弹性力学-02平面问题的基本理论

2沈0阳12航年空版航本天大学《弹性力学》
•2.1.1 平面应力问题
• （1）几何特一征个：方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。
•
t a, t b —— 平板
薄板
b
如旋转圆盘，工字形梁的腹板等
x
z
t
y
y
a
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•2.1.1 平面应力问题 • （1）受力特征： • 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，
首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件导出应力分量和体力分量之 间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。
取微元体PABC（P点附近）
PA dx PB dy
Z 方向取单位长度。
设P点应力已知： x , y , xy yx
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o 2.2 平衡微分方程
zx
zy
z
yx xz
y yz x
zy
xy
zx
yz yx y
O
y z
应力符号的意义：
x
第1个下标 x 表示切应力所在面的法线方向；
xy 第2个下标 y 表示切应力的方向.
应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。
切应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
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2.2 平衡微分方程
Fx 0
x
x
yx
y
fx
0
Fy 0
xy
x
y
y
fy
0
MC 0
xy yx
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x x (x, y) y y (x, y)
xy yx xy (x, y)
水坝
注： (1)平面应变问题中 z 0 但是， z 0 z ( x y )
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0)
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体力、面力的作用面平行中面， 体力、面力的作用面平行于 xy面， 外力沿板厚均布且只作用于板。 外力沿 z轴无变化。
形状
Z向尺寸远小于板面尺寸 （等厚薄平板）
Z向尺寸远大于 XY平面内的尺寸 （等截面长柱体）
2.2 平衡微分方程
•在弹性力学分析问题，从三个方面考虑：静力学方面，几何学方面 和物理学方面，分别对应平衡微分方程，几何方程以及物理方程。
• 2.1.2 平面应变问题
• 又有对称条件知， zx 0 zy 0
根据切应力的互等关系， xz 0 yz 0
由于z方向的伸缩被阻止，所以
一般不等于零
z Y
X
Z
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• 2.1.2 平面应变问题 • 结论：
z 0 zy yz 0 zx xz 0
xy yx xy (x, y)
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
y yx
x xy
y
x
yx xy
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• 2.1.2 平面应变问题 • （1）几何特征：
一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方 向几何形状和尺寸不变化。
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对Y 称面
X Z
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题
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x
x
yx
y
fx
0
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2.2 平衡微分方程
以微分体中心C并平行与z轴的直线为矩轴，建立力矩的平衡方程 MC 0
xy
xy
x
dx dydz
dx 2
xy dydz
dx 2
yx
yx
y
dy dxdz
dy 2
yxdxdz
dy 2
0
xy yx
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沿 z 方向不变化。
薄板
b
x
z
t
y
y
a
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•2.1.1 平面应力问题
• （3）应力特征：
如图选取坐标系，以板的中面 b
x
z
t
为xy 平面，垂直于中面的任一直线
为 z 轴。由于板面上不受力，有
y
y
z z t 0 2
zx z t 0 2
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
名称
平面应力问题
未知量
已知量
位 移 u、v
w0
平面应变问题
未知量
已知量
u、v
w0
应 变 x、 y、 xy
zx zy 0
z
E
( x
y)
x、 y、 xy
zy zx z 0
应力 外力
x、 y、 xy zx zy z 0 x、 y、 xy
zx zy 0
z ( x y )
Y
X Z
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• 2.1.2 平面应变问题 • （2）受力特征：
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长 度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
Y
X Z
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• 2.1.2 平面应变问题 • （3）变形特征：
•第二章平面问题的基本理论
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
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2沈0阳12航年空版航本天大学《弹性力学》
板
壳
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2.1平面应力问题与平面应变问题 z
可认为整个薄板的各
z 0
zx 0
a
zy z t 0 点都有：
zy 0
2
由剪应力互等定理，有 zx xz 0 zy yz 0
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•2.1.1 平面应力问题 • 结论：
平面应力问题只有三个应力分量：
x x (x, y)
y y (x, y)
y
P yx xy
x
C
A
fx
x
x
x
dx
B
fy
xy
C
xy
x
dx
yx
yx
y
dy
沈y 阳航空航天大学《弹性y 力学》yy dy
x
o
x
y
dz 1
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2.2 平衡微分方程
以x轴为投影轴，建立平衡方程
Fx 0
x
x
x
dx
dy
1
xdy
1
yx
yx
y
dy dx
1
yxdx
1
fxdxdy 1 0