晶体的宏观对称
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最后，请同学们找出几个模型上所有对称要素。
(模型示范)
四、对称要素的组合
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对 称要素的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定一理半1：) LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3， 4，6这五种，不可能出现n = 5， n 〉6的情况。
为什么呢？ 直观形象的理解： 垂直五次及高于六次的 对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
在晶体上，对称轴可能存在的位置：
（1）通过晶棱的中点； （2）通过晶面的中心； （3）通过角顶。
二、晶体对称的特点
1. 由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就 是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所 有的晶体都是对称的。
2. 晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符 合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因 此，晶体对称又是有限的。
3. 晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的 对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上 （光学、力学、热学、电学性质）。
替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
但易是误，认在为晶L体2。模型上找Li4往往是比较困难的，因为容
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对 称要素，一定要找出最高的。
**********
对称中心（C）
对点的反伸： 通过点直线，点的两侧等距离的两点，可见性
质相同对应点。
对称中心—C
操作为反伸。 只可能在晶 体中心， 只可能一个。
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是 成对出现且两两反向平行、同形等大。
旋转反伸轴（Lin ）
也称为倒转轴。其对称操作是围绕直线旋转一 定的角度和对于一定点的反伸。
• 定理2 如果有一个偶次对称轴Ln垂直于对称面P则 其交点必为对称中心C。
• P×C 简式 Ln×P ⊥ --LnPC（n为偶数） Ln×C
L2×P⊥→ L2PC L4×P⊥→ L4PC L6×P⊥→ L6PC
定理3：如果有一个对称面P包含Ln,必有n个对称面包 含Ln ，且任意两相邻P之间的夹角为α α=360o/2n 以简式表示： Ln ×P // = Ln nP
旋转＋反伸 —— 复合操作 n— 轴次1、2、3、4、6
a— 基转角，重复所需旋转的最小角度。 n=360°/ a
旋转反伸轴与简单对称要素的关系？
Li 1 Li 2 Li 3 Li 4 Li 6
☆旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P
Li 3= L3C
辅助几何要素
直线
点
平面
对称变换 围绕直线的旋转
对于点的倒反 对于平面的反映
基转角
360˚ 180˚ 120˚ 90˚ 60˚
习惯符号
L1 L2 L3 L4 L6
C
国际符号
12346
1
等效对称要素
L1i
图示记号
˚ 或C
P
m 四次 六次
直线和直线上的定点
绕直线旋转及点的倒
反
• 晶体中有的没有 对称面，最多的 有9个对称面。
对称轴（Ln）
假想直线，图形绕此直线旋转一定角度后，使相等 部分重复。
L—对称轴 n—轴次，旋转一周重复的次数 α—基转角，重复所需旋转的最小角度
L1 L2 L3 L4 L6
α＝360°/n 或 n＝ 360°/ α
晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子
4. 是晶体的基本性质之一。
5. 是晶体科学分类的依据。
第二章 晶体的外部对称
对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。 对称要素：在进行对称操作时所凭借的辅助几何
要素(点、线、面) 。
– 对称中心 – 对称轴 – 倒转轴 – 对称面
宏观晶体的对称要素
对称要素
对称轴
对称中心
对称面
一次 二次 三次 四次 六次
120˚ 90˚ 60˚
L3I L4i L6i
346
L3+C
L3+P
对称面（P）
对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操 作是此平面的反映。由这个平面将物体平分后的两 个相等部分互成镜像的关系。
晶体中对称面与晶 面、晶棱有如下 关系：
（1） 垂直并平分 晶面；
（2） 垂直晶棱并 通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱并 且平分晶面夹角。
晶体的宏观对称
crystal symmetry
晶体的对称性是晶体的基本性质之一。
内部特征
格子构造
外部现象
晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质 化学性质
一、对称的概念
• 是宇宙间的普遍现象。 • 是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大
自然的密码。
• 对称是物体相等部分作有规律的重复。指
• 对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶棱与 晶棱、角顶与角顶的有规律重复。
L2×Lin⊥ -LinnL2⊥ 或Lin×P// -LinnP//(n为奇数)
五、对称型的概念及晶体的分类
在结晶学中，把结晶多面体中全部对 称要素的总和，称为对称型。
晶体中全部对称要素交于一点，在进 行对称操作时至少有一点不动。因此对称 型又称为点群。
根据晶体中可能存在的对称要素及其 组合规律，推导出晶体中可能出现的对称 型（点群）是非常有限的，仅有32个。
Li 4
Li 6= L3P
Li4
• 可见，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用 其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其 间关系如下：
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，
Li6 = L3 + P
• 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4
和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代
L2×P∥→ L22P L3×P∥→ L33P L4×P∥→ L44P
定理4 如果有一个二次对称轴L2垂直于Lin，或者有一 个对称面P包含Lin，当n为奇数时，则必有n个L2垂直 或n个P包含Lin，当n为偶数时，则必有n/2个L2垂直 或n/2个P包含Lin.
