二阶常微分方程的降阶解法
二阶阶微分方程的解法及应用
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
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微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为
降阶法二阶微分方程组
降阶法二阶微分方程组
降阶法是用于求解二阶微分方程组的一种常用方法。
假设给定的二阶微分方程组如下：
\begin{cases}
\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=f(t,x,y)\\
\frac{{d^2y}}{{dt^2}}=g(t,x,y)
\end{cases}
我们可以引入两个新的函数，令$v=\frac{{dx}}{{dt}}$和
$w=\frac{{dy}}{{dt}}$，然后对$v$和$w$分别进行一次积分得到：
\begin{cases}
\frac{{dx}}{{dt}}=v\\
\frac{{dv}}{{dt}}=f(t,x,y)
\end{cases}
\begin{cases}
\frac{{dy}}{{dt}}=w\\
\frac{{dw}}{{dt}}=g(t,x,y)
\end{cases}
这样我们就得到了一组一阶微分方程组。
我们可以利用常见的数值解法，如欧拉法或四阶龙格库塔法等方法求解这组一阶微分方程组，得到$v$和$w$的数值解。
最后，我们再对$v$和$w$进行一次积分，得到$x$和$y$的数
值解：
\begin{cases}
x=t_0+h\sum_{i=0}^{N-1}v_i\\
y=t_0+h\sum_{i=0}^{N-1}w_i
\end{cases}
其中，$t_0$为初值，$h$为步长，$N$为步数，$v_i$和
$w_i$分别为$v$和$w$在第$i$个点的值。
降阶法可以用于求解一些无法直接求解的二阶微分方程组，但需要注意的是，数值解的精度可能会受到步长和步数的影响，因此需要根据实际情况选取合适的步长和步数来保证精度。
可降解的二阶微分方程
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y,C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 dz y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
12.3 可降阶的二阶微分方程
C1 2
2
dp dy
, 原方程化为
即 pdp ydy .
y
2
pdp ydy
2 2
,
p
C1 2
2
2
, p y C1 ,
2 2
从而有
y y C1 ,
由 y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1 得 C 1
3
y ( 0 ) 1 的特解。
解 令 y z ( x ), 则 y z , 原方程化为
z 2 xz 2 x , 解得 z e
3
2 xdx
[ 2 x e
3
2 xdx
2
dx C 1 ]
x
2
e
e
x
2
[ 2 x e dx C 1 ] e
p C 1e
C1 y.
从而有 y C 1 y , 即
C1 x
y C1 y 0,
y C 2e
C 1 dx
C 2e
.
例4 求微分方程 y y 0 满足条件 y ( 0 ) 0 ,
y ( 0 ) 1 的特解。
解 令 y p ( y ), 则 y p
由 y (0) 1得 C 2 特解是 y
x
3
1,
故原方程满足初值条件的
x 1.
3
二 型如 y
f ( y , y )的方程
特征：不显含 x
解法：令 y p ( y ), 则
y dp dy dy dx
p
dp dy
二阶常微分方程解存在的问题
二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
二阶常微分方程的降阶解法
郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213指导教师程春蕊职称讲师2015年4月5号二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。
常微分方程在微分理论中占据首要位置•普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面，不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。
而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的•不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难，迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。
本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。
关于二阶常系数线性微分方程的求解问题，首先，我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。
关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。
对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。
关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式Order reduction method of second order ordinarydifferential equationsJingjing Jia Chun「ui Cheng 111106213AbstractOrdinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice ・ Ordinary differential equations in the theory of d if fere ntial occupied first place, it has been widely used in engi neering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem・ And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty? so far we haven't a well-established general method・This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly?we should use theintegral fact or times d if fere ntial equation and derivative operation and turn two order constant coefficient linear differential equation into the first order differential equation.Finally. We first order