导数常见题型方法总结

导数题型总结
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，
()0g x <恒成立，
则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432
3()1262
x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，
则 2
()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
(0)030
2(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩
解法二：分离变量法：
∵ 当0x =时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3
()h x x x
=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴>
(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”
则等价于当2m ≤时2
()30g x x mx =--< 恒成立
变更主元法
再等价于2
()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(2)0230
11(2)0230
F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-=
例2：设函数),10(323
1)(223
R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-
= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()()2
2
()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
01a <<Q
a
()f x '
3a
令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）
令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）
∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当x=3a 时，)(x f 极大值=b.
（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 22
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a
≤⎧⎨≥-⎩ 22
()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =
01,a <<Q 12a a a a +>+=（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数. （9分） ∴
max min ()(2)2 1.
()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于 (2)44,4
1.(1)215g a a a a g a a a
+=-+≤⎧≤≤⎨
+=-+≥-⎩解得 又,10<<a ∴.15
4
<≤a
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
例3：已知函数32
()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，326()(1)3
(0)2
t g x x x t x t -=+-++>
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；
（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

解：（Ⅰ）/
2
()32f x x ax =+∴/(1)31f b a
⎧=-⎨=+⎩， 解得3
2a b =-⎧⎨=-⎩
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-
（Ⅲ）令2
()()()(1)3[1,4]2
t h x f x g x x t x x =-=-++-∈
思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2
(2)26t x x x -≥-分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、参数问题
1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为0)(0)('
'
≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m , n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；
3a a
2x a =
[]1,
2a a ++
（Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
解：)14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f . （Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，34
1
)(2-='x x f ，
令0)(='x f ，解得：32±=x .
34-=. （Ⅱ）∵函数)(x f 是),
(∞+-∞上的单调函数，
∴2
1()(1)(41)04
f x x a x a '=
++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则22
1(1)4(41)204
a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.
综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .
例5、已知函数3211
()(2)(1)(0).32
f x x a x a x a =
+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

子集思想
解：（I ）2
()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++- 1、2
0,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立
当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。

2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且
单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a --
（II ）当()[0,1],f x Q 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子集：
1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意
2、[]()0,11,a ⊆-+∞，10a ∴-≤ 1a ∴≤ 综上，a 的取值范围是
[0，1]。

2、题型二：根的个数问题
题1 函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可。

例6、已知函数2
32
)1(31)(x k x x f +-=
，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．
（1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意x k x x f )1()(2
+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，
∴0)1()(2
>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法）
即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，
①当1=k 时，0)1()(2
≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：
由于02
1<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故
需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2
<---k k k ∴⎩
⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k
根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵的图像过原点，则(0)00f c =⇒=
2()32f x ax x '=+-，
又∵是的极值点，则(1)31201f a a '-=--=⇒=- 2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=
3()(1)2f x f =-=极大值 222
()()37
f x f ==-极小值
（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，
等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：1
(1)(1)(1)2
f g d b -=-⇒=-
- 322111
2(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得：
即：32
11(1)(1)022
x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根
3211
()(1)(1)022
h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根，
则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解，
3x 22x x +-211
(1)(1)022
b x x b ---+-=
2211(1)(1)(1)022x x b x x b ⎡⎤
+-++--=⎢⎥⎣⎦
22
1(1)(1)2(1)02
x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎣⎦
十字相乘法分解：[]()21
(1)(1)(1)102
x x b x b x +-
+--+= 211(1)(1)(1)022x x b x b ⎡⎤
+-++-=⎢⎥⎣⎦
3211
(1)(1)022
x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根
等价于2
11(1)(1)022x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根。

