微分方程题

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微分方程单元测试题(含答案)

微分方程单元测试题(含答案)题目一已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，求出这个微分方程的通解。

答案：根据微分方程的定义，我们可以利用变量分离法来求解这个微分方程。

首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和$\frac{1}{2x}$，得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。

然后我们进行积分，得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。

将积分限写入，得到 $\int\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$（这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数）。

对于左边的积分，我们可以用换元法来进行计算，令 $u = 2x$，则$du = 2dx$。

将其代入积分式中，得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ （其中 $C_1$ 是常数）。

对于右边的积分，我们可以直接计算得到 $x + C_2$（其中$C_2$ 是常数）。

将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|u|^{1/2} + C_1 = x + C_2$，进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$，其中$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。

对等式两边同时取指数函数，得到$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$，再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x}e^{C_3}$。

最后取绝对值，得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$，进一步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。

因此，微分方程的通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$，其中 $C_3$ 是常数。

题目二已知微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = 3x$，求出这个微分方程的特解。

微分方程基础练习题(简易型)含答案解析

微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。

3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。

4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。

答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。

由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。

2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。

因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。

由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。

3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。

4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。

因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。

高等数学题库常微分方程

高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。

2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。

3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。

4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。

5、 y y x 4='得通解为__________。

6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。

7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。

8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。

二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。

微分方程练习题

第7章微分方程练习题习题7 .11 •选择题 (1)()是微分方程((A )) d = (4x -1)d .( (B ) ) y =2x 1 . ((C ) )y 2一 3y 2 = 0 . ((D ) ) sin xdx = 0.(2)()不是微分方程((A )) y 3y =0 .((B))亠4 = 3X + Sin X . dx((C ))3y 2一 2x y = 0 .2 2 2 2((D) ) (x y )dx (x - y )dy 二 0(3)微分方程(y )23xy =4sinx 的阶数为() ((A ) ) 2 . ( (B ) ) 3. ( (C ) 1.((D ) ) 0 • 2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”)⑵ (x _2y)y =2x2-y, x -x y⑶ dx . - sin y =0, dyy 二 arccosxC ⑷井 2丄2y =X y ,1 y - x习题7.21. 解微分方程2二C( )(1)(1) xy =2y, y =5x .dy 1dx xdy dxi-y 2 1 -x 2(5) x 2y xy y x =1_ 二4-2 •解微分方程（1）（x y ）y（一八。

