微分方程题

微分方程题

一、一阶方程

1． 求22y xy y x =+'满足1)1(=y 的特解。

解：齐次方程，令x y u =，代入2

2x xy y y -='，整理得 x dx

u u du =-)2(

积分得

1ln ]ln )2[ln(21C x u u +=--，即 22

Cx u

u =-，所以 y Cx x y 22=- 将1)1(=y 代入得1=C ，所求特解为 y x x y 22=-。

又解：方程化为22

1x y y x y =+'——贝努利方程，将方程两边同除以2y 得

21211x

y x y y =+

'--——（2），令 dx dz dx dy y z y =-=--21, 代入（2）可化为

211x z x dx dz -=-，)1(1

21

C dx e x

e z dx

x dx x

+-=⎰-⎰--⎰=)11(2C dx x x x +⋅-⎰)21(2C x x +=，即

Cx x

y +=21

1，将1)1(=y 代入得 21=C ，所求特解为 y x x y 22=-。

2．求

y

e y x y

dx dy 3+=

的通解。 解：y

e y x dy dx y

3+=

，即 y e y x y dy dx 21=-，通解 ][C e ye y x y y +-=。

3．设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)1(=f ，对任意0,0≠≠y x 有

⎰⎰

⎰

+=2

21

1

4

1

)()()(x y

y

x dt t f y dt t f x

dt t f ， （1）

求)(x f 。

解：对（1）两边对x 求导：)(2)(4)(221

3

2

x xyf dt t f x y x xyf y

+=⎰

令1=x ，得)1()(2)(1

yf dt t f y yf y

+=⎰

，两边对y 求导：)1()(2)()(f y f y f y y f +='+

即y y f y y f 2)(1)(=-

'，解此方程得：)2

()(y

C y y f -=，由2)1(=f 得4=C ，所以 24)(-=x x f 。

4．设)(x f 在0=x 处可导，且2)0(='f ，对任意x ，y 有)()()(x f e y f e y x f y x +=+ 求)(x f 。

解：令0=x 0=y ，得0)0(=f ，由导数定义得

h

x f x f e y f e h f h x f x f y x h h )

()()(lim )0()(lim )(00-+=-+='→→

=)()0(]

1)[()]0()([lim

0x f f e h

e x

f f y f e x y x h +'=-+-→ 即x e x f x f 2)()(=-'，解此方程得所求解。

5．当0>x 时，求连续函数)(x f ，使

⎰

=1

)(2)(x f dt xt f 。

解：当0>x 时，令u xt =，则等式化为

)(2)(0

x xf du u f x

=⎰

求导得0)()(2=+'x f x f x ，通解为 x

C x f =

)(。

6．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是

)

(1

x f 的一个原函数，又1)()(-=x G x F ，1)0(=f ，求)(x f 。

解：由1)()(-=x G x F 两边求导，得0)()()()(='+'x G x F x G x F ，化简得)()(x F x F ±=' 解之得 x

e C x F 1)(= 或 x

e

C x F -=2)(，故x e C x f 1)(= 或 x

e

C x f --=2)(

由1)0(=f 得11=C ，或12-=C ，所以x e x f =)( 或 x

e x

f -=)(。

7．一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为每小时700km ，经测试减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机速度成正比（比例系数6

100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

解：由牛顿定律知kv dt

dv

m -=，得t m k

Ce v -=，由700)0(0==v v ，0v C =故t m k

e v v -=0 所以飞机滑行的最长距离是km e

k

mv dt t v x t

m k

o

05.1)(0

0=-==

∞+-∞

+⎰

。

8．在xoy 平面的第一象限求一条曲线，使由其上任一点P 处的切线，x 轴，与线段OP 所围三角形的面积为常数k ，且曲线过点)1,1(。

解：设点P 的坐标为),(y x ，所求曲线方程为)(x f y =，则曲线在点P 的切线方程是

)(x X y y Y -'=-，与x 轴的交点Q 的坐标为)0,(y y

x '

-

，三角形OPQ 的面积为 k y y y x ='-)(21，即221y

k

x y dy dx -=-，解之得y k Cy x +=。将1)1(=y 代入得k C -=1 于是所求曲线为k y k xy +-=2)1(。

9．求曲线)(x y y =，使它正交于圆心在x 轴上且过圆点的任何圆。

解：圆心在x 轴上且过圆点的圆的方程为222)(a Y a X =+-，求导：02)(2='+-Y Y a X 在交点),(y x 处，y a x Y y x --

='),(，由已知条件：1-='⋅--y y

a

x ，与222)(a y a x =+-

联立，消去a ，得2

22y

x xy

y -=

'——齐次方程，解之得：222)(C a y x =-+。 10．设曲线过点)1,0(，且位于x 轴上方，就数值而言，曲线上任意两点间的弧长等于该弧以及它在x 轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求该曲线方程。 解：设所求曲线方程为)(x f y =，),(00y x 在曲线上，则

⎰⎰

='+x

x x

x dx x f dx x f 0

)()(12

求导：)(1)(2x f x f '+=，即21y y '+=，12

-±='y y ，分离变量，积分得

12)1ln(C x y y +±=-+

， x Ce y y ±=-+

12。将)1,0(代入得1=C ，所以

2

x

x e e chx y -+==。当1=y 也是解。

11．一污水处理池容量为10000立方米，开始时池中全是清水，污染物的质量浓度为

3/3

1

m kg 的污水流经处理池，水流速度为min /503

m ，污水通过处理池时每分钟可处理掉00/2的污染物，求从池中流出的水的污染物的质量浓度。 解： 污染物的质量浓度=

容积

总污染物的质量