Hardy空间上极大算子的加权有界性

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Hardy空间的原子分解及其上算子的有界性

Hardy空间的原子分解及其上算子的有界性【摘要】设00，关于φ的极大函数M■定义为M■f（x）=sup■φ■*f（x），其中f是任意的缓增分布S′，我们称f∈H■（R■），如果M■f（x）∈L■（R■）。

Fefferman和Stein在文献[1]中还给出了非切向极大函数和大极大函数等刻画，并断言上述定义与φ的选取无关（只要■φ≠0）且H■是拟Banach空间。

显然当P>1时，H■=L■。

我们称Y是p■次拟Banach空间，如果其对应的拟范数‖·‖■满足三角不等式：‖f+g‖■■≤‖f‖■■+‖g‖■■，其中f，g∈Y。

注意到1次拟Banach空间就是Banach空间。

Coifman在文献[2]给出了原子和原子Hardy空间的定义。

定义设0<p≤1≤q≤∞，p<q，s≥s■，其中s■=[n（1/p-1）]是不超过n（1/p-1）的最大整数。

我们称函数a为（p，q，s）原子，如果a∈L■（R■），且满足：（1）supp a？奂Q；（2）{■■a（x）■dx}■≤Q■；（3）■a（x）x■dx=0，对一切多重指标α满足α≤s。

容易证明（p，q，s）原子属于H■。

反之，f是H■中的缓增分布S′当且仅当f=■λ■a■，其中a■是（p，q，s）原子，s≥s■且■λ■■<∞。

分解f=■λ■a■的含义是在缓增分布意义下说的。

定义‖f‖■=inf{（■λ■■）■}，其中下确界取遍上述所有的分解。

可证上述定义的两种拟范数是等价的，即‖f‖■≈‖f‖■。

定义有限原子Hardy空间H■■是由所有（p，q，s）原子的有限线性组合的全体，并赋予相应的拟范数‖f‖■=inf{（■λ■■）■，f=■λ■a■}，其中下确界取遍上述所有的分解。

该空间在H■里是稠密的。

特别的，我们定义H■■是由所有连续（p，∞，s）原子的有限线性组合的全体组成，并赋予对应的范数‖f‖■。

当1<p<∞，很多线性算子和次线性算子在L■上有界，但是p=1时并不成立。

Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性

Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性张建林【摘要】利用Hardy空间上的原子分解和Cauchy不等式证明了向量值极大算子在Hardy空间上的有界性,并推广到向量值极大算子的加权情形.【期刊名称】《玉林师范学院学报》【年(卷),期】2010(031)002【总页数】3页(P16-18)【关键词】加权Hardy空间;向量值Hardy-littlewood极大算子;有界性【作者】张建林【作者单位】中原工学院,数学系,河南,郑州,450007【正文语种】中文【中图分类】O175Abstract:The boundedness of vector-valued maximal operators is obtained on Hardy space. This result is generalized the weighted vector-valued maximal operators, by using atom decomposition and Cauchy inequality. Key words: Weighted Hardy space; Vector-valued Hardy-littlewood maximal operators; boundedness设函数f(x)为Rn上局部可积的，即f(x)∈Lloc(Rn)，x∈Rn，令Q是Rn中含x 的任意球体或方体，称为f(x)的定义在Rn上的Hardy-Littlewood极大函数，简记为H-L极大函数，称M为H-L极大算子. 关于该算子在Lebesgue空间以及Hardy空间的性质可以参看文献[1]. 但是关于H-L极大算子在Hardy空间（0〈P≤1）时的性质的研究还不够深入，本文利用Hardy空间中的原子分解证明了向量值H-L极大算子的Hp-Lp 有界性，并把它推广到加权情形. 关于向量值空间Lp(lr)的定义可以参阅文献[2]，[5].在本文中，Hp(Rn)表示Rn上的Hardy空间，‖‖p,ω为该空间的范数，ω(x)为加权函数. C为常数，但各处不尽相同.我们知道，如果1〈p〈∞，f∈Hp，则有Hp=Lp，我们得到为了得到我们的结果，我们需要如下引理[3].引理1 设φt为Rn中中心在原点，半径为t的球面上的正规面测度，φt为φ的一个伸缩函数，即据有关知识[2]得知：引理2 当|x|≥2|y|>0时，不等式和成立.利用上述引理，我们可以得到定理1 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，那么序列Mf={Mf1,Mf2, Mf3, ..., Mfn, ...}∈Lp，并且在加权hardy空间上，向量值极大算子的有界性也可类似得到.定理2 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，ω(x)为权函数，则定理1的证明首先假设0〈p≤1，由于 f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp(lr)，我们只要证明任意一个fj( j≥1)在Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们使用原子分解，得到那么，对任意一个那么所以只需要对证明不等式：设p-原子a的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性[4]知，可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，我们利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理1得证.定理2的证明假设0〈p≤1，由于f ={f1, f2, ..., fn, ...}∈Hp(lr)，所以，对于非负权函数为ω(x)，我们只要取任意一个fi，证明极大算子在加权Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们同样使用原子分解的方法，只需对任意一个而那么所以此时只需要对证明不等式：成立即可，其中ω∈Ap.设p-原子aj的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性知，我们可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理2得证.【相关文献】[1] Stein E M. Harmonic analysis[M]. Princeton: Princeton University Press, 1993.[2] 周民强. 调和分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社, 1999.[3] 韩永生. 近代调和分析方法及其应用[M]. 北京：科学出版社，1999.[4] Muckenhoupt. Weighted norm inequalities for Hardy maximal function[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 165:207～226[5] 党健，张建林. 虚数阶Laplace算子的向量值估计[J]. 洛阳大学学报，2006，2:26-28.。

