扩展的多尺度有限元法基本原理
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ＥＭｓＦＥＭ中，需分别构造基函数ｋ和＾ｋ，ｉ＝１，２，
３，４为宏观单元的４个节点．这样，宏观单元内部细 网格（子网格）任意一节点的位移可以表示成
Ｍ＝∑％“：＋∑％移：
（２）
ｉ＝１
ｉ＝１
４
４
ｌＩ＝∑Ｎｉ，ｖ：＋∑Ｎｉｙ，ｕ
（３）
式中：％为基函数的耦合附加项，其物理意义是指
在宏观节点ｉ发生菇方向的单位位移时，单元内各
万方数据
第２期
张洪武，等：扩展的多尺度有限元法基本原理
５
应变张量；Ｕ为位移向量；仃为应力向量，口＝
［吒ｏｒ，ｒ掣］’∥为体积力向量，，＝［，，，，］’； Ｌ和凡分别为力的边界和位移边界，并且它们满 足ＬｎＦ。＝咖；甩为边界外法线的方向余弦向量．
图１ ＥＭｓＦＥＭ示意图 ＥＭｓＦＥＭ的计算流程可分为微观计算、宏观计 算以及降尺度计算等３个主要部分．如图１所示，微 观计算指在子网格上数值构造宏观单元（粗网格） 的多尺度基函数，该基函数能反映宏观单元内部的 微观非均质性，进而求得单元的等效刚度阵；宏观计 算指基于微观计算求得的宏观单元等效刚度阵，在 宏观尺度上对物理问题进行求解，大大减少计算自 由度；降尺度计算指在宏观计算所获结果基础上，通 过快速简洁的计算，获得细尺度层次的物理力学量．
（９）
【ｉ：１，２，…，ｍ
式中：￡为弹性算子，满足Ｌｕ＝ｄｉｖ
ｆ Ｄ：÷（Ｖ即＋（Ｖ口）１））；Ｎｉ为粗网格节点ｉ的基
、
●
，
函数，满足』ｖｉ Ｉ』＝Ⅳｉ（ｘｊ，只）＝岛，（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ）， ６为Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ符号；／ｌｒｔ为粗网格单元的节点数，本
文取值ｍ＝４．
对于标量场问题，基函数构造时方程（９）满足
单元内部材料非均质影响的多尺度基函数，在此基础上求得粗网格层次的等效单元刚度阵，从而在
粗网格尺度上对原问题进行求解，很大程度地减少计算量．以该方法进行的具有周期和随机微观
结构的材料计算示例，通过与传统有限元法的结果比较，说明这一方法的有效性．ＥＭｓＦＥＭ的优势
在于，能容易地进行降尺度计算，可较准确地求得单元内部的微观应力应变信息，在非均质材料强
多尺度有限元法（Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ＭｓＦＥＭ）的原始思想来自于ＢＡＢＵＳＫＡ等旧Ｊ 的工作；ＨＯＵ等＂剖和ＥＦＥＮＤＩＥＶ等一１对该法的发 展作出重要贡献，他们通过在每个宏观单元上求解 子问题，数值构造出满足局部特性微分算子的多尺 度基函数（形函数），从而在粗网格尺度上对原问题 进行求解就能得到较高的精度，同时，由于各个单元 间基函数的构造相互独立，故该法能很容易地进行 并行计算．ＭｓＦＥＭ自提出以来已经被广泛应用于求 解具有高度振荡系数的２阶椭圆型边值问题（标量 场问题），但在具有矢量场特征的固体力学计算方 面还少有工作报道．
文献［７．１０］和文献①中的大量数值算例表明， 基函数构造时施加的边界条件胛的不同会对结果 的精度造成很大影响．这里先以简单的线性边界为 例阐述基函数的构造方法，更为精确的边界条件在 第３节中详细介绍．
线性边界条件求基函数Ⅳｌ。，就是在边１４和１２ 上分别加上菇方向的线性边界，即由Ⅳｌ。（龙。，Ｙ。）＝ｌ 线性地变化到Ⅳｌ。（并２，Ｙ２）＝０和Ｎｌ。（菇４，儿）＝０， 边２３和３４上聋方向位 移则等于０，同时，边界 上各节点的Ｙ方向都固 定，约束见图２，则在上 述边界约束条件下，单 元内部的川＝｛Ⅳｌ。，图２ 数值基函数的构造方法
本文以二维连续体问题分析为例，介绍 ＥＭｓＦＥＭ的基本原理及其实施过程，并通过几个有 代表性的数值算例说明其有效性和精确性．可以看
１ ＥＭｓＦＥＭ的基本思想
Ｅｕｔｖｔ，ｕｆ ¨ｏｒ／＇．（１）
式中：Ｄ为表示材料属性的４阶刚度张量；Ｅ（口）为
①该文已被／ｎｔ．，Ｍｕ／ｔ／．ｗａ／ｅ Ｃｏｍｐｕｔ Ｅｎｇ录用，待发表．作者是ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇｗｕ，ＷＵ Ｊｉｎｇ“和ＦＵ Ｚｈｅｎｄｏｎｇ．
Ｒ：ｆⅣ－“（ｉ）Ⅳ·掣（ｉ）％ （ｉ）Ｋ ｌⅣ。，（ｉ）Ｎ。∥（ｉ）Ⅳ２，（ｉ）＾Ｉ＂（ｉ）＾，３，（ｉ）
式中：ｎ为宏观单元内细网格的节点总数．
如图１所示的结构内的某个粗网格单元，其内
部域为Ｋ，ＫＣｎ．数值构造单元基函数，即在特定的
边界条件下求解单元内部的平衡方程
ｆ矾＝ｏ ｉｎ置
｛Ｍ（工）
ａｆｆｉｎｅｄ Ｏｉｌ ａＫ
微观节点产生的Ｙ方向位移值． 式（２）和（３）可统一写成
Ｈ＝』ｖ“：
（４）
式中：Ｈ为宏观单元内部细网格上所有节点的位移