• ⑵y2X 2/y =e 2x_y ⑷ y(l _x 2)dy x(1 y 2)dx =0.dy xy - • dx3 .解微分方程(1) y y =e (2) y cosx y sin x =1.选择题(1)( )是微分方程((A)) = (4x -1)d .(B) ) y =2x 1 .((C))(D) ) sinxdx =0 .(2)() 不是微分方程((A)) y，+ 3y =0 . ((B)) =3x si nx .((C) ) 3y2-2x y = 0 ((D))dx2(x2y2 )dx (x2- y2)dy =0 .(3)微分方程(y )2 3xy =4sinx的阶数为(((A) ) 2 . ( (B) ) 3.((C) ) 1. (D) ).2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”(1)xy =2y, y =5x2.(X _2y)y =2X _ y, x2 _ X鱼siny=0, dy y二arccosx C解微分方程dx x 习题7.2dydx1-y21 -x2⑷ y(1 — x 2)dy x(1y 2)dx =0 .2⑸ x y xy 二 y, y xj =4 •22 •解微分方程(1) (x y)y (x - y) =0 .⑶ y =e 27 y 2 x 2鱼二 xy 屯dx dx⑸ y = ------- 1i 2xcosy +sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程2（1）y x .（2）y 二3* 、归=23 .解微分方程 (1) y y = e (2) y cosx y sin x =1.dy y _ x 1 dxy x 厂3.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸ yy -(y)_y ".⑹ yy'y, V x^=1，yxJ .⑵ y -9y=0 .⑸ 4yF4y + y=0, \f x^=2, y 」=0.3 .解下列微分方程 (1) y -2y -3y=3x 1 .2x6 33⑶ y -10y 9y =e ,」=7 y x=0~ •⑷ y _4y 3y = 0, 丫乂』八2, g-0 .⑵ 2y "-3y - y = 2e x.⑷ y1；：：:卜y _2y =(5) y y = sin x . 8sin 2x .⑹ y y si n2x = °, y x 二「T yU.习题7.42 1•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x ,求这曲线的方程.2.生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t的函数关系.6 •一弹簧挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数丄=24N/(m⑸•当弹簧受到强迫力f -100sin10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七一、选择题1 •微分方程f . yy 3. 乂丫4=0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()3.下列方程中是一阶线性方程的是()4 .方程y*_4y"+3y=0满足初始条件y x _^ = 6, (A ) y = 3e x e3x； (B ) y = 2e x 3e 3x ； (C ) y = 4e x 2e 3x ； (D ) y = C 1e x C 2e 3x .5 .在下列微分方程中，其通解为 y = C 1 cosx - C 2 sin x 的是()(A) y _y J 0 ; ( B ) y 八0 ; (C ) y y =0 ; ( D ) y _y =0 .6•求微分方程 < 3/ 2^x 2的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) ax 2；(B ) ax 2bx c ;(C ) x(ax 2bx c) ；(D ) x 2 (ax2bx c).7 .求微分方程 y "-3y '2y =si nx 的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) bsinx ； (B ) acosx ； (C ) acosx bsinx ； (D ) x(acosx bsin x).二、填空题 9 .微分方程 x-dy= y x 2 sin x 的通解是 __________________ dx10.微分方程y ” • 3y =0的通解是 _________________ 11 .微分方程y ” • 4y ' 5y = 0的通解是 ____________(A) y =cosx ；(B )y =x ；(C ) y =si nx ；( D )y = e x.(A ) (y_3)lnxdx_xdy=0 ；(B)dy _ y 2 dx 1 -2xy- 2 2 ・(C ) xy 二 y x sin x ；(D) y y-2y=0 .y x=0 =10特解是(12•以y=C !xexC 2e x 为通解的二阶常数线性齐次分方程为13. 微分方程4y ：4y ：y=0满足初始条件y x=0=2, y x ^ = 0的特解是 ______________ .14. ________________________________________________ 微分方程 <-4< 5y =0的特征根是 ________________________________________________________ .215. 求微分方程y ：2y ”』2x -1的一个特解时，应设特解的形式为 _______________________通解为 _______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解2 216.已知y 1 =e x及y 2 = xe x都是微分方程2y”_4xy：(4x -2)y=0的解，则此方程的(1)dy _ xy dx " 1 x 2(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4) y y 二 sin x .(6) y 5y 4y = 3 - 2x .18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1) cos ysin xdx - cosxsin ydy= 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,八±=2 •4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y' = 29cosx, y *占=0』v" •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点(x, y)处的切线斜率等于 2x ・y .y x 卫11220.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.(1)求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图.(2 )最终尸体温度将如何？(3)若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它，此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.⑶ d y .1=2L^dx x x1xcosy sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程⑴ y =x2.⑵ S 、y^o =1,、心=2⑶ y -y =x.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸4才+47*=°, y x 出=Z y 仁=0 .⑸ yy _(y )2 一 y =0 .⑹ yy =y ，V x^1,—=1.⑶ y 4y 4y =0 .⑷ y -4y 3y =0,科y x 异0.⑵ y -9y=0 .3 .解下列微分方程(1) y - 2y -3y = 3x 1 .⑷ y y -2y 二 8sin 2x .⑶ y -10y 9y = e 2x,33 7⑵ 2y "-3y - y = 2e x .(5) y y = sin x .⑹ y y si n2x = °, yxi-T y =1-习题7.41•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x2，求这曲线的方程.2 .生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系.规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七、选择题 1 .微分方程y 2■ yy ”3 ' xy 4 =0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()(A) y = cosx ; (B ) y =x ;(C ) y = sin x ;(D ) y =e x.3 .下列方程中是一阶线性方程的是()(A ) (y-3)lnxdx-xdy=0 ；(B)鱼=丄dx 1 -2xy6 •一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了 0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数亠-24 N/(m ⑸•当弹簧受到强迫力f =100si n10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动(C) xy = y x sin x ；4.方程y"-4y"+3y = 0满足初始条件yx4=6, y x^ = 10特解是( )(A) y 二3e x e3x； (B) y 二2e x 3e3x； (C) y 二4e x 2e3x； (D) y 二C® C2e3x.5.在下列微分方程中，其通解为y = C! cosx C2 sin x的是( )(A) y _y =0 ； ( B) y y =0 ； ( C) y y=0 ； ( D) y—y=0 .26.求微分方程y ” • 3y ' 2y二x的一个特解时，应设特解的形式为( )(A) ax ；( B) ax bx c ；(C) x(ax bx c) ；( D) x (ax bx c).7 .求微分方程y"-3y'2y=si nx的一个特解时，应设特解的形式为()(A) bsinx ；(B) acosx ；(C) acosx bsinx ；(D) x(acosx bsin x).二、填空题9 .微分方程x-d^ = y x2 sin x的通解是_________________ .dx10. __________________________________________ 微分方程y ： 3y = 0的通解是.11. ______________________________________________ 微分方程y” • 4y： 5y =0的通解是_______________________________________________________ .12.以y=C1xe x・C2e x为通解的二阶常数线性齐次分方程为____________________________13.微分方程4y ' 4y ： y = 0满足初始条件y x=0= 2, / = 0的特解是_______________ .14.微分方程y ” - 4y ' 5y =0的特征根是______________15.求微分方程y：2y'2x -1的一个特解时，应设特解的形式为____________________________16.已知y1 =e x及y2二xe x都是微分方程y"-4xy ' (4x2 -2)y =0的解，则此方程的通解为_______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解dy dx xy(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4)y y 二sin x . (5) y - y -2y = 0 . ⑹ y 5y 4y = 3 - 2x . 18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) cos ysin xdx 「cosxsin ydy 二 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,y 」=2 .4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y‘= 29cosx, y x 占=0，y"x 占=1 •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y ）处的切线斜率等于1122x y •20.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.（1）求尸体温度H与时间t（h）的函数关系，并作函数草图.（2 ）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.。