differential and integral form on both sides, solve the first order linear differential equations and find out a special solution or gen era I solution of the second orde r linear constant coefficie nt differential equation. We solve the problem of second order homogeneous linear differential equation with variable coefficients, and should be turned into the appropriate equation, through the order reduction method to solve the second order homogeneous general solution of differential equation with variable coefficients.Solving non-homogeneous linear differential equation, we need to calculate it by applying the method of constant variation of a particular solution, problem is solved accordingly.Keywordssecond order ordinary differential equation ；Order reduction method; Characteristic root;Constant variation method;A first order differential form.第一章预备知识 (2)第二章二阶常系数线性微分方程的降阶法 (5)2.2提出问题 (5)2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法 (6)2.3举例 (6)2.4小结 (8)第三章二阶变系数线性常微分方程的降阶法 (9)3.2提出问题 (10)3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法 (10)3.2.1求满足条件1的恰当方程的通解 (10)3.2.2求满足条件2的恰当方程的通解 (12)3.3小结 (14)第四章可降阶的二阶常微分方程 (15)4.1鬃= /（"）型的微分方程 (15)d'y _ f（ dy^4.2d'x L'd.J型的微分方程 (15)4.3=型的微分方程 (16)第五章可降阶的高阶常微分方程 (18)5.1= /（x）型的方程 (18)5.2%,严$叫...严）=o（i“s）型的方程.. (18)5.3F（y,y',y"，...,严）=0 的方程.. (19)54 F（x,y,〉「,...$"））=＜①（X,y"T）=o型的方程……20 d.x总结 (21)... (23)二阶常微分方程的降阶解法班级学号1111062贾静静指导教师程春蕊职称讲师第一章预备知识2•只有自变量、未知函数及函数的导数(或微分)构成的关系式，就是微分方程。
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
二阶常系数线性微分方程的降阶法
阶 线性 微 分 方程 ， 可 求 得 二 阶 常 系数 线 性微 分方 程 的一 个 特 解 或通 解 ． 利 用降阶法， 可 以 求得 微 分 方程 的一 个 特 解 或通 解 ． 其 计 算 方 法 简单和 方便 ， 在 实 际 中具 有应 用价 值 ． 关 键 词 ：二 阶常 系数 线性 微 分方程 ；降阶法 ；特 征根 ；一 阶微 分形 式
ｔ ｗｏ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｒ ｏ ｏ ｔ ｓ ａ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ， ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ａ ｎ ｄ
ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ，ｔ ｈ ｅ ｔ ｗｏ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗｉ ｔ ｈ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ｃ ｏ ｅ ｉ ｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ ｓ ｉ ｓ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｉｒ ｆ ｓ ｔ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｏｒ ｆ ｍ ，ａ ｎ ｄ ｉｎ ｆ ａ ｌ ｌ ｙ ｔ ｈ ｅ ｉｒ ｆ ｓ ｔ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｏｒ ｆ ｍ ｉ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ． Ｔｈ ｅ ｔ ｗｏ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｅ ｃ ｏ ｍｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｉ ｆ ｒ ｓ ｔ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ，ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｉｒ ｆ ｓ ｔ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ
微积分：二阶微分方程
若有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
b, 2
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (2r1 b)u (r12 br1 c)u 0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例6求初值问题
y
y 2 y x0 4, y
y x0
0 2
解 特征方程
r 2 2r 1 0 r1 r2 1
y (C1 C2 x)ex .
将y x0 4代入， 得C1 4，
y (4 C2 x)ex , y (4 C2 x C2 )ex .
2、不含自变量x： y=f （y，y） 这时应把y视为新变量。
令y=P，
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
方程化为 p dp f ( y, p). dx
例 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
将y x0 2代入， 得C2 2，
y (4 2x)ex .
