中考复习 杨辉三角
课件2：1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
人教版数学中考复习专题练习——杨辉三角
2022年数学中考复习专题练习杨辉三角1.(2020泰安)下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200＝_________．2.(2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.则(a+b)9展开式中所有项的系数和是()A .128B .256C .512D .1024(a+b)0=1(a+b)1=a+b (a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a+b)4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4(a+b)5=a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b53.(2018德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（）A.84B.56C.35D.284.(2018宜昌)1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）A.a=1，b=6，c=15B.a=6，b=15，c=20C.a=15，b=20，c=15D.a=20，b=15，c=65.(2017黔南)杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则(a+b)5=．6.(2018孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么a 9+a 11-2a 10+10的值是．7.阅读下列材料，并完成相应的任务：杨辉三角我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式(a+b)n的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示任务：(1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为、、；(2)请直接写出(a+b)4的展开式：(a+b)4=；(3)根据（2）中的规律，求114的值，写出计算过程．8.杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a+b)n（此处n＝0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．(a+b)0＝1(a+b)1＝a+b(a+b)2＝a2+2ab+b2(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…上面的构成规律聪明的你一定看懂了！（1）请直接写出(a+b)6的计算结果中a2b4项的系数是；（2）利用上述规律直接写出27＝；（3）杨辉三角还有另一个特征：从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积．（4）由此你可以写出115＝．9.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等．（1）(a+b)n展开式中项数共有项．（2）写出(a+b)5的展开式：(a+b)5＝．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．10.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么11a +21a +31a +…+na 1的值是.参考答案1.201102.C3.B4.B5.a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b56.117.(1)4、6、4(2)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(3)114=(10+1)4=104+4×103×1+6×102×12+4×10×13+14=1000+4000+600+40+1=146418.(1)15(2)128(3)11(4)1610519.(1)n+1(2)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=(2-1)5=12010.11。
最新杨辉三角课件精品课件
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
中考复习 杨辉三角ppt课件
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 ,
············ 2n
4
探究2
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到
左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的第n
个数有什么关系?
第0行
1
相等关系
第1行 第2行 第3行 第4行
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．28
7
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
中考复习 规律问题之杨辉三角
1
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
初一数学压轴题杨辉三角
初一数学压轴题杨辉三角一、在杨辉三角中，若某一行的第二个数是15，则这一行的所有数字之和为？A. 64B. 128C. 256D. 512（答案）C二、杨辉三角的第n行（n≥2）中，除了两端的数字外，每个数字都等于它上方两个数字之和。
若第8行的中间数字为m，则m的值是？A. 28B. 42C. 56D. 70（答案）A三、在杨辉三角中，某一行的数字依次是1，x，y，z，1，其中y是这一行的最大数字，那么x+y+z的值是？A. 18B. 22C. 24D. 28（答案）B四、杨辉三角的第n行（n为奇数）所有数字之和为2的n-1次方，那么第9行的中间数字是？A. 32B. 36C. 72D. 128（答案）B五、在杨辉三角中，若某一行的数字和为1024，则这一行共有多少个数字？A. 10B. 11C. 12D. 13（答案）B六、杨辉三角的第n行数字之和等于(1+1)的n-1次方，若第k行的数字和为64，则第k+1行的第二个数字是？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）B七、在杨辉三角中，某一行的数字从左到右依次是a，b，c，d，e，其中c是这一行的最大数字，那么a+b+c+d+e的值可能是？A. 30B. 32C. 62D. 64（答案）D八、杨辉三角的第n行（n≥3）中，若中间的数字是m，且m=C(n, k)（其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数），则k的值是？A. n/2B. (n-1)/2C. n/2+1D. (n+1)/2（答案）B（注：此题假设n为偶数，若n为奇数，则中间数字对应的k值为(n+1)/2，但根据题目要求，我们选择了更一般且适用于偶数n的选项B作为“可能”的答案，实际情况下需根据n的奇偶性判断）。
课件5：1.3.2 杨辉三角
C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.