常微分方程练习题

常微分方程练习题习题一一、单项选择题.1.微分方程yy32coyy5的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某y22C.某dyyd某0D.某dyyd某0 2某某4.用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y 某(a某b某c)e5．Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题1．方程y某tany的所有常数解是.某2某某22某某2某某2某某3某2C满足的一阶方程是.2．函数y523．设y1某e某e2某,y2某e某e 某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.d某某dt5．系统的零解的是稳定的.dyydt三、求下列一阶微分方程的通解.dyy4某2y210d某某dyyy2(co某in某)2.d某1.3.(某2y)d某某dy0.四、求下列高阶方程的通解.1.yy1co某2.试用观察法求方程(1ln某)y11y2y0的通解．某某某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.d某A某Cemt，有一解形如：(t)Pemt.dt习题二一、单项选择题1.微分方程dyy2某2的阶数是（）.d某A.1B.2C.3D.42.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.n阶齐次线性常微分方程的任意n1个解必定（）.A.可组成方程的一个基本解组B.线性相关C.朗斯基行列式不为0D.线性无关5．用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．当n时，微分方程yP(某)yQ(某)y为伯努利方程．n某2某某22某某2某某2某某某2．在方程某p(t)某q(t)某0中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y1(某)，y=y2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．设某0I，Y1(某),,Yn(某)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(某),,Yn(某)在区间I上线性相关的条件是向量组Y1(某0),,Yn(某0)线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.1.某yy(某y)ln2.某y某dyyy2(co某in某)d某3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解.1.y某yy02.yy21co某d某5y4某dt五、求解微分方程组的通解.dy4y5某dtd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设分因子.f(某,y)及f连续,试证方程dyf(某,y)d某0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与某的积yd2ydyp(某)q(某)y0中，p(某)在区间I上连续且恒不为零，2.设在方程试证它的任意两个线d某d某2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1.微分方程y某某iny的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某yC.某dyyd某0D.某2dyy2d某03.微分方程yP(某)yQ(某)y，当n1时为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方程4.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程y2yy(某22某)e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．函数某c1cotc2int(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是.2．方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．3．设y1某e某e2某,y2某e某e某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.n某某2某某2某某2某某22某5．与初值问题某2某7t某et,某(1)7,某(1)2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.1.(某1)y2某y02.22dyyy2(co某in某)d某3.(某4y)y2某3y5四、求下列高阶方程的通解.1.t某2t某2某02.某某2某02某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1.微分方程y某y某2的通解中含有任意常数的个数为（）.A.1B.2C.3D.42.当n1时，微分方程yp(某)yq(某)yn最确切的名称为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A.某,C.e某2,某1,某1B.0,某,某2,某3e某2D.e2某,某e某25．用待定系数法求方程y2yy某2e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1.方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．2．若yy1(某),yy2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．23．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.某2某某2某某2某某22某4．已知cot和int是二阶齐次线性方程某a(t)某b(t)某0的两个解，则a(t)．5．如果常系数线性方程组某A某的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解1.dyyytand某某某dyy某22.d某2某2y3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解1.t某3t某5某02.某''某tant2d某4某5ydt五、求解常微分方程组.dy4y5某dt某ya某3六、判定系统（这里的a）的零解稳定性.3y某ay七、设y(某)在[0,)上连续可微，且有lim[y(某)y(某)]0，试证：limy(某)0.某某。

微分方程习题和答案

微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

常微分方程计算题

计算题1、求解微分方程2'22xy xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy+=通过点(0,0)的第三次近似解.3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dxdt y dydt x y==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=2410、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过(0,0)的第三次近似解.11、求解方程''+-=-y y y e x'24的通解12、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x(')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy+=通过点(0,0)的第三次逼近解.15、求解方程''+-=--y y y e x'22的通解16、求解方程xe y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ. 20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：1|()()|(1)!n n n ML x x x x n ϕϕ+-≤-+。

微分方程的概念与基本解法练习题

微分方程的概念与基本解法练习题对于数学领域而言，微分方程是一类非常重要的数学工具，它用于描述物理、工程学和其他科学领域中的各种变化和变化率。

在本文中，将介绍微分方程的概念，并提供一些基本解法的练习题。

一、微分方程的概念微分方程可以被定义为包含未知函数及其导数的方程。

具体而言，给定一个未知函数y(x)，微分方程将通过y(x)及其导数的函数关系来描述一个过程或现象。

微分方程可以分为几种类型，其中最常见的是常微分方程和偏微分方程。

常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。

二、基本解法练习题下面将提供一些微分方程的基本解法练习题。

请根据题目给出的微分方程，找到其解析解，并进行验证。

1. 题目一：一阶线性微分方程求解以下一阶线性微分方程：(dy/dx) + y/x = x2. 题目二：二阶线性齐次微分方程求解以下二阶线性齐次微分方程：d^2y/dx^2 - 4y = 03. 题目三：二阶线性非齐次微分方程求解以下二阶线性非齐次微分方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = e^(-x)4. 题目四：一阶变量可分离微分方程求解以下一阶变量可分离微分方程：(dy/dx) = y/x5. 题目五：一阶齐次微分方程求解以下一阶齐次微分方程：(dy/dx) = (2x + y) / (x - y)6. 题目六：一阶恰当微分方程求解以下一阶恰当微分方程：x^3y dx - (x^4 + 5xy^2) dy = 0三、解答与验证1. 题目一解答：将微分方程改写为标准形式：(dy/dx) = -y/x + x乘以x并重排，得到：x(dy/dx) + y = x^2该方程为一阶线性微分方程，可以使用积分因子法求解。

2. 题目二解答：特征方程为：r^2 - 4 = 0解得r1 = 2，r2 = -2因此，通解为：y(x) = c1e^(2x) + c2e^(-2x)3. 题目三解答：齐次方程特征方程为：r^2 + 2r + 1 = 0解得r1 = -1，r2 = -1所以，齐次方程的通解为：y_h(x) = c1e^(-x) + c2xe^(-x)对于非齐次方程，可以通过常数变易法求解。

