历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 平面几何(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题12平面几何真题汇编与预赛典型例题1．【2014年全国联赛】设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________.【答案】【解析】如图所示，由PI＝1，知点P在单位圆上.设∠BAP＝α.在上取一点，使得α取到最大值，此时，点应落在∠IAC内，且其为的切点.由于，故，，①其中，.由，知.于是，.故②据式①、②知当P与重合时，的最大值为.2．【2018年全国联赛】如图，△ABC为锐角三角形，AB<AC，M为BC边的中点，点D和E分别为△ABC 的外接圆弧BAC和弧BC的中点，F为△ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB⊥AB.求证：若BN=EM，则DF⊥FG.（答题时请将图画在答卷纸上）【答案】证明见解析【解析】由条件知，DE为△ABC外接圆的直径，DE⊥BC于M，AE⊥AD.记I为△ABC的内心，则I在AE上，IF⊥AB.由NB⊥AB可知：∠NBE=∠ABE-∠ABN=（180°-∠ADE）-90°=90°-∠ADE=∠MEI.①又根据内心的性质，有:∠EBI=∠EBC+∠CBI=∠EAC+∠ABI=∠EAB+∠ABI=∠EIB，从而BE=EI.结合BN=EM及①知，.于是∠EMI=∠BNE=90°+∠BFE=180°-∠EFI，故E，F，I，M四点共圆.进而可知∠AFM=90°+∠IFM=90°+∠IEM=∠AGM，从而A，F，G，M四点共圆。
再由∠DAG=∠DMG=90°知，A，G，M，D四点共圆，所以A，F，G，M，D五点共圆.从而∠DFG=∠DAG=90°，即DF⊥FG.3．【2017年全国联赛】如图,在△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心。
高中数学联赛真题平面解析几何B辑(解析版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题16平面解析几何B辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中,圆Ω经过点(0,0), (2,4), (3,3),则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为.【答案】2√5【解析】记A(2,4),B(3,3),圆Ω经过点O,A,B.注意到∠OBA=90°(直线OB与AB的斜率分别为1和−1),故OA为圆Ω的直径.从而圆Ω上的点到原点O的距离的最大值为|OA|=2√5.2．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】设A、B为椭圆Γ的长轴顶点，E、F为Γ的两个焦点，|AB|=4，|AF |=2+√3，P为上一点，满足|PE|⋅|PF|=2，则△PEF的面积为.【答案】1【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0).根据条件得2a=|AB|=4，a±√a2−b2=|AF|=2+√3，可知a=2，b=1，且由椭圆定义知|PE|+|PF|=2a=4，结合|PE|⋅|PF|=2得|PE|2+|PF|2=(|PE|+|PF|)2−2|PE|⋅|PF|=12=|EF|2，所以∠EPF为直角，进而S△PEF=12⋅|PE|⋅|PF|=1.3．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中，若以(r+1，0)为圆心、r为半径的圆上存在一点(a，b)满足b2≥4a，则r的最小值为.【答案】4【解析】由条件知(a−r−1)2+b2=r2，故4a⩽b2=r2−(a−r−1)2=2r(a−1)−(a−1)2.即a2−2(r−1)a+2r+1⩽0.上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式[2(r−1)]2−4(2r+1)=4r(r−4)⩾0，解得r≥4.经检验，当r=4时，(a,b)=(3,2√3)满足条件.因此r的最小值为4.4．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为.【答案】√15【解析】由对称性，不妨设P(x p,y p)在第一象限，则由条件知x p=12(|PT|−|PS|)=2,y p=12(|PV|−|PU|)=1，即P(2，1).进而由x p=|PU|=1,|PS|=2得U(2，2)，S(4，1)，代入椭圆C的方程知4⋅1a2+4⋅1b2=16⋅1a2+1b2=1，解得a2=20,b2=5.从而S△PF1F2=12⋅|F1F2|⋅|y P|=√a2−b2⋅y P=√15.5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交于点A，过点B(－1，0)作一直线l 与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则△KMN的面积为.【答案】12【解析】设直线l与MN的斜率为k，则l:x=1k y−1,MN:x=1ky−12.将l与C联立，得方程y2−2k y+2=0，由条件知其判别式为零，故k=±√22.将MN与C联立，得方程y2−2ky+2=0，于是|y M−y N|=√(y M+y N)2−4y M y N=√4k2−4=2，结合l与MN平行，可知S△KMN=S△BMN=|S△BAM−S△BAN|=12⋅|AB|⋅|y M−y N|=12⋅12⋅2=12.6．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x29+y210=1，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为.【答案】3√112【解析】易知A(3，0)、F(0，1).设P的坐标是(3cosθ,√10sinθ),θ∈(0,π2)，则S四边形OAPF =S△OAP+S△OFP=12⋅3⋅√10sinθ+12⋅1⋅3cosθ=32(√10sinθ+cosθ)=3√112sin(θ+φ).其中φ=arctan√1010.当θ=arctan√10时，四边形OAPF面积的最大值为3√112.7．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2+ay2+ a2=0的焦距为4，则a的值为.【答案】1−√172【解析】二次曲线的方程可以写成−x 2a2−y2a=1.显然必须有－a>0，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2(√−a)2x2(−a)2=1.则c2=(√−a)2+(−a)2=a2−a，注意到焦距2c=4，可知a2−a=4，又a<0，所以a=1−√172.8．【2016高中数学联赛（第01试）】双曲线C的方程为x2−y23=1，左、右焦点分别为F1,F2.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆半径是.【答案】√7−1【解析】由双曲线的性质知，F1F2=2×√1+3=4，PF1−PF2=QF1−QF2=2.因∠F1PQ=90°，故PF12+PF22=F1F22，因此PF1+PF2=√2(PF12+PF22)−(PF1−PF2)2=√2×42−22=2√7.从而直角△F1PQ的内切圆半径是r=12(F1P+PQ−F1Q)=12(PF1+PF2)−12(QF1−QF2)=√7−1.9．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)|(|x|+|3y|−6)(|3x|+|y|−6 )≤0}所对应的平面区域的面积为.【答案】24【解析】设K1={(x,y)||x|+|3y|−6⩽0}，先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x+3y⩽6，故这些点对应于图中的△OCD及其内部，由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.