十)数学分析1考试试题

(十)《数学分析1》考试试题 、叙述题
1叙述闭区间套定理；
2用肯定的形式叙述函数 f(X )在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理；
1、计算题
x 1
1求极限lim ( ------ )x ；
x x 1
x
t si nt d 2
2求摆线
0 t 2
， 在t 处的二阶导数的值;
y
1 cost
dx
四、证明题
3若数列X n 收敛于a (有限数)，它的任何子列 X n k 也收敛于a 。

(十一) 一年级《数学分析》考试题
一(满分1 0分，每小题2分)判断题：
1
设数列｛a *｝递增且(有限)•则有a sup ｛a n ｝.()
2设函数f(x)在点X 。

的某邻域U(X 。

)内有定义•若对X n U (X 。

)，当
X n X 0时，数列｛ f(X n )｝都收敛于同一极限•贝U 函数f (X)在点X 0连续•()
3设函数y
f(x)在点X 0的某邻域内有定义•若存在实数 A ,使X 0时,
f (X 0
x) f (X 0) A x ( x),则 f (X 0)存在且 f (X 0) A .()
4
若 f (x 1) f (x 2) 0, f (x 1) 0 f (x 2),则有 f (x 1)
f (x 2),()
3设 f(x
2
) e x
，求不定积分
f (x)
dx
x
4求不定积分 e x 2
arctan e x
1dx ；
1、讨论题
1讨论函数f (x)
.1 xsin , X X
在X 0点处的左、右导数；
0 ,
X 0
2
设 f n (X )J"
2 , x e.A
(0 e A
)
(n 1、2、)，讨论 f n (x)
1 n x
在e.A 上的单调性的最大值点;
1用定义证明
lim x x 1
2x 1
2证明：方程x 3 3x c
0，(其中c 为常数)在 0,1上可能有两个不同的实根;
g(x)dx G(x) c .则当 F(x) G(x)时,
有 f (x) g(x).
()
(满分1 5分，每小题3分)填空题
J x 3
2
函数
f(x)
帀石的全部间断点是
.
2
5.
f (x)dx sin x c, xf (x)dx
(满分3 6 分，每小题6分)计算题
4
2求函数f(x) 4x (5x 1)5的极值
dx x .x 2
1
4 ln(x 1 x 2 )dx .
x 3 ~2 -~ x 2x
折起来做成底为正三角形的盒子 •求最大体积
x 4
三 (满分7分)验证题：用“ ”定义验证函数 f (x) -一4在点X 。

2连续
5x 2
四(满分3 2分，每小题8分)证明题：
1设函数f 在区间［0,2a ］上连续,且f(0) f ( 2a ).试证明：
c ［ 0 , a ］，使 f ( c) f (c a).
2设函数f (x)在区间|上可导，且导函数 f (X)在该区间上有界•试证明 函数f(x)在区间I 上一致连续•
5 设 f (x)dx F(x) c, a n
6n 1
1
k 1
.. 9n 2
k
lim a n
n
x0 /V -T
叫
Hh x0
x0
4.
函数 f(x) x 3x
9x 1的既递减又下凸的区间是
00
3
x11 -x 1
1
-dx . 5
6在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为 x 的四边形(如右上图),然后
2
3设函数f (x)在区间［0,a］上二阶可导，且f(a) 0. F(x) x2f(x).
试证明：(0,a),使F ( ) 0.
4试证明：对X i, X2 , , X n R,有不等式
(十二) 一年级《数学分析》考试题
判断题(正确的记(V )，错误的记(X))(共18分，每题3分)：
1.设f (x)在［a,b］上连续，M 与m分别是f (x)的最大值和最小值，贝U对
于任何数c(m c M),均存在[a,b],使得 f ( ) C O ( )
2.设f(X), g (t)在(a, b)内可导，且f(x)g(x),则
f '(x) g'(x)。

()
3.设｛ X n｝的极限存在，｛y n｝的极限不存在，则{ X n y n}的极限未必不存
在。

()
4•如x X。

是函数f(X)的一个极点，贝U f'(X o) 0 。

()
证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。

(10分)
证明：R n中任意有界的点列中必有收敛的子点列。

(10分)
四计算下列极限: :(9 分)
1
(x.y li)m(0,0)Sin(
x
Xy);
2
lim
(X, y)
(x 2
(0,0)
2 x2 y
y )
3lim
(X , y )
log( x e ) (1,0)v X 2 2 ；y
五计算下列偏导数：(10分)
/ 2
e x(x
x arcta n
定义，求
y 及y'' 八( 11分)在椭球
设函数 f(x,y), g(x,y)
是定义在平面开区域
G 内的两个函数，在
g f
y
G 内均有连续的一阶偏导数，且在
又设有界闭D G ，试证：在
D 中满足方程组的点至多有有限个。

(十三)一年级《数学分析》考试题
判断题(正确的记(V )，错误的记(X))(共18分，每题3分)：
1设f (x)在［a,b ］上连续，M 与m 分别是f (x)的最大值和最小值，则对 于任何数c(m
c M )，均存在 ［a, b ］，使得f ( ) c 。

()
5.设 f(x),g(t)在(a,b)内可导，且 f (x) g (x),则
2 y_ b 2 内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何? 九、(10分)
2 x ~2 a
2 z ~2
c
过其上的点
求椭球面 2
X 2 a
2
y b 2
2 z
~2 c
(
X 。

,z 0 ) 处的切平面的方程。

(2)
log( X 1
X 2
六(10分) 计算下列函数
的 Jacobian
Jf
(1) f ( X, y , z)
y sin( yz
⑵ f (X 1, X 2,
X )
(xi
2
X
2
2、1 /2
X n )；
七(io 分)设隐函数
y(x ) 由方程
(1)
,y )
十？-
G 内任意点处，均有
十、(10分)
f '（X ） g'（x ）。

（）
6. 设｛X n ｝的极限存在，｛ y n ｝的极限不存在，则｛X n 『n ｝的极限未必不存 在。

（）
7.
如X
X 。

是函数f （X ）的一个极点，贝U f'（X o ）
0 。

（）
8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。

（）
9. 对于函数X
cosx ,由于Hm
（
x cosx ）'讪。

血 X ）不存在，根据洛必达法
X
x x' x x cosx
制，当X 趋于无穷大时，
的极限不存在。

（）
X
计算下列极限：（18分）
lim (nsin n
n
lim (〔sin n)； 一 n
f (x) (e x
log 3 x) arcsinx ；
⑷X t 严,
y t cost;
lim n
(
n [1
lim X o
sin x
X - lim X
x(ln( x a) lnx)；
x 2 ~2~
-- o cos x e 4 — X
计算下列函数的导数： 00
(20 分)
(1) (2) f(x) ln X (2x 1)；
(3) 2ysin x xln y 0,
(5 )设f (x)二次可导，求(f (arcta nx))''。

四计算不定积分（12分）：
如果函数f (x)在([a,)可微，并且lim f'(x)
，
x
)上连续，且lim f(x) A (有限数)，则f (x)在
x
[a,)上一致连续。

八(8分)求母线为|的圆锥之最大体积。

(1)
(x 1)(x 2) (2) x sin x ,
dx
1 cosx
(3) x e
sin 2 xdx ；
dx ,
(4)
x.2
dx。

e
20
dx
；
五(8分)求函数f (x) e sinx 在x
0处的5次Taylor 多项式:
则 lim
0。

x
六(8分)用Lagrange 中值定理证明:
(8分)证明：若函数f(x)在[a,。