微分方程题库（学生用）

微分方程题库（学生用）微分方程习题一、选择题1. 微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（）A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程2．微分方程y ＇- y=x 2+1是（） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 3. 微分方程xy ′+y =x +3是（） A. 可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程4．下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为（）A ．（e x+y -e x ）dx+(e y -e x+y )dy=0 B ．)(ln xy dxdy= C ．xdy-(y+x 3)dx=0D ．(x+y)dy-(x-y)dx=05. 下列微分方程中为线性微分方程的是( )A.y x ydx dy sin += B.x e x xy dxy d )1(222+=- C.y x dx dycos =D.x dx dy x dx y d 1)(222=+ 6. 微分方程y ″+y=0的解是（）A ．y=1B ．y=xC ．y=sinxD ．y=e x 7．下列函数中哪个不是微分方程y ″-4y ′+3y=0的解（） A ．e xB ．e 2xC ．e 3xD ．e x+1 8. 微分方程y y '=''的通解是y=（） A.Ce xB.C 1e x +C 2C. C 1e x +C 2xD.Ce x +x 9．微分方程y ″-5y ′+6y=0的通解y=（） A ．C 1e -2x +C 2e -3x B ．C 1e 2x +C 2e 3x C ．C 1e 2x +C 1e 3x D ．C 1e -2x +C 1e -3x10. 微分方程x sin y =''的通解为y=（）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 11. 微分方程1y y =-'的通解是（）A.y=Ce xB.y=Ce x +1C.y=(C+1)e xD.y=Ce x -1 12．微分方程xy ″=y ′的通解为（） A ．y=C 1x+C2 B ．y=x 2+C C ．y=C 1x 2+C 2 D ．y=C x 212+ 13．微分方程032=+'+''y y y 的通解为（） A ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=-B ．)2sin 2cos (21xC x C e y x +=-C ．)2sin 2cos (21x C x C e y x +=D ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=14. 微分方程y '=2y 的通解是（）A.y=Ce x B.y=e 2x +CC.y=2e CxD.y=Ce 2x二、填空题 15．（1）方程x e y dxdydx y d =++2)(222的阶数____.（2）方程y ″+3（y ′）4-3x +1=0的阶数是_______. 16．（1）微分方程xdy-ydx=0的通解为________ （2）微分方程1x 3dxdy=-的通解为_________. （3）. 求微分方程xy dxdy2=的通解________. 17. 微分方程y ''=cosx 的通解y=___________.三、计算题18．求下列可分离变量的微分方程的通解或特解．（1）x0y ln y dx dy=-，（2）01122=+-+dx )y (x dy )x (y . （3）221xy y x dx dy +++= （4）方程xydx dy =满足初始条件y(1)=2的特解. 19．求下列一阶线性微分方程的通解或特解．（1）、2.x dy y e dx += （2）dx dy +x x y n 1=x x n 12 ；（3）xy ′+y =xe x （4）211x y dxdy x +=+ （5）微分方程xy ＇- y = 2x 3满足初始条件y (1)=1的特解．20．求下列二阶线性微分方程的通解或特解．（1）、〃y - 4y ＇+ 4y =0，（2）、y ″+ y ′-12y =0，（3）y ″-2y '-3y =0，（4）x e y 7y 4y =+'-'' （5）. 求方程y ″+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解. （6）. 求方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. （7）. 设函数f (x)满足6)x (f 6)x (f 5)x (f =+'+''，求函数f (x). （精品班用）（8）. 已知y *=811-21x 是微分方程y ″+5y ′+4y =3-2x 的一个特解，求该方程满足初始条件y (0)=83，y ′(0)=27的特解.（精品班用） 21. 已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( )（精品班用）A.2C 1x +C 2cos xB.2Cx +cos xC.cos x +C (2x -cos x )D.C (2x -cos x ) 22．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)2cos 2sin (21x C x C e y x +=，则常数p 和q 分别为（）（精品班） A ．-2和5 B ．2和-5 C ．2和3D ．-2和-323．微分方程y ″-2y ′+3y=5e 2x 的一个特解为（）（精品班用）A ．x 2e 95B ．x 2e 35C ．x 2e 2D ．x 2e 2524．微分方程y ''-5y '+6y =x 2e 3x 的一个特解y *可设为（）（精品班用） A ．（b 0x 2+b 1x ）e 3xB ．(b 0x 2+b 1x )xe 3xC ．(b 0x 2+b 1x +b 2)e 3xD ．(b 0x 2+b 1x +b 2)xe 3x 25. 微分方程y ″-y ′-6y=3e x 的一个特解y 应具有的形式为（）（精品班用） A. y =ae x B. y =(ax+b)e x C. y =axe x D. y =ax 2e x26．已知二阶常系数线性齐次微分方程010=+'+''y y p y 的通解为y =e 3x （C 1cos x +C 2sin x ），则常数p =__________.（精品班用）。

数学竞赛习题—微分方程

代入方程得 u 4u ex .解此二阶线性非齐次方程得
u

c1
cos
2x

c2
sin
2x

1 5
ex
.
从此，原方程的通解为
cos 2x
ex
y c1 cos x 2c2 sin x 5cos x
8、（1） yx c a ln x 2 1. 2
（2） 1 y
sin x cex.
（3） y x arctan x ln 1 x2 C1x C2
y C1ex C2e2x 设非齐次方程特解为
y x(ax b)ex
代入原方程得 a 1 ,b 1 ，所以 y (1 x2 x)ex
2
2
从而所求通解为
y

C1ex

C2e2 x

(1 2
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x)ex
4、 1 y
cos x 1 sin x 1 sin 2x;
微分方程
1、求解下列微分方程
（1） 1 x2 y' 1 y2
（2）
cos
ydx

(1
ex
) sin
ydy

0,
y
|x0

4
（3）微分方程
dy dx

y x

1 2
y x
3
满足
y(1)
1 的特解
(4）求初值问题

y
x2 y2 dx xdy 0 的解.
2 11.求解下列方程
（1） x2 y xy y 0 x 0 .