3.二阶常系数线性非齐次微分方程
y+by+cy=f(x) 现在讨论f(x)为： Pm(x) ; Pm(x)ex ; Pm(x)excosx 或Pm(x)exsinx 等 特殊情况。以上可合并为
f (x)=Pm(x)e ( + i) x
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法引言：在微积分中，二阶微分方程是一种常见的数学工具，用于描述复杂的物理和工程问题。
解决二阶微分方程可以提供对系统的深入理解，并有助于预测和控制其行为。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程的解法，包括常系数线性二阶微分方程、非齐次线性二阶微分方程以及常见特殊形式的二阶微分方程。
一、常系数线性二阶微分方程的解法：常系数线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = 0\\]其中，a、b、c为常数，y是未知函数。
这个方程中的三个系数a、b、c决定了方程的性质和解的形式。
1.特征方程法：解决常系数线性二阶微分方程的一种常见方法是通过求解特征方程来获得解的形式。
通过设定y=e^(rx)，将其代入原方程，可以得到特征方程：\\[ar^2 + br + c = 0\\]根据特征方程的解，可以将原方程的通解表示为：\\[y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)\\]其中，r1和r2是特征方程的解，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有两个不相等的实根的情况。
2.欧拉方程法：对于具有复数解的特征方程，可以使用欧拉方程法来解决。
通过设y=e^(rx)，将其带入原方程，并使用欧拉公式进行变换，可以得到解的形式：\\[y = e^(ax) (C_1cos(bx) + C_2sin(bx))\\]其中，a和b是特征方程的实部和虚部，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有复数解的情况。
二、非齐次线性二阶微分方程的解法：非齐次线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = f(x)\\]其中，f(x)是已知函数。
为了解决这个方程，首先需要求解对应的齐次方程\\(ay'' + by' + cy = 0\\)的通解。
然后，根据待定系数法或常数变易法，找到非齐次方程的一个特解。
可降阶的二阶微分方程
且初速度为0 , 求质点的运动规律. 解 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F
F0 (1
t T
)
o Tt
对方程两边积分, 得
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
解法 y f ( x)dx C1, y ( f ( x)dx)dx C1x C2.
例 1 求方程 y xe x cos x 的通解.
解 y ( xe x cos x)dx xex ex sin x C1, y ( xe x e x sin x C1)dx
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y
y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
二阶微分方程
这就是说， 是方程(6)的解 的解， 这就是说，如果函数 y = e rx 是方程 的解，那么 r 必须满 足方程(8)． 足方程 ． 反之， 是方程 的一个根， 是方程(8)的一个根 则 反之，若r是方程 的一个根， 是方程(6)的一个特解 的一个特解． e rx是方程 的一个特解． 方程(8)是以 为未知数的二次方程 为未知数的二次方程， 方程 是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分 2 的系数， 方程(6)的特征方程， 方程 的特征方程，其中 r 和 r 的系数，以及常数项恰好 依次是微分方程(6)中 的系数． 依次是微分方程 中 y′′ 、y ′ 及 y 的系数． 特征方程的根称为特征根． 特征方程的根称为特征根． 特征根
y = (C1 + C 2 x )e r2 x
（10）
(3)特征根是一对共轭复根 1,2=α±βi ， 这时y1 = e (α + βi ) x 特征根是一对共轭复根r 特征根是一对共轭复根 ±
y 2 = e (α − βi ) x 是方程 的两个特解，但这两个解含有复数， 是方程(6)的两个特解 但这两个解含有复数， 的两个特解， 和
11
1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 的解的结构． 的解的结构． 定理1 定理1 如果函数 y1与y2 是方程 (6)的两个解, 那么 (6)
y = C1 y1 + C 2 y2
也是方程(6)的解，其中是任意常数 也是方程 的解，其中是任意常数． 的解
C x ln y = C1 x + ln C 2 或 y = C 2 e 1
显然它也满足原方程． 如果P 显然它也满足原方程．但 y =C 如果 = 0，那么立刻可得 y = C， 那么立刻可得 Cx 已被包含在解 y = C 2 e 1 中了 (令 C1 = 0 就可得到它 ).