自我尝试 1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ) (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相 同的．( ) (3) 二 项 式 展 开 式 的 二 项 式 系 数 和 为 C n1 ＋ C n2 ＋ … ＋ Cnn.( )
(2)如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组
成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记
这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )
A．144
B．146
C．164
D．461
【解析】 (1)由题意，第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1，第 7 行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第 7 行除去两端数字 1 以 外，均能被 7 整除． (2)由题干图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 15 项是 C92，第 16 项 是 C19.所以 S(16)＝C21＋C22＋C13＋C23＋…＋C91＋C92 ＝(C21＋C31＋…＋C19)＋(C22＋C32＋…＋C29)
解：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1.① (2)令 x＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2 018＝32 018.② 与①式联立，①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，
所以
a1＋a3＋…＋a2
017＝1－232
(3)如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么其展开式 _中_间__一__项___T_n2_＋_1 _的二项式系数最大；如果 n 是奇数，那
初中杨辉三角经典例题
初中杨辉三角经典例题哎，大家好，今天咱们聊聊一个神奇的数学玩意儿，叫杨辉三角。
可能有人会想，哎呀，这听起来好高深，跟我有啥关系呢？别急，咱们慢慢聊，保证让你觉得它其实挺有意思的。
想象一下，杨辉三角就像一个金字塔，不过这个金字塔不是用石头堆起来的，而是用数字一层一层堆上去的。
看着它，仿佛一幅生动的图画，真的是太有意思了。
先说说这杨辉三角的形状，最顶端一层就是个“1”，下面一层是两个“1”，再下面就是三个数字，分别是“1、2、1”。
这儿有个小秘密，左右两个“1”是不会变的，啥都不动，总是那么稳稳当当。
而中间的数字就好比在玩拼图，上一层的两个数字加起来，变成了这一层的中间那个数字。
是不是很神奇？想象一下，有点像搭积木，越搭越高，越搭越有趣。
好啦，接下来聊聊它的用处，虽然看起来就像个数字游戏，但其实它可是个数学小能手。
比如说，咱们都知道组合问题吧？这个杨辉三角就像个宝藏箱，里面藏着各种组合的答案。
就拿抽奖来说，假设你有10个球，想从中抽出3个，杨辉三角就能告诉你一共能抽出多少种组合。
真的，拿到答案的那一瞬间，你会觉得自己好像开了个小窍门，嘿嘿。
再说说二项式定理，听上去高大上，其实就是个简单的公式。
你知道吗？杨辉三角在这里也是个好帮手。
它能帮助你快速展开像(a + b)的n次方这种表达式，想想看，是不是省了不少力气？所以说，这杨辉三角不光是个好玩意儿，还是个勤快的小助手呢。
再聊聊在生活中，我们常常能看到杨辉三角的影子。
比如说，咱们吃的饺子，如果把饺子馅看成是不同的材料，做饺子的时候，你就得想怎么搭配了。
杨辉三角就像你的搭配师，告诉你到底有多少种搭配方式。
想象一下，今天晚上你想做饺子，突然脑子里冒出“哎，我可以加点虾仁、白菜、肉末！”这时候，杨辉三角就成了你创意的源泉，哈哈！咱们在生活中也常常遇到一些选择。
比如说，你和小伙伴们一起去玩，突然有了10个地方，想选择3个去。
这个时候，杨辉三角就能帮你算出有多少种选择方式。
初中数学应用杨辉三角题目
初中数学应用杨辉三角题目
杨辉三角是一个强大的数学工具，它可以帮助我们更好地理解数学知识，也可以用来帮助我们解决一些复杂的数学问题。
杨辉三角有极大的实用价值，它已被广泛应用于初中数学教学和学习中。
杨辉三角是由第一行开始，每一行的数字都比上一行多一个数字，并且每一行的首尾都为1。
每一行数字之间的差值为等差数列，即由第n项的数字减去第n-1项的数字，等于第1项的数字。
另外，每一行的数字之和都为2的幂次方，同时，每一行的中间部分的数字之和等于它上面一行所有数字之和。
杨辉三角被应用于初中数学教学和学习中，主要是为了更好地理解数学。