高数测试题十（微分方程）答案

高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。

第七章微分方程练习题

第七章微分方程一、选择题1. 表示未知函数、未知函数的( )与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.A. 极限B. 连续C. 导数或微分D. 积分2. 微分方程02)(2=+'-'x y y y x 的阶数是 ( ) .A. 1B. 2C. 3D. 43. 方程0)()67(=++-dy y x dx y x 是 ( )阶微分方程.A. 1B. 2C. 3D. 4. 4. 微分方程0222=+-y dx dy x dx y d x 的通解中任意常数的个数是 ( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5. 微分方程y xy ='的一个解是( ) . A. x y 5=； B. 15+=x y C. 25x y = D. 152+=x y 6. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x7. 下列微分方程是可分离变量方程的是（）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x8. 下列微分方程是齐次方程的是（）.A. 012=+dx xydy B. x e y dx dy -=+ C. xy y x dx dy += D. y x e dx dy += 9. 微分方程23x y ='的通解是（），其中C 是任意常数.A. C x y +-=3B. C x y +=3C. C x y +-=33D. C x y +=3310. 下列微分方程可以转化成一阶非齐次线性方程的是（）.A. x e xy yy +=2'B. y x e xy y e +=2'C. x y e xy y e +=2'D. xe xy xy +='''2 二、填空题1．微分方程02=+''-'''xy y x y x 的阶数是 .2．微分方程02=+'-''y y x y x 通解中任意常数的个数是 . 3．满足初值条件50==x y 的函数C y x =-22中的=C .4．一阶微分方程x e y 2='的通解是 .5．微分方程02=+ydx xdy 满足初值条件12==x y 的特解是 .三、判断题1．方程022233=-+-xy y x y x 不是微分方程.（）2．04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（）3．微分方程0=+-dy y x ydx )(有解0=y .（）4．方程0)1-22()(=+++dy y x dx y x 是可分离变量的微分方程.（）5．0=x 不是微分方程0=-xdy ydx 的解.（）6．微分方程的通解中一定含有任意常数C .（）7．方程)(xy g dx dy =是一阶齐次微分方程.（） 8．方程)()(x Q y x P dxdy +=是一阶非齐次线性微分方程.（） 9．方程),(y x f dxdy =不是一阶微分方程.（） 10．拉格朗日微分中值定理的结论a b a f b f f --=)()()('ξ不是一阶微分方程.（）四、计算题1．验证函数x C x C y ωωsin cos 21+=（ω,,21C C ＞0都是常数）是微分方程02=+y y ω''的通解,2．求微分方程y x e dxdy -=2满足初值条件00==x y |的特解, 3．求微分方程23=+y dx dy 的通解. 4．方程xdx x y dx dy =++（x y x -≠≠,0）的通解. 5．求微分方程242y x x y +-='与微分方程2422y y x x x y --++='的公共解.五、综合题1．求曲线方程，已知这条曲线通过原点，并且它在点）（y x ,处的切线斜率等于y x +2.2．放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正M随时间t变化的规律.比。

微分方程例题

典型例题1、判断下列一阶微分方程的类型并求其通解（1）0)41(2=+−dy x ydx ；（2）.0cos )cos (=+−dy x yx dx x y y x ；（3）0)sin (=−+dx x y xdy ；（4）0)4(3=+−dx y y x xdy ；（5）ydy dx y xydy dx +=+2；（6）0)12(23=−+dy xy dx y ；（7）.0324223=−+dy y x y dx y x （8）231dy x x ydx x++=−+2、求一阶微分方程的特解（1）求解微分方程x yx ydx dytan +=满足初始条件61π==x y 的特解.（2）求微分方程,0)ln (ln =−+dx x y xdy x 满足所给初始条件.1==e x y 的特解3、求下列微分方程的通解（1）求x y xe ′′′=的通解（2）02)1(222=−+dx dyx dx y d x （3）求方程02=′−′′y y y 的通解4、求下列微分方程的特解（1）求方程x e y x cos 2−=′′满足1)0(,0)0(=′=y y 的特解.（2）求微分方程初值问题：,2)1(2y x y x ′=′′+,10==x y 30=′=x y （3）求微分方程)(22y y y y ′−′=′′满足初始条件,1)0(=y 2)0(=′y 的特解.5、求下列微分方程的通解（1）440y y y ′′′++=（2）340y y y ′′′−−=（3）250y y y ′′′++=（4）(5)(4)220y y y y y y ′′′′′′+++++=（5）(4)250y y y ′′′′′−+=6、求方程12360y y y′′′−+=满足条件：01x y ==，00x y =′=的特解。