降阶法求解微分方程
降阶法求解微分方程微分方程是数学中的重要概念，用来描述变量之间的关系和变化规律。
在求解微分方程的过程中，降阶法是一种常用且有效的方法。
本文将介绍降阶法的基本原理，并通过一个具体的例子来演示该方法的应用。
首先，降阶法是一种将高阶微分方程转化为一系列低阶微分方程的方法。
通过逐步降低微分方程的阶数，我们可以简化问题的复杂性，并更容易找到方程的解。
考虑一个简单的二阶线性微分方程：a(d^2y/dx^2)+b(dy/dx)+cy=0其中，a、b和c是常数，y是未知函数。
我们的目标是找到y关于x的解析表达式。
为了使用降阶法，我们引入一个新的变量v，令v=dy/dx。
这样，原始的二阶微分方程可以转化为一个一阶方程组：dv/dx=-b/a*v-c/a*ydy/dx=v现在，我们有两个关于v和y的一阶微分方程。
接下来，我们将对这个方程组进行求解。
首先，我们求解第一个微分方程dv/dx=-b/a*v-c/a*y。
可以将该方程转化为标准的一阶线性齐次微分方程形式：dv/dx+(b/a)*v+(c/a)*y=0该方程的解可以通过积分因子法求得。
假设积分因子为μ(x)，则乘以积分因子后，可以得到：(μ(x)*v)'+(b/a)*μ(x)*v+(c/a)*μ(x)*y=0通过选择适当的积分因子，使得方程中(b/a)*μ(x)等于μ'(x)，则上式可以化简为：(d/dx)(μ(x)*v)+(c/a)*μ(x)*y=0现在，我们可以通过积分的方式求解上式，得到：μ(x)*v+(c/a)*∫(μ(x)*y)dx=C1其中，C1是一个常数。
通过对上式两边关于x求导，我们可以得到：v=-(c/a)*y*∫μ(x)dx+C2其中，C2是另一个常数。
将上式代入第二个微分方程dy/dx=v，可以得到：dy/dx=-(c/a)*y*∫μ(x)dx+C2这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以通过变量分离的方法进一步求解。
通过逐步求解这一系列的一阶微分方程，我们最终可以得到原始二阶微分方程的解析解。
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程一、可降阶的高阶微分方程在数学中，可降阶的高阶微分方程指的是一个高阶微分方程可以通过一系列变量代换和降阶操作化简为低阶的微分方程。
这种化简的方法在求解高阶微分方程时非常有用，可以简化计算过程并得到解析解。
具体而言，可降阶的高阶微分方程通常可以通过一系列变量代换将高阶导数转化为低阶导数，从而降低微分方程的阶数。
常见的变量代换包括令新变量等于原函数的高阶导数，或者令新变量等于原函数与其高阶导数之间的某种组合。
通过这些变量代换，高阶微分方程可以转化为一系列关于新变量的低阶微分方程。
例如，考虑一个三阶微分方程：\[y'''(x) + p(x)y''(x) + q(x)y'(x) + r(x)y(x) = 0\]可以通过令新变量\(v = y'(x)\)和\(u = v'\)来进行变量代换。
通过求导可以得到：\[v' = u\]将上述代换带入原方程，可以得到一个关于\(u\)和\(v\)的二阶微分方程：\[u' + p(x)u + q(x)v + r(x)y = 0\]通过继续进行变量代换，可以将该二阶微分方程进一步降阶为一阶微分方程。
这种可降阶的方法可以在高阶微分方程的求解中起到重要的作用。
二、二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程是一种形式为\(ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0\)的微分方程，其中\(a\)、\(b\)和\(c\)是常数。
这类微分方程在物理、工程和数学等领域中广泛应用，可以描述许多自然现象和物理过程。
对于二阶常系数微分方程，其特征方程为\(ar^2 + br + c = 0\)，其中\(r\)为待定的解。
通过解特征方程可以得到该微分方程的通解。
特别地，当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为：\[y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]其中\(C_1\)和\(C_2\)为任意常数，\(r_1\)和\(r_2\)为特征方程的两个实根。
二阶线性微分方程的降阶法
二阶线性微分方程的降阶法许尔伟;尹雪娟【摘要】通过待定系数法将二阶线性微分方程降阶为一阶线性方程.【期刊名称】《甘肃高师学报》【年(卷),期】2015(020)005【总页数】2页(P17-18)【关键词】二阶;线性;微分方程;降阶【作者】许尔伟;尹雪娟【作者单位】兰州城市学院数学学院,甘肃兰州730070;兰州城市学院体育学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O1751.一阶线性方程的通解公式设 I为某开或闭区间，p，q，r都属于 C1（I），对一阶线性方程而言，其中p（t）不恒为零，它的解法是已知的.齐次方程 p（t）u′+q（t）u=0 的通解为C为任意常数，非齐次方程（1）的通解为对二阶线性微分方程a，b，d 都属于 C（I），可使用降阶法将其转化为一阶线性方程求解，下面就来介绍这一方法.2.二阶线性方程的降阶法首先对式（1）两边关于求导，整理可得与式（3）的系数对比，可得其中 p（t），q（t），r（t）是待定的，如果能从式（4）、（5）、（6）中求得p（t），q（t）和r（t）二阶方程就达到了降阶的目的.式（4）两边同乘以-q（t）与式（5）两边同乘以p（t）后相加可得式（7）两边同乘以可得进一步可得令式（8）即为根据Picard存在唯一性定理，可知方程（9）在区间I上存在唯一解y=φ（t），即由式（10）可得，代入式（4）得从式（11）中解得将式（12）分别代入式（5）和式（6）可得参考文献：[1]高样,王贺元.一类变系数二阶微分方程的解法[J].高等数学研究，2014，17（1）：77-78.[2]昌浩田，霍隆兴.二阶变系数线性微分方程的解[J].高等教育，2015，3（1）：112.[3]张学元.变系数二阶线性微分方程的一个新的可解类型[J].大学数学，2003，42（1）：96-98.[4]东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2002.[5]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2001.。
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郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213指导教师程春蕊职称讲师2015年4月5号二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。
常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。