比如，通过杨辉三角，学生可以更容易理解一些复杂的组合问题，从而更好地解决问题。
此外，杨辉三角也可以用来帮助学生求解一些概率问题，对于求解类似的组合与概率的问题，杨辉三角可以帮助学生更有效地解决。
同时，在使用杨辉三角求解问题时，学生可以使用规律性，从而提高解题效率和质量。
此外，杨辉三角也可以用于求解组合数学问题。
比如，通过杨辉三角，学生可以很容易地求解出在各种不同的组合情况下的行列式的值，从而更好地理解组合数学的概念。
此外，学生也可以利用杨辉三角求解一些多项式的值，比如二次函数的系数。
此外，杨辉三角也可以用于求解几何学问题。
比如，学生可以通过推算杨辉三角的每一行数字之和，来求解多边形的面积和周长，也可以求解角度和锐角三角形等几何学问题，从而加深对几何学的理解。
总之，杨辉三角在初中数学教学和学习中有着重要的应用价值。
它可以帮助我们更好地理解数学，也可以用来求解一些复杂的数学问题，从而提高自身的学习效率和水平。
课件7：1.3.2 杨辉三角
4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋ a14x14，试求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)在已知等式中令 x＝1，则得： a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.① (2)在已知等式中令 x＝－1，则得： a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得： 2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
解：(1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
011＝1－232
012
.
(3)∵Tr＋1＝Cr2012(－2x)r＝(－1)r·Cr2 012·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
) D．70
【答案】 B
2．在(a－b)20 的二项展开式中，二项式系数与第 6 项
二项式系数相同的项是( )
A．第 15 项
B．第 16 项
C．第 17 项
D．第 18 项
【解析】 由二项式系数的性质知与第 6 项系数相等
的项应为倒数第 6 项，即第 16 项． 【答案】 B
中考复习 杨辉三角
5．(2018·枣庄)将从1开始的连续自然数按如下 规律排列：
第1行
1
第2行
234
第3行
98765
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 24 20 19 18 17
…
…
•则2 018在第___4_5__行．
谢谢观赏
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中
取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，
a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是
．
3．(2018·十堰)如图，是按一定规律排成的三
角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
什么规律? 第0行
1
从第3个数起, 任 一 个数是前2个数字的
第1行
11
和,是斐波那契数列.第源自行12 1第3行1 3 31
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
11 +
12 1 +
课件6：1.3.2 杨辉三角
考点二 二项展开式中各项的系数和
例 2 设(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 014·x2 014(x∈R)． (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 014 的值． (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 013 的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 014|的值．
和为( )
A．2n＋1
B．2n－1
C．2n＋1－1
D．2n＋1－2
【解析】令 x＝1，则 2＋22＋…＋2n＝2n＋1Байду номын сангаас2. 【答案】D
4．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14. (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a13.