多线性分数次积分在Herz型Hardy空间上的有界性

．
在弱Ｈａｄ空间上的有界性。中齐次Ｌｐｃｉ空ｒｙ其ｉｓｈｔｚ
ｏ＿
＜ ∞｝
） △＿＝（．斗ｈ一０）） △弋， ≥１．
这里，
△
）＝
＋一，）／）△ （
在文献中，家诚证明的方法是直接利用多线性分数次积分％，，所对应的分数次积分肌控制兰被的方法来估计，进一步还可以通过，，。的有界性直接推出ｊ的有界性，可推广到含有多个余项的Ｉ．，并
其中
Ｉｌ，＝ＩＢｌ（＋Ｉｋ０）ｌｌ琦｛ｆ。０ｆｃｌ１ ∑２ｌ／ｘｆｆｃｐｘｌ
定义１非齐次Ｈｒ型Ｈａｄ间日，）。５ｅｚｒｙ空（定义为
日蚜Ｒ） ∈Ｓ（ “： ∈蚜Ｒ）（ “ ：｛Ｒ）Ｇ（（ “｝
２０年０８
定义１设０ｐ ∞，＜＜ｎ１／）＜Ｇ是的Ｇａｄ极大函数，。３＜＜１ｇ ∞，（ —１ｑｓ ∞，（ｒｎ齐次Ｈｒ型Ｈａｄ空ｅｚｒｙ间日脚，Ｒ）义为 “定（
蚜Ｒ）厂Ｒ）Ｇ ∈留）（＝｛ ∈Ｓ（：（（）
其中ｓ是缓增函数空间。一步定义进
Ｉ一）】 ∽ Ｉ（）Ｊ川ｃ＝ｌＧＩ．２００６年，兰家诚 ¨证明了Ｄ ∈Ａ（＜＜）Ｍ￣０ｆ Nhomakorabea１时ｌ
间定义为
Ａ＝Ｉ：Ｉｌ＝ｓ ’ ｆｌｕｆｌｐ

Hβ ∞空间到Bα空间的加权微分复合算子的有界性和紧性

解析函数全体，满足（一ＩＩ）且１ｚ。ｚＩ。；（上范数的定义为ｌ＝ｓＰ１一ｌｌ）ｆｚＩ）＜。 △）Ｉ川ｕ（ｌ），ｚ（）（）＜∞的函ＩＩ对０＜＜∞ ，上 —Ｂｏｈ空间是Ｈ（ＡｌｃＡ）中满足ｌ＝ｉ０Ｉｕ（一ｌ州ｆ）＋ｓｔ１（？
数全体，为．记而作为的子空间，是中满足ｌ１一ＩＩＩｌ０的函数全体。ｉｍ（ｚ）厂（）＝
设 ∈ Ａ）记ｃＨ（，为ｎ（ａ）上的复合算子：）＝（（）；ｃ厂） ∈Ｈ（，Ｄ为日（Ａ）设 △）上的
微分算子：ｆｚ＝则ｎ（上的加权微分复合算子ｕＣ定义为：ｏｄ（）ｕ（）Ｏ（）厂（）ａ）Ｄ。￣ｃｚ＝（）（）
（）．
本文将要考虑算子ｕ从ｚ到ＢＤＣ空间的有界性和紧性的充分必要条件。
１主要定理及证明
第３１卷
第２期
湖北师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｕｅＮｒｌｎｅｓｙ（ａｒｌｃｅｃ）ｏｒａｏｂｉｏｍａＵｉｒｉＮｔａｉｎｅＨｖｔｕＳ
Ｖ０．１３１
Ｎｏ２，．２０１１
引理１ … 设Ｘ和Ｙ是Ｂ或者
在ｙ上一致收敛于０．定理１假设Ｏ＞ｔｏ且是单位圆盘上的解析自映射，ｕＣ：则Ｄ是有界算子当且仅当
空间，则算子ｕＣ：ｙ是紧算子当且仅当ｕＣ：ｙ是ＤＤ

Marcinkiewicz积分高阶交换子在加权Herz型Hardy空间中的有界性

＜。，是（，）。ｐｐ型的。近来，丁勇，范大山和潘翼彪在［３３中证明了如果ｎ∈Ｈ一）那么，于１（，对＜Ｐ＜。，仍然是（）的有界算子．。上
另一方面，１９在９０年，Ｔｏｃｉｓｙ和ＳＷａｇ考虑了ＭａｃｋｅｃＡ．ｒｈｎｋ．ｎｒｉｉｚ积分交换子的有界性．ｎｗｉ
Ｍａｃｋｅｉｚｒｉｉｗｃ积分交换子定义如下：ｎ
ｚ一
（
ｄ
－收稿日期：２０ — ５１０７０ —１
基金项目：国家自然科学基金（０６０７资助．１２１０）作者简介：丽娜（９２）女，士研究生，究方向为调和分析．马１８一，硕研
ｏｅｇｅｒ — ａｄｐａｅｎＷｉｈｔｄＨｅｚＨｒｙＳｃｓ
ＭＡ — Ｌｉｎａ
（ｏｌｅｆＭａｈｍａｉｎｙｔｍＳｉｎｅ，ｎａｇＵｎｖｒｉＵｒｍｑ，Ｘｉｉｎ３０６ｈｎ）ＣｌｇｔｅｔｓｄＳｓｃｅｃｓＸｉｆｎｉｅｓｙ，ｕｉｅｏｃａｅｉｔｎａｇ８０４．Ｃｉａｊ
维普资讯
第２５卷第１期
２００８年２月
新疆大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｊｎｉｅｓｙＮａｕａＳｉｃｄｔｎｏｒａｏｎｉｇＵｎｖｒｉ（ｔｒｌｃｅｅＥｉｏ）Ｘａｔｎｉ
维普资讯
５６

