历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编

历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编

1、如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．

2、如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。

【解析】证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC

又∠OBC ＝21

(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC

∴OB ⊥DF ． (2)∵CF ⊥MA

∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA

∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC

∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF

∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE

∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得

NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH ⊥MN

∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ． 在直线BE 的方程

)

(b x a c

y -=

中令x ＝0得H (0，a bc -)

∴

ac ab bc a c b a bc a a bc k OH

++=

++

+=32222

直线DF 的方程为

x bc a ac

ab y +-=

2

由⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧--=+-=)(2c x c a y x bc a ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (

22

222222,2b bc a ab abc b bc a c b b a -+--++) ∴

bc a ac ab bc a bc a b c bc a c b a k MN

3)3)()(())((222222++-=++-+-=

∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．

3、如图，在⊿ABC 中，∠A=60°，AB>AC ，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H

点，点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM=CN ，求OH NH MH +的值。

4、过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ．求证：∠DBQ=∠PAC ．

分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证

BD AD =DQ

AQ

即可．

5、在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．

6、如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）

【解析】证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。

如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ， 则由AD=AC ，

得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上，

7、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1交B 1A 的延长线于P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P ′0，交AB 0的延长线于P ′0。试证：

（1）点P ′0与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0与P 0Q 1相内切于P 0； （2）四点P 0、Q 0、Q 1、P 1共圆。

【解析】以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1交B 1A 的延长线于P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P ′0，交AB 0的延长线于P ′0。试证：

（1）点P ′0与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0与P 0Q 1相内切于P 0；

（2）四点P 0、Q 0、Q 1、P 1共圆。 证明：（1）显然B 0P 0=B 0Q 0，并由圆弧P 0Q 0和Q 0P 1，Q 0P 1和P 1Q 1，P 1Q 1和Q 1P ′0分别相内切于点Q 0、P 1、Q 1，得C 1B 0+B 0Q 0=C 1P 1，B 1C 1+C 1P 1=B 1C 0+C 0Q 1以及

C 0Q 1=C 0B 0+B 0P ′0。四式相加，利用B 1C 1+C 1B 0=B 1C 0+C 0B 0以及P ′0在B 0P 0或其延长线上，有B 0P 0=B 0P ′0。

从而可知点P ′0与点P 0重合。由于圆弧Q 1P 0的圆心C 0、圆弧P 0Q 0的圆心B 0以及P 0在同一直线上，所以圆弧Q 1P 0和P 0Q 0相内切于点P 0。

（2）现在分别过点P 0和P 1引上述相应相切圆弧的公切线P 0T 和P 1T 交于点T 。又过点Q 1引相应相切圆弧的公切线R 1S 1，分别交P 0T 和P 1T 于点R 1和S 1。连接P 0Q 1和P 1Q 1，得等腰三角形P 0Q 1R 1和P 1Q 1S 1。基于此，我们可由

∠P 0Q 1P 1=π−∠P 0Q 1R 1−∠P 1Q 1S 1=π−(∠P 1P 0T −∠Q 1P 0P 1)−(∠P 0P 1T −∠Q 1P 1P 0) 而π−∠P 0Q 1P 1=∠Q 1P 0P 1+∠Q 1P 1P 0，代入上式后，即得

)(211001110T P P T P P P Q P ∠+∠-=∠π，同理可得)

(21

1001100T P P T P P P Q P ∠+∠-=∠π。

所以四点P 0、Q 0、Q 1、P 1共圆。

8、如图，在锐角△ABC 中，AB

9、如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令

()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．