第二讲定义新运算
四年级奥数培优专题第四章 数与计算(二)
四年级奥数培优专题第四章数与计算（二）第一讲定义新运算【专题导引】我们学过常用的运算有加、减、乘、除等。
如6+2=8,6×2=12等。
都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同,实质上是对应法则不同。
由此可见,一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
对应法则不同就是不同的运算。
当然,这个对应法则应该是对任意两个数。
通过这个法则都有一个惟一确定的数与它们对应。
这一周,我们将定义一些新的运算形式,它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。
【典型例题】【例1】有a、b两个数,规定a◎b=a+(b-2)。
那么5◎2= ？【试一试】1、有a、b两个数,规定a※b=a+2-b。
那么2※3= ？2、有a、b两个数,规定a＃b=a+2-b+9。
那么6＃8= ？【例2】如果规定a◎b=a-b×2 ,那么a=8、b=3时,求8◎3= ？【试一试】1、如果规定a△b=a×3+b ,那么a=3、b=10时,求3△10= ？2、如果规定a△b=（a+b）÷4 ,那么a=1、b=7时,求1△7= ？【例3】设a、b都表示数,规定是a△b表示a的3倍减去b的2倍,a△b=a×3－b×2。
试计算：①5△6,②6△5。
【试一试】1、设a、b都表示数,规定a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2、设a、b都表示数,规定a*b=3×a＋2×b。
试计算①（5*6）*7,②5*（6*7）。
【例4】对于两个数a与b,规定a※b= a×b + a+b。
试计算6※2。
【试一试】1、对于两个数a与b,规定a※b=a×b－（a+b）。
试计算3※5。
2、对于两个数A与B,规定A※B=A×B÷2。
试计算6※4。
【例5】如果2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8,按此规律计算：3△5。
【试一试】1、如果5◎2=5×6,2◎3=2×3×4,按此规律计算：3◎4= ？2、如果2◎4=24÷（2+4）,3◎6=36÷（3+6）,按此规律计算：8◎4= ？【※例6】对于两个数a与b,规定a□b=a＋（a＋1）＋（a ＋2）＋……（a＋b －1）。
最新小学五年级奥数第二讲--定义新运算及作业
第二讲定义新运算一、a、b是自然数，规定a※b=(a+b)÷2,求：3※（4※6）的值。
二、对于任意两个自然数a、b，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a÷b，求75*5=？，12*4=？三、定义运算符“◎”：a◎b=3a+4b-5，求6◎9=？9◎6=？四、定义两种运算“○＋”和“○×”，对于任意两个整数a、b规定：a○＋b=a+b-1，a○×b=a×b-1，那么8○× [（6○＋10）○＋（5○×3）]等于多少？五、定义运算“○＋”=（a+b）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋12）哪一个大？大的比小的大多少？六、a、b是自然数，规定a⊙b= ab-a-b-10，求8⊙8=？七、如果1*2=1+2，2*3=2+3+4，3*4=3+4+5+6，……，请按照此规则计算3*7=？八、规定运算a@b=（a+b）÷2，且3@（x@2）=2，求x=？九、十、规定a△b=ab+2a， a▽b=2b-a，求（8△3）▽（9△5）的值。
第二讲定义新运算作业十一、定义新运算“*”：a*b=3a+4b-2，求（1）10*11；（2）11*10。
十二、定义新运算“△”：a△b= a÷b×3，求（1）24△6；（2）36△9。
十三、规定a○＋b，表示自然数a到b的各个数之和，例如：3 ○＋10=3+4+5+6+7+8+9+10=52，求1○＋200的值。
十四、十五、定义新运算“○×”，a○×b=10a+20b，求（3○×7）+（4○×8）。
十六、定义新运算“△”：a△b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？十七、十八、规定a*b=（a+b）÷2，求[（1*9）*9]*3的值。
十九、规定a☆b=3a-2b，如果x☆（4☆1）=7，求x的值。
2第二讲 定义新运算
第二讲定义新运算知识导航基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算.基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程.规律进行运算.关键问题：正确理解定义的运算符号的意义.注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序.②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.运算分类：1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一.直接运算型例1.若*A B 表示()()3A B A B +×+，求5*7的值.解析：A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积.解:由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312【巩固1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值.6△（3△4）解析：所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算.解：由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固2】设a △2b a a b =×−×，那么，5△6=______，(5△2)△3=_____.解析：56552613=×−×=△52552221=×−×=△,21321216435=×−=△例2.“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d .如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________.解析：1△2＝1×c ＋2×d =5，2△3＝2×c ＋3×d =8，可得c =1,d =26△1000＝6×c ＋1000×d =2006【巩固】对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝ba b a m ××+×2（m 是一个确定的整数）.如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________.解析：根据1⊗4=2⊗3，得到3223241241××+×=××+×m m ，解出m =6.所以，121143243643=××+×=⊗.例3.如果规定a ※b =13×a -b ÷8，那么17※24的最后结果是______.