微专题 一类解三角形中的最值问题

一类解三角形中的最值问题

例 （2011全国课标1卷理16）在△ABC 中，60B

，3AC ，则2AB BC 的最大值为

【思路分析】

思路一 函数思想：以角为自变量建立函数，即利用正弦定理，用角表示出边，将问题转化为单角的函数最值问题。 由正弦定理得，，故

故

故2AB BC 的最大值为

思路二 利用余弦定理转化得到边之间的等量关系，利用不等式求最值 由余弦定理得，即（*） 设，则，代入（*）式整理得

，解得

，故2AB

BC 的最大值为

思路三：几何法。根据题意作出几何图形，利用平面几何中的性质找到出最值对应的点 由题意可知，B 点的轨迹是在以AC 为弦，且弦所对的圆周角为60°的圆弧

上，延长AB 到D ，使得，

在△BCD 中，由正弦定理得，

解得

，即D 为定值

故D 点的轨迹是在以AC 为弦的，且所对的角的正切值为的圆上，

显然，当AD 为该圆的直径时最大，故

例 （2008江苏13）若2AB ，2AC BC ，则ABC

S

的最大值是

【思路分析】

思路一 函数思想。将目标函数即三角形面积表示为一个自变量的函数。

解法一：

由余弦定理得

故

2S

解法二：以角为自变量。设

由余弦定理得，

，故

故

，当且仅当

时等号成立

思路二 几何法。本题中C 的轨迹实际上是阿波尼斯圆。 以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y

设

整理得

显然，当C 点坐标为

ABC

S

【变式练习】