广义Calderon-Zygmund算子交换子在加权Hardy型空间的有界性

关键词：广义Ｃｌｒ —ｙｍｎａｅｎＺｇｕｄ算子；ｉｃｉ空间；ｄ６Ｌｓｔｐｈｚ交换子；加权Ｈｒａｙ空间；ｄ权函数中图分类号：１４２０７．文献标志码：文章编号：６１４９２１）６０７４Ａ１７．８（０１０．９３５９６
Ａｂｔｃ：ＵｓｇｔｅａｏｃｄｃｍｐｓｉｎｏｅｇｔｄＨａｄｐｃｓｔｈｗｔｅｂｕｄｄｅｓｏｏｓｒｔａｉｈｔｍｉｅｏｏｉｏｆｗｉｈｅｒｙｓａｅｓｏｈｏｎｅｎｓｆｃｍｍｕａｏｓｎｔｏｔｔｒｇｎｒｔｄｂｈｉｃｉｔ ‘ ｎｔｎａｄｇｎｒｌｅｌｅ６ — ｙｍｕｄｏｅａｏｎｔｅｗｅｇｔｄＨａｄｙｅｅｅａｅｙｔｅＬｐｓｚｆｃｉｎｅｅａｉｄＣａｄｒｎＺｇｎｐｒｔｒｏｈｉｈｅｒｙｔｐｈｕｏｚ
．
（）１
Ｎ，有
’
收稿日期：０１０．９２１－１１．
作者简介：孙
杰（９０）女，１８～，汉族，硕士，讲师，从事调和分析的研究，－ａ：ｊ０１＠１３ｃ．Ｅｍｉｓ０８６６．ｏｌ８ｍ
基金项目：黑龙江省自然科学基金（批准号：，０１）？０９３和牡丹江师范学院科学技术研究项目（２批准号：Ｚ００５Ｋ２１０）
ｓａｅ，ｅｏｔｎｄｔｅｃｍｔｏｓａｅｂｕｅｅｒｍｐｃｓｗｂａｅｈｏｍｕａｒｒｏｎｄｄｆｉｔｏ

Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性

。
≤
：
）
并盟
ＩＪ
也可类似得到．
ｃｆｌ
ｃＩｎ－ ∑尺ｌｌ一ｆ＋；
由于Ｊ＞尺Ｉ２和ｐ０＞，所以
在加权ｈｒｙ间上，向量值极大算子的有界性ａｄ空定理２设函数列ｆ＝，， … ． … ．∈／，｝－Ｆ，
ｆ，）ａ０那Ｍｉ，以需 ∑慨证明不等式：ＲＩｊｙ，￣ — ＝Ｙｎｆ∑ 所只要
对∑ 证明不等式：
ＪＪ
ｆａ ∑Ｍｊｆ
ＩＪ
Ｉ口∞
Ｃ
ｌａＣ ∑Ｍｌｌ
成立即可，其中国ｅＡ．
设Ｐ一原子ａ的支集在方体Ｑ上，且满足
【党健，张建林．虚数阶Ｌｐｃ算子的向量值估计［．阳５】ａｌｅａＪ洛１大学学报，２０，２２－８０６：２．６
１ＳｅＨａｍｎｃｎｌｉＭ］Ｐｉｅｏ：ｒｃｔｎｌｔｉＥＭ．ｒｏｉａａｓ［．ｒｃｔｎＰｉｅｎｙｓｎｎｏ
设ｐ一原子ａ的支集在方体Ｑ上，且满足ｊ
（壤ｌ和Ｚ。利引ｌ９（以ｌ．用ｌ）ｌ）（）ｙ＝
我们分解
和
）的
∞
，根据平移不变性知，我们可以设Ｑ的中心理２，根据平移不变性知，可以设Ｑ的中心在原点用引理２
＝
Ｉ（＋Ｊ（慨Ｊ。慨Ｊ））（））出莩出Ｐ
Ｉ＋Ⅱ
对于Ｉ，我们利用Ｌ（上的等距同构和尺）Ｃｕｈ — ｃｗｒ：ａｃｙＳｈａｚｔ￣等式，得到：

某些极大交换子在非倍测度Hardy型空间上的有界性

∗
1
!
1 Introduction

2
We will work on the d-dimensional Euclidean space R d with a non-negative Radon measure µ which only satisﬁes the following growth condition that there exists a constant C 0 > 0 such that µ(B (x, r )) ≤ C0 r n (1.1) for all x ∈ Rd and r > 0, where B (x, r ) = {y ∈ Rd : |y − x| < r }, n is a ﬁxed number and 0 < n ≤ d. The measure µ is not necessary to satisfy the doubling condition. The doubling condition, namely, there exists a constant C > 0 such that µ(B (x, 2r )) ≤ Cµ(B (x, r )) for all x ∈ supp (µ) and r > 0, is a key assumption in the analysis on spaces of homogeneous type. However, during the last several years, considerable attention has been paid to the study of function spaces and the boundedness of Calder´ on-Zygmund operators with non-doubling measures and many classical results have been proved still valid if the underlying measure µ is substituted by a non-doubling Radon measure as in (1.1); see [6, 13, 14, 15, 8, 9, 10] and their references. The analysis with non-doubling measures played an essential role in solving the long open Painlev´ e’s problem by Tolsa in [16]; see also [18] for more background. The main purpose of this paper is to establish the boundedness of a class of maximal Calder´ on-Zygmund operators and maximal commutators which are the variant of the maximal commutators generated by Calder´ on-Zygmund operators and RBMO(µ) functions in some Hardy-type spaces. Before stating our results, we ﬁrst recall some necessary notation and deﬁnitions. Let K be a function on Rd × Rd \ {(x, y ) : x = y } satisfying that for x = y , |K (x, y )| ≤ C |x − y |−n , and |K (x, y ) − K (x, y )| + |K (y, x) − K (y , x)| dµ(x) ≤ C,