解析：17※24=13×17-24÷8=221-3=218【巩固1】若用G （a ）表示自然数a 的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G （6）=4，则G (36)+G (42)=.解析：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36.42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42.所以有G 36G +=+=429817.【巩固2】如果&10a b a b =+÷,那么2&5=.解析：直接解答即可.解：2&5=2+5÷10=2.5模块二.观察规律型例1.如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算（3※2）×5.解析：通过观察发现：a ※b 中的b 表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a 组成，都由一个数位，依次增加到b 个数位.（5※3）×5＝（5＋55＋555）×5＝3075【巩固】规定:6※2=6+66=722※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=解析：7※5=7+77+777+7777+77777=86415.例2.有一个数学运算符号⊗，使下列算式成立：248⊗=，5313⊗=，3511⊗=，9725⊗=，求73?⊗=解析：通过对248⊗=，5313⊗=，3511⊗=，9725⊗=这几个算式的观察，找到规律：，因此【巩固】规定a △b (2)(1)a a a b =×+−+−,计算：（2△1）++⋯（11△10）=______.解析：这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b ＝a －1，所以，我们不妨把b ＝a －1代入原定义．a △b (2)(1)a a a b=×+−+−就变成了a △b (2)(1)(1)a a a a =×+−+−−=2a ．所以2△122=，3△223=，……，3△2211=，则原式22=＋23＋24＋…＋21111122315056××=−=．这里需要补充一个公式：22222(1)(21)12346n n n n ×++++++=⋯⋯．课后练习1.已知a ,b 是任意自然数,我们规定:a ⊕b =a +b -1,2a b ab ⊗=−,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗=.解析：原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+−⊕×−=⊗⊕4[13131]425=⊗+−=⊗425298=×−=2.M N ∗表示()2,(20082010)2009M N +÷∗∗____=解析：原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+÷==+÷=⎡⎤⎣⎦3.规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a <b ，则a ☆b =a ×b .那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=.解析：原式=2×3+4-4+1+7+5=194.P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8)解析：68373*(6*8)3*()3*7522++====5.设a、b 都表示数，规定：a△b 表示a 的3倍减去b 的2倍，即：a△b =a×3－b×2.试计算：（1）5△6；（2）6△5.解析：解这类题的关键是抓住定义的本质.这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.（1）5△6=5×3－6×2=3（2）6△5=6×3－5×2=86.对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y××∆+,求2△9.解析：根据定义6=2x y x y x y ××∆+于是有62922952295××∆==+×7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A ∗=+++，已知()()11221212113A ∗=+=×++，求19981999∗.解析：根据题意得()()()()()()12111,,2116,1211322116A A A A =−=++==++++，所以)11999()11998(11999199811999*1998+×++×=200019991199919981×+×=20001999199819982000××+=199800012000199919983998=××=8.如果a .b.c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，()()a b c a b c ++=++.现在规定一种运算"*"，它对于整数a .b .c .d 满足：例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)=×+××−×=请你举例说明，"*"运算是否满足交换律.结合律.解析：(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)(4,3)*(2,1)=(4×2+3×1,4×2－3×1)=(11,5)所以“*”满足交换律[(2,1)*(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)*(4,3)=(89,47)(2,1)*[(6,5)*(4,3)]=(2,1)*(39,9)=(87,69)所以“*”不满足结合律.。
(中考复习)第2讲 实数的计算及大小比较
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【名师课堂】
1．熟练掌握实数的运算法则，明确运算顺序；
2．在计算中要灵活运用运算律； 3．能正确计算零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值的 计算方法； 4．准确记住特殊角的三角函数值； 5．从给定的特例分析特点和规律．
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(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
倒数； (2)除以一个不为0的数等于乘以这个数的____ (3)0除以任何一个不为0的数都得0.
乘方：求n个_____________ 相同因数的积 的运算叫做乘方，乘方的结果
叫做幂． 【即时应用1】 计算：32×3.14＋3×(－9.42)＝________.
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【预测1】 定义新运算：对任意实数a、b，都有a⊗b＝a2
－b.例如3⊗2＝32－2＝7，那么2⊗1＝________.