x
2
n
的展开式中，各项系数和与它的
二项式系数和的比为 32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：令 x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为 2n，
∴222nn＝2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共 6 项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
方法小结
二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察—— 归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过 程中应用了函数、方程等数学思想．大致对应如下：
一点通 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角 度观察； (2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之 间的数据的规律．
题组集训
1．如图是一个类似杨辉三角的图形， 则第 n 行的首尾两个数均为________．
高中数学杨辉三角知识点
高中数学杨辉三角知识点杨辉三角是中国古代数学家杨辉在《详解九章算术》一书中提出的一种数学形式。
它具有很多的应用，在高中数学的学习中也有很重要的作用。
本文将介绍杨辉三角的相关知识点。
一、定义杨辉三角，又叫帕斯卡三角，是一个由数字排列成三角形的图形，其中每个数字是由它上方的两个数字相加得到的。
第一行只有一个数字1，接下来的每一行数字都是由上一行相邻两个数字相加而成的。
杨辉三角的前几行如下：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1...二、性质1. 对于杨辉三角的第n行，它有n个数字。
2. 每一行的首位数字都是1，即an,1 = an,n = 1。
3. 按照从上到下、从左到右的顺序，对于第n+1行的第i个数，它等于第n行的第i-1个数与第i个数相加，即an+1,i = an,i-1 + an,i 。
4. 对于第n行第k个数，它等于组合数C(n-1,k-1)。
即an,k = C(n-1,k-1)。
三、应用1. 杨辉三角可以用来求二项式系数。
二项式系数是二项式定理中展开式中每一项的系数。
从杨辉三角的第n行可以求得展开结果的系数。
(1+x)^0=1(1+x)^1=1 1(1+x)^2=1 2 1(1+x)^3=1 3 3 1(1+x)^4=1 4 6 4 1...如展开(1+x)^4，系数为1 4 6 4 1。
2. 杨辉三角可以用来解决排列组合问题。
对于从n个元素中取出k个元素的排列组合问题，C(n,k)就是杨辉三角的第n行第k+1个数。
例如，有10个人要从中选择4个人组成一个小组，有多少种不同的组合方式？C(10,4)=210即杨辉三角的第10行第5个数。
3. 杨辉三角可以用来展开多项式。
由于(1+x)的n次幂的展开式中，x的次数从0到n依次增加，所以可以把这个展开式放在杨辉三角中，每个数字代表x的相应次数的系数，得到的就是多项式的展开式。
(1+x)^0=1(1+x)^1=1x+1(1+x)^2=1x^2+2x+1(1+x)^3=1x^3+3x^2+3x+1(1+x)^4=1x^4+4x^3+6x^2+4x+1...例如，展开(1+x)^4，得到的多项式为x^4+4x^3+6x^2+4x+1。
初中数学应用杨辉三角题目
初中数学应用杨辉三角题目
应用杨辉三角的题目在我们的日常学习生活中司空见惯，它被广泛的应用于数学和统计数据的分析中。
杨辉三角的发现及其应用，可以说是“几何，代数，计算机科学和应用数学”之间形成紧密结合的一桥梁，使数学更加灵活。
下面，我们将介绍一些应用杨辉三角的初中数学题目。
一、求组合数
组合数学是一门涉及概率论和统计学的应用数学，其中涉及大量使用杨辉三角的题目。
比如：在一排有7个座位的桌子前，坐下4个人，求不同的坐法有多少种？这时可以利用杨辉三角的第7行7列的数据，即20，即C（7，4）=20。
二、求阶乘
阶乘是一种特殊的数，表示一个数的乘积，可以使用杨辉三角来解决阶乘问题。
比如：3!? = 321 = 6，那么就可以使用杨辉三角的2行2列的数据，即2，即C（2，2）=2，可以求出6的阶乘。
三、求幂
幂是一些特殊的乘积，也可以使用杨辉三角简化求幂的大量乘法运算。
比如：2^4 = 2222 = 16，那么就可以使用杨辉三角的4行4列的数据，即1，即C（4，4）=1，可以求出2的4次方。
四、求数列之和
数列求和也是一种常见的数学操作，根据杨辉三角可以准确求解数列之和。
比如：x1+x2+x3+x4=20，那么就可以使用杨辉三角的4行
4列的数据，即1，即C（4，4）=1，得出x1+x2+x3+x4=20，可以求出20的数列之和。
以上就是有关初中数学杨辉三角题目的介绍，从中可以看出，杨辉三角在初中数学中有重要应用，它可以准确的解决许多数学题，非常有助于提高学生的数学学习水平。
因此，在初中数学学习过程中，要勤恳研究杨辉三角的内容，加强对它的理解，以期得到更好的学习成绩。
2024年浙江省中考数学热点题型五 归纳推理问题
2024年浙江中考数学热点题型五归纳推理问题核心素养一杨辉三角与两数和的乘方【题源】七下P91阅读材料(回归教材)例1[中考预测]我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着a+b³=a³+3a²b+ 3ab²+b³展开式中的系数.请你猜想(a+b)⁵的展开式中含a³b²项的系数是1A.10B.12C.9D.8角”.它是古代重要的数学成就，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.请仔细观察，计算该图中第n行所有数字之和为()A.2ⁿ⁻²B.2n-1C.2nD.2n+12.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)"(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”，1a+b⁰=111a+b¹=a+b121a+b²=a²+2ab+b²1331a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³14641a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b¹1510105a+b⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵……则(a+b)9展开式中所有项的系数和是A.128B.256C.512D.10243.