简 式L2×Lin⊥ -Lin (n/2)L2 或Lin×P// -Lin (n/2)PLin（n为偶数）
(模型示范)
四、对称要素的组合
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对 称要素的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定一理半1：) LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3， 4，6这五种，不可能出现n = 5， n 〉6的情况。
为什么呢？ 直观形象的理解： 垂直五次及高于六次的 对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
在晶体上，对称轴可能存在的位置：
（1）通过晶棱的中点； （2）通过晶面的中心； （3）通过角顶。
二、晶体对称的特点
1. 由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就 是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所 有的晶体都是对称的。
2. 晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符 合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因 此，晶体对称又是有限的。
3. 晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的 对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上 （光学、力学、热学、电学性质）。
替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
但易是误，认在为晶L体2。模型上找Li4往往是比较困难的，因为容
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对 称要素，一定要找出最高的。
**********
对称中心（C）
对点的反伸： 通过点直线，点的两侧等距离的两点，可见性
质相同对应点。
对称中心—C
操作为反伸。 只可能在晶 体中心， 只可能一个。
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是 成对出现且两两反向平行、同形等大。
旋转反伸轴（Lin ）
也称为倒转轴。其对称操作是围绕直线旋转一 定的角度和对于一定点的反伸。
• 定理2 如果有一个偶次对称轴Ln垂直于对称面P则 其交点必为对称中心C。
• P×C 简式 Ln×P ⊥ --LnPC（n为偶数） Ln×C
L2×P⊥→ L2PC L4×P⊥→ L4PC L6×P⊥→ L6PC
定理3：如果有一个对称面P包含Ln,必有n个对称面包 含Ln ，且任意两相邻P之间的夹角为α α=360o/2n 以简式表示： Ln ×P // = Ln nP
旋转＋反伸 —— 复合操作 n— 轴次1、2、3、4、6
a— 基转角，重复所需旋转的最小角度。 n=360°/ a
旋转反伸轴与简单对称要素的关系？
Li 1 Li 2 Li 3 Li 4 Li 6
☆旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P
Li 3= L3C
辅助几何要素
直线
点
平面
对称变换 围绕直线的旋转
对于点的倒反 对于平面的反映
基转角
360˚ 180˚ 120˚ 90˚ 60˚
习惯符号
L1 L2 L3 L4 L6
C
国际符号
12346
1
等效对称要素
L1i
图示记号
˚ 或C
P
m 四次 六次
直线和直线上的定点
绕直线旋转及点的倒
反
• 晶体中有的没有 对称面，最多的 有9个对称面。
对称轴（Ln）
假想直线，图形绕此直线旋转一定角度后，使相等 部分重复。
L—对称轴 n—轴次，旋转一周重复的次数 α—基转角，重复所需旋转的最小角度
L1 L2 L3 L4 L6
α＝360°/n 或 n＝ 360°/ α
晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子
4. 是晶体的基本性质之一。
5. 是晶体科学分类的依据。
第二章 晶体的外部对称
对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。 对称要素：在进行对称操作时所凭借的辅助几何
要素(点、线、面) 。
– 对称中心 – 对称轴 – 倒转轴 – 对称面
宏观晶体的对称要素
对称要素
对称轴
对称中心
对称面
一次 二次 三次 四次 六次
120˚ 90˚ 60˚
L3I L4i L6i
346
L3+C
L3+P
对称面（P）
对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操 作是此平面的反映。由这个平面将物体平分后的两 个相等部分互成镜像的关系。
晶体中对称面与晶 面、晶棱有如下 关系：
（1） 垂直并平分 晶面；
（2） 垂直晶棱并 通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱并 且平分晶面夹角。
晶体的宏观对称
crystal symmetry
晶体的对称性是晶体的基本性质之一。
内部特征
格子构造
外部现象
晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质 化学性质
一、对称的概念
• 是宇宙间的普遍现象。 • 是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大
自然的密码。
• 对称是物体相等部分作有规律的重复。指
• 对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶棱与 晶棱、角顶与角顶的有规律重复。
L2×Lin⊥ -LinnL2⊥ 或Lin×P// -LinnP//(n为奇数)
五、对称型的概念及晶体的分类
在结晶学中，把结晶多面体中全部对 称要素的总和，称为对称型。
晶体中全部对称要素交于一点，在进 行对称操作时至少有一点不动。因此对称 型又称为点群。
根据晶体中可能存在的对称要素及其 组合规律，推导出晶体中可能出现的对称 型（点群）是非常有限的，仅有32个。
Li 4
Li 6= L3P
Li4
• 可见，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用 其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其 间关系如下：
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，
Li6 = L3 + P
• 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4
和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代
L2×P∥→ L22P L3×P∥→ L33P L4×P∥→ L44P
定理4 如果有一个二次对称轴L2垂直于Lin，或者有一 个对称面P包含Lin，当n为奇数时，则必有n个L2垂直 或n个P包含Lin，当n为偶数时，则必有n/2个L2垂直 或n/2个P包含Lin.
简 式L2×Lin⊥ -Lin (n/2)L2 或Lin×P// -Lin (n/2)PLin（n为偶数）