同理，设K2={(x,y)||3x|+|y|−6⩽0}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1，K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.由于直线CD的方程为x+3y=6，直线GH的方程为3x+y=6，故它们的交点P的坐标为(32,32)，由对称性知S=8SΔCPG=8×12×4×32=24.10．【2014高中数学联赛（第01试）】设椭圆Γ的两个焦点是F1，F2，过点F1的直线与Γ交于点P，Q，若|P F2|=|F1F2|，且3|PF1|==4|QF1|，则椭圆的短轴与长轴的比值为.【答案】2√67【解析】不妨设|PF1|=4,|QF1|=3，记椭圆Γ的长轴、短轴的长度分别为2a，2b，焦距为2c，则|PF2|= |F1F2|=2c，且由椭圆的定义知2a=|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=2c+4，于是|QF2|=|PF1|+|PF2|−|QF1|=2c+1，设H为线段PF1的中点，则|F1H|=2,|QH|=5，且有F2H⊥PF1，由勾股定理知|QF2|2−|QH|2=|F2H|2=|F1F2|2−|F1H|2，即(2c+1)2−52=(2c)2−22，解得c=5，进而a=7,b=2√6，因此椭圆Γ的短轴与长轴的比值为ba =2√67.11．【2013高中数学联赛（第01试）】若实数x，y满足x−4√y=2√x−y，则x的取值范围是.【答案】{0}∪[4,20]【解析】令√y=a,√x−y=b(a,b⩾0)，此时x=y+(x−y)=a2+b2，且条件中等式化为a2+b2−4a=2b，从而a，b满足方程(a−2)2+(b−1)2=5(a,b⩾0).如图所示，在aOb平面内，点(a，b)的轨迹是以(1，2)为圆心，√5为半径的圆在a，b≥0的部分，即点O与弧A CB的并集.因此√a 2+b 2∈{0}∪[2,2√5]，从而x =a 2+b 2∈{0}∪[4,20].12．【2012高中数学联赛（第01试）】抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是 .【答案】1【解析】解法一设∠ABF =θ(0<θ<2π3)，则由正弦定理，得|AF|sinθ=|BF|sin(2π3−θ)=|AB|sinπ3，所以|AF|+|BF|sinθ+sin(2π3−θ)=|AB|sinπ3，即|AF|+|BF||AB|=sinθ+sin(2π3−θ)sinπ3=2cos (θ−π3).如图，由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|MN|=|AF|+|BF|2，所以|MN||AB|=cos (θ−π3)，故当θ=π3时，|MN||AB|取得最大值为1.解法二由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|MN|=|AF|+|BF|2，在△AFB 中，由余弦定理，得|AB|2=|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cosπ3=(|AF|+|BF|)2−3|AF|⋅|BF| ⩾(|AF|+|BF|)2−3(|AF|+|BF|2)2=(|AF|+|BF|2)2=|MN|2.当且仅当|AF|=|BF|时，等号成立.故|MN||AB|的最大值为1.13．【2011高中数学联赛（第01试）】直线x －2y －1=0与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，C 为抛物线上的一点，∠ACB =90°，则点C 的坐标为.【答案】(1，－2)或(9，－6)【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (t 2,2t )， 由{x −2y −1=0y 2=4x得y 2−8y −4=0，则y 1+y 2=8，y 1y 2=−4.又x 1=2y 1+1,x 2=2y 2+1，所以x 1+x 2=2(y 1+y 2)+2=18，x 1x 2=4y 1y 2+2(y 1+y 2)+1=1. 因为∠ACB =90°，所以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即有(t 2−x 1)(t 2−x 2)+(2t −y 1)(2t −y 2)=0，即t 4−(x 1+x 2)t 2+x 1x 2+4t 2−2(y 1+y 2)t +y 1y 2=0， 即t 4−14t 2−16t −3=0，即(t 2+4t +3)(t 2−4t −1)=0，显然t 2−4t −1≠0，否则t 2−2⋅2t −1=0，则点C 在直线x −2y −1=0上， 从而点C 与点A 或点B 重合.所以t 2+4t +3=0，解得t 1=−1,t 2=−3. 故所求点C 的坐标为(1，－2)或(9，－6).14．【2010高中数学联赛（第01试）】双曲线x 2－y 2=1的右半支与直线x =100围成的区域内部(不含边界)整点(纵、横坐标均为整数的点)的个数是 .【答案】9800【解析】由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设y =k (k =1,2,⋯,99)与双曲线右半支交于A k ，交直线x =100于B k ，则线段A k B k 内部的整点的个数为99－k ，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为∑(99−k)99k=1=99×49=4851，又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2×4851+98=9800.15．【2009高中数学联赛（第01试）】知直线L ：x +y －9=0和圆M ：2x 2+2y 2－8x －8y －1=0，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为.【答案】3⩽a ⩽6【解析】设A(a，9－a)，则圆心M到直线AC的距离d=|AM|sin45°，由直线AC与圆M相交，得d⩽√342，解得3⩽a⩽6.16．【2009高中数学联赛（第01试）】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|⋅|OQ|的最小值为.【答案】2a 2b2a2+b2【解析】设P(|OP|cosθ,|OP|sinθ)，Q(|OQ|cos(θ±π2),|OQ|sin(θ±π2))，由点P，Q在椭圆上，有1 |OP|2=cos2θa2+sin2θb2①1 |OQ|2=sin2θa2+cos2θb2②①+②得1|OP|2+1|OQ|2=1a2+1b2，于是当|OP|=|OQ|=√2a 2b2a2+b2时，|OP|⋅|OQ|达到最小值2a2b2a2+b2.17．【2006高中数学联赛（第01试）】已知椭圆x216+y24=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l:x−√3y+8+2√3=0上.当∠F1PF2取最大值，|PF1||PF2|的比值为.【答案】√3−1【解析】由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1,F2,P三点的圆必定和直线l相切于点P.设直线l交x轴于A (−8−2√3,0)，则∠APF1=∠AF2P，即△APF1~△AF2P，即|PF1||PF2|=|AP||AF2|①又由圆幂定理|AP|2=|AF1|⋅|AF2|②而F1(−2√3,0),F2(2√3,0),A(−8−2√3,0)，从而有|AF1|=8,|AF2|=8+4√3，代入式①与②得|PF1||PF2|=√|AF1||AF2|=√8+4√3=√4−2√3=√3−1.18．【2005高中数学联赛（第01试）】若正方形ABCD的一条边在直线y=2x－17上，另外两个顶点在抛物线y= x2上.则该正方形面积的最小值为.