向量；比：为宏观单元节点的位移向量．它们可写成
Ｕ＝［Ｍ１秽ｌ“２秽２…Ｍ。％］１。
（５）
Ｎ＝［Ｒｊ ＲＩ…屁：］７
（６）
Ｈ：＝［ｕ： 移： “： ｔ，： “； 口； “： 秽：］１’ （７）
万方数据
６
计算机辅助工程
２０１０生
Ⅳｌ。｝值可由传统数值方法（如有限元法）在子网格
Ｋ上对平衡方程（９）进行求解得到．依此类推，即可
求得单元全部基函数Ⅳ．
可以证明，上述构造的基函数满足在单元中任
一点的基函数之和等于１，即
４
４
ｆ∑％＝１，∑％＝ｌ
∥
‘ｉ１
（１１）
【∑％＝０，∑％＝０
也即保证宏观单元的刚体位移与单元间的位移协调．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ（ＥＭｓＦＥＭ）ｆｏｒ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｕｎｄｅｄｙｉｎｇ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｔｈｅ
度和非线性分析中有很大的应用潜力．
关键词：扩展的多尺度有限元法；基函数；非均质材料；降尺度计算
中图分类号：０２４１．８２；ＴＢｌｌ５
文献标志码：Ａ
Ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ
ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇｗｕ，ＷＵ Ｊｉｎｇｋａｉ，ＬＩＵ Ｈｕｉ，ＦＵ Ｚｈｅｎｄｏｎｇ
２基函数构造
文献［１０—１１］和文献①的研究发现，由于存在体
积膨胀／收缩效应（泊松效应），固体变形时各个方 向问会产生耦合作用，故将ＭｓＦＥＭ直接应用于计算 固体力学中的矢量场问题一般会有较大误差，因此 需要研究新的基函数构造理论．解决该问题的方法 之一是在不同的坐标方向分别构造基函数，并同时 引入基函数的耦合附加项．如在二维问题的
ＺＨＡＮＧ等【ｌ叫通过分别构造固相变形场和液相 压力场基函数的方法首次将ＭｓＦＥＭ用于求解非均 质饱和多孔介质的耦合固结问题．文献Ｅｘｔｅｎｄｅｄ
ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｅｃｈａｎｉｃＭ
ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｒｕｓｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ①（以下简称 文献①）考虑多维矢量场问题不同方向的耦合作 用，通过引入基函数的耦合附加项，首次提出扩展的 多尺度有限元法（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ ＭｓＦＥＭ，ＥＭｓＦＥＭ），能很 好地在大尺度上预测周期性桁架材料的等效力学性 能．文献［１１］对文献①的工作作进一步发展，利用 ＥＭｓＦＥＭ的优势，建立桁架类材料非线性问题多尺 度分析的ＥＭｓＦＥＭ．
ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｂａｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｃａｐｔｕｒｅ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｓｃａｌｅ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏａｒｓｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｒｅ ｓｏｌｖｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏａｒｓｅ－ｇｒｉｄ ｓｃａｌｅ．ｔｈｕｓ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｉｎ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ．Ｂｏｔｈ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｄ ｒａｎｄｏｍ ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｉＳ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｏｗｎｓｃａｌｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｅａｓｉｌｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｓｔｒａｉｎ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｃｒｏ ｅｌｅｍｅｎｔｓ
