扩展的多尺度有限元法基本原理
第二章有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理1. 引言有限元法(Finite Element Method, FEM)是一种数值分析方法，用于解决工程和科学领域中的复杂物理问题。
它通过将连续的物理领域离散化成许多小元素，通过求解代表元素之间关系的离散方程来近似解决原问题。
本章将介绍有限元法的基本原理。
2. 有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将复杂的问题分割成更小的、易于处理的部分，通过求解这些部分的解，并通过它们之间的关系来得到整体解。
在有限元法中，将连续问题离散化为有限元模型，分为以下几个步骤：2.1 建立几何模型首先，根据实际问题建立几何模型。
几何模型可以是二维或三维的，通常使用节点和单元表示。
节点表示模型中的离散点，单元表示连接节点的几何形状。
2.2 确定节点自由度每个节点都有与之关联的自由度，它们是用来表示节点状态的参数。
常见的自由度有位移、温度等。
2.3 建立单元和节点之间的关系根据单元类型和节点连接关系，建立单元与节点之间的关系。
通常，一个单元由若干个节点组成。
2.4 建立元素刚度矩阵根据单元类型和材料参数，建立元素刚度矩阵。
2.5 建立整体刚度矩阵利用单元刚度矩阵和节点关系，建立整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵由元素刚度矩阵按照节点自由度的排列组成。
2.6 施加边界条件和载荷根据实际问题，施加边界条件和载荷。
边界条件可以是位移、力或温度等。
2.7 求解方程通过将边界条件和载荷应用于整体刚度矩阵，可以得到未知节点的解答。
3. 有限元法的优缺点3.1 优点•适用于复杂几何形状和复杂边界条件的问题。
有限元法可以通过将问题离散化为小元素来逼近实际几何形状和边界条件。
•高精度的数值解。
有限元法通过增加节点数量和使用高阶元素可以得到更精确的数值解。
•灵活性。
有限元法可以灵活地处理不同类型的物理问题，例如结构力学、热传导、电磁场等。
3.2 缺点•需要大量的计算资源。
有限元法需要求解大型稀疏矩阵，这导致了计算资源的要求较高。
有限元 多尺度问题
有限元多尺度问题
有限元方法是一种用于求解工程和物理问题的数值方法，它将连续的物理系统离散化为有限数量的单元，从而使得复杂的问题可以被分解为简单的部分进行求解。
然而，有限元方法在处理多尺度问题时面临着挑战。
多尺度问题是指在一个系统中存在着多个不同尺度的特征，例如在材料科学中，材料的宏观行为受到微观结构的影响，而这些微观结构通常比较小，因此需要在不同尺度上进行建模和分析。
在有限元方法中，通常会将整个系统划分为相对较小的单元来进行建模，这在处理宏观尺度上的问题时是非常有效的。
然而，当涉及到微观尺度上的问题时，由于单元尺度较大，有限元方法往往难以准确描述微观结构对材料性能的影响。
为了解决多尺度问题，有限元方法需要进行改进和扩展。
一种常见的方法是多尺度有限元方法，它将宏观和微观尺度上的模型进行耦合，以实现对整个系统的准确描述。
另外，还有一些基于统计力学和分子动力学的方法，可以用来模拟材料的微观行为，这些方法可以与有限元方法相结合，从而实现对多尺度问题的全面分析。
总之，有限元方法在处理多尺度问题时面临着挑战，但通过改进和扩展，它可以成为解决多尺度问题的有力工具，为工程和物理问题的求解提供更加准确和全面的方法。
多尺度有限元方法解椭圆方程
多尺度有限元方法解椭圆方程1.研究背景众所周知，现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述.但绝大部分微分方程(特别是偏微分方程)定解问题的解不能以适用的解析形式来表示，这就产生了理论与实际的矛盾．为了解决上述矛盾，许多研究人员进行了数值解研究，这就促使微分方程的数值方法成为一门学科，它不仅是数学学科，而且是很多其他学科领域的一种重要研究手段和方法．微分方程数值方法主要有有限差分法和有限元方法，另外还出现了边界元、混合有限元、谱方法、有限体积法等．有限元方法是求解各种微分方程的一种重要的数值方法，它本身有着有限差分法无法比拟的优越性．最早用有限元方法处理偏微分方程近似解的是40年代Courant等人，国内最早研究有限元方法的是冯康先生，他的成果当时处于世界先进行列．NT 60年代，有限元方法开始广泛应用于船舶，一般机械，巨型建筑和水利设施(如大坝和桥梁)的设计以及用于解决流体力学，电磁场等非应力问题，并取得了良好的成果，但该方法仅能得到未知函数的近似解．70年代初，Babuska和Brezzi创立了混合有限元方法的一般理论，其主要的结果是B—B稳定条件。