【答案】80【解析】设正方形的边AB在直线y=2x−17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(x1,y1)，D(x2,y2)，则C D所在直线l的方程y=2x+b，将直线l的方程与抛物线方程联立，得x2=2x+b，所以x1,2=1±√b+1，令正方形边长为a，则a2=(x1−x2)2+(y1−y2)2=5(x1−x2)2=20(b+1)①在上任取一点(6，－5)，它到直线y=2x+b的距离为a，所以a=√5②将式①与②联立解得b1=3,b2=63，所以a2=80或a2=1280.故a min2=80.19．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为.【答案】1【解析】经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3−x上，设圆心为S(a，3－a)，则圆S的方程为(x−a)2+(y−3+a)2=2(1+a2).对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减少而角度增大，所以，当∠MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S，必与x轴相切于点P即圆S的方程中的a值必须满足2(1+a2)=(a−3)2，解得a=1或a=－7.即对应的切点分别为P(1，0)和P(－7，0)而过点M，N，P'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以∠MPN>∠MP′N，故点P(1，0)为所求，所以点P的横坐标为1.20．【2003高中数学联赛（第01试）】设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于.【答案】4【解析】设椭圆的长轴、短轴的长及焦距分别为2a，2b，2c，则由其方程知a=3,b=2,c=√5，故|PF1|+|PF2|=2a=6.又已知|PF1|:|PF2|=2:1，故可得|PF1|=4,|PF2|=2.在△PF1F2中，三边之长分别为2,4,2√5，而22+42=(2√5)2，可见△PF1F2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF1F2的面积=12|PF1|⋅|PF2|=12×2×4=4.21．【2001高中数学联赛（第01试）】椭圆ρ=12−cosθ的短轴长等于.【答案】2√33【解析】由e=ca =12,ρ=b2c=1及b2=a2−c2得b=√33，从而2b=2√33.22．【2000高中数学联赛（第01试）】在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是√5−12，则∠ABF=.【答案】90∘【解析】对数据敏感就会发现ca =√5−12=−1+√12−4×1×(−1)2×1是方程x2+x−1=0的根，代入整理得c2+ac−a2=0，从而ac=b2，恰好符合射影定理，于是∠ABF=90°.23．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点P在双曲线x216−y29=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是.【答案】−645【解析】记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4,b=3,c=5,e=ca =54，右准线l为x=a 2c =165，如果P在双曲线右支，则|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a，从而|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d，而这是不可能的.故P在双曲线的左支，有|PF2|−|PF1|=2a，|PF2|+|PF1|=2d，两式相加，得2|PF2|=2a+2d，又|PF2|=ed，所以d=ae−1=454−1=16.因此，P的横坐标为165−16=−645.24．【1999高中数学联赛（第01试）】已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是.【答案】43【解析】设倾斜角为θ，则tanθ=−ab>0，不妨设a>0，所以b<0.(1)c=0，a有3种取法，b有3种取法，排除2个重复(3x－3y=0，2x－2y=0与x－y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3－2=7(条)(2)c≠0，则a有3种取法，b有3种取法，c有4种取法，且其中任意2条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36(条).所以符合要求的直线有7+36=43(条).25．【1998高中数学联赛（第01试）】若椭圆x2+4(y−a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是.【答案】−1⩽a⩽178【解析】解法一由x2+4(y−a)2=4可设x=2cosθ,y=a+sinθ，代入x2=2y得4cos2θ=2(a+sinθ)，所以a=2cos2θ−sinθ=2−2sin2θ−sinθ=−2(sinθ+14)2+178，因为−1⩽sinθ⩽1，所以0⩽(sinθ+14)2⩽2516，从而−1⩽a⩽178.解法二题目条件等价于方程2y+4(y−a)2=4有非负解.此即方程y2−(2a−12)y+a2−1=0有非负解.故有Δ=(2a−12)2−4(a2−1)=174−2a⩾0，2a−12+√174−2a⩾0，解得−1⩽a⩽178.26．【1997高中数学联赛（第01试）】双曲线x2−y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若实数入使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=.【答案】4【解析】首先，应注意到下列结论：过双曲线x2−y22=1的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当该弦与x轴垂直时，取得最小长度2b 2a=4.(事实上，该双曲线的极坐标方程为ρ=1−√3cosθ，又设AB是过右焦点F仅与右支相交的弦，A(ρ1,θ)，B(ρ2,π+θ)(ρ1>0,ρ2>0)，则|AB|=ρ1+ρ2=1−√3cosθ1+√3cosθ=41−3cos2θ⩾4，当θ=π2时，等号成立).其次，满足题设条件的直线恰有三条时，只有两种可能：(1)与双曲线左、右两条都相交的只有一条，而仅与右支相交的有两条.此时，与双曲线左右两支都相交的必是x 轴，而其两交点的距离为2a=2，但仅与右支相交的两条弦的长λ>4，这不满足题设条件；(2)与双曲线左、右两支都相交的有两条，而仅与右支相交的只有一条，且这条弦必与x轴垂直(否则，由对称性知仅与右支相交的有两条弦)，此时|AB|=λ=4且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件，所以λ=4.27．【1996高中数学联赛（第01试）】曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2，0).曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是.【答案】163π【解析】f(θ)=1+cosθ.由于2=1+cos0，所以点A在曲线C上，为求所扫过的面积，关键算出C上一点到A的最大距离.对C上一点B(1+cosθ,θ)，有|AB|2=(1+cosθ)2+4−2×2(1+cosθ)cosθ=5−2cosθ−3cos2θ=163−3(cosθ+13)2⩽163.当cosθ=−13，等号成立.所以|AB|最大值是√163，那么扫过的面积是以A为圆心，半径为√163的圆，面积为163π.28．