把小于10的正整数按一定规律排列成如图所示的数表.若根据行列分布，正整数6对应的位置记为(2，3)，则位置(3，1)对应的正整数是.4.[中考预测]杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一行都表示((a+b)n(此处n=0, 1,2,3,4,…)的展开式中的系数.杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于其肩上的两数之和.a+b⁰=1a+b¹=a+ba+b²=a²+2ab+b²a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴a+b⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵(1)请你直接写出a+b⁶=_______________________________________________________________________;(2)杨辉三角还有另一个特征：从第二行到第五行，每一行数字组成的数都是上一行组成的数与11的积，如121就是它的上一行组成的数11与11的积.按照这个规律，你可以直接写出11⁵=________________.5.如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的两数之和.表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…我们把第一个数记为a₁，第二个数记为a ₂，第三个数记为a₃，…第n个数记为a n，则a₄+a200=.6.杨辉三角形，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是二项和的乘方展开式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如下图的三角形解释二项和的乘方规律a+b¹=a+ba+b²=a²+2ab+b²a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴利用“杨辉三角”所蕴藏的规律，解决下列问题：(1)(a+b)6展开后的多项式为；(2)运用：若今天是星期四，则经过8⁴天后是星期，经过8100天后是星期.7.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的.如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的两数之和；图二是二项和的乘方(a+b)"(n为正整数)的展开式(按b的升幂排列).经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去.将(s+x)15的展开式按x的升幂排列得：s+x15=a0+a1x+a2x2+⋯+a15x15.图一图二111a+b¹=a+b121a+b²=a²+2ab+b²1331a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³14641a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴15101051a+b⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab¹+b⁵……依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1,则a₂=;(2)若s=2,则a0+a1+a2+⋯+a15=___________________.核心素养二图形变化规律型问题【题源】七上P104第6题、P110第11题(回归教材)例2[中考预测]一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要的张数为A.21B.22C.23D.248.[中考预测]根据图中箭头的指向规律,从11到12再到13,箭头的方向是以下图示中的9.观察前三个图形，利用得到的计算规律，计算第4个图形的结果为A.8B.2C.1D.1610.把灰色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个灰色三角形，第②个图案中有3个灰色三角形，第③个图案中有6个灰色三角形，…按此规律排列下去，则第⑤个图案中灰色三角形的个数为A.10B.15C.18D.21核心素养三实验与归纳推理【题源】七下P135阅读材料(回归教材)例3、观察下列各式的规律：①1×3−2²=3−4=−1;②2×4−3²=8−9=−1;③3×5−4²=15−16=−1.请按以上规律，写出第4个算式为：；用含有n的式子表示第n个算式为：.11.按一定规律排列的单项式:a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,…,第n个单项式是A.−2ⁿ⁻¹aB.(-2)n aC.2ⁿ⁻¹aD.2n a12.[中考预测]给定一列分式:3,−52,73,−94,(其中≠0),，用任意一个分式去除以它前面一个分式得到的结果是；根据你发现的规律，试写出第6个分式为.13.[中考预测]已知:₁=+1(≠0且≠−1),2=11−1,3=11−2,⋯,=11−K1,则₂₀₂₀=.14.[中考预测]观察以下等式:−1×12=−1+12,−2×23=−2+23,−3×34=−3+34,−4×45=−4+45,(1)依此规律进行下去，第5个等式为，猜想第n个等式为(n为正整数)；(2)请利用分式的运算，证明你的猜想.15.先阅读下面的材料，然后回答问题.方程+1=2+12的解为1=2,2=12;方程+1=3+13的解为1=3,2=13;方程+1=4+14的解为1=4,2=14;(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程+1=2019+12019的解是.(2)猜想关于x的方程−1=−13+3的解，并验证你的结论.(3)请仿照上述方程的解法，对方程+2r5r2=265进行变形，求出方程的解.核心素养四推理与论证例4、如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1,2,3,4,5,6的铁片.若把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的任意位置，则铁环上的铁片(无论沿铁环如何滑动)不可能排成的情形是16.如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的张数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，则写出一种满足条件的购票先后顺序为.。