拟微分算子在H^(p)(ω)上的有界性

2021,41A (2):303-312数学物理学报http: // a ct a 拟微分算子在H (3)上的有界性1温泳铭2侯宪明**收稿日期：2020-09-17;修订日期：2020-10-09E-mail: **********************; *********************基金项目：闽南师范大学校长基金(KJ2020020)和福建省中青年教师教育科研项目(JAT200331)Supported by the President's Fund of Minnan Normal University (KJ2020020) and the Scientific Research Project of the Education Department of Fujian Province (JAT200331)*通讯作者(1闽南师范大学数学与统计学院福建漳州363000; 2临沂大学数学与统计学院山东临沂276005)摘要：该文给出了拟微分算子為在加权Hardy 空间H p )上的有界性，改进和推广了已有的相关结果.关键词：拟微分算子；权；Hardy 空间.MR(2010)主题分类：42B30; 42B35; 47G30 中图分类号：0174.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2021)02-303-101引言与主要结果本文研究拟微分算子爲在加权Hardy 空间H p 3)上的有界性.首先回顾一下相关的定义和研究背景.定义1.1设m e R , p" e ［0,1］,符号函数/(x,£)定义在X 上称/(x,£)属于 Hormander 类S 爲(R n )，若对每个多重指标a,0 e N n ，存在常数C> 0使得\dX d f a(x,<) < C (1 + |£|)m -恥*31.定义1.2给定符号函数/和f e C 尸(R n )，拟微分算子爲定义为JR n其中f 为f 的傅里叶变换.众所周知，拟微分算子在偏微分方程，量子场，指标理论和调和分析理论研究中起着重要作用，可参看文献［2, 12, 15-16, 18］等.拟微分算子在函数空间的有界性研究是调和分析理论的一个热点问题之一.早在1973年，Feffermn ［12〕就研究了其在L 空间的有界性. 随后，相应的加权估计也被考虑，如：当丄e A p/2 (2 < p< x ), a e S -n (1-P)/2 (R n )且 0 < 8 < p < 1 时，Chanillo 和 Torchinsky ［7］首先证明了爲是 L p (u )有界的；Michalowski, Rule 和Staubach ［19］则考虑了 p = 8的情形，并在文献［20］中进一步证明了当0 < 8 < 1,304数学物理学报Vol.41A 0<p<1,a G S為(R n)且m<-n(1-p)时，巧是叫)有界的，其中3G A p.更多关于爲加权"有界性的工作，可参看文献［3-4,6］及其参考文献.另一方面，当P G(0,1］时，Hardy空间作为L p(R n)的替代空间，吸引了大批数学家的关注.Stein,Weiss,Coifman和Fefferman［8-10'13〕首次对实Hardy空间进行了系统的研究.紧接着，Garcia-Cuerra［14〕引进了加权Hardy空间，Stromberg和Torchinsky^〕则进一步系统地研究了加权Hardy空间.拟微分算子在Hardy空间上的有界性则是Alvarez和Hounie［1〕首次建立，准确的说，当a G S^且0<p<1,0<d<1和m<-n(1-p)/2+min{0,n(p—5)/2}时，巧是从H)到L k(R n)有界的.YabutaH还有Deng等人将前面的结果推广到了H&).Hournie和Kapp［17〕证明了当a G S為时，爲是局部Hardy空间h x(R n)到L1(R n)的，其中0<5<p<1,该结果同样推广了文献［1］中的结果.在2012年，Xiao, Jiang和Gao』2〕将文献［17］中结果推广到了双线性情形.本文将建立如下主要结果.定理 1.1令n/(n+1)<p<1和a G S為(R n),其中p G(0,1］,5G［0,1).若-(n+1)<m<-(n+1)(1-p)以及3G A p(”+“/”；则存在常数C〉0使得必/<C||f||h”s注1.1在文献［23］中，Yabuta建立了爲在H讼)上的有界性，其中a G S^以及3G A l.另外在文献［11］中，Deng等人在假设a G S為(R n)时也得到了同样的结表，其中p G(0,1］,5G［0,1),-(n+1)<m<-(n+1)(1—p)以及3G A p且p G［1,1+e/n), e=min{1,(1+m+n)/p}.从定理1.1的条件可以看到，我们得到了比文献［23］更好的p,m 范围，以及比文献［11,23］更弱的权条件.所以，定理1.1可看作已有的结果改进；同时，当P<1时，相应的结论是新的.在给出下一个结论前，先给出T；1=0的定义.定义1.3令a G S為(R n),其中p G(0,1］,5G［0,1)以及爲是拟微分算子.称T：1= 0若对所有具有紧支集甬/G L q(R n)(1<q <Q且满足人”/(x)dx=0的函数均有人”T a f(x)dx=0成立.定理 1.2设a G S為(R n),其中p G(0,1］,5G［0,1).假设pn-(n+1)<m<-(n+1)(1-p)和TJnO.若3G A p“/”且“=(1+n+m)/p，则对<P<1,存在常数C>0使得忆舁||h”3)<C||f||h”s下文组织如下：在第2节我们给出一些相关的定义和辅助引理.定理1.1和定理1.2的证明分别在第3节和第4节给出.最后我们给出一些记号说明.若f<Cg和f<g</，则分别记为/<g,/~g.设3G A g,记q w:=inf{p G［1,g):3G A p}.对任意的球B:=B(x o,r)C R n,x o和r分别表示球B的中心和半径，0B3(y)dy简记为3(B).S(R n)和S/(R n)分别表示Schwartz函数全体和缓增分布全体.对a G R,表示不超过a的最大整数.2预备知识本小节将给出必要的定义及引理.No.2温泳铭等：拟微分算子在叫)上的有界性305权•是定义在时上的非负局部可积函数.设1<p<2称•属于A p权若存在常数C使得3(y)1-p'dy)"<C,supQ其中1/p+1少=1且上确界取遍所有包含在时中的方体Q.若p=1,称3G A i若存在常数C使得<CL x其中M是Hardy-Littlewood极大算子.若p=g定义A*:=U A”.本文经常使用到1<p<^权的倍测度性质，即，对于入〉1以及任意的球B,若3G A p,则3(入B)<入必呵每3(B).接下来，我们给出加权Hardy空间的一些事实•设0G S(R n)且人”讽x)dx=1,/G S'(R"),定义极大函数M为(x)=sup|f*0t(x)|,t>0其中机(x)=i~n^(x/i).则对⑴&A*和0<p<2加权Hard y空间H p(e)定义为H p(3)={f G S'(R"):Mf G L p(3)},其中拟范f||h”3)=||l”s定义 2.1设3G A*,0<p<1,q G仏,g]以及s G N且s>|_(血/p-1)n J.称定义在R"上的函数a是(p,q,sL-原子若下面三个条件成立(1) a支在B(x o,r);(2)岡匕3)<3(B(x o,r))1/q-1/p;(3)对所有满足|a|<s的多重指标a有J'B(X0,r)a(x)x a dx=0.Bownik,Li,Yang和Zhou[5〕给出了下面的引理.引理 2.1[5]设3G A*,0<p<1,s G N且s>[(q w/p-1)n J.若q w<q<g且T:H需s(3)t L p(3)(H p(3))是线性算子满足sup{||Ta||L”3)}<g,其中a是任意的(p,q,sL-原子，H需s(3)是所有(p,q,s)w-原子的有限线性组合全体.则存在从H p(3)到L p(3)(H p(3))的有界线性算子T,且该延拓是唯一的.最后给出一些与拟微分算子有关的引理.引理2.2站]设a(x,e)G S^R"),其中0<p<1,0<d<1.则T a的核在远离对角线{(x,x):x G R"}时是光滑的且可以表示为K(x,y)=l叫/e2ni("-y)0(x,g)0(eg)d&―0丿R n其中0G C*(R")且当|g|=1时满足讽。