【1994高中数学联赛（第01试）】已知点集A={(x,y)|(x−3)2+(y−4)2⩽(52)2},B={(x,y)|(x−4)2+(y−5)2>(52)2}，则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为.【答案】7【解析】如图所示，圆E，F交于M，N两点，整个图形关于连心线EF成轴对称图形，其中A∩B是左下靠近原点O的一个月形S，S中整点横坐标x可以是1，2，3，4，纵坐标y可以是2，3，4，5，对称轴EF穿过新月形S，经计算可知仅通过一个整点C4(2，3).新月形S 中横坐标为1的格点有3个C 1(1,5),C 2(1,4),C 3(1,3). 这三点的轴对称点顺次是C 5(2,2),C 6(3,2),C 7(4,2). 故共有7个整点.29．【1992高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x 4−3x 2−6x +13−√x 4−x 2+1的最大值是.【答案】√10【解析】由f(x)=√x 4−3x 2−6x +13−√x 4−x 2+1=√(x −3)2−(x 2−2)2−√x 2+(x 2−1)2， 可知函数y =f (x )的几何意义是：在抛物线y =x 2上的P (x ，x 2)分别到点A (3，2)和点B (0，1)的距离之差.因点A 在抛物线下方，点B 在抛物线上方，故直线AB 和抛物线相交，交点由方程组{y =x 2y−1x−0=2−13−0决定， 消去y 得方程3x 2−x −1=0.由于该方程常数项为负，故方程必有负根.因三角形两边之差小于第三边，所以，当点P位于负根所对应的交点C时，f(x)有最大值|AB|=√10. 30．【1990高中数学联赛（第01试）】设A(2，0)为平面上的一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP所扫过的图形的面积是.【答案】π6【解析】因OP2=1，故点P在单位圆上变动，始点P1(−12,√32)，终点P2(12,√32).图中阴影部分面积是所求面积.因为SΔP1OA =SΔP2OA，所以S△P1OB=S△P2BA.故所求面积为：S扇形OP1P2=12⋅1⋅π3=π6.31．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0}，B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}.若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为.【答案】2+√2或√2【解析】点集A是由顶点为(a，0)，(0，a)，(－a，0)，(0，－a)的正方形的四条边构成(如图).将|xy|+1=|x|+|y|变形为(|x|−1)(|y|−1)=0.所以，集合B是由四条直线x=±1,y=±1构成.欲使A ∩B 为正八边形的顶点所构成，只有a >2或1<a <2这两种情况.(1)当a >2时，由于正八边形的边长只能为2，显然有√2a −2√2=2，故a =2+√2. (2)当1<a <2时，设正八边形的边长为1，则lcos45°=2−l 2，l =2√2−2.这时，a =√2.综上所述，a 的值为2+√2或√2(图中A (√2，0)，B(2+√2,0)).32．【1984高中数学联赛（第01试）】如图，AB 是单位圆的直径.在AB 上任取一点D ，作DC ⊥AB ，交圆周于C .若点D 的坐标为(x ，0)，则当x ∈.时，线段AD ，BD ，CD 可构成锐角三角形.【答案】(2−√5,√5−2)【解析】因为三条线段AD ，BD ，CD 构成锐角三角形的充要条件是其中最大线段的平方小于另两条线段的平方和.由对称性，不妨假设0⩽x ⩽1，则三条线段中AD 为最大.所以它们必须满足AD 2<BD 2+CD 2. 因为CD 是AD ，BD 的比例中项，所以CD 2=AD ⋅BD .又因为AD =1+x,BD =1−x ，于是得(1+x)2<(1−x)2+(1+x)(1−x). 化简得x 2+4x −1<0.所以0⩽x <−2+√5，所以x ∈(2−√5,√5−2).优质模拟题强化训练1．与双曲线x 29−y 216=1有共同的渐近线,且经过点(−3,2√3)的双曲线方程是______.【答案】4x 29−y 24=1【解析】设x 29−y 216=λ,将(−3,2√3)代入求得λ=14. 双曲线方程是4x 29−y24=1.2．圆心在抛物线x 2=2y 上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为________. 【答案】(x +1)2+(y −12)2=1和(x −1)2+(y −12)2=1 【解析】抛物线x 2=2y 的准线方程为y =−12.设所求圆的圆心为(x 0,y 0)，则x 02=2y 0，且|x 0|=y 0+12，解得x 0=±1，y 0=12，故所求圆的方程为(x ±1)2+(y −12)2=1.故答案为：(x +1)2+(y −12)2=1和(x −1)2+(y −12)2=13．双曲线x 2a2−y 2b 2=1的右焦点为F ，离心率为e ，过点F 且倾斜角为π3的直线与该双曲线交于点A 、B ，若AB 的中点为M，且|FM|等于半焦距，则e=_____ .【答案】√2【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1.两式相减，得(x1+x2)(x1−x2)a2−(y1+y2)(y1−y2)b2=0，所以AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=b2x0a2y0=√3.又|FM|=c,∠xFM=π3，所以M点的坐标为(32c,√32c).所以b 2a2=√3y0x0=1，所以e=ca=√1+b2a2=√2.故答案为：√2．4．若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=_________ ___ .【答案】10√5【解析】抛物线的焦点为F(1，0).因F为△OAB的垂心，则OF⊥AB，故可设A、B的坐标为A(a2,2a),B(a2,−2a)(a>0).于是OA的方程为ay=2x，k OA=2a.BF的斜率k BF=−2aa2−1，据k BF⋅k OA=−1，得a=√5，因此AB=4√5，h=a2=5，所以S△OAB=10√5.故答案为：10√5．5．在平面直角坐标系内，已知抛物线y=kx2(k>0)与圆(x−a)2+(y−b)2=r2至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线y=kx+b上，那么实数b的最小值是______ .【答案】2【解析】由已知a2+b2=r2，{y=kx2y=kx+b得kx2−kx−b=0①由{(x−a)2+(y−b)2=r2y=kx2得x[k2x3−(2kb−1)x−2a]=0.②由于①的解均是②的解，所以有kx2−kx−b|k2x3−(2kb−1)x−2a，故b=k+1k⩾2，当k=1时等号成立.故答案为：2．6．若直线2x+y−2=0与直线x+my−1=0互相垂直，则点P(m,m)到直线x+y+3=0的距离为_________ ___ .【答案】√22【解析】直线2x+y-2=0的斜率为k1=-2，直线x+my-1=0的斜率为k2=−1m.因为两直线互相垂直，所以(−2)×(−1m)=−1，解得m=-2，故P(-2，-2)，所以点P到直线x+y+3=0的距离为√2=√22.故答案为：√22．7．已知△ABC为椭圆x29+y24=1的内接三角形，且AB过点P(1，0)，则△ABC的面积的最大值为_______ .【答案】16√23【解析】提示：经伸缩变换{x =3X y =2Y 得△A 'B 'C '内接于圆X 2+Y 2=1，A 'B '过点P ′(13,0).S △ABC =6S △A ′B ′C ′，设O '到A 'B '的距离为t ，则0⩽t ⩽13,|A ′B ′|=2√1−t 2,S △A ′B ′C ′⩽√1−t 2⋅(1+t)，易知当t =13时，S △A ′B ′C ′有最大值为8√29，所以S △ABC 的最大值为16√23.故答案为：16√23．8．