杨辉三角初中综合实践(2篇)
第1篇一、引言杨辉三角，又称帕斯卡三角形，是一种数学上的图形，它的出现可以追溯到我国古代数学家杨辉的研究。
杨辉三角在初中数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助学生理解组合数学的概念，还能培养他们的逻辑思维和创新能力。
本文将介绍杨辉三角的起源、性质、应用以及在初中综合实践中的运用。
二、杨辉三角的起源及性质1. 起源杨辉三角的起源可以追溯到我国古代数学家杨辉的研究。
他在《详解九章算法》一书中，首次系统地介绍了杨辉三角，并将其应用于解决实际问题。
后来，这一图形被西方数学家发现，并命名为“帕斯卡三角形”。
2. 性质（1）杨辉三角的每一行都是等差数列。
第一行的首项是1，公差是1，第二行的首项是1，公差是2，以此类推。
（2）杨辉三角的任意一项等于其正上方和左上方两项之和。
（3）杨辉三角的每条斜边上的数都是整数。
（4）杨辉三角的任意一项的系数都是组合数。
三、杨辉三角的应用1. 组合数学杨辉三角在组合数学中有着广泛的应用。
例如，求解组合数、排列数、二项式系数等问题，都可以利用杨辉三角来简化计算。
2. 数列杨辉三角可以帮助我们解决一些数列问题，如求解数列的通项公式、求和公式等。
3. 几何图形杨辉三角在几何图形中也有应用，如求解三角形、四边形等图形的面积、周长等问题。
4. 生活应用杨辉三角在日常生活中也有许多应用，如计算购物优惠、分配任务等。
四、杨辉三角在初中综合实践中的运用1. 课题研究教师可以引导学生开展关于杨辉三角的课题研究，如探究杨辉三角的性质、应用等。
通过课题研究，学生可以加深对杨辉三角的理解，提高他们的研究能力和创新意识。
2. 课堂活动教师可以将杨辉三角融入到课堂活动中，如设计游戏、竞赛等。
通过课堂活动，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。
3. 实践操作教师可以组织学生进行杨辉三角的实践操作，如绘制杨辉三角、计算组合数等。
通过实践操作，学生可以巩固所学知识，提高他们的动手能力。
4. 课外拓展教师可以鼓励学生进行杨辉三角的课外拓展，如研究杨辉三角在生活中的应用、探索杨辉三角与其他数学知识的联系等。
初中数学百科知识必备：杨辉三角
初中数学百科知识必备：杨辉三角知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来查字典数学网给大家整理初中数学百科知识，供大家参考阅读。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。
中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。
现在要求我们用编程的方法输出这样的数表。
同时这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律即为0 (a+b)^0 (0 nCr 0)1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3) 因此杨辉三角第x层第y项直接就是 (y nCr x)我们也不难得到第x层的所有项的总和为 2^x (即(a+b)^x中a,b都为1的时候)[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指组合数]其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。
中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
18-19版：1.3.2 杨辉三角（步步高）
1.3.2杨辉三角学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.思考3二项式系数的最大值有何规律？答案当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大．梳理(1)二项式系数表及特征当n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：图中所示的表叫做二项式系数表，它有这样的规律：①每一行的两端都是1；＋C m n.②除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，即C m n＋1＝C m－1n(2)二项式系数的性质1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( × )2．二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n.( × ) 3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × )类型一 与杨辉三角有关的问题例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值．考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 解 由题意及杨辉三角的特点可得S 16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 19) ＝(C 22＋C 23＋C 24＋...＋C 29)＋(2＋3＋ (9)＝C 310＋8×(2＋9)2＝164.引申探究本例条件不变，若改为求S 21，则结果如何？解 S 21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋...＋(C 211＋C 111)＋C 212＝(C 22＋C 23＋C 24＋...＋C 212)＋(2＋3＋ (11)＝C 313＋(2＋11)×102＝286＋65＝351. 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 34解析 由题意设第n 行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C 13n ∶C 14n＝2∶3，即14n －13＝23，解得n ＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3. 类型二 二项式系数和与项的系数和问题例2 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.