为了使混合有限元方法能解决更多、更广泛的问题，得到更高的计算精度，80年代初，ralk和Osborn提出了一种改进的方法，扩大了混合有限元方法的适用范围，使混合有限元方法得到了进一步的发展．较标准有限元方法，该方法可以同时高精度逼近未知函数及其伴随向量函数，对处理高阶方程和含有两个或两个以上未知函数的方程更为便利，且易于数值处理．但另一方面，混合有限元方法要求所构造的}昆合元空间满足LBB相容条件，因而在一定程度上限制了有限元空间的选取．有限差分法也是求解偏微分方程数值解的一个重要方法．其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程．1928年。
库朗、弗瑞德里克斯及卢伊证明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础．第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法做为有效的数值方法得到有效的发展，1948年冯·诺伊曼对于无粘性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工粘性项，为此设计的差分方法是现代流体力学数值计算主要方法．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926．)及里希特迈尔(R．D．Richtmyer，1910一)建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义．有限元离散化的思想早在20世纪40年代初就已经被提出(R．Courant，1943)，并于50年代被西方的工程师采用，用于求解简单的结构问题．它作为一种系统的数值方法，则是在60年代中期，以冯康先生为代表的中国学者与西方学者独立并行完成的．有限元方法是用简单方法解决复杂问题的范例，主要有以下三大特点：(i)从数学物理的变分问题出发，而不是从微分方程出发，因此是从问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发；(ii)对所考虑问题的区域(以二维情形为例)作三角形(或其他简单多边形)剖分，而不是仅仅作矩形剖分；(iii)用剖分区域上的简单函数(例如分片多项式)去逼近原问题的解，而不是只在剖分节点上的数值逼近．有限元方法的基本过程可以归纳为：(1)把问题转化为变分形式，(2)选定单元的形状，对求解区域进行剖分，一维情形下的单元是小区间，二维情形下的重要单元有两种：四边形(矩形、任意凸四边形)和三角形，(3)构造基函数和单元形状函数，(4)形成有限元方程，(5)提供有限元方程的有效解法，(6)对近似解进行误差分析．2.多尺度有限元法基本原理。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
多尺度有限单元法
多尺度有限单元法
多尺度有限元方法（Multiscale Finite Element Method，简称MFEM）是一种用于处理多尺度问题的数值方法。
在许多科学和工程领域，如材料科学、地球科学、生物医学工程和电子设备制造等领域，都存在着多尺度问题。
这些问题通常涉及到不同尺度上的物理现象，例如在微观尺度上存在着各向异性、非线性和不均匀性等现象，而在宏观尺度上则表现出不同的宏观行为。
MFEM方法通过将多尺度问题分解为一个宏观尺度问题和多个微观尺度问题来解决这些问题。
在MFEM方法中，微观尺度问题通过使用局部的有限元法来解决，而宏观尺度问题则通过使用全局的有限元法来解决。
微观尺度问题和宏观尺度问题之间通过一个耦合条件来联系起来，这个耦合条件通常基于适当的均衡条件和连续性条件。
MFEM方法具有许多优点，例如可以处理非线性、非均匀和多尺度问题，并且能够更精确地描述微观尺度上的行为。
然而，MFEM方法的主要缺点是计算成本较高，因为需要解决多个微观尺度问题。
因此，MFEM方法通常用于需要高精度解的问题，例如在材料科学领域中的强化学习问题和微观材料建模问题中。
1/ 1。
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理
有限元法是一种用于求解物体结构和材料行为的数值分析方法。
它将连续的物理问题离散化为一个由一系列小的单元构成的简化模型，每个单元都有自己的特性和行为。
有限元法的基本原理是将物体分割成离散的有限元素，并在每个元素上建立适当的数学模型。
这些数学模型可以描述元素的行为以及相邻元素之间的相互作用。
然后，通过在元素级别上求解这些模型，得到整个物体的行为。
在有限元法中，首先将物体网格化成一系列有限元素。
常用的有限元素包括三角形、四边形和六面体等。
然后，在每个元素上构建适当的数学模型，通常使用微分方程或代数方程来描述元素的行为。
这些方程可以是弹性、塑性、热传导等物理现象的方程。
为了求解整个物体的行为，有限元法需要在每个元素上求解数学模型。
一般来说，这涉及到在每个元素的内部和边界上施加恰当的边界条件，并使用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分方法、有限体积方法和有限元法等。
通过在每个元素上求解数学模型，并根据元素之间的相互作用来求解整个物体的行为，有限元法可以提供物体的应力、应变、位移等各种物理量的分布和变化情况。