hardy算子在f_pqsrrn空间中的有界性

Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性是一个十分重要的研究课题，它主要
关注研究Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性问题，以及它们的应用。

在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中，Hardy算子的有界性可以通过判断它们的L^p-L^q范数
的有界性来判断。

一般来说，如果给定的L^p-L^q范数有界，则Hardy算子在
f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中就具有有界性。

Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性是一个十分重要的问题，它有助于我们更好地理解这些空间中的算子的有界性。

此外，它也可以帮助我们更好的理解空间中的函数的性质。

此外，Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性也有助于我们更好地研究空间
中的函数的复杂性。

例如，可以通过研究Hardy算子有界性，来更好地研究函数的复杂性。

综上所述，Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性具有重要的意义，不仅可
以帮助我们更好地理解空间中的函数的性质、复杂性，而且可以为研究这些空间中的算子
的有界性提供一个重要的依据。

加幂权Hardy算子的（L1, Lq）-有界性的充要条件

加幂权Hardy算子的（L1, Lq）-有界性的充要条件
聂旭东;王士模;燕敦验
【期刊名称】《中国科学院大学学报》
【年(卷),期】2013(030)006
【摘要】分别得到使得n维空间上 Hardy算子Hn及其对偶算子Hn＊,从L｜x｜α1（ R n）到L｜x｜βq（Rn）（1≤q〈∞）有界的关于α和β所需满足的充分必要条件.
【总页数】4页(P724-727)
【作者】聂旭东;王士模;燕敦验
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O174.1
【相关文献】
1.一类平方函数的加幂权有界性 [J], 应益明
2.Hardy-Littlewood极大算子的双权有界性 [J], 隋秋月
3.Heisenberg群上加幂权Hardy算子的精确估计 [J], 陈国霁;董建锋
4.加权双线性Hardy算子在加幂权Lp空间中的最佳常数 [J], 肖甫育
5.局部紧Vilenkin群上加幂权的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式 [J], 蓝森华;陆善镇
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从上半平面Hardy空间到增长型空间和Bloch空间上的加权复合算子的有界性