解析 答案 ∵a⊗b＝a2－b，∴2⊗1＝22－1＝3. 3
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对接点二：实数大小的比较
常考角度：1.有理数大小的比较； 2．无理数大小的比较； 3．数轴上两个实数大小的比较；
c
b பைடு நூலகம் c c b
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实数的运算 1．有理数的运算律在实数范围内仍适用 加法交换律：__________ a＋b＝b＋a； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ； 加法结合律：___________________ 乘法交换律：______ ab＝ba； (ab)c＝a(bc) ； 乘法结合律：___________ a(b＋c)＝ab＋ac ． 分配律：_______________ 乘方、开方，再算 2．在实数范围内的混合运算顺序是：先算____ 括号里的，同 ____ 乘除，最后算加减，运算中有括号的，先算______ 一级运算从__ 左到右依次进行．
上海小升初三公上外上实浦外口奥模拟第二讲 计算专题2——整数巧算 (教师版)
脱口秀数学第二讲计算专题2——整数巧算第一部分：速算与巧算基本运算律及公式加法：加法交换律、加法结合律减法：在连减或者加减混合运算中，去括号、添括号的规则乘除法：乘法交换率、乘法结合率、乘法分配率（反过程是提取公因数）、积不变性质商不变性质在乘除混合运算中，去括号、添括号的规则加减法中的速算与巧算1、分组凑整法2、加补凑整法3、位值原理法4、“基准数”法乘除法中的速算与巧算1、乘法凑整：⨯=，81251000⨯⨯=⨯=，711131001⨯=，42510025102、乘法其他速算方法：（详细例子见第一讲）20以内的两位数相乘、首同尾非十的两位数相乘、首同尾十的两位数相乘、首十尾同的两位数相乘、任意多位数数x11。
3、在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b÷÷=÷÷两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即()()()()()()a b c d a c b d a d b c⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷计算的应用1、定义新运算：定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
2、平均数计算：平均数问题的数量关系式，总数量÷总份数=平均数,平均速度=总路程÷总时间.解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数。
【例1】计算：11+192+1993+19994所得和数的数字之和是多少？【考点】加补凑整【解析】观察后三位数，可分别补上8,7,6使得凑成整百整千整万的数11+192+1993+19994=200+2000+20000-10=22200-10=22190最终所得数的数字和是14【答案】14【例2】计算：（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋8＋1988）＝（）。
四升五数学奥数题
第一讲:速算与巧算例1:计算325÷25在除法里,被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变,利用这一性质,可以使这道计算题简便325÷25=(325×4)÷(25×4)=1300÷100=13计算下面各题1; 450÷25 2. 525÷253,3500÷125例2:计算(1)(360+108)÷36 (2)(450-75)÷15【思维导航】两个数的和(或差)除以一个数,可以用这个数分别去除这两个数,再求出两个商的和(或差,利用这一性质,可以使这道题计算简便(1)(360+108)÷36 (2)(450-75)÷15练习:计算下面各题1.(720+96)÷242.(4500-90)÷453.6342÷214.8811÷89例3:计算158×61÷79×3【思维导航】在乘除法混合运算中,如果算式中没有括号,计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366计算下面各题1.238×36÷119×52.624×48÷312÷83.138×27÷69×504.406×312÷104÷203例4:计算下面各题,(1)123×96÷16(2)200÷(25÷4)思维导航】这两道题都是乘除混合运算式题,我们可以根据这两道题的特点,采用加括号或去括号的方法,使计算简便,其方法与加减混合运算添,去括号的方法类似,可以概括为:括号前是乘号,添,去括号不变号:括号前是除号,添、去括号要变号:计算下面各题,1.612×366÷1832,1000÷(125÷4)3.(13×8×5×6)÷(4×5×6)4.241×345÷678÷345×(678÷241)第二讲定义新运算例1:设a、b都表示数,规定:a△b表示a的3倍减去b的2倍,即:a△b=a×3-b×2试计算:(1)5△6:(2)6△5,【思维导航】解这类题的关键是抓住定义的本质,这道题规定的运算本质是:运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍练习:1,设a、b都表示数,规定:aOb=6×a-2×b。
五数奥数新定义运算
第一讲定义新运算一、学习目标1. 了解新运算的定义并学会按新运算的要求进行计算。
2. 学习观察、比较、判断和推理的数学方法。
二、内容提要与方法点拨1.要熟练掌握四则运算的法则及运算定律。
2. 定义新运算是指用某种特定的符号表示特定意义的运算。
解答这类题目时，首先要弄清新定义的运算的特定含义，也就是弄清它所表示的通常意义下是什么运算，然后转化为通常意义下的四则运算来进行解答。
在没有特别说明的情况下，一些基本的四则运算法则如从左往右计算、有括号时先算括号里面的等在新定义的运算中也是适用的。
但是，在新定义的运算中，不一定都适合交换律或结合律。
三、例题选讲例1如果a▽b表示a×b＋a－b，试计算：（7▽4）▽5。
解：式子a▽b表示两个数的积加上第一个数后再减去第二个数。
在式子（7▽4）▽5中，要先算小括号里面的。
（7▽4）＝7×4＋7－4＝31而31▽5＝31×5＋31－5＝181，所以，（7▽4）▽5＝181。