② 与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N ＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N ＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.类型三 二项式系数性质的综合应用 例3 在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中： (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝5428(1)C 2r r r r x -⋅⋅⋅－. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1， ∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r ，解得5≤r ≤6.又0≤r ≤8且r ∈N ，∴r ＝5或r ＝6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即第5项， ∴T 5＝2044428C 2x-⋅⋅＝1 120x －6.(3)由(1)知展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，∴系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x－11.(4)系数最小的项为T 6＝175528C 2x-⋅⋅－＝1721 792x -－.反思与感悟 (1)求二项式系数最大的项：①若n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫即第n2＋1项的二项式系数最大； ②若n 为奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫即第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．(2)求展开式中系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解得r 即可． 跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(2)(x －y )11展开式的通项为T r ＋1＝C r 11x 11－r (－y )r ＝C r 11(－1)r x 11－r y r ， ∴项的系数的绝对值为|C r 11·(－1)r |＝C r 11，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C 611x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5. (4)展开式中，二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211.(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C 011－C 111＋C 211－…－C 1111＝(1－1)11＝0.1．在(1＋x )n (n ∈N ＋)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 等于( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 考点 二项式系数的性质题点 用二项式系数的性质计算 答案 C解析 由题意知(1＋x )n 的二项展开式中，x 5的系数就是第6项的系数，因为只有x 5的系数最大，所以n ＝10.2．若(x ＋3y )n 的展开式中所有项的系数之和等于(7a ＋b )10的展开式的二项式系数之和，则n 的值为( )A ．15B ．10C ．8D ．5 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D解析 令x ＝y ＝1，得(x ＋3y )n 的展开式中所有项的系数和为4n ，(7a ＋b )10的展开式中所有项的二项式系数之和为210，故4n ＝210，即n ＝5. 3．(1＋x )2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求二项式系数最大(小)的项 答案 C 解析 (1＋x )2n＋1展开式有2n ＋2项．系数最大的项是中间两项，是第n ＋1项与第n ＋2项，它们的二项式系数为C n 2n ＋1与C n ＋12n ＋1.4．设(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.①又T r ＋1＝C r 4(2x )4－r (－1)r 3r ， ∴当r ＝0时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b )7展开式的二项式系数的和大128，求⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 2n －27＝128，n ＝8，⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 8x16－3r.当r ＝4时，展开式中的系数最大，即T 5＝70x 4为展开式中的系数最大的项；当r ＝3或5时，展开式中的系数最小，即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x 为展开式中的系数最小的项．1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和的特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握． 3．注意以下两点(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }.。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即.2杨辉三角我们首先从一个二次多项式〔a+b〕的展开式来探讨.由上式得出：〔a+b〕2= a2+2ab+b2此代数式的系数为：1 2 1那么〔a+b〕3的展开式是什么呢答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现,此代数式的系数为：1 3 3 1 但,,、4似乎没有什么规律,所以让我们再来看看〔a+b〕的展开式.