＞
Ｉ
。。
＋ｙＬ）ｄ。厂ｏ＋。１，
～
（）Ｉ。ｍｗ
＿７ｒ
０，一～．
。。
ＩＷＺ — Ｉ
令Ｗ＝Ｕ＋ｉ，＋ｉ，ｖＺ＝ｙ则可得
ＪＺ一面Ｊ（）【 ≥ Ｖ＋。（一钆＋（）Ｙ＋＂）］
弓理２１设ｆ∈Ｈ。Ⅱ ），０Ｉ．（＋贝有Ｉ（））≤ｃｌｔ￣＋ｆｎ（Ｉｌ（）ｌＨｎｆ证明证明可参阅文献［０．１】定理２１设是 Ⅱ＋上的解析自映射，．ｕ∈Ｈ（）则ｕ是Ｈ（）Ａ Ⅱ＋的有界算子ｎ＋，。ｎ＋到（）
件，给出了上半平面增长型空间上的加权复合算子有界性的充要条件，利用上半平面增长型空间和圆盘增
长型空间之间的同构，获得了圆盘增长型空间上的加权复合算子有界性的充要条件．关键词：加权复合算子；复合算子；Ｈａｄｒｙ空间；增长型空间；Ｂｌｃｏｈ空间
中图分类号：Ｏ１７１７．文献标志码：Ａ
令Ａ（）Ｄ表示单位圆盘上的增长型空间，即
Ａ－）｛ ∈Ｈ（）Ｉ１ｕ（一１＝．厂Ｄ：ＩＪｆｌＡ＝ｓｐ１）厂）＜∞）ｆ（『．
ｚＥＤ
Ａ（）Ｄ是一个Ｂｎｃａａｈ空间．关于此空间的更多探讨可参阅文献［３．２］
ｖｆ∈Ｈｎ）设Ｕ是Ｈｎ）（＋．（＋上的解析函数，定义乘法算子Ｍ＾．＝札・，为（）厂ｆ定义加权复合算子
（）ｉ∈（：备＋／Ｉｖ＜，Ｈｚ）＿１） ∞ ）（。（ｌｎ。

高维Hardy算子交换子的加权估计

￣ｆｘ：（）ｌ（）ｌｂ（）－ｆｘ：（）ｆｘ一（６ｂ（）＝ｂ７ｆｘ一Ｔ（），ｔ（）＝６（）．））ｘ－ｆｘ？￣厂（他们同时得到若ｂＭＯＲ）则６ ∈Ｃ（，在（）Ｒ上有界．此外也得到在齐次Ｈｒ空间，ｅｚｐ的有界性．另外，５［证明了在Ｌ（上有界，其中６ｉ。０＜１．自］ＰＲ） ∈Ｌｐ（＜）然要问，这类交换子
当Ｐ＝∞或ｑ＝∞作通常的修改．
易当＝，知０
１２＝，１２而当１ｕ＝１，）砖Ｐ，）＝２，０２（．Ｗ
Ｍ
定义１４对于１Ｐ ∞，＜１．［］０＜且 ∈ ｏ．局部可积函数ｔ于加权Ｌｐｃｉ空。厂属ｉｓｈｔｚ
基金项目：国家自然科学基金（０３０１１９１０１
高贵连等：高￣Ｈｒｙ｛ａｄ算子交换子的加权估计ｉ
１５０
最近，】［定义佗ａｄ算子交换子如下．４维Ｈｒｙ
定义１１设ｂ．为Ｒ上的局部可积函数．维Ｈｒｙｎａｄ算子交换子定义为
．
，
０＜＜１ ∈ Ａ１０＜ｐｌｐ２＜Ｏ１＜ｑ，２＜ ∞ ，，Ｏ，１ｑ
Ｊ．ｉ＝１一．３１－
（若＜￣／ｌ￣Ｕ，Ｒ，（，）ｉ）ａｑ，Ｊｂ，ｇ到９，ｐ
（）ｉ若＞一６ｑ，『￣ｂ＾，到ｉｎ／２ｆ１＇ｌ（）Ｉ＿／ｑａ，，ｐＩＬＬ，ｌＺ，
高校应用数学学报
２１，７１：０一ｉ０２２（）１４ｉｉ

Marcinkiewicz积分算子交换子在Hardy空间及Herz型Hardy空间上的有界性

Ｐ
ｎ
基于上述工作，本文将进一步讨论该交换子在经典Ｈａｄｒｙ空间及Ｈｅｚ型Ｈｒｙ空间上ｒａｄ的有界性．其主要结果如下．定理１设Ｑ（）ｚ是上的零次齐次函数且满足（．式，Ｑ ∈Ｌｐ（ｎ１（１１）若ｉｓ－）０＜
基金项目：国家自然科学基金（０７０７、１６１４）１３１８０７０１、安徽省自科学研究项目（２０Ａ０）然ＫＪ０７０９和安徽师范大学青年科学基金（０７ｑ５）２０ｘｎ０资助
维普资讯
ｉ（一Ｑ）Ｃｘ～Ｑ）（，ｌｌＩ
成立，则ｎ是强（，）（中ｌ＜Ｐ２和弱（，）的ｐＰ型其）１型１
收稿日期：２０－２２；０５０ — １修订日期：２０－７１０７０－７
Ｅ— ａｉ：ｃｆ１￣２１ｎ．ｏ；ｓｌｈ＠ｍａｉ．ｈｎｅｍｌｍｌ２１ｃｃｍｈｕｓｌａｕ．ｄｕ．ｎｃ
Ｎ．ｏ２
程美芳等：Ｍａｃｋｅｃ积分算子交换子在Ｈｒｙ空间ｒｉｉｚｎｗｉａｄ
２３２
在文献［中Ｂｎｄｃ等人又证明了若Ｑ∈Ｃ（一，是，）２］ｅｅｅｋＳ）№ Ｐ有界的，１＜Ｐ＜∞．最近文献［的作者改进了以上结果，在Ｑ∈Ｈ（一的条件下给出了 № 的３］Ｓ）有界性．定理Ａｌ设Ｑ∈ＨＳ）３ｌ（一且满足（．），则对任意１＜Ｐ＜∞，１１式存在与，无关的常数Ｃ＞０使得ｌａｆ，Ｉ（）＃ｃＩＩｆ另一方面，Ｍａｃｎｉｉｒｉｋｅｃ分算子 № 与Ｌｐｃｉｗｚ积ｉｓｈｔｚ函数ｂ所生成的交换子 № －ｂ的有界性问题也受到人们的关注．下面先给出该交换子的定义