例2规定a☆b表示a的4倍减去b的3倍，即a☆b＝4a－3b，试计算：（1）5☆6 ；（2）6☆5。
解：（1）根据a☆b＝4a－3b，所以，5☆6＝4×5－3×6＝2（2）6☆5＝6×4－5×3＝9注意：a☆b表示a的4倍减去b的3倍，而b☆a表示b的4倍减去a的3倍，这里a≠b，所以a☆b≠b☆a。
因此，本例定义的新运算是不满足交换律的，计算中不能把前后两个数交换。
例3 对于两个数x、y，规定x＃y表示3x＋2y，试计算：（1）（5＃7）＃8 ；（2）5＃（7＃8）。
解：（1）根据x＃y＝3x＋2y，得（5＃7）＃8＝（3×5＋2×7）＃8＝29＃8＝3×29＋2×8＝103（2）5＃（7＃8）＝5＃（3×7＋2×8）＝5＃37＝3×5＋2×37＝89注意：本例定义的运算是不满足结合律的。
六年级数学-奥数精品讲义16讲
六年级数学-奥数精品讲义16讲目 录第1讲 定义新运算第2讲 简单的二元一次不定方程第3讲 分数乘除法计算第4讲 分数四则混合运算第5讲 估算第6讲 分数乘除法的计算技巧第7讲 简单的分数应用题【1】第8讲 较复杂的分数应用题【2】第9讲 阶段复习与测试【略】第10讲 简单的工程问题第11讲 圆和扇形第12讲 简单的百分数应用题第13讲 分数应用题复习第14讲 综合复习【略】第15讲 测试【略】第16讲 复杂的利润问题【2】第一讲 定义新运算在加，减，乘，除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。
在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。
例1；如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？例2；如果A#B 表示3B A + 照这样的规定，6#【8#5】的结果是多少？例3；规定YX XY Y X +=∆ 求2Δ10Δ10的值。
例4；设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N【1】计算【14 *10】*6【2】计算 【58*43】 *【1 *21】例5；如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-【A+B 】求【1】10¤7【2】【5¤3】¤4【3】假设2¤X=1求X例6；设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞【X ∞ 1/4】的值是多少？例7；规定X*Y=XY Y AX +，且5*6=6*5则【3*2】*【1*10】的值是多少？例8；▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++=∇11 已知3211212112=+++=∇））（（A 那么20088▽2009=？巩固练习1·已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推【1】3▽2 【2】5▽3【3】1▽X=123，求X的值2·已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算【1】【4△2】+【5△3】【2】【3△5】÷【4△4】3·如果A*B=3A+2B，那么【1】7*5的值是多少？【2】【4*5】*6 【3】【1*5】*【2*4】4·如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A<B，那么｛A，B｝=B；试求【1】｛8，0，8｝【2】｛｛1，9，1，901｝1，19｝5·N为自然数，规定F【N】=3N-2 例如F【4】=3×4-2=10试求；F【1】+F【2】+F【3】+F【4】+F【5】+……+F【100】的值6·如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？【第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题】7·若“+·-·×·÷·=·【】”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。
华罗庚学校数学课本四年级共十五讲(第一讲至第五讲)
华罗庚学校数学课本：四年级（上册）第一讲速算与巧算（一）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？第二讲速算与巧算（二）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解：A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为987654321＞123456788，所以A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋3）×（250—3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250—5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 ×250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，...，x—1，x，x＋1， (x)＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 ×98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝ 52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5. 例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
定义新运算PPT讲义
下次课再见！
4⊙b＝32 5 ×4＋3×b＋3＝32
20＋3×b＋3＝32 23＋3×b＝32 3×b＝32－23 3×b＝9 b＝3
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定义新运算※为：a※b＝4×a＋b，已知a※6＝30，求a的值。
a※6＝30 4×a＋6＝30
4×a＝24 a＝6
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假设一种运算符号“※”，X※Y＝（X＋Y）÷4，求a※16＝10中a的值。