这对于分析和设计工程结构、优化材料性能等都具有重要意义。
总的来说，有限元法的基本原理是将物体离散化，并在每个元
素上构建适当的数学模型，然后通过数值方法求解这些模型，以获得整个物体的行为。
它是一种强大的工具，可以在工程和科学领域中广泛应用。
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
1.3.2 有限元法的应用领域
线性静力分析
静力分析
非线性静力分析
数控立式加工中心床身位移云图
1.3.2 有限元法的应用领域
动力分析
模态分析。 瞬态响应分析。 谐响应分析。 频谱响应分析和随机振动分析。 屈曲和失稳分析。 自动接触分析。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
整机模态分析
反挤压成型过程
1.3.2 有限元法的应用领域
失效和破坏分析
框架 结构 地震 倒塌 模拟
框架 结构 地震 倒塌 模拟
汽 车 正 撞 刚 性 墙
New Structural system and design method
1.3.2 有限元法的应用领域
热传导分析
发动机进排气流场温度
铸造成型：温度变化和气泡
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状பைடு நூலகம்
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
有限元法基本原理
有限元法基本原理
有限元法是最先应用于航空工程结构的矩阵分析方法，主要用来解决复杂结构中力与位移的关系。
有限元法的基本思想:将具有无限个自由度的连续的求解区域离散为具有有限个自由度、且按一定方式(节点)相互连接在一起的离散体(单元)，即将连续体假想划分为数目有限的离散单元，而单元之间只在数目有限的指定点处相互联结，用离散单元的集合体代替原来的连续体。
一般情况下，有限元方程是一组以节点位移为未知量的线性方程组，解次方程组可得到连续体上有限个节点上的位移，进而可求得各单元上的应力分布规律。
有限元法主要分为以下步骤：（1）结构离散化
将连续体离散成为单元组合体；（2）选择位移模式
也就是说，假设单元中的位移分布是坐标的函数，通常选择位移模式作为多项式的函数；
（3）单元力学特性分析
利用弹性力学的平衡方程、几何方程、物理方程和虚功原理，得到单元节点力与节点位移之间的力学关系，即建立单元刚度矩阵；
（4）计算等效节点力根据虚功相等原则，用等效节点力来代替所有作用于单元边界或单元内部的载荷；
（5）建立整个结构的所有节点荷载和节点位移之间的关系（整体结构平衡方程），即建立结构的整体刚度矩阵；
（6）边界条件
消除结构整体刚性位移的可能性。
（7）解线性方程组
方程组有唯一解，即得到结构中各节点的位移，单元内部位移通过插值得到。
（8）计算结果的后处理和评估。
非均质结构非平稳随机响应的快速算法
非均质结构非平稳随机响应的快速算法陈玉震;张盛;陈飙松;张洪武【摘要】A fast computation was implemented for non-stationary random responses of heterogeneous material structures by applying the extended multiscale finite element method (EMsFEM)into the time-domain explicit method (TDEM).Firstly,the fundamental principle of EMsFEMwas presented.Then,the advantages of TDEMin non-stationary random response analysis were explored.Based on the explicit expressions of dynamic responses,the random response analysis was performed directly in time domain,it was shown that TDEMhas good accuracy and efficiency compared with the response spectrum method.Finally,according to the characteristics and advantages of the two algorithms,a unified multiscale framework was proposed,it was applicable for non-stationary random response analysis of heterogeneous material structures.Numerical examples showed that the proposed method has high efficiency and accuracy.%将扩展多尺度有限元法应用于非平稳随机振动时域显式法中，实现了对非均质结构非平稳随机响应的快速精确计算。