设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 【答案】{a |－1<a <1}∪{－3} 【解析】由z 2－2z +5=0，得z 1=1+2i ,z 2=1−2i .因为z 2+2az +1=0有两个不同的根，所以△=4(a 2－1)≠0，故a ≠±1.若△=4(a 2－1)<0，即－1<a <1时，z 3,4=−a ±√1−a 2.因为z 1,z 2,z 3,z 4在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，−1<a <1满足条件.若△=4(a 2－1)>0，即|a |>1时，z 3.4=−a ±√a 2−1是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当z 1、z 2对应的点在以z 3,z 4对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为(x −z 3+z 42)2+y 2=(z 3−z 42)，整理得x 2−(z 3+z 4)x +z 3z 4+y 2=0，即x 2+2ax +1+y 2=0，将点(1，±2)代入得a =－3. 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是{a |－1<a <1}∪{－3}.故答案为：{a|－1<a<1}∪{－3}.9．若实数x、y满足x−4√y=2√x−y，则x的取值范围是______.【答案】{0}∪[4,20]【解析】令√y=a,√x−y=b(a、b≥0)，此时，x=y+(x−y)=a2+b2，且题设等式化为a2+b2−4a=2b.于是，a、b满足方程(a−2)2+(b−1)2=5(a、b≥0).如图，在aOb平面内，点(a,b)的轨迹是以D(1,2)为圆心、√5为半径的圆在a、b≥0的部分，即点O与弧ACB并集.故√a2+b2∈{0}∪[2,2√5].从而，x=a2+b2∈{0}∪[4,20].10．已知P为抛物线y2=2x上的动点，点B、C在y轴上，(x−1)2+y2=1是△PBC的内切圆.则SΔPBC最小值为_______.【答案】8【解析】设P(x0,y0)、B(0,b)、C(0,c)，不妨设b >c ，l PB :y −b =y 0−b x 0x ，即(y 0−b)x −x 0y +x 0b =0．又圆心(1,0)到PB 的距离为100√(y0−b)+x 0=1．故(y 0−b)2+x 02=(y 0−b)2+2x 0b(y 0−b)+x 02b 2．易知x 0>2，上式化简得(x 0−2)b 2+2y 0b −x 0=0． 同理，(x 0−2)c 2+2y 0c −x 0=0． 所以，b +c =−2y 0x 0−2，bc =−x 0x 0−2．则(b−c)2=4x 02+4y 02−8x 0(x 0−2)2．因为P(x 0,y 0)是抛物线上的点，所以，y 02=2x 0．则(b −c)2=4x 02(x 0−2)2⇒b −c =2x 0x 0−2．故S △PBC =12(b −c)x 0=x 0x0−2⋅x 0=(x 0−2)+4x 0−2+4≥2√4+4=8．当(x 0−2)2=4时，上式取等号，此时，x 0=4，y 0=±2√2． 因此，S △PBC 的最小值为8．11．若点P(x 0,y 0)对椭圆E:x 24+y 2=1与双曲线H:x 2−y 24=1的切点弦互相垂直，则yx 0=__________。
专题43平面解析几何第三缉(原卷版)-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编
备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题43平面解析几何第三缉1．【2024年安徽预赛】已知抛物线C以椭圆E的中心为焦点，抛物线C经过椭圆E的两个焦点，且与椭圆E恰有三个交点.则椭圆E的离心率为________.2．【2024年天津预赛】椭圆x2+ky2=1与双曲线x24−y25=1有相同的准线.则k=______.3．【2024年山西预赛】若椭圆两准线之间的距离为两焦点之间距离的两倍，则其离心率e=__________.4．【2024年全国】已知双曲线C：x2−y23=1，左、右焦点分别为F1、F2.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得∠F1PQ=90°.则△F1PQ的内切圆半径为________.5．【2024年上海预赛】已知线段AB、CD的长分别为a、b(a、b>0)。
若线段AB、CD分别在x轴、y轴上滑动，且使得A、B、C、D四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程为_____________。
6．【2024年浙江预赛】在ΔABC中，∠B=π4，∠C=5π12，AC=2√6，AC的中点为D。
若长度为3的线段PQ（点P在点Q的左侧）在直线BC上滑动，则AP+DQ的最小值为__________。
7．【2024年新疆预赛】在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，M为AB的中点. 将△ACM沿CM折起，使A、B两点间的距离为√2. 则点A到平面BCM的距离为______.8．【2024年辽宁预赛】如图,在△ABC中, cos C2=2√55,AH⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑ =0,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB⃑⃑⃑⃑⃑ )=0则过点C且以A、H为两焦点的双曲线的离心率为______.9．【2024年湖北预赛】已知△ABC为等边三角形，椭圆Γ的一个焦点为A，另一个焦点F在线段BC上．若椭圆Γ恰经过B、C两点，则它的离心率为________.10．【2024年河南预赛】已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2=a2的切线，与双曲线的右支交于点P，且∠F1PF2=45∘。
历届全国高中数学联赛中的平面几何题
1994—2009年全国联赛中的平面几何题1.如图,设的外接圆的半径为,内心为,,,的外角平分线交圆于.ABC ∆O R I °=∠60B C A ∠<∠A ∠O E 证明:(1)(2)(1994年);AE IO =.)31(2R IC IA OI R +<++<2.如图,菱形的内切圆与各边分别相切于在与上分别作圆的切线交ABCD O ,,,,H G F E ⌒EF ⌒GH O AB 于,交于,交于,交于.证明:.(1995年)M BC N CD P DA Q NP MQ //3.如图示,圆与圆和的三边所在的直线都相切,为切点,直线和相交于1O 2O ABC ∆H G F E ,,,EG FH P 点.证明:.(1996年)BC PA ⊥4.如图,已知两个半径不相等圆与圆相交于两点,且圆,圆分别与圆内切于两点.1O 2O N M ,1O 2O O T S ,求证:三点共线.(1997年)T N S MN OM ,,⇔⊥5.如图,分别为的外心和内心,是边上的高,在线段上.求证:的外接圆半I O ,ABC ∆AD BC I OD ABC ∆径等于边上的旁切圆半径.注:的边上的旁切圆是与边的延长线以及边都相切BC ABC ∆BC AC AB ,BC 的圆.(1998年)6.如图,在凸四边形中,平分,是线段上的一点.,.ABCD AC BAD ∠E CD F AC BE =∩G BC DF =∩求证:.(1999年)GAC EAC ∠=∠CA7.如图,锐角的边上有两点,满足,作(是ABC ∆BC F E ,CAF BAE ∠=∠AC FN AB FM ⊥⊥,N M ,垂足),延长交的外接圆于点.证明:四边形的面积与的面积相等.(2000年)AE ABC ∆D AMDN ABC ∆D8.如图,中,为外心,三条高交于点,直线和交于点,直线和交ABC ∆O CF BE AD ,,H ED AB M FD AC 于点,求证:(1)(2).(2001年)N ;,DE OC DF OB ⊥⊥MN OH ⊥9.如图,在中,,,点是的外心,高交于点,点分别在ABC ∆°=∠60A AC AB >O ABC ∆CF BE ,H N M ,线段上,且满足.