（大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部－ｒ－程ｈ学系，辽宁大连１１６０２４）
摘要：阐述一种适用于非均质材料力学性能分析的扩展的多尺度有限元法（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ
Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ＥＭｓＦＥＭ）的基本原理．该方法的基本思想是利用数值方法构造能反映胞体
万方数据
百度文库
４
计算机辅助工程
２０１０露
Ｏ引 言
自然存在和人工形成的大部分材料都具有非均 质性特征，例如地下岩土以及航空航天工业中广泛 使用的复合材料等，因此研究非均质材料的力学性 能具有非常重要的意义．当材料结构具有多尺度特 征时，将整个结构体直接离散化进行分析往往要耗 费巨大的计算机资源，甚至不可行．寻求既可以节省 计算资源，又可以保证计算精度的多尺度数值计算 方法已成为近年来的研究热点．目前国内外学者已 经提出各种多尺度计算方法，其中比较常用的有均 匀化方法Ｈ刮和代表体元法Ｈ别等，但这些方法一般 建立在微观结构的周期性假设基础上，对材料强度 和非线性问题等的分析还有相当多的困难．因此，对 于多尺度计算，研究工作还刚刚起步，许多具有挑战 性的问题有待解决．
如下边界条件‘７母】
Ｎｉ＝胛
Ｏｉｌ ｏＫ
（１０）
式中：卵为构造基函数Ⅳｌ时所施加的边界条件．
‰Ⅳ３（。ｉ）（ｉ％）‰（ｉ（）ｉ）％Ⅳ（４ｉ。’（ｉ１）江Ｊ ｌ，２，。 …’’ ，厅（８一）
对于矢量场问题，需在不同坐标方向上分别构 造基函数．以二维问题为例，Ｎｉ由Ⅳ溉和Ⅳｉ。构成． 下面以Ⅳ。。为例说明基函数的构造过程．
第１９卷第２期 ２０１０年６月
专稿
Ｓｐｅｃｉａｌ Ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
计算机辅助工程
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．１９ Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１０
文章编号：１００６—０８７１（２０１０）０２．０００３—０７
扩展的多尺度有限元法基本原理
张洪武， 吴敬凯， 刘 辉， 付振东
（Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｅｎｇ．Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｆａｃｕｈｙ ｏｆ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｅｎｇ．＆Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ。Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂ．ｆｏｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｔｅｃｈ．，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １ １６０２４，Ｃｈｉｎａ）
收稿日期：２０１０—０４－２８修回１３期：２０１０—０５．０３ 基金项目：国家自然科学基全（１０７２１０６２。．５０６７９０１３，９０７１５０３７，１０７２８２０５）；长江学者和创新团队发展计划；
国家基础性发展规划项目（２０１０ＣＢ８３２７０４） 作者简介：张洪武（１９６４一），男，辽宁庄河人，教授，博导，博士，研究方向为计算力学与工程科学计算等，（Ｅ－ｍａｉｌ）ｚｈａｎｇｈｗ＠ｄｌｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
ｖａｉｌ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｔｈｕｓ，ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｇｒｅａｔ
ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｆｏｒ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ；ｂａｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌ； ｄｏｗｎｓｃａｌｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ
３，４为宏观单元的４个节点．这样，宏观单元内部细 网格（子网格）任意一节点的位移可以表示成
Ｍ＝∑％“：＋∑％移：
（２）
ｉ＝１
ｉ＝１
４
４
ｌＩ＝∑Ｎｉ，ｖ：＋∑Ｎｉｙ，ｕ
（３）
式中：％为基函数的耦合附加项，其物理意义是指
在宏观节点ｉ发生菇方向的单位位移时，单元内各
万方数据
第２期
张洪武，等：扩展的多尺度有限元法基本原理
５
应变张量；Ｕ为位移向量；仃为应力向量，口＝
［吒ｏｒ，ｒ掣］’∥为体积力向量，，＝［，，，，］’； Ｌ和凡分别为力的边界和位移边界，并且它们满 足ＬｎＦ。＝咖；甩为边界外法线的方向余弦向量．
图１ ＥＭｓＦＥＭ示意图 ＥＭｓＦＥＭ的计算流程可分为微观计算、宏观计 算以及降尺度计算等３个主要部分．如图１所示，微 观计算指在子网格上数值构造宏观单元（粗网格） 的多尺度基函数，该基函数能反映宏观单元内部的 微观非均质性，进而求得单元的等效刚度阵；宏观计 算指基于微观计算求得的宏观单元等效刚度阵，在 宏观尺度上对物理问题进行求解，大大减少计算自 由度；降尺度计算指在宏观计算所获结果基础上，通 过快速简洁的计算，获得细尺度层次的物理力学量．
（９）
【ｉ：１，２，…，ｍ
式中：￡为弹性算子，满足Ｌｕ＝ｄｉｖ
ｆ Ｄ：÷（Ｖ即＋（Ｖ口）１））；Ｎｉ为粗网格节点ｉ的基
、
●
，
函数，满足』ｖｉ Ｉ』＝Ⅳｉ（ｘｊ，只）＝岛，（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ）， ６为Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ符号；／ｌｒｔ为粗网格单元的节点数，本
文取值ｍ＝４．
对于标量场问题，基函数构造时方程（９）满足
单元内部材料非均质影响的多尺度基函数，在此基础上求得粗网格层次的等效单元刚度阵，从而在
粗网格尺度上对原问题进行求解，很大程度地减少计算量．以该方法进行的具有周期和随机微观
结构的材料计算示例，通过与传统有限元法的结果比较，说明这一方法的有效性．ＥＭｓＦＥＭ的优势
在于，能容易地进行降尺度计算，可较准确地求得单元内部的微观应力应变信息，在非均质材料强
多尺度有限元法（Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ＭｓＦＥＭ）的原始思想来自于ＢＡＢＵＳＫＡ等旧Ｊ 的工作；ＨＯＵ等＂剖和ＥＦＥＮＤＩＥＶ等一１对该法的发 展作出重要贡献，他们通过在每个宏观单元上求解 子问题，数值构造出满足局部特性微分算子的多尺 度基函数（形函数），从而在粗网格尺度上对原问题 进行求解就能得到较高的精度，同时，由于各个单元 间基函数的构造相互独立，故该法能很容易地进行 并行计算．ＭｓＦＥＭ自提出以来已经被广泛应用于求 解具有高度振荡系数的２阶椭圆型边值问题（标量 场问题），但在具有矢量场特征的固体力学计算方 面还少有工作报道．
文献［７．１０］和文献①中的大量数值算例表明， 基函数构造时施加的边界条件胛的不同会对结果 的精度造成很大影响．这里先以简单的线性边界为 例阐述基函数的构造方法，更为精确的边界条件在 第３节中详细介绍．
线性边界条件求基函数Ⅳｌ。，就是在边１４和１２ 上分别加上菇方向的线性边界，即由Ⅳｌ。（龙。，Ｙ。）＝ｌ 线性地变化到Ⅳｌ。（并２，Ｙ２）＝０和Ｎｌ。（菇４，儿）＝０， 边２３和３４上聋方向位 移则等于０，同时，边界 上各节点的Ｙ方向都固 定，约束见图２，则在上 述边界约束条件下，单 元内部的川＝｛Ⅳｌ。，图２ 数值基函数的构造方法
本文以二维连续体问题分析为例，介绍 ＥＭｓＦＥＭ的基本原理及其实施过程，并通过几个有 代表性的数值算例说明其有效性和精确性．可以看
１ ＥＭｓＦＥＭ的基本思想
Ｅｕｔｖｔ，ｕｆ ¨ｏｒ／＇．（１）
式中：Ｄ为表示材料属性的４阶刚度张量；Ｅ（口）为
①该文已被／ｎｔ．，Ｍｕ／ｔ／．ｗａ／ｅ Ｃｏｍｐｕｔ Ｅｎｇ录用，待发表．作者是ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇｗｕ，ＷＵ Ｊｉｎｇ“和ＦＵ Ｚｈｅｎｄｏｎｇ．
Ｒ：ｆⅣ－“（ｉ）Ⅳ·掣（ｉ）％ （ｉ）Ｋ ｌⅣ。，（ｉ）Ｎ。∥（ｉ）Ⅳ２，（ｉ）＾Ｉ＂（ｉ）＾，３，（ｉ）
式中：ｎ为宏观单元内细网格的节点总数．
如图１所示的结构内的某个粗网格单元，其内
部域为Ｋ，ＫＣｎ．数值构造单元基函数，即在特定的
边界条件下求解单元内部的平衡方程
ｆ矾＝ｏ ｉｎ置
｛Ｍ（工）
ａｆｆｉｎｅｄ Ｏｉｌ ａＫ
微观节点产生的Ｙ方向位移值． 式（２）和（３）可统一写成
Ｈ＝』ｖ“：
（４）
式中：Ｈ为宏观单元内部细网格上所有节点的位移
向量；比：为宏观单元节点的位移向量．它们可写成
Ｕ＝［Ｍ１秽ｌ“２秽２…Ｍ。％］１。
（５）
Ｎ＝［Ｒｊ ＲＩ…屁：］７
（６）
Ｈ：＝［ｕ： 移： “： ｔ，： “； 口； “： 秽：］１’ （７）