7、求解下列微分方程（1）求方程22y y y x ′′′−+=的一个特解。

（2）求方程2x y y y e ′′′−+=的一个特解。

微分方程练习题

第７章微分方程练习题习题７.11．选择题（1）（）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ．（2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）)x x dxy d sin 322+=．(（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”）（1）25,2x y y y x =='．（）(2) C yx xy x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx +==+arccos ,0sin . ( ) (4) xy y x y 1,22=+=''. ( )习题7.21．解微分方程 (1) xdxdy 1=． (2)2211xy dxdy --=．(3) y x e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x yy xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdy xydxdy x y =+22．(3) xy x y y tan+='．3．解微分方程(1) x e y y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．1．选择题（1）（）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ．（2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）)x x dxy d sin 322+=．(（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”）（1）25,2x y y y x =='．（）(2) C yx xy x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx +==+arccos ,0sin . ( ) (4) xy y x y 1,22=+=''. ( )习题7.21．解微分方程 (1) xdxdy 1=． (2)2211xy dxdy --=．(3) y x e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x yy xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdy xydxdy x y =+22．(3) xy x y y tan+='．3．解微分方程(1) x e y y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ． (3) 3,12=+=+=x yxx xy dxdy ．(4) 2yx y dxdy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y yy y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y yy y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y yy y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y yy y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) x e y y y 232=-'-''．(3) 733,76,91002='==+'-''==x x xy ye y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk 时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xyy y y 阶数是（）（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（）（A ）x y cos =；（B ）x y =；（C ）x y sin =；（D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ；（B ）xyydxdy 212-=；（C ）x x y y x sin 22+='；（D ）02=-'+''y y y ． 4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y特解是（）（A ）x x e e y 33+=；（B ）x x e e y 332+=；（C ）x x e e y 324+=；（D ）x x e C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（）（A ）0='-''y y ；（B ）0='+''y y ；（C ）0=+''y y ；（D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（）（A ）2ax ；（B ）c bx ax ++2；（C ）)(2c bx ax x ++；（D ）)(22c bx ax x ++． 7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（）（A ）x b sin ；（B ）x a cos ；（C ）x b x a sin cos +；（D ）)sin cos (x b x a x +．二、填空题 9．微分方程x x y dxdy xsin 2+=的通解是．10．微分方程03=+''y y 的通解是． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是．12．以 x x e C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,20='===x x y y 的特解是．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为． 16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为．三、计算题17．求下列微分方程的通解 (1) 21xxy dxdy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ． (6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,0650='==+'-''==x x y yy y y ．(3) 211,3,415164023-='==+'+''==-x x xy ye y y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y yx y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．（2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．(3) 3,12=+=+=x yxx xy dxdy ．(4) 2yx y dxdy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y yy y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y yy y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y yy y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y yy y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,91002='==+'-''==x x x y ye y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk 时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（）（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（）（A ）x y cos =；（B ）x y =；（C ）x y sin =；（D ）x e y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ；（B ）xyydxdy 212-=；（C ）x x y y x sin 22+='；（D ）02=-'+''y y y ． 4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y特解是（）（A ）x x e e y 33+=；（B ）x x e e y 332+=；（C ）x x e e y 324+=；（D ）x x e C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（）（A ）0='-''y y ；（B ）0='+''y y ；（C ）0=+''y y ；（D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（）（A ）2ax ；（B ）c bx ax ++2；（C ）)(2c bx ax x ++；（D ）)(22c bx ax x ++． 7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（）（A ）x b sin ；（B ）x a cos ；（C ）x b x a sin cos +；（D ）)sin cos (x b x a x +．二、填空题 9．微分方程x x y dxdy xsin 2+=的通解是．10．微分方程03=+''y y 的通解是． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,20='===x x y y 的特解是．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为．16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为．三、计算题17．求下列微分方程的通解 (1)21x xy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sectan sec 22=+xdy y ydx x ． (4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ． (6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y ey y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点)x+x处的切线斜率等于y2．(y,20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C︒20不变．31，且周围气温保持C︒（1）求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．（2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C25，时间为下午4时，死者是何时被害的？︒21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．。

微分方程(习题及解答)

第十二章微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ．答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是．答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =.5'的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答：Cx y e x=．三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解：解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解：解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=．解：解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式．答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程．答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为．答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为．答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为．答：ln()x y x y C --+=．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=；解：解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解：解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=；解：解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==．解：解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解．解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解．答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ．答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=．答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关．答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ．答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为．答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为．答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=．解：解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+．答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=．答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=．答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=．答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ．答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值．答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为．答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为．答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为．答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为．答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为．答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=．解：解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解：解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+．答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++．答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解：解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。

第七章-微分方程练习题

第七章微分方程7.1 微分方程的基本概念1. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）;1,222Cx y xy y +-=='；（2）x e x y y y y 2,02==+'-''.2. 指出下列各微分方程的阶数：（1）0)()(2222=++-dy y x dx y x ； ( )（2）0)(5)(7543=+-'+'''x y y y ； ( )（3）t e x dtx d t sin 22=-. ( ) 3. 已知曲线过点)1,1(-,且曲线上任一点的切线与x 轴交点的横坐标等于切点横坐标的平方，写出此曲线所满足的微分方程.7.2 可分离变量的微分方程1. 求下列微分方程的通解：（1）0ln =-'y y y x ；（2）)(22y y y x y '+='-' ；（3）0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x .2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）4|,sin cos sin cos 0 ===x y xdx y ydy x ；（2）0|,21)1(0==++=-x y y e dx dy x .3. 一曲线经过点（2,3），它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.4. 将温度为0T 的物体放在温度为1T 的空气中逐渐冷却)(10T T >，由实验测定，物体在空气中冷却的速度与这一物体的温度和其周围空气的温度之差成正比，求任意时刻t 物体的温度.7.3 一阶线性微分方程1. 求下列微分方程的通解：（1）12+=+'x y y x ；（2）x ex y y sin cos -=+' ；（3）01)2(3=+'-y y xy .2. 求微分方程x x y dxdy sec tan =-满足条件0)0(=y 的特解 .3. 设)(x f 具有连续的一阶导数，且满足2022)()()(x dt t f t x x f x+'-=⎰，求)(x f 的表达式.7.4 可降阶的高阶微分方程1. 求下列各微分方程的通解：（1）x xe y ='' ;（2）12)1(2='+''+y x y x ;（3）.0)(122='-+''y yy .2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1）1|,0|,0)1(002='=='-''-==x x y y y x y x ;（2）0|,1|,01113='==+''==x x y y y y .3. 设函数22),(y x r r f u +==在0>r 内满足方程02222=∂∂+∂∂y u x u ，其中)(r f 二阶可导，求)(r f .7.5 高阶线性微分方程1. 验证：x x x C x C y ln 92251-+=（其中21,C C 为任意常数）是方程x x y y x y x ln 5322=-'-''的通解.2. 已知x x y =)(1是齐次线性方程0222=+'-''y y x y x 的一个解，求非齐次线性方程32222x y y x y x =+'-''的通解.7.6 二阶常系数齐次线性微分方程1. 求下列微分方程的通解：（1）04='-''y y ; （2）032=+'+''y y y ;（3）02520422=+-x dt dx dtx d ; （4）033=+'+''+'''y y y y .2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）5|,0|,04300-='==-'-''==x x y y y y y ;（2）3|,0|,013400='==+'-''==x x y y y y y .3. 长6米的链条自桌上滑下，运动开始时，链条垂下部分为1米，若不计摩擦，问链条全部滑下桌面需要多少时间？7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）xe y y y 22=-'+'' ;（2）x xe y y y =+'-''23 ;（3）x x yy sin 9=+'' ;（4）x y y 2sin =-'' .2．设函数)(x f 连续，且满足⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(,求)(x f .7.8 变量代换法1．求下列齐次方程的通解：（1）xy y dx dy x ln = ;（2）01(2)21(=-++dy y x e dx e y x y x .2．求微分方程0)433()(=-+++dy y x dx y x 的通解.3．设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点),(y x P ，曲线弧OP 与直线段____OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程.4. 求伯努利方程4xy y dxdy=-的通解：。