求的值.(2002年)HF BH ,CN BM =OHNH MH +10.过圆外一点作圆的两条切线和一条割线,切点为,所作割线交圆于两点,在之间.在P B A ,D C ,C D P ,弦上取一点使.求证:.(2003年)CD ,Q PBC DAQ ∠=∠PAC DBQ ∠=∠11.如图,在锐角中,上的高与上的高相交于点,以为直径的圆分别与两边ABC ∆AB CE AC BD H DE 相交于两点,求的长.(2004年)AC AB ,G F ,.7,20,25,====BE BD BC K AH FG ∩AK C12.如图,在中,过作外接圆的切线,又以点为圆心,为半径作圆分别交ABC ∆,AC AB >A ABC ∆l A AC 线段于点交直线于点.证明:直线分别通过的内心与一个旁心.(2005年)AB ,D l F E ,DF DE ,ABC ∆EA13.如图,以为焦点的椭圆与的边交于.在的延长线上任取点,以10,B B 10B AB ∆i AB )1,0(=i C i 0AB 0P 0B 为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点;以为圆心,为半径作圆弧交00P B 00Q P 01B C 0Q 1C 01Q C 01Q P A B 1的延长线于点;以为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点;以为圆心,为半1P 1B 11P B 11Q P 01C B 1Q 0C 10Q C 径作圆弧交的延长线于点.试证明:(1)与点重合,且圆弧与圆弧相内切于点;21P Q 0AB 2P 2P 0P 00Q P 10Q P 0P (2)四点共圆.(2006年)1010,,,Q Q P P14.如图,在锐角中,,是边上的高,是线段上一点,过作,垂足ABC ∆AC AB <AD BC P AD P AC PE ⊥为,作,垂足为,分别是的外心.求证:四点共圆的充要条E AB PF ⊥F 21,O O CDE BDF ∆∆,F E O O ,,,21件为是的垂心.(2007年)P ABC ∆B15.如图,凸四边形,,,其中是平面上的ABCD °<∠+∠180D B AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=)(P 一动点.(1)求证:当达到最小值时,四点共圆;)(P f C B A P ,,,(2)设是外接圆的弧上一点,满足:,且圆E ABC ∆O AB ,13,23−==EC BC AB AE ECA ECB ∠=∠21的两条切线为,,求的最小值.(2008年)O DC DA ,2=AC )(P fE16.如图,已知分别为锐角三角形()的外接圆上弧,弧的中点.过点作N M ,ABC ∆B A ∠<∠ΓBC AC C 交圆于点,为的内心,连接并延长交圆于.MN PC //ΓP I ABC ∆PI ΓT (1)求证:;(2)在弧(不含点)上任取一点,记,的NT NP MT MP ⋅=⋅AB C ),,(B T A Q Q ≠AQC ∆QCB ∆内心分别为.求证:四点共圆.(2009年)21,I I ,,T Q 21,I I。
全国高中数学联赛加试平面几何汇编
全国高中数学联赛加试平面几何汇编全国高中数学联赛加试平面几何汇编篇一：1990-2011全国高中数学联赛加试平面几何汇编1990年第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．证明∵O为⊿ABC的外心，∴OA=OB．∵O1为⊿PAB 的外心，∴O1A=O1B． E1∴OO1⊥AB．D作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB O3交于点F，连DE，则?1=?2=?3，?EPD=?BPF，∴?PFB=?EDP=90?．O4∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形．O∴O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．同理，O2O4过PO中点．OA∴OP、O1O3、O2O4三直线共点．FO3OO 2 OOAF BC3B1991年二．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个1点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于．4证明：考虑四边形的四个顶点A、B、C、D，若△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积，设其中面积最小的三角形为△ABD．1⑴若S△ABDA、B、C、D即为所求．413⑵若S△ABD<S△BCD，取△BCD的重心G，则以B、C、D、G这4点中的任意4413点为顶点的三角形面积．411⑶若S△ABD= S△ABD=．4413由于S△ABC+S△ACD=1，而S△ACD，故S△ABC<=S△BCD．44∴过A作AE∥BC必与CD相交，设交点为E．BC111则∵S△ABCS△ABD，从而S△ABES△ABD=．S△ACE=S△ABES△BCE=S△ABC．即A、B、444C、E四点即为所求．11⑷若S△ABD==，这个三角形不可能是△BCD，(否则ABCD的面积=，不妨设S△ADC= S△ABD=．则AD∥24BC，四边形ABCD为梯形．13由于S△ABD=，S△ABC=AD=a，则BC=3a，设梯形的高=h，44B3aAEaFC则2ah=1．设对角线交于O，过O作EF∥BC分别交AB、CD于E、F．∴AE∶EB=AO∶OC=AD∶BC=1∶3．a·3+3a·13133991∴EF=A．S△EFB=S△EFC=h=1+322241632413991S△EBC=S△FBC=·3aah=．于是B、C、F、E四点为所求．综上可知所248162证成立．又证：当ABCD为平行四边形时，A、B、C、D四点即为所求．当ABCD不是平行四边形，则至少有一组对边的延长线必相交，设延长AD、BC交于E，且设D与AB的距离<C 与AB的距离，1⑴若ED≤AE，取AE中点P，则P在线段AD上，作PQ ∥AB交BC于Q．若2333PQ=a，P与AB距离=h．则AB=2a，SABQP=ABEABCD=．444131即a+2a)h，ah 2421111∴S△APQ=S△BPQ=．S△PAB=S△QAB=ah．即A、B、Q、P为所求．24241⑵若EDAE，取AE中点P，则P在线段DE上，作PR ∥BC交CD 于R，2NAEDCQABEFCQSBAN∥BC，交CD于N，由于∠EAB+∠EBA<π，故R 在线段CD 上．N在DC延长线上．作1RS∥AB，交BC于S，则RS=AB，延长AR交BC于F，则S△FAB=SABCNSABCD=1．问题化2为上一种情况．1992年四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C 三点，且AB=BC，过A，B，C分7别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=15，BE=10，求l2与m的距离．解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l?，l?∩m=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足为Q、R，则Q、R∈l?，且AP=BQ=CR=l与m的距离d．? 连PD、QE、RF，则由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m．PD=15－d，QE= 492d，RF=10－d．4l'mKF当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF，E?49－4d=15－d+10－d．解之得d=6当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD－RF，?49－4d=15－d－10－d．无实解．∴l与m距离为6．