多线性分数次Hardy算子交换子的有界性

Ｈａｄ算子Ｈ￣Ｈｒｙ［互为伴随算子，Ｉ即
／ｇ）ｆ（ｄ＝／ｆｘＨ（（ｄ，（Ｈ（ｘｘ（））ｘ）））ｇｘｘ
其中．ＰＲ＋，厂∈Ｌ（）ｇ∈Ｌ（）ｌ＜Ｐ＜Ｏ，＋１：１ｑＲ＋，Ｏ１．
（１）
１９￣，ｈｉ和Ｇａａｏ［给出了ｎ９５Ｃｒｔｒｆｓ］ｓｋ维Ｈａｄ算子ｒｙ
，）ｌ
寿Ｌ＋（Ｒ），＋（，））ＲＩ
州＋Ｒ，）
（２）
（，））赤（
） ∈ ｛出＼），０
在Ｌ（）ＰＲ”上的有界性．０７傅尊伟等【首次建立了ｎ２０年，］维分数次Ｈａｄ算子ｒｙ
首先给出中￣ＭＯＢ空间的概念，，该空间是由陆和杨￣１９年在文献［］－９５１中介绍的．１
定义１［】ｑ＜∞，．设１１称一个函数６Ｔ（”Ｎ￣ＣＭＯ（（ ∈ＬｏＲ）ＢｑＲ）中心Ｂ）Ｍ０函数
空间，指如下式子是
Ｉ［Ｂ。ｓｐ（［［ＭＯｕ厩ｂｃ（）６）。ｑｘ＜。ｆ一ｂ［）（ｄ。成立，其中Ｂ＝ＢＯｒ＝｛（，） ∈Ｒｎ：ｒ，表示６）ｂＢ在球体ＢＯｒ上的平均，（，）即
文献标识码：Ａ
文章编号：００４４２１）１１５０１０— ２（００— —７４００１
§ 引言１
设，是Ｒ十上的非负司积函数，经典的Ｈａｄ算子被定义为ｒｙ
日，ｚ＝ｔ（ｔ））Ｊ（ｔ＞．（（Ａ，ｔ，Ｈ（（／ｆ），０））山０）／ｆｄ，１ｔｄ

非倍测度空间上分数次hardy算子的有界性

非倍测度空间上分数次hardy算子的有界
性
在非倍测度空间上分数次Hardy算子是一种非常重要的算子，它在数学领域有着广泛的应用。

本文将针对非倍测度空间上分数次Hardy算子的有界性进行讨论。

首先，我们来看一下非倍测度空间。

它是一种特殊的空间，具有一种特殊的度量，这种度量是非倍测度的。

它的特点是它的度量比较特殊，比如在某一点上，度量不仅依赖于该点，而且还依赖于其他点。

其次，我们来看一下分数次Hardy算子。

它是一种微分算子，它有着一些特殊性质，比如它可以表示一种空间变换，它也可以定义一种空间上的一阶微分算子。

最后，我们来讨论非倍测度空间上分数次Hardy算子的有界性。

从定义上来看，分数次Hardy算子具有一定的有界性，比如它可以把一个函数的值限制在一定的范围内。

在非倍测度空间上，分数次Hardy算子也具有一定的有界性，比如它可以把一个函数的值限制在某一空间内，但是，这种限制是有条件的，它要求函数的值必须满足一定的不变性。

换句话说，分数次Hardy算子在非倍测度空间上具有一定的有界性，但是这种有界性是有条件的。

总之，非倍测度空间上分数次Hardy算子的有界性是一个非常重要的问题，它可以被用来定义一种空间上的一阶微分算子，它也可以用来限制函数的值，但是这种限制是有条件的。