流体流动的多尺度分析与模拟
流体流动的多尺度分析与模拟摘要流体流动是自然界和工程领域中的重要现象，在许多领域都有着广泛的应用。
流体流动的多尺度分析与模拟是研究流体流动行为的一种重要方法。
本文将从不同尺度的视角出发，介绍流体流动的多尺度分析与模拟的基本原理和方法，以及其在不同领域中的应用。
1. 引言流体流动是指液体或气体在一定条件下的运动过程。
在自然界中，流体流动普遍存在于大气中的风、水流中的河流以及海洋中的洋流等。
在工程领域中，流体流动的应用十分广泛，涉及到液压机械、风洞试验、航空航天等方面。
而流体流动的研究需要从不同的尺度出发进行分析与模拟，才能全面理解其运动行为和规律。
2. 单尺度流体流动分析与模拟单尺度流体流动分析与模拟是研究流体流动行为的基础。
在这种模拟方法中，流体被近似为连续介质，其运动可以由一组偏微分方程描述。
常见的模拟方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。
2.1 有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值方法，常用于求解连续介质力学问题。
在流体流动中，有限元法可以用来求解流体的速度和压力场。
其基本思想是将连续介质划分为一系列小单元，利用基函数逼近流体场的变化，进而建立有限元离散方程组进行求解。
2.2 有限差分法有限差分法是一种常用的数值方法，适用于求解偏微分方程。
在流体流动中，有限差分法可以将偏微分方程的导数用差分近似替代，从而建立离散方程组进行数值求解。
有限差分法具有简单易实现、计算速度快等优点。
2.3 有限体积法有限体积法是一种基于守恒方程的数值方法，适用于求解控制体内的守恒量。
在流体流动中，有限体积法可以将流体域划分为一系列小的控制体，利用守恒方程对控制体进行积分，从而建立离散方程组进行数值求解。
3. 多尺度流体流动分析与模拟在实际流体流动中，流体的运动往往涉及到多个尺度。
比如在微观尺度上，流体的流动行为可以由分子动力学方法进行模拟；在介观尺度上，流体的流动行为可以由拉格朗日方法进行分析；在宏观尺度上，流体的流动行为可以由欧拉方法进行描述。
有限元入门
有限差分方法
(Finite Differential Method)
该方法将求解域划分为差分网格，用有限 个网格节点代替连续的求解域。有限差分 法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中 的导数用网格节点上的函数值的差商代替 进行离散，从而建立以网格节点上的值为 未知数的代数方程组。该方法是一种直接 将微分问题变为代数问题的近似数值解法， 数学概念直观，表达简单，是发展较早且 比较成熟的数值方法。
三、 塑性加工中的有限元法概述
有限元法与其它塑性加工模拟方法相比，功能最 强、精度最高、解决问题的范围最广。它可以采 用不同形状、不同大小和不同类型的单元离散任 意形状的变形体，适用于任意速度边界条件，可 以方便地处理模具形状、工件与模具之间的摩擦 、材料的硬化效应、速度敏感性以及温度等多种 工艺因素对塑性加工过程的影响，能够模似整个 金属成形过程的流动规律，获得变形过程任意时 刻的力学信息和流动信息，如应力场、速度场、 温度场以及预测缺陷的形成和扩展。
1-7 有限单元法的基本内容
有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是泛 函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载 体是有限元分析软件。必须掌握的基本内容应包括： 1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念） 2、数学求解原理（即能量原理） 3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（有限元分析 步骤） 4、有限元法的应用（即有限元法的工程问题研究） 5、各种分析建模技巧及计算结果的评判 6、学习典型分析软件的使用，初步掌握一种塑性有限元 软件 注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具
多尺度随机有限元法的基本原理
则对应于粗尺度和细尺度部分的解分别为：
“ ｙ ， ） ∑ （ ｏ， ） ｎ Ｉ． ， （３ （， ＝ ｙ：（ ， －，． １） ｆ －，
尺度随机系数 的特征可表示为： ａ （， ＝ａ（ ）ａ ／ ） ｏ ， ， （） １ 其中ａ＇ ， ∈Ｑ ，∞∈ｏ ， ｔ∈ ， ｆ ｕＱ 。上标 Ｃ和 ｆ 分别表 示粗尺度和细尺度过程 ， 口 相互 独立 并且满足相应的边 ａ和 ， 界条件 ， 尺度参数 ｅ ｘ／ 。 Ｙ双重运算。 表示逐 点加或者是逐点