万方数据
６
计算机辅助工程
２０１０生
Ⅳｌ。｝值可由传统数值方法（如有限元法）在子网格
Ｋ上对平衡方程（９）进行求解得到．依此类推，即可
求得单元全部基函数Ⅳ．
可以证明，上述构造的基函数满足在单元中任
一点的基函数之和等于１，即
４
４
ｆ∑％＝１，∑％＝ｌ
∥
‘ｉ１
（１１）
【∑％＝０，∑％＝０
也即保证宏观单元的刚体位移与单元间的位移协调．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ（ＥＭｓＦＥＭ）ｆｏｒ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｕｎｄｅｄｙｉｎｇ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｔｈｅ
度和非线性分析中有很大的应用潜力．
关键词：扩展的多尺度有限元法；基函数；非均质材料；降尺度计算
中图分类号：０２４１．８２；ＴＢｌｌ５
文献标志码：Ａ
Ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ
ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇｗｕ，ＷＵ Ｊｉｎｇｋａｉ，ＬＩＵ Ｈｕｉ，ＦＵ Ｚｈｅｎｄｏｎｇ
２基函数构造
文献［１０—１１］和文献①的研究发现，由于存在体
积膨胀／收缩效应（泊松效应），固体变形时各个方 向问会产生耦合作用，故将ＭｓＦＥＭ直接应用于计算 固体力学中的矢量场问题一般会有较大误差，因此 需要研究新的基函数构造理论．解决该问题的方法 之一是在不同的坐标方向分别构造基函数，并同时 引入基函数的耦合附加项．如在二维问题的
ＺＨＡＮＧ等【ｌ叫通过分别构造固相变形场和液相 压力场基函数的方法首次将ＭｓＦＥＭ用于求解非均 质饱和多孔介质的耦合固结问题．文献Ｅｘｔｅｎｄｅｄ
ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｅｃｈａｎｉｃＭ
ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｒｕｓｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ①（以下简称 文献①）考虑多维矢量场问题不同方向的耦合作 用，通过引入基函数的耦合附加项，首次提出扩展的 多尺度有限元法（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ ＭｓＦＥＭ，ＥＭｓＦＥＭ），能很 好地在大尺度上预测周期性桁架材料的等效力学性 能．文献［１１］对文献①的工作作进一步发展，利用 ＥＭｓＦＥＭ的优势，建立桁架类材料非线性问题多尺 度分析的ＥＭｓＦＥＭ．
ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｂａｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｃａｐｔｕｒｅ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｓｃａｌｅ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏａｒｓｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｒｅ ｓｏｌｖｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏａｒｓｅ－ｇｒｉｄ ｓｃａｌｅ．ｔｈｕｓ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｉｎ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ．Ｂｏｔｈ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｄ ｒａｎｄｏｍ ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｉＳ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｏｗｎｓｃａｌｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｅａｓｉｌｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｓｔｒａｉｎ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｃｒｏ ｅｌｅｍｅｎｔｓ