=4a+2b
=4×1+2×4 =12
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规定a※b=5a-Байду номын сангаасb a@b=4ab+2b ,求（2※3）@ 4
（2※3）@ 4 =（5×2-3×3）@4 =1@4 =4×1×4+2×4 =24
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两个整数a和b，规定 a☆b＝a×2＋b＋3。根据这样定义的运算，求（6☆9）☆4的值。 （6☆9）☆4 =（6×2+9+3）☆4 =24☆4 =24×2＋4＋3 ＝48＋7 ＝55
先化简：a△b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b）
＝（a+a＋b）×n÷2
1△100＝1＋（1＋1）＋（1＋2）…＋(1＋100) ＝1＋2＋3＋4 …＋100 ＝（1＋101）×100÷2 ＝5100
等差数列
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如果2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规律计算：3△5是多少？
我爱展示 观察5※2＝5＋55＝60，6※3＝6＋66＋666＝738， 7※4＝7＋77＋777＋7777＝8638，求9※5的值。
9※5
凑整法
＝9＋99＋999＋9999＋99999 =（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）
7龙哥数学第二讲讲义(计算问题、数的特性、数列等)
龙哥数学第二讲一、课程主题二、讲义（一）计算问题1、速算与技巧（变形、尾数）1）123456788×123456790－123456789×123456789=（）A.－1B.0C.1D.2解析一：尾数法可知是0-1 可得9 但答案没有肯定是-1 秒A解析二：（123456789-1）*123456790-123456789*（123456790-1）=-123456790+123456789=-12）6799×99-6800×98的值为 ( )A.6802B.6801C.6702D.6701解析：（6800-1）*99-6800*（99-1）=-99+6800=67012、定义新运算1、（2009江苏A类）对正实数定义运算“﹡”：若a ≥b ，则 a﹡b ＝b^3；若 a＜b ，则a﹡ b = b^2。
由此可知，方程3﹡x =27的解是（）A．1 B．9 C．3解 3 ≥X 得 X^3=27 X=33＜X 得 X^2=27 X=33所以答案是D2、（2010浙江）定义4△5=4+5+6+7+8=30,7△4=7+8+9+10=34,按此规律,(26△15)+（10△3）的值为（）A．528 B．525 C．423 D．420解析（26+27+……+40）+（10+11+12）=33*15+33 利用尾数得 5283、有一个数学运算符号★，使下列算式成立：4☆8=16,10★6=26,6★10=22,18★14=50,求7★3等于多少A 10.5B 17C 30D 19解析 7*2+3=17（二）数的特性【10国考52题】一位长寿老人生于19世纪90年代，有一年他发现自己的年龄的平方刚好等于当年的年份。
问这位老人出生于哪一年？（）A．1894年B．1892年C．1898年D1896年龙哥解析：44的平方是1936 1936-44=1892 选B龙哥解析：数字敏感性1900约是44的平方=1936,1936-44=1892【11国考68】.甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。
四年级下册(春季)奥数讲义1-15讲
第一讲、定义新运算知识要点：1、定义新运算：是在题目里特意规定一种有别与我们常用的新的运算规则，要求按照新定的运算法则进行计算推理或证明。
2、解题关键：要抓住定义的本质，根据规定的新运算与我们学过的四则运算的关系式，将新运算转化为我们熟知的四则运算，再进行四则运算就能得出运算的结果.例1、规定a*b=2a+3b，计算（2）、3*2（1）、7△（10△4）（2）、（7△10）△4的值例3 、规定X⊙Y=3X+Y÷2，如果已知7⊙Y=25，求例4、规定A▽B＝A÷5＋B÷2，求（5▽8）×3－（15▽6）÷2的值。
8×9，按此运算规则计算（4*6）÷（3*5）X*Y=X×Y+(X+Y) ×K,并且1*1=5，求1998*1999的值是1、如果规定A△B=A+B+2，计算（1）、9△20 =（）（2）、20△9=（）2、若规定X*Y=（X+Y）÷5，那么8*（3*7）的结果等于（）3、X△Y=（X+Y）÷2，如果X△6=10，那么X=（）4、规定X△Y=X×5-Y×2，那么（1△2）×（2△1）等于多少？3⊙4=3×4×5×6，求4⊙5的值4◇3）○5等于多少？7、规定A△B=A×B×2-（A-B），计算（3△2）+（48、如果4*2=4+44=48，2*3=2+22+222=246，1*4=1+11+111+1111=1234，那么3*4等于多少？9、“⊙”表示一种新的运算符号，已知 2⊙3=2+3+4 3⊙5=3+4+5+6+7 7⊙2=7+8 ……2○5等于多少？11、小明做了一些口算题，他2分钟做30道，照这样计算，小明5分钟做多少道口算题？老师布置60道口算题，他几分钟可以完成？12、某工厂6个工人5天可做300个零件，照这样计算，10个工人8天可做多少个零件？6天要做120020天挖完，实际上每天多挖了45立方米，这样可提前几天14 、一段地下管道预计15个工人每天工作4小时，18天可以完成。
四年级下册数学试题-寒假讲义 第2讲 定义新运算(不含答案) 北师大版(2014秋)
第二讲定义新运算知识要点：定义新运算：定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中（根据所给公式填入数字进行计算），再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．计算时先算括号里面的．例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。
试计算：（1）5△6；（2）6△5。
练习1：1、设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2、有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。