限元 法 的相 关 原 理 。 关键词 ：多尺度 随机 中图分类号 ： ４ ０２
形 函数 文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１０ －９ ３（ ０ ０ ０ －７－２ ０ ７３ ７ ２ １ ） ９０ ００
随着 多尺度计算方法的不断发展， 它在科学和工程领域中 要 作用 ， 体如 下 ： 具 ｕ （， ， ） ∑ （， ， Ｕ ｙｏ ： ｇ ｆ ｙｆ ｏ 的应用也越来越广泛 。针对确定性 问题，多尺度模型在数学物 ＝１… ， ， ， 理和工程学科上 已取得 了很大的进步 ， 但实际问题 中存在很多
分形 式 在 随 机 有 限 元 空 间 中 可表 示 为 ：
求甜 ＝１ ＋ ∈ ． １
口
定 义 Ｈｉ ｅ 空 间 ＝ （２ 尸 中 的 内积 ｌｒ ｂｔ ｆ， ） Ｆ，
（ ＝Ｌ （ “ Ｖ 尸ｄ （ （ （） ３ （） ｕｘｓ （ ｘ ＝（（， ） ）是的坐标 ， 是 的基 ， ｏ 仉（ 即有
而对 于线性形 函数 矿 ， 上式可写成：
＝ ０ Ｈ １ ＝， …，
扩展的多尺度有限元法基本原理
在于， 能容 易地进 行 降尺度 计 算 ， 可较 准确 地 求得 单元 内部 的微 观 应 力 应 变信 息 ， 非 均质 材 料 强 在 度和 非 线性 分析 中有很 大的应 用 潜 力．
关键 词 ： 扩展 的 多尺 度有 限元 法 ； 函数 ；非 均质 材料 ；降尺度 计 算 基
中图分类 号 ： ２ １ ８ Ｔ １５ Ｏ ４ ．２； Ｂ １ 文献 标 志码 ： Ａ
单元 内部 材料 非 均质 影响 的 多尺度 基 函数 ， 此基 础上 求得 粗 网格层 次的等 效单 元 刚度 阵 ， 而在 在 从 粗 网格 尺度上 对 原 问题 进 行 求解 ， 大程 度 地 减 少计 算 量 ．以该 方 法进 行 的具 有 周 期 和 随机 微 观 很
结构 的材 料计 算 示例 ， 通过 与 传统 有 限元 法的 结果 比较 ， 明这一 方法 的有 效 性．Ｅ Ｆ Ｍ 的优 势 说 ＭｓＥ
ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ａ ｄ ｈ ｎ ｏ ｓｄ ｒ ｄ ｎ ｔ ｅ ｕｍｅ ｃ ｌ ｅ ｕ ｔ ｖ ｒｆ ｔ ｅ ａ ｉ ｉ ａ ｄ ｃ ｕ ａ ｙ ｆ ｈ ｄ ｖ ｌ ｐ ｄ ｉ ｒ ａ ｒ ｓ ｌｓ ｅ ｉ ｙ ｈ ｖ ｌｄ ｔ ｎ ａ ｃ ｒ ｃ ｏ ｔ ｅ ｅ ｅｏ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｙ ｙ ｔ ｏ ｂ
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。
它将连续的物理问题离散化为有限数量的小区域，通过对每个小区域进行数学建模和计算，最终得到整个问题的近似解。
有限元法在工程、物理学、地质学、生物学等领域都有着广泛的应用。
有限元法的基本原理可以分为以下几个步骤，建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程、后处理。
下面将逐一介绍这些步骤。
首先，建立数学模型。
将实际问题抽象为数学模型是使用有限元法的第一步。
这需要对问题进行合理的假设和简化，以便将其表达为数学形式。
例如，对于结构力学问题，可以假设材料是均匀、各向同性的，结构是线性弹性的。
然后，将问题的几何形状、材料性质、边界条件等信息输入模型中。
其次，离散化。
将连续的问题划分为有限数量的小区域，即有限元。
这需要选择合适的离散化方法和网格划分技术，以确保模型的准确性和计算效率。
通常情况下，问题的复杂性会决定有限元的数量和类型。
然后，建立方程。
利用变分原理或最小势能原理，可以得到问题的弱形式，再通过有限元离散化，得到线性方程组。
这些方程通常是大型、稀疏的，需要采用合适的数值方法进行求解，如直接法、迭代法等。
接着，求解方程。
通过数值计算方法，求解得到方程组的近似解。
在这一步中，需要考虑数值稳定性、收敛性和计算精度等问题，以确保结果的可靠性。
最后，进行后处理。
对求解得到的数值结果进行分析和解释，得出对实际问题有意义的结论。
这包括计算应力、应变、位移等物理量，评估结构的安全性和稳定性，优化设计等。
总之，有限元法是一种强大的数值分析工具，可以有效地解决各种工程和科学问题。
通过建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程和后处理，可以得到问题的近似解，并为实际工程和科学研究提供有力的支持。
3.有限元法基本原理
K rr
K nr
• 这就得到了单元e内的关于待定参数de的 代数方程组。由于相邻单元之间的场变 量并非相互独立，而是与周围的单元相 互联系，因此，单个单元内的方程组不 能单独求解，必须将所有单元内的方程 组集起来，得到全域上的关于待定参数 de的方程组，然后施加必要的边界约束， 才能求解。
• 所有单元组集后有:
(b)三角形分布边界力
pxtl T P 1 0 1 0 0 0 2