1993年三、（35分）水平直线m通过圆O的中心，直线l?m，l与m相交于M，点M 在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l 与圆O相切时，AB?CR+BC?AP=AC?BQ；(2)l与圆O相交时，AB?CR+BC?AP＜AC?BQ；(3)l与圆O相离时，AB?CR+BC?AP＞AC?BQ.证明：设MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，⊙O的半径=r．且设k=d2－r2．则当k0时，点M在⊙O外，此时，直线l与⊙O相离；当k=0时，点M在⊙O上，此时，直线l 与⊙O相切；当k<0时，点M在⊙O内，此时，直线l与⊙O相交．∴AP=a+d －r=a+k，同理，BQ=b+k，CR=c+k．则AB?CR+BC?AP－AC?BQ= AB?CR+BC?AP－(AB+BC)?BQ=BC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)AP2－BQ2BQ2－CR2=BC×AB×AP+BQBQ+CR(b－c)(a－b)(a+b)(a－b)(b－c)(b+c) =AP+BQBQ+CRa+bb+c=(a－b)(b－c)()AP+BQBQ+CR=(a－b)(b－c)a·BQ+a·CR+b·CR－b·AP－c·AP－c·BQ．(AP+BQ)(BQ+CR)a2·BQ2－b2·AP2(a2－b2)k注意到a?BQ－b?AP=．b·AP+a·BQb·AP+a·BQ故k0时，a?BQ－b?AP0，k=0时，a?BQ－b?AP=0，k<0时，a?BQ－b?AP<0；同理可得，k0时，b?CR－c?BQ0，k=0时，b?CR－c?BQ =0，k<0时，b?CR－c?BQ <0；k0时，a?CR－c?AP0，k=0时，a?CR－c?AP =0，k<0时，a?CR－c?AP <0；即当k0时，AB?CR+BC?AP－AC?BQ0；当k=0时，AB?CR+BC?AP－AC?BQ=0，当k<0时，AB?CR+BC?AP－AC?BQ<0．故证．、1994年三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60?,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．C证明:(1) IO=AE；(2) 2R<IO+IA+IC<(1+3)R．证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．B∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI 延长线交弧BC于D．由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO∴AE=IO．由ΔACH为正三角形，易证IC+IA=IH．由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IHOH=2R．设∠OHI=α，则0<α<30°．∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R2sin(α+45°) 又α+45°<75°，故IO+IA+IC<2 2R(6+2)/4=R(1+3)1995年三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC 于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．分析要证MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN．现∠A=∠C，故可证ΔAMQ∽ΔCPN．于是要证明AM∶AQ=CP∶CN．证明设∠ABC=2?，∠BNM=2?，∠BMN=2γ．则1由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=(180?－2?)=90?－?；2同理，∠OMN=∠OMA=90?－γ．而∠CON=180?－∠OCN－∠ONC=?+?=90?－γ，于是ΔCON∽ΔAMO，∴AM∶AO=CO∶CN，即AM·CN=AO2．同理，AQ·CP=AO2，∴AM·CN=AQ·CP．∴ΔAMQ∽ΔCPN，∴∠AMQ=∠CPN．∴MQ∥NP．A2HDCBNF1996年三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P 点。
全国高中数学联赛试题分类汇编： 13平面几何
1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编平面几何部分2019A 一、（本题满分 40 分）如图，在锐角中，是边的中点．点在ABC ∆M BC P 内，使得平分．直线与,的外接圆分别相交于不同于ABC ∆AP BAC ∠MP ABP ∆ACP ∆点的两点．P ,D E 证明：若，则．DE MP =2BC BP =★证明：延长到点，使得.连接．PM F MF ME =,,BF BD CE 由条件可知． ………………10 分 BDP BAP CAP CEP CEM ∠=∠=∠=∠=∠因为 且 ，所以 且．BM CM =EM FM =BF CE =//BF CE 于是，进而． ………………20 分F CEM BDP ∠=∠=∠BD BF =又，故．DE MP =DP EM FM ==于是在等腰中，由对称性得 ．从BDF ∆BP BM =而………………40 分22BC BM BP ==2019B 三、（本题满分50分）如图，点在一条直线上顺次排列，满足A,B,C,D,E BC CD AB DE ==⨯点在该直线外，满足．点分别在线段上，满足P PB PD =,K L ,PB PD 平分，平分.KC BKE ∠LC ALD ∠证明：四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）,,,A K L E ★证明：令，（），由条件知． 1AB =BC CD t ==0t >2DE t =注意到，可在延长线上取一点0180BKE ABK PDE DEK ∠<∠=∠<-∠CB A '，使得． ………………10 分A KE ABK A BK ''∠=∠=∠此时有，故． ………………20 分 A BK A KE ''∆∆:AB A K BK A K A E KE ''==''又平分，故．于是有KC BKE ∠211BK BC t KE CE t t t===++． …………30 分 22121A B A B A K BK AB A E A K A E KE t t AE'''⎛⎫=⋅=== ⎪'''++⎝⎭由上式两端减1，得，从而与重合．BE BE A E AE='A 'A 因此．AKE A KE ABK '∠=∠=∠同理可得．而，所以．ALE EDL ∠=∠ABK EDL ∠=∠AKE ALE ∠=∠因此四点共圆． (50),,,A K L E 2018A 二、（本题满分40分）如图所示， 为锐角三角形，，为边的中点，点和分别为ABC ∆AC AB <M BC D E 的外接圆弧和的中点，为内切圆在边上的切点，为与ABC ∆BAC BC F ABC ∆AB G AE 的交点，在线段上，满足.BC N EF AB NB ⊥证明：若,则。
全国高中数学联赛二试平面几何赛题精选
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总1 （类似九点圆）如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
ABDCEFP1O 2O因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
平面几何-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
又 ABD
PCD ，所以△ ABD ∽△ PCD ，于是 AB BD
从而有 AB CD
1 AC BD
1 AC ( BD)
AC BQ ，
2
2
即 AB BQ ． AC CD
又 ABQ ACD ，所以△ ABQ∽△ ACD，所以 QAB
PC ，即 AB CD CD DAC ．
PC BD .