计算12▽6。
例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。
练习2：1、对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
2、对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。
计算5⊕6。
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
练习3：1、如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。
2、如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，试计算1△5。
例4：如果a◎b=a×b－(a＋b)。
求6◎（9◎2）。
练习4：1、定义新运算：A☉B＝A×2＋B－1，计算（4☉5）☉3。
2、（M*N）表示（M＋N）÷2，计算（2008*2010）*2009例5：如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
练习5：1、已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702. 求:(1)3*3；(2)4*5；2、已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：（1）（4△3）+（6△2）（2）（3△2）×（4△3）例6：设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），计算：（1）（12⊕4）⊕13；（2）70⊕（18⊕4）。
六年级下册数学试题-小升初数学思维训练第2讲 计算(二) 比较大小、估算、定义新运算 全国通用
小升初数学思维训练第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算一：知识地图：二：基础知识（一）：比较大小1、分数的大小比较1）通分：a ） 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小；b ） 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。
2）比倒数：倒数大的分数小。
3）与1相减比较法：a ） 真分数：与1相减，差大的分数小；b ） 假分数：与1相减，差大的分数大。
4）经典结论：a ） 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；b ） 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。
对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较： （a b >，且,,a b c 为非零自然数时） （1）,b b c b b ca a c a a c+-<>+- 即“真分数越加越大，越减越小”（0a c -≠）如331331,551551+-<>+-； （2）,a a c a a cb bc b b c+->>+-即“假分数越加越小，越减越大”。
5）放缩法。
6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。
切记！ 7）两个数相除进行比较。
如：34和57，352114720÷=>，所以3547>。
2、小数的大小比较常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。
比较大小分数的大小比较通分 比倒数 与1相减比较法 经典结论放缩法 化成小数比较两个数相除进行比较 对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较小数的大小比较估算常用方法经典步骤 定义新运算（二）估算问题1、常用方法1） 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。
2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。
《定义新运算》PPT课件
定义新运算
解：(1)5◎4 =4×5+3×4 =20+12 =32
a◎b=4×a+3×b
解:4◎5 =4×4+3×5 =16+15 =31
(2)由(1)的运 算结果可知 “◎”没有交
换律。
定义新运算
a◎b=4×a+3×b
（3）（5◎2）◎6
5◎（2◎6）
=（4×5+3×2）
=5◎
◎6
（4×2+3×6）
△是什么运算符呢？没 见过，怎么算呢？
课堂导入
没见过没关系，右边的乘号和 加号我们见过呀，把a=3,b=2带 入右边的算式就可以得到 3×3—2×2=5，即3△2=5。
课堂导入
同学们非常的聪明，对我们新符号新运算方 式一点就通，看来接下来的新知识同学们学起 来会很轻松哦。今天我们要学习的就是一些新 的运算形式，叫做“定义新运算”。
=26◎6
=5◎26
=4×26+3×6
=4×5+3×26
=122
=98
（4）由(3)的运算结果可知“◎”没有结合律
定义新运算
小试牛刀
1.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b， ①求 3△2， 2△3； ②这个运算“△”有交换律吗？ ③求（17△6）△2，17△（6△2）； ④这个运算“△”有结合律吗？ ⑤如果已知4△b＝2，求b.
解：8※5 =8+88+8888+8888+88888 =98760
定义新运算
1.定义新运算是指运用某种特殊符号来 表示特定的意义，从而解答某些算式的 一种运算。解答定义新运算，关键是要 正确地理解新定义的算式含义，然后严 知识总结 格按照新定义的计算程序，将数值代入， 转化为常规的四则运算算式进行计算。
第2讲 定义新运算
第2讲定义新运算【经典例题】【例1】对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
【例2】如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
