (X 0

x) f (X 0) A x ( x),则 f (X 0)存在且 f (X 0) A .()

4

若 f (x 1) f (x 2) 0, f (x 1) 0 f (x 2),则有 f (x 1)

f (x 2),()

3设 f(x

2

) e x

，求不定积分

f (x)

dx

x

4求不定积分 e x 2

arctan e x

1dx ；

1、讨论题

1讨论函数f (x)

.1 xsin , X X

在X 0点处的左、右导数；

0 ,

X 0

2

设 f n (X )J"

2 , x e.A

(0 e A

)

(n 1、2、)，讨论 f n (x)

1 n x

在e.A 上的单调性的最大值点;

1用定义证明

lim x x 1

2x 1

2证明：方程x 3 3x c

0，(其中c 为常数)在 0,1上可能有两个不同的实根;

g(x)dx G(x) c .则当 F(x) G(x)时,

有 f (x) g(x).

()

(满分1 5分，每小题3分)填空题

J x 3

2

函数

f(x)

帀石的全部间断点是

.

2

5.

f (x)dx sin x c, xf (x)dx

(满分3 6 分，每小题6分)计算题

4

2求函数f(x) 4x (5x 1)5的极值

dx x .x 2

1

4 ln(x 1 x 2 )dx .

x 3 ~2 -~ x 2x

折起来做成底为正三角形的盒子 •求最大体积

x 4

三 (满分7分)验证题：用“ ”定义验证函数 f (x) -一4在点X 。 2连续

5x 2

四(满分3 2分，每小题8分)证明题：

1设函数f 在区间［0,2a ］上连续,且f(0) f ( 2a ).试证明：

c ［ 0 , a ］，使 f ( c) f (c a).

2设函数f (x)在区间|上可导，且导函数 f (X)在该区间上有界•试证明 函数f(x)在区间I 上一致连续•

5 设 f (x)dx F(x) c, a n

6n 1

1

k 1

.. 9n 2

k

lim a n

n

x0 /V -T

叫

Hh x0

x0

4.

函数 f(x) x 3x

9x 1的既递减又下凸的区间是

00

3

x11 -x 1

1

-dx . 5

6在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为 x 的四边形(如右上图),然后

2

3设函数f (x)在区间［0,a］上二阶可导，且f(a) 0. F(x) x2f(x).

试证明：(0,a),使F ( ) 0.

4试证明：对X i, X2 , , X n R,有不等式

(十二) 一年级《数学分析》考试题

判断题(正确的记(V )，错误的记(X))(共18分，每题3分)：

1.设f (x)在［a,b］上连续，M 与m分别是f (x)的最大值和最小值，贝U对

于任何数c(m c M),均存在[a,b],使得 f ( ) C O ( )

2.设f(X), g (t)在(a, b)内可导，且f(x)g(x),则

f '(x) g'(x)。()

3.设｛ X n｝的极限存在，｛y n｝的极限不存在，则{ X n y n}的极限未必不存

在。 ()

4•如x X。是函数f(X)的一个极点，贝U f'(X o) 0 。()

证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。(10分)

证明：R n中任意有界的点列中必有收敛的子点列。(10分)

四计算下列极限: :(9 分)

1

(x.y li)m(0,0)Sin(

x

Xy);

2

lim

(X, y)

(x 2

(0,0)

2 x2 y

y )

3lim

(X , y )

log( x e ) (1,0)v X 2 2 ；y

五计算下列偏导数：(10分)