2211(1)4(1)04211(1)(1)(1)0
22
b b b b ⎧∆=+-⨯->⎪⎪⇒⎨
⎪-+++-≠⎪⎩(,1)(1,3)(3,)b ⇒∈-∞-⋃-⋃+∞ 题2 切线的条数问题，即以切点0x 为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<
∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-
∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③
由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，∴32
()69f x x x x =-+-
（2）设切点Q (,())t f t ，,
()()()y f t f t x t -=-
232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=
令2
2
'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨
<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨
--+-<⎩
16
11m m <⎧⇒⎨>-⎩ 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-
题3 已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法 例8、
解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝ 13x 3－72
x 2
＋10x ，
()f x '＝x 2－7x ＋10，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <. 令()0f x '< ， 解得25x <<
可知函数f (x )的单调递增区间为(,2)-∞和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5．
（Ⅱ）()f x '＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6,
要使函数y ＝f (x )在（1，＋∞）有两个极值点,()f x '⇒＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2
m m f m m m ⎧
⎪∆=+-+>⎪
'=-+++>⎨⎪+⎪>⎩， 解得m ＞3
例9、已知函数2
32
13)(x x a x f +=
，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；（2）令()g x ＝
4
x 4
＋f （x ）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解：（1）)1()(2
'+=+=ax x x ax x f
当0>a 时，令0)('>x f 解得01>-<x a x 或，令0)('
<x f 解得01<<-x a
，
所以)(x f 的递增区间为),0()1,(+∞--∞Y a
，递减区间为)0,1
(a -.
当0<a 时，同理可得)(x f 的递增区间为)10(a -，，递减区间为),1
()0,(+∞--∞a
Y . （2）432
113)42
(g a x x x x =++有且仅有3个极值点
⇒223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根，则0x =或210x ax ++=，2a <-
方程2
10x ax ++=有两个非零实根，所以240,a ∆=->
2a ∴<-或2a >
而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数32
()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 解：（Ⅰ）32'2
()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-Q 令'
()f x =0,得[]124
0,2,13
x x ==
∉- 因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-Q ，
即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(2
3+-=x x x f ）
（Ⅱ）∵x x x f 43)(2
-='，∴0(≤+'tx x f ）
等价于0432≤+-tx x x ，
令x x xt t g 43)(2
-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，
为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10
)1(（g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-0
05322x x x x ，
解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
已知函数3
22()3
f x x ax bx c =
+++ (Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求)(x f 的解析式；
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平
面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
解： (Ⅰ). 由2
()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,
∴ 220a b ++=
∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 1
2
a = ∴ 32
21()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0
220480
b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 21x b y a =-⎧⎨=+⎩
∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20220460
x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ∆=四边形
∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >, 1S =四边形DEGF
由 220
y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点F 的横坐标为: 2
21F x k =-+
由 460y kx y x =⎧⎨++=⎩
得点G 的横坐标为: 641G x k =-+
∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121
k k =⨯⨯
-⨯+⨯=+即 216250k k +-=
解得: 12k =
或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 1
2
y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或1
2
y x = .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-⎧⎨
=+⎩ ∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20
220460
x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 13DEC ABED
S S ∆=
四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 1
2
y x =, 设直线BO 与AC 交于H ,
由 12
220
y x
y x ⎧
=⎪⎨⎪++=⎩ 得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ∆=, 111
2222
DEC S ∆=⨯⨯=, 11222211122H ABO AOH
S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB ∴ 所求直线方程为: 0x = 或1
2y x =
3、（根的个数问题）已知函数32
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。

（Ⅰ）求c d 、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式； （Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。

解：由题知：2
f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =⎧⎨
++--=⎩⇒⎩⎨
⎧==0
3
c d （Ⅱ）依题意
()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5 124323
846435
a b a b a b a b +--=-⎧⎨
+--+=⎩ 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x 3
– 6x 2
+ 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2
– ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 )
()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0⇒b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒11
1
＜a ＜3
所以 当
11
1
＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。

4、（根的个数问题）已知函数32
1()1()3
f x x ax x a R =--+∈
（1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间；
（2）若12a <
，讨论曲线()f x 与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数． 解：（1）2
()21f'x x ax =--12122,1x x a x x ∴+=⋅=-
122x x ∴-=== 0a ∴=
22()211f x x ax x '=--=- 令()0f x '>得1,1x x <->或 令()0f x '<得11x -<< ∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-
（2）由题()()f x g x =得32
21151(21)326
x ax x x a x --+=-++
即32111
()20326
x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326
x x a x ax x ϕ=-+++-≤≤
2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ϕ'∴=-++=-- 令()0x ϕ'=得2x a =或1x =
1
a <Q 当22a ≤-即1a ≤-时
此时，980a -->，0a <，有一个交点；当22a ≥-即1
1a -<<时，
2(32)036a a -+>Q , ∴当802a -->即116
a -<<-时,有一个交点； 当98002a a --≤≤，且即9
016a -≤≤时，有两个交点；
当102a <<时，9
802a --<，有一个交点．
综上可知，当916a <-或102a <<时，有一个交点； 当9
016
a -
≤≤时，有两个交点． 5、（简单切线问题）已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为510
2，函数
23()()3bx
g x f x a
=-+．
（Ⅰ） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；
（Ⅱ） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42
x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．
（1）∵f ′(x)= 3/a2 •x2，
∴由 3/a2 •x2=3得x=±a，
即切点坐标为（a，a），（-a，-a）
∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
解得a=±1，
∴f（x）=x3．
∴g（x）=x3-3bx+3（4分）
∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，
∴g′（1）=0，
即3×12-3b=0，解得b=1
∴g（x）=x3-3x+3（6分）
（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，
∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，
∴b≤0，
又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，
∴b2-mb+4≥g（1）（8分）
即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立
∴m≥3．
故m的取值范围是[3，+∞）。