【例3】对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值【例4】对于任意自然数，定义：n！=1×2×…×n。
例如 4！=1×2×3×4。
那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？1【例6】定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。
比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。
问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？【例7】a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求：a◎b； b◎c； c◎a。
2【巩固练习】1、对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9的值。
2、已知a b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。
3、已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。
4、对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
求f（g（6））-g（f（3））的值；5、对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a b。
四升五数学奥数题
第一讲:速算与巧算例1:计算325÷25在除法里,被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变,利用这一性质,可以使这道计算题简便325÷25=(325×4)÷(25×4)=1300÷100=13计算下面各题1; 450÷25 2. 525÷253,3500÷125例2:计算(1)(360+108)÷36 (2)(450-75)÷15【思维导航】两个数的和(或差)除以一个数,可以用这个数分别去除这两个数,再求出两个商的和(或差,利用这一性质,可以使这道题计算简便(1)(360+108)÷36 (2)(450-75)÷15练习:计算下面各题1.(720+96)÷242.(4500-90)÷453.6342÷214.8811÷89例3:计算158×61÷79×3【思维导航】在乘除法混合运算中,如果算式中没有括号,计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366计算下面各题1.238×36÷119×52.624×48÷312÷83.138×27÷69×504.406×312÷104÷203例4:计算下面各题,(1)123×96÷16(2)200÷(25÷4)思维导航】这两道题都是乘除混合运算式题,我们可以根据这两道题的特点,采用加括号或去括号的方法,使计算简便,其方法与加减混合运算添,去括号的方法类似,可以概括为:括号前是乘号,添,去括号不变号:括号前是除号,添、去括号要变号:计算下面各题,1.612×366÷1832,1000÷(125÷4)3.(13×8×5×6)÷(4×5×6)4.241×345÷678÷345×(678÷241)第二讲定义新运算例1:设a、b都表示数,规定:a△b表示a的3倍减去b的2倍,即:a△b=a×3-b×2试计算:(1)5△6:(2)6△5,【思维导航】解这类题的关键是抓住定义的本质,这道题规定的运算本质是:运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍练习:1,设a、b都表示数,规定:aOb=6×a-2×b。
新运算定义
新运算定义新运算定义定义一：数学中的新运算•什么是新运算？新运算是对传统数学运算进行扩展和补充，引入新的运算规则和符号，使得数学在某些领域或问题上更加完备和精确。
•为什么需要新运算？传统数学中的基本运算已经能够解决大多数实际问题，但在某些特殊场景下存在一些限制。
通过引入新运算，可以更好地描述和解决这些问题。
•新运算的示例：1.矩阵乘法：传统数学中，乘法通常是两个数的乘积，但在线性代数中，矩阵乘法是非常重要的运算，能够描述线性变换等复杂关系。
2.向量积：传统数学中，乘法是两个数的乘积，但在向量运算中，存在向量积，用于求取两个向量之间的夹角和叉积。
3.复数除法：传统数学中，除法通常是两个数的商，但在复数运算中，除法的定义不同，包括共轭复数的乘法等。
定义二：计算机科学中的新运算•什么是新运算？新运算是计算机科学中引入的一种新的计算方法，用于解决传统运算无法解决的问题，或提供更高效的解决方案。
•为什么需要新运算？随着计算机科学的发展，出现了许多新的问题和需求，传统运算已经无法满足这些需求。
新运算的引入使得计算机科学能够更好地应对这些问题。
•新运算的示例：1.并行计算：传统计算只能在一个处理器上进行，但在大规模计算和分布式系统中，引入并行计算可以极大地提高计算速度和效率。
2.量子计算：传统计算是基于二进制系统的，但在某些特定场景下，引入量子计算可以有效地解决某些问题，如因子分解、模拟量子物理等。
3.模糊逻辑：传统逻辑运算是基于真和假的二元系统，但在模糊逻辑中，引入了模糊集合和模糊推理，使得计算机能够处理不确定性和模糊性问题。
相关书籍简介1.《数学新运算引论》–作者：张三–出版日期：2022年–简介：本书介绍了数学中的新运算概念和定义，包括矩阵乘法、向量积、复数除法等。
通过详细的数学推导和实例分析，读者可以了解新运算的原理、应用和意义，进一步拓宽数学思维。
2.《计算机科学中的新运算探索》–作者：李四–出版日期：2023年–简介：本书介绍了计算机科学中的新运算方法和技术，包括并行计算、量子计算、模糊逻辑等。
dd05-春-04s-p02定义新运算与数学游戏
第二讲定义新运算与数学游戏例1、a和b都是自然数，规定a△b＝5×a－3×b（1）求3△5，5△3；△有交换律吗？（2）（16△6）△3，16△（6△3）；△有结合律吗？（3）如果10△b＝14求b。
例2、定义运算符a*b＝a×b－（a＋b）（1）求6*3；求12*（5*7）（2）*有交换律或结合律吗？（3）如果3*（6*x）＝25求x例3、定义新的运算a⊕b＝a×b＋a＋b（1）求6⊕2，2⊕6；求（2⊕3）⊕4；2⊕（3⊕4）；（2）这个运算有交换率和结合率吗？例4、有一个数学运算符号＃使下列算式成立4＃8＝16，10＃6＝26，6＃10＝22，18＃14＝50，求7＃4＝？例5、定义x＃y＝a×x＋2×y并且已知5＃6＝6＃5，求15＃16。