微分方程练习题及解答

微分方程练习题一、一阶微分方程1.求 dy dx =2xy 的通解。

2.求微分方程x dy =y +�x 2+y 2 (x >0)满足y (1)=0的特解。

3.求微分方程 y ′−3x y =x 的通解。

4.求微分方程 y ′+y tanx =cosx 的通解。

5.求 x 2y ′+xy =y 2满足初始条件y (1)=1的特解。

6.求微分方程sec 2x coty dx −csc 2y tanx dy =0的通解。

7.求微分方程dy dx −2y x +1=(x +1)52的一个特解。

8.求微分方程xdy =yln y x dx 的通解。

9.求微分方程 dy dx =y x +y 3e y 的通解。

10求微分方程 y ′+y =e −x 的通解。

11.求微分方程xy 2dy =(x 3+y 3)dx 的通解。

12.求微分方程y =�1+(y ′)2 满足条件y (0)=1的特解。

13.求微分方程 xy ′+2y =x lnx 满足初始条件y (1)=−19的特解。

14.求微分方程 xy ′+y =x 2 y 2 lnx 的通解。

15.设f (x )=�f �t 2�dt +ln2，求f (x )的表达式。

2x 0二、高阶微分方程 1.求y ′′=1+(y ′)2的通解。

2.求 y ′′−2y ′−y =0的通解。

3.求 y ′′+2xy ′2=0，y (0)=1,y ′(0)=−12的特解。

4.求 y ′′−2y ′−5y =1的通解。

5.求 y ′′+y ′+y =8的通解。

6.求微分方程d 2y dx 2+w 2y =0的通解。

7.求微分方程 y ′′−3y ′+2y =xe x 的通解。

8.求微分方程 x 2y ′′+4xy ′+2y =x 的通解。

9.求微分方程 yy ′′+y ′2=y ′ 的通解。

10.求微分方程 x 2y ′′+3xy ′−3y =x 3的通解。

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微分方程题一、一阶方程1．求22y xy y x =+'满足1)1(=y 的特解。

解：齐次方程，令x y u =，代入22x xy y y -='，整理得 x dxu u du =-)2(积分得1ln ]ln )2[ln(21C x u u +=--，即 22Cx uu =-，所以 y Cx x y 22=- 将1)1(=y 代入得1=C ，所求特解为 y x x y 22=-。

又解：方程化为221x y y x y =+'——贝努利方程，将方程两边同除以2y 得21211xy x y y =+'--——（2），令 dx dz dx dy y z y =-=--21, 代入（2）可化为211x z x dx dz -=-，)1(121C dx e xe z dxx dx x+-=⎰-⎰--⎰=)11(2C dx x x x +⋅-⎰)21(2C x x +=，即Cx xy +=211，将1)1(=y 代入得 21=C ，所求特解为 y x x y 22=-。

2．求ye y x ydx dy 3+=的通解。

解：ye y x dy dx y3+=，即 y e y x y dy dx 21=-，通解 ][C e ye y x y y +-=。

3．设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)1(=f ，对任意0,0≠≠y x 有⎰⎰⎰+=221141)()()(x yyx dt t f y dt t f xdt t f ，（1）求)(x f 。

解：对（1）两边对x 求导：)(2)(4)(22132x xyf dt t f x y x xyf y+=⎰令1=x ，得)1()(2)(1yf dt t f y yf y+=⎰，两边对y 求导：)1()(2)()(f y f y f y y f +='+即y y f y y f 2)(1)(=-'，解此方程得：)2()(yC y y f -=，由2)1(=f 得4=C ，所以 24)(-=x x f 。

4．设)(x f 在0=x 处可导，且2)0(='f ，对任意x ，y 有)()()(x f e y f e y x f y x +=+ 求)(x f 。

解：令0=x 0=y ，得0)0(=f ，由导数定义得hx f x f e y f e h f h x f x f y x h h )()()(lim )0()(lim )(00-+=-+='→→=)()0(]1)[()]0()([lim0x f f e he xf f y f e x y x h +'=-+-→ 即x e x f x f 2)()(=-'，解此方程得所求解。

5．当0>x 时，求连续函数)(x f ，使⎰=1)(2)(x f dt xt f 。

解：当0>x 时，令u xt =，则等式化为)(2)(0x xf du u f x=⎰求导得0)()(2=+'x f x f x ，通解为 xC x f =)(。

6．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(1x f 的一个原函数，又1)()(-=x G x F ，1)0(=f ，求)(x f 。

解：由1)()(-=x G x F 两边求导，得0)()()()(='+'x G x F x G x F ，化简得)()(x F x F ±=' 解之得 xe C x F 1)(= 或 xeC x F -=2)(，故x e C x f 1)(= 或 xeC x f --=2)(由1)0(=f 得11=C ，或12-=C ，所以x e x f =)( 或 xe xf -=)(。