e T
px tl 1 P 0 2 3
e T
2 3
0 0 0
T
u
图 3.4 均布体力等效节点载荷
tA P fx 3
e f
fy
fx
fy
fx
fy
T
3.6 整体刚度矩阵集成
• 在3.4节中建立了单元级的刚度方程，但 单个单元的方程不能求解，因为单元是 人为的假想划分，作用在该单元边界上 的力以及单元的位移边界条件都是未知 的。而作用在整个结构上的外力和边界 条件是已知的，为此，必须将单元组集 合成整体结构后才能求解。
2 K 22 2 K 32
2 K 23 2 K 33
2
3
4
3.7 位移边界条件的引入
• 乘大数法
K11 K r1 K n1 K1r K1n d1 P 1 K rn d r K rr d r K nn d n Pn
1 1 K11 1 2 K 21 1 K 1 3 K 31 4 5 1
1 K12 1 K 22 1 K 32
1 K13 1 K 23 1 K 33
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
有限元法的原理及应用
有限元法的原理及应用1. 引言有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程和科学领域，用于解决复杂的物理问题。
本文将介绍有限元法的基本原理和其在不同领域的应用。
2. 原理有限元法基于数学原理和工程实践，将复杂的连续体分割为许多小的有限元，然后使用离散化的方法对每个有限元进行数值计算。
具体原理如下：2.1 有限元离散化有限元法将连续问题离散化为离散的有限元问题。
首先，将连续域划分为有限个互不重叠的有限元。
每个有限元由一个或多个节点和连接节点的单元组成。
节点是问题的离散点，而单元是问题的局部区域。
2.2 描述方程在每个有限元内，使用形函数来近似描述问题的解。
形函数是定义在某个节点上的函数，它可以以节点为中心表示整个有限元的解。
然后，在每个有限元内，建立描述问题的偏微分方程，通常是通过泛函求解所得。
2.3 组装方程组将每个有限元的形函数和描述方程组装成整个问题的方程组。
通过施加边界条件和合理选择形函数的类型和数量，可以得到与原问题相对应的离散化方程组。
2.4 求解方程组将离散化的方程组转化为代数方程组，并应用数值方法求解。
通常采用矩阵运算等技术，利用计算机进行求解。
3. 应用有限元法在多个领域有重要的应用，以下列举了一些常见的应用：3.1 结构力学有限元法在结构力学领域广泛应用，用于分析和优化结构的强度、稳定性和刚度。
通过建立合适的有限元模型，可以计算结构的应力、应变和变形等重要参数。
有限元法在建筑、航空航天和汽车等工程领域具有广泛应用。
3.2 流体力学有限元法在流体力学领域用于模拟流动的行为，如气体和液体的流动、湍流和传热等。
通过将流体领域离散为小的有限元，可以计算流体的速度、压力和温度分布等参数。
有限元法在船舶设计、空气动力学和燃烧等领域得到了广泛应用。
3.3 热传导有限元法可应用于热传导问题，用于分析材料内部的温度分布和热流。
通过建立材料的有限元模型，可以计算材料的温度变化、热传导和热辐射等参数。
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文献［１０—１１］和文献①的研究发现，由于存在体
积膨胀／收缩效应（泊松效应），固体变形时各个方 向问会产生耦合作用，故将ＭｓＦＥＭ直接应用于计算 固体力学中的矢量场问题一般会有较大误差，因此 需要研究新的基函数构造理论．解决该问题的方法 之一是在不同的坐标方向分别构造基函数，并同时 引入基函数的耦合附加项．如在二维问题的
ＺＨＡＮＧ等【ｌ叫通过分别构造固相变形场和液相 压力场基函数的方法首次将ＭｓＦＥＭ用于求解非均 质饱和多孔介质的耦合固结问题．文献Ｅｘｔｅｎｄｅｄ
ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｅｃｈａｎｉｃＭ
ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｒｕｓｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ①（以下简称 文献①）考虑多维矢量场问题不同方向的耦合作 用，通过引入基函数的耦合附加项，首次提出扩展的 多尺度有限元法（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ ＭｓＦＥＭ，ＥＭｓＦＥＭ），能很 好地在大尺度上预测周期性桁架材料的等效力学性 能．文献［１１］对文献①的工作作进一步发展，利用 ＥＭｓＦＥＭ的优势，建立桁架类材料非线性问题多尺 度分析的ＥＭｓＦＥＭ．
度和非线性分析中有很大的应用潜力．
关键词：扩展的多尺度有限元法；基函数；非均质材料；降尺度计算
中图分类号：０２４１．８２；ＴＢｌｌ５
文献标志码：Ａ
Ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ
ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇｗｕ，ＷＵ Ｊｉｎｇｋａｉ，ＬＩＵ Ｈｕｉ，ＦＵ Ｚｈｅｎｄｏｎｇ
收稿日期：２０１０—０４－２８修回１３期：２０１０—０５．０３ 基金项目：国家自然科学基全（１０７２１０６２。．５０６７９０１３，９０７１５０３７，１０７２８２０５）；长江学者和创新团队发展计划；
国家基础性发展规划项目（２０１０ＣＢ８３２７０４） 作者简介：张洪武（１９６４一），男，辽宁庄河人，教授，博导，博士，研究方向为计算力学与工程科学计算等，（Ｅ－ｍａｉｌ）ｚｈａｎｇｈｗ＠ｄｌｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
万方数据
６
计算机辅助工程
２０１０生
Ⅳｌ。｝值可由传统数值方法（如有限元法）在子网格
Ｋ上对平衡方程（９）进行求解得到．依此类推，即可
求得单元全部基函数Ⅳ．
可以证明，上述构造的基函数满足在单元中任
一点的基函数之和等于１，即
４
４
ｆ∑％＝１，∑％＝ｌ
∥
‘ｉ１
（１１）
【∑％＝０，∑％＝０
也即保证宏观单元的刚体位移与单元间的位移协调．
万方数据
４
计算机辅助工程
２０１０露
Ｏ引 言
自然存在和人工形成的大部分材料都具有非均 质性特征，例如地下岩土以及航空航天工业中广泛 使用的复合材料等，因此研究非均质材料的力学性 能具有非常重要的意义．当材料结构具有多尺度特 征时，将整个结构体直接离散化进行分析往往要耗 费巨大的计算机资源，甚至不可行．寻求既可以节省 计算资源，又可以保证计算精度的多尺度数值计算 方法已成为近年来的研究热点．目前国内外学者已 经提出各种多尺度计算方法，其中比较常用的有均 匀化方法Ｈ刮和代表体元法Ｈ别等，但这些方法一般 建立在微观结构的周期性假设基础上，对材料强度 和非线性问题等的分析还有相当多的困难．因此，对 于多尺度计算，研究工作还刚刚起步，许多具有挑战 性的问题有待解决．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ（ＥＭｓＦＥＭ）ｆｏｒ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｕｎｄｅｄｙｉｎｇ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｔｈｅ
万方数据
第２期
张洪武，等：扩展的多尺度有限元法基本原理
５
应变张量；Ｕ为位移向量；仃为应力向量，口＝
［吒ｏｒ，ｒ掣］’∥为体积力向量，，＝［，，，，］’； Ｌ和凡分别为力的边界和位移边界，并且它们满 足ＬｎＦ。＝咖；甩为边界外法线的方向余弦向量．
图１ ＥＭｓＦＥＭ示意图 ＥＭｓＦＥＭ的计算流程可分为微观计算、宏观计 算以及降尺度计算等３个主要部分．如图１所示，微 观计算指在子网格上数值构造宏观单元（粗网格） 的多尺度基函数，该基函数能反映宏观单元内部的 微观非均质性，进而求得单元的等效刚度阵；宏观计 算指基于微观计算求得的宏观单元等效刚度阵，在 宏观尺度上对物理问题进行求解，大大减少计算自 由度；降尺度计算指在宏观计算所获结果基础上，通 过快速简洁的计算，获得细尺度层次的物理力学量．
第１９卷第２期 ２０１０年６月
专稿
Ｓｐｅｃｉａｌ Ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
计算机辅助工程
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．１９ Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１０
文章编号：１００６—０８７１（２０１０）０２．０００３—０７
扩展的多尺度有限元法基本原理
张洪武， 吴敬凯， 刘 辉， 付振东
本文以二维连续体问题分析为例，介绍 ＥＭｓＦＥＭ的基本原理及其实施过程，并通过几个有 代表性的数值算例说明其有效性和精确性．可以看
１ ＥＭｓＦＥＭ的基本思想
Ｅｕｔｖｔ，ｕｆ ¨ｏｒ／＇．（１）
式中：Ｄ为表示材料属性的４阶刚度张量；Ｅ（口）为
①该文已被／ｎｔ．，Ｍｕ／ｔ／．ｗａ／ｅ Ｃｏｍｐｕｔ Ｅｎｇ录用，待发表．作者是ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇｗｕ，ＷＵ Ｊｉｎｇ“和ＦＵ Ｚｈｅｎｄｏｎｇ．
文献［７．１０］和文献①中的大量数值算例表明， 基函数构造时施加的边界条件胛的不同会对结果 的精度造成很大影响．这里先以简单的线性边界为 例阐述基函数的构造方法，更为精确的边界条件在 第３节中详细介绍．
线性边界条件求基函数Ⅳｌ。，就是在边１４和１２ 上分别加上菇方向的线性边界，即由Ⅳｌ。（龙。，Ｙ。）＝ｌ 线性地变化到Ⅳｌ。（并２，Ｙ２）＝０和Ｎｌ。（菇４，儿）＝０， 边２３和３４上聋方向位 移则等于０，同时，边界 上各节点的Ｙ方向都固 定，约束见图２，则在上 述边界约束条件下，单 元内部的川＝｛Ⅳｌ。，图２ 数值基函数的构造方法