展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现,代数式的系数为:1 4 6 4 1似乎发现了一些规律,就可以发现以下呈三角形的数列:1(110)11(111)1 2 1(112)1 3 31(113)1 4 6 41(114)15 10 105 1(115)1 6 15 20 156 1(116)杨辉三角形的系数分别为：1, (1,1 ), (1,2,1 ), (1,3,3,1 ), (1,4,6,4,1 ) (1,5,10,10,5,1),(1,6,15,20,15,6,1),(1,7,21,35,35,21,7,1)所以：(a+b) 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7o由上式可以看出,(a+b) n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2 - n -n , b的次数依次上升,0、1、2…n次方.系数是杨辉三角里的系数.2杨辉三角的哥的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下：1( 1 )1 1(1+1=2 )1 2 1(1+2+1=4 )1 3 3 1(1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1(1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1(1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )相加得到的数是1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…刚好是2的0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…n次哥,即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次募3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系n=1(2)把斜行〔2〕中第7行之前的数字相加得 1+2+3+4+5=15把斜行〔3〕中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行〔4〕中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行⑸中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行〔6〕中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字比照,我们发现它们是完全相同的.之前的数字之和、〔2〕中第n 行之前的数字之和、〔3〕中第n 行之前的数字之和、〔4〕中第n 行之前的数字之和、 〔n-3〕中第n 行之前的数字之和、1.总结杨辉三角对于我们好理解的规律,如下六点：1、每个数等于它上方两数之和. 2、每行数字左右对称,由1开始逐渐变大. 3、第n 行的数字有n+1项. 4、第n 行数字和为2 〔n-1〕.〔2的〔n-1〕次方〕 5〔a+b 〕 n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第〔n+1〕行中的每一项.[1] 6 、第n 行的第m 个数和第n-m 个数相等,即C 〔n,m 〕=C 〔n,n-m 〕,这是组合数性质 1 6 15 20把斜行〔1〕中第7行之前的数字相加得 1+1+1+1+1+1+1=6 中前n-1个数之和,即第n 行的数分别为 1、〔1〕中第 i-1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中
取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，
a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是
．
3．(2018·十堰)如图，是按一定规律排成的三
角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左
n
探究3
杨辉三角中试写出个数起, 任 一 个数是前2个数字的
第1行
11
和,是斐波那契数列.
第2行
12 1
第3行
1 3 31
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
5．(2018·枣庄)将从1开始的连续自然数按如下 规律排列：
第1行
1
第2行
234
第3行
98765
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 24 20 19 18 17
…
…
• 则2 018在第__4_5___行．
杨辉三角
一
一
一
一二 一
一三三 一
一四 六 四 一
一五 十 十 五一
一六
十 五
二 十
十 五
六
一
探究1
计算杨辉三角中各行数字的和,我们有
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
第n行
1 1 + 1= 2 , 1 + 2 + 1= 4 , 1 + 3 + 3 + 1= 8 , 1 + 4 + 6 + 4 + 1= 16 ,
至右第5个数是 ( B )
A．2 10
B． 41
C．5 2
D． 51
1 23 256 7 2 2 3 10 ………
4．【2015广西】将正整数按如图所示的规律排 列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从 左到右第n个数，如（3，2）表示正整数5，（4， 3）表示正整数9，则（100，16）表示的正整数 是 4966 ．
第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 ,
············ 2n
探究2
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到
左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的第n
个数有什么关系?
第0行
1
相等关系
第1行 第2行 第3行 第4行
中考复习 规律问题之杨辉三角
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.
“杨辉三角”出现在他编著的《详解九章算法》 一书中, 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右, 杨 辉是一位杰出的数学教育家、重视数学的普及．
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
C r C r C r C r C r1(n r)
r
r1
r2
n1