分析：在x＃y＝a×x＋2×y的定义法则中，有一个数字a，因此必须首先确定这个a 是多少。
将已知条件代入定义式中，可以求出a的值，从而写出完整的定义式。
解：例6、x,y表示两个数，规定新运算*及＃法则如下；x*y＝m×x＋n×y,x＃y＝k×x×y，其中m,n,k均为非0的自然数。
已知1*2＝5，（2*3）＃4＝64求（1＃2）*3的值。
例7有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A 将输入的数加上5，装置B将输入的数乘以2，装置C将输入的数减去4，装D将输入的数乘以3。
这些装置可以连接，如A·B表示数字先经A处理再经B进行处理。
问：（1）输入7，经过A·B·C·D输出几？（2）一个数经过B·C·A·D后输出159，输入的是几？例8、如果6⊗2＝6＋7＝13，5⊗3＝5＋6＋7＝17，4⊗4＝4＋5＋6＋7＝22而（6⊗2）＋（5⊗3）＋（4⊗4）＝（6＋7）＋（5＋6＋7）＋（4＋5＋6）＝52那么，1⊗50＋2⊗50＋3⊗50＋…＋50⊗50＝？总结：定义新运算的关键就是弄清出定义式的含义。
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第二讲定义新运算
2.1 概念引入
如+-*÷对应加减乘除一样，我们可以定义一些符号，这些符号对应一些新的运算法则本讲定义的新运算多半是四则运算的复合形式，也有一些奇思妙想，如例5，习题4，解答这些问题的关键是仔细读题，理解新运算的定义并严格按照新运算的要求进行计算
我们先通过一个具体的例子来了解定义新运算
例1 设a，b都表示数，规定a※b表示a的4倍减去b的3倍，求5※6，6※5
解析：5※6=5×4-6×3=2
6※5=6×4-5×3=9
这里可以看到例1定义的O运算没有交换律，不可将顺序颠倒，同样的，任何一个定义的新运算都可能不满足交换律，结合律，分配律等计算定律，为避免错误，计算时请严格按照定义和固有顺序计算。
例2 a和b都表示数，a⊕b=ab+a+b，如3⊕4=12+3+4=19，求3⊕3，2⊕4
解析：算得3⊕3=15；2⊕4=14
例3 a和b都表示数，a⊕b= a+3b，求（5⊕6）⊕7和5⊕(6⊕7)并判断这一符号对应的运算法则是否具有结合律
解析：5⊕6⊕7=（5+18）⊕7=23⊕7=23+21=44
5⊕(6⊕7)=5⊕(6+21)=5⊕27=86
由（5⊕6）⊕7和5⊕(6⊕7)不相等，故不满足结合律
例4（复合定义新运算）规定a⊕b=a+b-1，aфb=ab-1。
（1）求6ф(2⊕3)
（2）若x⊕(xф4)=30，求x的值
解析：（1）23
（2）化简得到方程5x-2=30
x =6.4
例5 定义新运算：如果3※2＝3+33＝36，2※3＝2+22+222＝246，1※4＝1+11+111+1111＝1234，求4※5．
解析：根据题意观察得出定义的含义
计算得：4※5＝4+44+444+4444+44444＝49380．
例6（分类讨论）已知：a≥b时，a※b=a+b；而当a<b时，a※b=2a+b
计算2※6和3※2
解析：2※6=4+6=10
3※2=5
2.2 方程及待定系数法解决较复杂的定义新运算
事实上例题4便是一个复杂问题，尤其是第二小问用到了上讲所学的方程思想，这里还要着重讲一下待定系数法和分类讨论问题
例7（偏难，用到待定系数法和数论）规定新运算“*”及“□”如下：x*y=mx+ny，x□y=kxy，其中m,n,k为正整数，已知1*2=5，(2*3)□4=64，求（1□2）*3的值
解析：先运用已知条件求出m,n,k的值
由1*2=5知m+2n=5，结合m,n是正整数有
本例的实质是待定系数法，记住这一方法，以后会有较广泛的运用。
我们在后面的习题6研究分类讨论与方程结合的问题。
2.3 练习题
习题1 设a*b=a(b+3),求3*4
解析：算得21
习题2对于正实数a,b，定义a⊙b=ab
a+b 则4⊙4⊙3=（）
解析：计算即可，答案为65
习题3 正整数a,b;若a □b 表示a 和b 中较大数除以较小数的余数，求21□5，40□6 解析：1和4
习题4 定义新运算符号“*”的运算过程为a *b ＝2a ﹣3b ，试解方程2*（2*x ）＝x *1． 解析：根据题意得：2*x ＝4﹣3x ，x *1＝2x ﹣3，
方程2*（2*x ）＝x *1变形得：4﹣3（4﹣3x ）＝2x ﹣3，
去括号得：4﹣12+9x ＝2x ﹣3，
移项合并得：7x ＝5，
解得：x ＝．
习题5 在习题3的条件下，若21□x=1,x 的取值可能是多少
解析：由除法定义知x 只要是20的因数且不是1即可
故x 可取2，4，5，10，20
习题6 已知：a ≥b 时，a O b=3a+2b ；而当a <b 时，a O b=2a+3b ，若x O10=32
求x 的取值
解析：分两种情况讨论：
1. 若x ≥10,则3x+20=32
x=4，与x ≥10矛盾，舍去
2. 若x <10,同理解得x=1，合题意
综上所述x 的值为1
课后练习
题1 a ⊙b=ab+a-b , 求5⊙8
解析：37
题2 a 和b 都表示数， a ⊕b= a+16b ，求（5⊕6）⊕7和5⊕(6⊕7)并判断这一符号是否拥有结合律
解析略
题3 x □y 表示y ×A-2x , A 为一个常数，已知82□65=31
求29□57和38□（14□23）
解析：待定系数法求A ，有65A-164=31,A=3
算得结果分别为113和47
题4 有一个数学运算符号使得下列等式成立4#8=16，10#6=26，6#10=22，18#14=50，求7#4 观察归纳出a#b=2a+b ，符合所有算式
进而算得7#4=18
（这里是一种不完全归纳，并非真正的证明，迎合题意而已，数学逻辑来说很不严谨）
题5 a#b=3a+2b ，若8#（x#2）=50，求x 的值
解析 计算得x=3
题6已知：a≥b时，a O b=3a+b；而当a<b时，a O b=a+3b，若x Oy=34,则yOx=()
求x的取值
解析：由对称性知也为34
题7 已知：a≥b时，a O b=3a+b；而当a<b时，a O b=a+3b，若x O10=34
求x的取值
解析同习题6求解，得到x=4
题8 有一个数学运算符号“。
”使得下列算式成立。
解析 12/55
题9 对于任意的整数x,y,定义新运算“△”为：
解析54/11
题10 对于数a,b规定运算“◎”为a◎b=（a+1）×（1-b）,若等式（a◎a）◎（a+1）=（a+1）◎(a◎a)成立，求a的值。
解析0。