7．一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为每小时700km ，经测试减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机速度成正比（比例系数6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由牛顿定律知kv dtdvm -=，得t m kCe v -=，由700)0(0==v v ，0v C =故t m ke v v -=0 所以飞机滑行的最长距离是km ekmv dt t v x tm ko05.1)(00=-==∞+-∞+⎰。

8．在xoy 平面的第一象限求一条曲线，使由其上任一点P 处的切线，x 轴，与线段OP 所围三角形的面积为常数k ，且曲线过点)1,1(。

解：设点P 的坐标为),(y x ，所求曲线方程为)(x f y =，则曲线在点P 的切线方程是)(x X y y Y -'=-，与x 轴的交点Q 的坐标为)0,(y yx '-，三角形OPQ 的面积为 k y y y x ='-)(21，即221ykx y dy dx -=-，解之得y k Cy x +=。

将1)1(=y 代入得k C -=1 于是所求曲线为k y k xy +-=2)1(。

9．求曲线)(x y y =，使它正交于圆心在x 轴上且过圆点的任何圆。

解：圆心在x 轴上且过圆点的圆的方程为222)(a Y a X =+-，求导：02)(2='+-Y Y a X 在交点),(y x 处，y a x Y y x --='),(，由已知条件：1-='⋅--y yax ，与222)(a y a x =+-联立，消去a ，得222yx xyy -='——齐次方程，解之得：222)(C a y x =-+。

10．设曲线过点)1,0(，且位于x 轴上方，就数值而言，曲线上任意两点间的弧长等于该弧以及它在x 轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求该曲线方程。

解：设所求曲线方程为)(x f y =，),(00y x 在曲线上，则⎰⎰='+xx xx dx x f dx x f 0)()(12求导：)(1)(2x f x f '+=，即21y y '+=，12-±='y y ，分离变量，积分得12)1ln(C x y y +±=-+， x Ce y y ±=-+12。

将)1,0(代入得1=C ，所以2xx e e chx y -+==。

当1=y 也是解。

11．一污水处理池容量为10000立方米，开始时池中全是清水，污染物的质量浓度为3/31m kg 的污水流经处理池，水流速度为min /503m ，污水通过处理池时每分钟可处理掉00/2的污染物，求从池中流出的水的污染物的质量浓度。

解：污染物的质量浓度=容积总污染物的质量设在时刻t ，池中污染物的总质量为)(t y ，此时从池中流出的水的污染物的质量浓度为10000)(t y 。

在],[t t t ∆+内，池中污染物的改变量为y ∆=进入的污物—流出的污物—处理掉污物=dt t y dt t y dt )(10025010000)(5031-⋅⋅-⋅⋅dy ≈ 整理得：350401=+'y y ，解之得32000401+=-t Ce y ，0)0(=y 代入32000-=C ，故)1(32000401t e y --=，所求浓度为)/(15110000)(3401m kg et y t --=。

12．设)(x f 为连续函数，（1）求初值问题⎩⎨⎧==+'0)0()(y x f ay y 的解)(x y ，其中a 是常数；（2）若k x f ≤)(（k 为常数），证明当0≥x 时，有)1()(ax e akx y --≤。

解：（1）原方程通解为 ])([))(()(C x F e C dx e x f ex y ax ax adx+=+=-⎰-⎰其中)(x F 是axe xf )(的任意一个原函数。

由0)0(=y ，得)0(F C -=，故⎰--=-=xat ax ax dt e t f e F x F e x y 0)()]0()([)(（2）)1()1()()(0ax ax ax xat ax xat axe ake e a k dt e ke dt e tf e x y -----=-≤≤≤⎰⎰。

13．设)(x f 在),0[+∞上连续，且k x f x =+∞→)(lim （k 为正常数），证明：对方程)(x f y y =+'的所有解)(x y ，都有k x y x =+∞→)(lim 。

（考研指南336页）解：方程通解为 ))(()(0C dx x f e e x y xx x+=⎰-，问题转化为证明k eCdt t f e x y xxt x x =+=⎰+∞→+∞→0)(lim)(lim ，由+∞=+∞→xx e lim ，故证明+∞=⎰+∞→xt x dt t f e 0)(lim 。

由)(x f 在),0[+∞上连续，且k x f x =+∞→)(lim ，有极限定义对20k=ε知，存在0>X ，使当X x >时，有2)(k k x f <-，即23)(2k x f k <<，即x xe k xf e 2)(>。

由于+∞=-=+∞→+∞→⎰)(lim 22limXx x x xXx e e k dx e k ，故+∞=⎰+∞→dx x f e x x X x )(lim 。

而)(x f e x 在],0[X 上连续，⎰Xx dx x f e 0)(有界，所以+∞=⎰+∞→dx x f e x Xx )(lim 0，k x f e x f e e Cdt t f e x y x xx x xx t x x ===+=+∞→+∞→+∞→+∞→⎰)(lim )(lim )(lim)(lim 0。

二、高阶方程1．写出以x x xe y e y ==-21,为特解的最低阶的常系数线性齐次微分方程。

解：特征方程根为1,1321==-=r r r ，故特征方程为0)1)(1(2=-+r r ，所求方程为0=+'-''-'''y y y y2．写出以i r r +==1,021为特解的最低阶的常系数线性齐次微分方程的通解。

3．设)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个特解为x x e y e y x y 3321,,===，求此方程满足3)0(,4)0(='=y y 的特解。

4．设二阶常系数线性微分方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为x x e x e y )1(2++=，试确定γβα,,，并求该方程的通解。

解：有特解的形式可得x x e y e y ==221,是对应齐次方程的两个特解，而xxe y =*是原方程的一个特解，于是1,2=λ是两个特征根，特征方程为0232=+-λλ，故2,3=-=βα，x xe y =*代入方程x e y y y γ=+'-''23得1-=γ，原方程通解为x x x xe e C e C y ++=221（13。