第二讲定义新运算

第二讲定义新运算

2.1 概念引入

如+-*÷对应加减乘除一样，我们可以定义一些符号，这些符号对应一些新的运算法则本讲定义的新运算多半是四则运算的复合形式，也有一些奇思妙想，如例5，习题4，解答这些问题的关键是仔细读题，理解新运算的定义并严格按照新运算的要求进行计算

我们先通过一个具体的例子来了解定义新运算

例1 设a，b都表示数，规定a※b表示a的4倍减去b的3倍，求5※6，6※5

解析：5※6=5×4-6×3=2

6※5=6×4-5×3=9

这里可以看到例1定义的O运算没有交换律，不可将顺序颠倒，同样的，任何一个定义的新运算都可能不满足交换律，结合律，分配律等计算定律，为避免错误，计算时请严格按照定义和固有顺序计算。

例2 a和b都表示数，a⊕b=ab+a+b，如3⊕4=12+3+4=19，求3⊕3，2⊕4

解析：算得3⊕3=15；2⊕4=14

例3 a和b都表示数，a⊕b= a+3b，求（5⊕6）⊕7和5⊕(6⊕7)并判断这一符号对应的运算法则是否具有结合律

解析：5⊕6⊕7=（5+18）⊕7=23⊕7=23+21=44

5⊕(6⊕7)=5⊕(6+21)=5⊕27=86

由（5⊕6）⊕7和5⊕(6⊕7)不相等，故不满足结合律

例4（复合定义新运算）规定a⊕b=a+b-1，aфb=ab-1。

（1）求6ф(2⊕3)

（2）若x⊕(xф4)=30，求x的值

解析：（1）23

（2）化简得到方程5x-2=30

x =6.4

例5 定义新运算：如果3※2＝3+33＝36，2※3＝2+22+222＝246，1※4＝1+11+111+1111＝1234，求4※5．

解析：根据题意观察得出定义的含义

计算得：4※5＝4+44+444+4444+44444＝49380．

例6（分类讨论）已知：a≥b时，a※b=a+b；而当a

计算2※6和3※2

解析：2※6=4+6=10

3※2=5

2.2 方程及待定系数法解决较复杂的定义新运算

事实上例题4便是一个复杂问题，尤其是第二小问用到了上讲所学的方程思想，这里还要着重讲一下待定系数法和分类讨论问题

例7（偏难，用到待定系数法和数论）规定新运算“*”及“□”如下：x*y=mx+ny，x□y=kxy，其中m,n,k为正整数，已知1*2=5，(2*3)□4=64，求（1□2）*3的值

解析：先运用已知条件求出m,n,k的值

由1*2=5知m+2n=5，结合m,n是正整数有

本例的实质是待定系数法，记住这一方法，以后会有较广泛的运用。

我们在后面的习题6研究分类讨论与方程结合的问题。

2.3 练习题

习题1 设a*b=a(b+3),求3*4

解析：算得21

习题2对于正实数a,b，定义a⊙b=ab

a+b 则4⊙4⊙3=（）

解析：计算即可，答案为65

习题3 正整数a,b;若a □b 表示a 和b 中较大数除以较小数的余数，求21□5，40□6 解析：1和4

习题4 定义新运算符号“*”的运算过程为a *b ＝2a ﹣3b ，试解方程2*（2*x ）＝x *1． 解析：根据题意得：2*x ＝4﹣3x ，x *1＝2x ﹣3，

方程2*（2*x ）＝x *1变形得：4﹣3（4﹣3x ）＝2x ﹣3，

去括号得：4﹣12+9x ＝2x ﹣3，

移项合并得：7x ＝5，

解得：x ＝．

习题5 在习题3的条件下，若21□x=1,x 的取值可能是多少

解析：由除法定义知x 只要是20的因数且不是1即可

故x 可取2，4，5，10，20

习题6 已知：a ≥b 时，a O b=3a+2b ；而当a

求x 的取值

解析：分两种情况讨论：

1. 若x ≥10,则3x+20=32

x=4，与x ≥10矛盾，舍去

2. 若x <10,同理解得x=1，合题意

综上所述x 的值为1

课后练习

题1 a ⊙b=ab+a-b , 求5⊙8

解析：37

题2 a 和b 都表示数， a ⊕b= a+16b ，求（5⊕6）⊕7和5⊕(6⊕7)并判断这一符号是否拥有结合律

解析略

题3 x □y 表示y ×A-2x , A 为一个常数，已知82□65=31

求29□57和38□（14□23）

解析：待定系数法求A ，有65A-164=31,A=3

算得结果分别为113和47

题4 有一个数学运算符号使得下列等式成立4#8=16，10#6=26，6#10=22，18#14=50，求7#4 观察归纳出a#b=2a+b ，符合所有算式

进而算得7#4=18

（这里是一种不完全归纳，并非真正的证明，迎合题意而已，数学逻辑来说很不严谨）

题5 a#b=3a+2b ，若8#（x#2）=50，求x 的值

解析 计算得x=3

题6已知：a≥b时，a O b=3a+b；而当a

求x的取值

解析：由对称性知也为34

题7 已知：a≥b时，a O b=3a+b；而当a

求x的取值

解析同习题6求解，得到x=4

题8 有一个数学运算符号“。”使得下列算式成立。

解析 12/55

题9 对于任意的整数x,y,定义新运算“△”为：

解析54/11

题10 对于数a,b规定运算“◎”为a◎b=（a+1）×（1-b）,若等式（a◎a）◎（a+1）=（a+1）◎(a◎a)成立，求a的值。

解析0