（大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部－ｒ－程ｈ学系，辽宁大连１１６０２４）
摘要：阐述一种适用于非均质材料力学性能分析的扩展的多尺度有限元法（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ
Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ＥＭｓＦＥＭ）的基本原理．该方法的基本思想是利用数值方法构造能反映胞体
万方数据
百度文库
４
计算机辅助工程
２０１０露
Ｏ引 言
自然存在和人工形成的大部分材料都具有非均 质性特征，例如地下岩土以及航空航天工业中广泛 使用的复合材料等，因此研究非均质材料的力学性 能具有非常重要的意义．当材料结构具有多尺度特 征时，将整个结构体直接离散化进行分析往往要耗 费巨大的计算机资源，甚至不可行．寻求既可以节省 计算资源，又可以保证计算精度的多尺度数值计算 方法已成为近年来的研究热点．目前国内外学者已 经提出各种多尺度计算方法，其中比较常用的有均 匀化方法Ｈ刮和代表体元法Ｈ别等，但这些方法一般 建立在微观结构的周期性假设基础上，对材料强度 和非线性问题等的分析还有相当多的困难．因此，对 于多尺度计算，研究工作还刚刚起步，许多具有挑战 性的问题有待解决．
如下边界条件‘７母】
Ｎｉ＝胛
Ｏｉｌ ｏＫ
（１０）
式中：卵为构造基函数Ⅳｌ时所施加的边界条件．
‰Ⅳ３（。ｉ）（ｉ％）‰（ｉ（）ｉ）％Ⅳ（４ｉ。’（ｉ１）江Ｊ ｌ，２，。 …’’ ，厅（８一）
对于矢量场问题，需在不同坐标方向上分别构 造基函数．以二维问题为例，Ｎｉ由Ⅳ溉和Ⅳｉ。构成． 下面以Ⅳ。。为例说明基函数的构造过程．
第１９卷第２期 ２０１０年６月
专稿
Ｓｐｅｃｉａｌ Ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
计算机辅助工程
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．１９ Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１０
文章编号：１００６—０８７１（２０１０）０２．０００３—０７
扩展的多尺度有限元法基本原理
张洪武， 吴敬凯， 刘 辉， 付振东
（Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｅｎｇ．Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｆａｃｕｈｙ ｏｆ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｅｎｇ．＆Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ。Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂ．ｆｏｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｔｅｃｈ．，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １ １６０２４，Ｃｈｉｎａ）
收稿日期：２０１０—０４－２８修回１３期：２０１０—０５．０３ 基金项目：国家自然科学基全（１０７２１０６２。．５０６７９０１３，９０７１５０３７，１０７２８２０５）；长江学者和创新团队发展计划；
国家基础性发展规划项目（２０１０ＣＢ８３２７０４） 作者简介：张洪武（１９６４一），男，辽宁庄河人，教授，博导，博士，研究方向为计算力学与工程科学计算等，（Ｅ－ｍａｉｌ）ｚｈａｎｇｈｗ＠ｄｌｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
ｖａｉｌ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｔｈｕｓ，ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｇｒｅａｔ
ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｆｏｒ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｍｕｈｉｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ；ｂａｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌ； ｄｏｗｎｓｃａｌｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