而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。
本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。
关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。
关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。
对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。
关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式Order reduction method of second order ordinarydifferential equationsJingjing Jia Chunrui Cheng 111106213AbstractOrdinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method.This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constantcoefficient linear differential equation into the first order differential equation. Finally, We first order differential and integral form on both sides, solve the first order linear differential equations and find out a special solution or general solution of the second order linear constant coefficient differential equation. We solve the problem of second order homogeneous linear differential equation with variable coefficients, and should be turned into the appropriate equation, through the order reduction method to solve the second order homogeneous general solution of differential equation with variable coefficients.Solving non-homogeneous linear differential equation, we need to calculate it by applying the method of constant variation of a particular solution, problem is solved accordingly.Keywordssecond order ordinary differential equation ；Order reduction method; Characteristic root;Constant variation method;A first order differential form.目 录第一章 预备知识 (2)第二章 二阶常系数线性微分方程的降阶法 (5)2.1提出问题 (5)2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法 (6)2.3举例 (6)2.4小结 (8)第三章 二阶变系数线性常微分方程的降阶法 (9)3.1提出问题 (10)3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法 (10)3.2.1求满足条件1的恰当方程的通解 (10)3.2.2求满足条件2的恰当方程的通解 (12)3.3小结 (14)第四章 可降阶的二阶常微分方程 (15)4.1 ()x f x d y d =22型的微分方程..........................15 4.2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy x f x d y d ,22型的微分方程.. (15)4.3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy y f x d y d ,22型的微分方程 (16)第五章 可降阶的高阶常微分方程 (18)5.1 ()()x f y n =型的方程............................18 5.2 ()()()()()n k y y y x F n k k ≤≤=+10,...,,1型的方程 (18)5.3 ()()0,...,",',=n y y y y F 的方程.......................19 5.4 ()()()()0,...,',,,...,',,1=Φ=-n n y y y x dx d y y y x F 型的方程 (20)总结 (21)致谢 (22)参考文献 (23)二阶常微分方程的降阶解法班级学号 1111062 贾静静 指导教师 程春蕊 职称 讲师第一章 预备知识1.只有自变量、未知函数及函数的导数（或微分）构成的关系式，就是微分方程。
通过求解微分方程求出未知函数。
当在微分方程中只有一个自变量时，我们便称为常微分方程。
2.考虑一阶线性微分方程 ')()y p x y Q x =(+ （1.1） 其中()()x q x p ,在考虑的区间上是x 的连续函数。
如果()0Q x =则式(1.1)变为 '()y p x y = （1.2） 式（1.2）称为一阶齐次线性微分方程。
如果()Q x ≠0,则称式(1.1)为一阶非齐次线性微分方程。
式（1.2）是变量分离方程，我们可以求得它的通解为 ()⎰=dx x p ce y （1.3）这里c 是任意常数。
下面探讨非齐次线性方程（1.1）通解的求法。
不难看出,(1.2)是(1.1)的特殊情形,可以想像一下：在（1.3)中，将常数c 变易为x 的待定函数()x c 。
令()()⎰=dx x p e x c y （1.4）微分，得 ()()()()()⎰+⎰=dx x p e x P x c e x c y dx x p '' （1.5）将（1.4），（1.5）代入（1.1），得到()()()()()()()()()x Q e x c x P e x P x c e x c y dx x p dx x p dx x p +⎰=⎰+⎰=''即 ()()()dx e x Q x c dx x p ⎰=-⎰'积分后得到()()()1c dx e x Q x c dx x p +⎰=-⎰.这里1c 是任意常数。