关于非增序列的加权Hardy不等式

关于非增序列的加权Hardy不等式
马雪雅
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2005(25)6
【摘要】本文研究离散的加权Hardy不等式,通过建立权序列的加细引理,给出了对任何非负非增数列lp-加权Hardy不等式成立时权序列{ωn}n≥1的特征刻划.这是经典Hardy不等式的实质推广,权序列的特征简捷且易于验证,其连续形式被Arino和Muckenhoupt用于Lorentz空间中的极大函数的有界性研究.
【总页数】6页(P675-680)
【作者】马雪雅
【作者单位】新疆昌吉学院数学系,新疆,昌吉,831100
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.加权Hardy-Littlewood不等式 [J], 匡继昌
2.与广义Baouendi-Grushin向量场相关的Lp加权Hardy型不等式 [J], 廖冬妮;王家林;喻泽峰;吴诗敏
3.加权Hardy-Sobolev不等式及其应用 [J], 张书陶
4.加权Orlicz空间中Hardy-Hilbert不等式 [J], 段丽芬;崔红雨;李雪峰
5.关于非增函数的加权Hardy不等式 [J], 孙保炬;孙燮华
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子分解证明了Ｈ— 极大算子的一有界性，并把它推广到了加权情形。Ｌ
在文，（表Ｉａｙ间 …为空的数，ｃｘ为权数。为本中）示Ｒ＿￣ｒ空，ｌＬＨｄＪＩ该间范Ｉｏ）加函Ｃ（
常数，但各处不尽相同。
Ｉ（ｌｎＣ２ｎ－０出Ｒｐ２。））等
对于Ⅱ
ｌ
ｌ＝一）（（）
一）（）一（））
一ｌ）ｌｙｉ
由２和＞，ＩＣ于ｌ＞Ｒ０所以ＩＩ＜－Ｉ
Ｖ０．ＯＮＯ２１２．Ｊ．２１ｕｎ００
２１年６００月
Ｈａｄ空间上极大算子的加权有界性ｒｙ
张建林
（中原工学院数学系，河南郑州４００）５０７
捅
要：利用Ｈａｄ￣ｌ的原于分解和Ｃａｃｙｒｙ司上ｕｈ￣等式证明了极大异子在Ｈａｄ￣Ｊ上的有界性，并推广到极大算ｒｙｈ］
文献标识码：文章编号：６４５４（ＯＯ．０５０Ａｌ７－０３２ｌ２０６－３
设函数ｆｘ为Ｒ（）上局部可积，即ｆ（）（）ｘ，令Ｑ是Ｒｘ ∈ＬＲ” ， ∈Ｒ中含的任意球体或方
体，称Ｍ＝ｓｒ（）ｕ
。
ｐ１ｌＩ）定在的ａｙｉｗｄ大数简为－￡（／）厂的义上ＨｄＬＩ。极函，记Ｈ为（ｒｔ。ｔｅＬ
子的加权情形。
关键词：加权Ｈａｄ空间；Ｈａｄ．ｔｅｏ极大算子；有界陛ｒｖｒｙ１ｔｗｏｄｉｌ
ＤＯＩ１．９９ｊｓｎ１７－０３２１．２０７：０３６／．ｓ．６４５４．０００．１ｉ
．
中图分类号：７．Ｏ１４５
定理１如果ｆ∈Ｈ ” ，当０＜Ｐ１（）时，有不等式ＩＩ由此定理立即可知，当Ｐ＝１时，ＩｌＣＩ ’ 。／Ｉ
ｃｌ，。ｆＩＩＩ
我们把此不等式推广至加权ｈｒｙ间上，可以得出极大算子满足下述结论。ａｄ空
洛阳理工学院学报（然科学版）自
第２卷０
２足理的证明
定ｌ证首假＜１由 ∈ Ｒ）￣Ｔａｙ间原分，需任一理的明先设ｏｐ，于／ Ⅳ ”，ＪＨｒ空的子解只对意ＪｄＪ
个ａＹ一０而厂 ∑ 那Ｍ＝ａ所此只要证即，证不ｌ（ｌ，）＝，＿，么ｙＺＭ，以时需对寺＝，明可即明
根平不性，们设的心原处即＝＿，为了计Ｉ据移变知我可以Ｑ中在点，为Ｑ［，估ｌＲ】，解分
Ｉａ＝ＪｆＩａ＝＋。ＭｊＩＩ：出＋Ｍ，ＩＩ Ⅱ
对，用）的距构ｃｕｙｃａｚ等得：于Ｉ利（上等同和ａｈＳｗｒ不式，到ｃ．ｈｔ
（ｆ【，有知ｐｓ木手据关识（＿））ｊ＝ ‘ ）厂ｌ得＝（ｏ
引２当２Ｉ０，等ｌ一）（ｌｃ～和Ｉｘｙ－（Ｉｃｌ～立理１＞时不式一ｙ（）Ｏ－）ｏ＜ｌｘ成。（４ｙｌｌ
利用上述引理，我们可以得到如下定理。
第２卷第２０期
洛阳理工学院学报（自然科学版）
ＪｒｌｏａｇＩｓｉｕｅｏｉｎｅａｄＴｅｈｎｌｇ（ｕｒｌＳｉｎｃｔｏ）ｏｕｎａＬｕｙｎｎｔｔｔｆＳｃｅｃｎｃ０ｏｙＮａｔａｃｅｅＥｄｉｉｎｏｆ
１主要结果
我知如＜＜０ ∈ 则Ｌ，们到ｆ们道，果１Ｐ０，ｆＨ，有Ｈ：ｐ我得
结果，需要如下引理。
≤ｆ。了到要ｃ为得需的ｌ
为的一个伸缩函数，即
引理ｌ设为Ｒ”中中心在原点，半径为ｔ的球面上的正规面测度，
极大函数 ห้องสมุดไป่ตู้称
为Ｈ－极大算子。关于该算子在Ｌｂｓｕ空间以及Ｈａｄ空间的性质可以参看文献ＩＪＬｅｅｇｅｒｙ１。
但是关于Ｈ— 极大算子在Ｈａｄ空间（Ｌｒｙ０＜Ｐ１时的性质的研究还不够深入，本文利用Ｈａｄ空间中的原）ｒｙ
等Ｉａｃ成立即式Ｉ，，ｕ可。
设 ’ 子支在体上且足－Ｉ和口Ｉ＝，时据理，对ｐ原的集方Ｑ，满＜ — ｌ（０此根引２即ＩＲ１，）２Ｉ０，Ｉ～（Ｉｃｌ成。ｌ＞时有 —）ｌｘ立ｙ（）ｙｌｌ
定２果理如 ∈Ⅳ ，０１ｏｘ为数则Ｊ，＜，ｃ）权函，｝（
收稿日期：０００－５２１－４２
，ｃｌｌ。ｌｘ
作者简介：张￣，（７一男，河南洛阳人，ｇ１７）汉，９，讲师，硕士，主要从事调和分析研究．
基金项目：南省教育厅自然科学基金资助项目（０８１０２）河２０Ｂ０４．１