（９）
【ｉ：１，２，…，ｍ
式中：￡为弹性算子，满足Ｌｕ＝ｄｉｖ
ｆ Ｄ：÷（Ｖ即＋（Ｖ口）１））；Ｎｉ为粗网格节点ｉ的基
、
●
，
函数，满足』ｖｉ Ｉ』＝Ⅳｉ（ｘｊ，只）＝岛，（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ）， ６为Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ符号；／ｌｒｔ为粗网格单元的节点数，本
文取值ｍ＝４．
对于标量场问题，基函数构造时方程（９）满足
ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｂａｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｃａｐｔｕｒｅ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｓｃａｌｅ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏａｒｓｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｒｅ ｓｏｌｖｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏａｒｓｅ－ｇｒｉｄ ｓｃａｌｅ．ｔｈｕｓ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｉｎ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ．Ｂｏｔｈ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｄ ｒａｎｄｏｍ ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｉＳ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｏｗｎｓｃａｌｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｅａｓｉｌｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｓｔｒａｉｎ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｃｒｏ ｅｌｅｍｅｎｔｓ
多尺度有限元法（Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ＭｓＦＥＭ）的原始思想来自于ＢＡＢＵＳＫＡ等旧Ｊ 的工作；ＨＯＵ等＂剖和ＥＦＥＮＤＩＥＶ等一１对该法的发 展作出重要贡献，他们通过在每个宏观单元上求解 子问题，数值构造出满足局部特性微分算子的多尺 度基函数（形函数），从而在粗网格尺度上对原问题 进行求解就能得到较高的精度，同时，由于各个单元 间基函数的构造相互独立，故该法能很容易地进行 并行计算．ＭｓＦＥＭ自提出以来已经被广泛应用于求 解具有高度振荡系数的２阶椭圆型边值问题（标量 场问题），但在具有矢量场特征的固体力学计算方 面还少有工作报道．
如下边界条件‘７母】
Ｎｉ＝胛
Ｏｉｌ ｏＫ
（１０）
式中：卵为构造基函数Ⅳｌ时所施加的边界条件．
‰Ⅳ３（。ｉ）（ｉ％）‰（ｉ（）ｉ）％Ⅳ（４ｉ。’（ｉ１）江Ｊ ｌ，２，。 …’’ ，厅（８一）
对于矢量场问题，需在不同坐标方向上分别构 造基函数．以二维问题为例，Ｎｉ由Ⅳ溉和Ⅳｉ。构成． 下面以Ⅳ。。为例说明基函数的构造过程．
Ｒ：ｆⅣ－“（ｉ）Ⅳ·掣（ｉ）％ （ｉ）Ｋ ｌⅣ。，（ｉ）Ｎ。∥（ｉ）Ⅳ２，（ｉ）＾Ｉ＂（ｉ）＾，３，（ｉ）
式中：ｎ为宏观单元内细网格的节点总数．
如图１所示的结构内的某个粗网格单元，其内
部域为Ｋ，ＫＣｎ．数值构造单元基函数，即在特定的
边界条件下求解单元内部的平衡方程
ｆ矾＝ｏ ｉｎ置
｛Ｍ（工）
ａｆｆｉｎｅｄ Ｏｉｌ ａＫ
（Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｅｎｇ．Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｆａｃｕｈｙ ｏｆ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｅｎｇ．＆Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ。Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂ．ｆｏｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｔｅｃｈ．，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １ １６０２４，Ｃｈｉｎａ）