延长线段 AQ 与圆交于另一点 F ，则 CAB DAF ，故 BC DF ． 又因为 Q 为 BD 的中点，所以 CQB DQF ． 又 AQB DQF ，所以 AQB CQB ．
求证： Q ， I1 ， I 2 ， T 四点共圆．
P N
C M
P N
I
B
T
A
A
Q
C M
I
B
T
P N
A
C
M
I I2
B
T
Q
【解析】⑴连 NI ， MI ．由于 PC ∥ MN ， P ， C ， M ， N 共圆，
故 PCMN 是等腰梯形．因此 NP MC ， PM NC ．
连 AM ， CI ，则 AM 与 CI 交于 I ，因为
1 PM MT sin PMT
2
于是 PM MT PN NT ．
S△PNT
1 PN NT sin PNT
2
1 PN NT sin PMT
2
又因 I 1NT QNT QMT I 2MT ，有 I1 NT ∽ I 2 MT ．
故 NTI 1 MTI 2 ，从而 I1QI 2 NQM
NTM
I1TI 2 ．
因此 Q ， I 1 ， I 2 ， T 四点共圆．
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9平面几何(50题竞赛真题强化训练)原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________.6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x y a b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=_________．10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .二、解答题11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上的点，且,BE CF BC ACE ==的外接圆与EF 交于不同于E 的点K ．证明：点K 在BAC ∠的角平分线上．12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形ABCD 中，1A ､1C 分别是边AB BC 、上的点，线段1AC ､1CA 交于点P ，1AA P 和1CC P △的外接圆的第二个交点Q 位于ACD △的内部.证明：PDA QBA ∠=∠.13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O 、H 分别为ABC 的外心与垂心，M 、N 分别为BH 、CH 的中点．BB '是ABC 的外接圆的一条直径，如果HONM 是一个圆的内接四边形，证明：12B N AC '=． 14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角ABC 的外接圆为Γ，过B 、C 分别作圆Γ的切线交于点P ，P 在直线BC 、AC 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，DEF 的外接圆与BC 交于点N （不同于点D ），A 在BC 上的投影为M ．求证：BN CM =． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点．D 为线段BM 上一点，E 、F 分别为AC AB 、上的点，且四边形AEDF 为平行四边形.BO 交DE 于点P ，CO 的延长线交DF 的延长线于点Q ，ABC 的外接圆O 交ADM △的外接圆于A 、K 两点．求证：K 、Q 、P 、O 四点共圆．16．（2021·全国·高三竞赛）如图，AE 、AF 为圆的两切线，ABC 为圆的一条割线，EF 为切点连线，D 为过C 、B 关于圆的切线的交点，证明：D 、E 、F 共线． 17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，G 为重心，P 为射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，Q 为射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠，证明：AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上．18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P ，并且DA 与CB 交于Q ．若PQ AC ⊥，且E 是AB 的中点．求证：PE BC ⊥． 19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，BC 最短，D 、E 分别在AB AC 、上满足BD CE BC ==，设I 是ABC 内心，O 是ADE 外心，求证：OI BC ⊥. 20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 中，D 为边BC 中点，ABD △内切圆与边AB 切一点,E ACD 的内切圆与边AC 切于点F ，若四边形EDFG 为平行四边形，求证：G 在BAC ∠的平分线上.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，切线、BP CP 交于点P ，D 是BC 的中点，K 、L 分别在线段AB AC 、上，且满足KD LD ⊥，连结KP LP 、，求证：2BPC KPL ∠=∠．22．（2021·全国·高三竞赛）点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，过P 作椭圆两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，点M 、N 分别为PA 、AB 中点，连结MN 并延长交椭圆于点C ，连结PC 交椭圆于另一点D ，连结ND 并延长交PB 于Q ，证明：Q 为PB 的中点．23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，AB AC >，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P （异于E ），ADE 的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q （异于D ），证明：AP AQ =．24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE 、CF 分别是锐角三角形△ABC 的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点P 、Q .证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆.25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD 的边长为1点M 是边AD 的中点以M 为圆心AD 为直径作圆，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆相切.求△CBE 的面积. 26．（2018·江西·高三竞赛）如图，ABC 的内心为I ，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，证明：直线DI 平分DEF 的周长．27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，E 、E 是边BC 上的点，ABC 、ABD △、ADC 的外心分别为O 、P 、Q ．证明：（1）APQ △ABC ；（2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥．28．（2019·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，设△C=90°，CD AB ⊥，垂足为D ，P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心，PQ 与CD 交于点K ，记ABC ∆的面积为S.证明：22111CK CD S-=. 29．（2018·全国·高三竞赛）如图，1O 与2O 的半径相等，交于X 、Y 两点. ABC ∆内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB 、XY 、HZ 三线共点.30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以AB 为直径的圆上有C 、D 两点，AC 、BD 两点的中点为E 、F ，直线EF 与直线AD 、BC 分别交于G 、H ，求证：以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰ABC 中，AB AC =，设点D 是边AC 上一点，点E 是线段BD 的中点，延长AE 与底边BC 交于点F ，证明：若BF EF =，求证：2AE AB AD =⋅.32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，已知点D ､E ､F 分别是点A ､B ､C在边BC ､CA ､AB 上的投影，AEF ､BDF 的内心分别为1I ､2I ，1ACI ､2BCI 的外心分别为1O ､2O ，证明：1212//I I O O .33．（2021·全国·高三竞赛）如图，AB 是O 的一条弦，AB 的垂直平分线交O 于M N 、两点，交AB 于点D ．P 为O 内一点，DMP 外接圆交PN 于点,E ABE 的外接圆交MP 于点F ，且点M P E F 、、、在直线AB 同侧．证明：EF PN ⊥． 34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 的外接圆为Γ，D 是A 在BC 上的射影，假设AD BC =，点M 为DC 中点，ADC ∠的角平分线与AC 交于点N ，Γ上一点P 满足//BP AC ．直线DN 与AM 交于点F ，直线PF 与圆Γ再交于点Q ．直线AC 与PNQ 的外接圆再交于点E ．证明：90DQE ∠=︒．35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是弧BC （不含A ）上一点，S 为弧BAC 的中点.P 为线段SD 上一点，过P 作DB 的平行线交AB 于点E ，过P 作DC 的平行线交AC 于点F ，过O 作SD 的平行线交弧BDC 于点T .已知O 上的点Q 满足QAP ∠被AT 平分.证明：QE QF =.36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角ABC 中，D 为边BC 上一定点，P 为AD 边上一动点，直线CP 交AB 于点Q ，DQ 交BP 于点X ．BCX 、CAX 、ABX 的三个外接圆分别交DQ 于X 外的另三点1Y 、2Y 、3Y ，过1Y 、2Y 、3Y 分别作DQ 垂线1l 、2l 、3l ，证明：1l 、2l 、3l 均过定点．37．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，点P 、Q 、R 分别位于边BC 、CA 、AB 上，A ω、B ω、C ω分别是AQR 、BRP △、CPQ 的外接圆，线段AP 与A ω、B ω、C ω分别相交于点X 、Y 、Z .证明：YX BP XZ PC=． 38．（2021·全国·高三竞赛）点O 是ABC 的外接圆圆心，含点A 的BC 的中点为S ，点T 在不包含点A 的BC 上.点M 在圆O 上且//SM OT .点P 在线段SM 上.过点P 作MB 的平行线交AB 于点F ，过点P 作MC 的平行线交AC 于点E .点Q 在圆O 上，使得AT 是PAQ ∠的角平分线.证明：QE QF =.39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，A B C ∠≥∠≥∠，且AD 为BC 边上的高，BE 为AC 边上的中线，CF 为C ∠的平分线，AD 与CF BE 、分别交于P R 、两点，BE 与CF 交于Q 点，令PQR ABC Sx S =．求证：16x <，且16是最好的界（即可以无限接近于16）． 40．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的内心为点I ，内切圆分别切BC CA AB 、、于D E F 、、．直线DF 与EI 交于点N ．连结并延长BN ，交AC 于点M ．求证：M 是AC 中点．41．（2021·全国·高三竞赛）已知O 上依次四点A ､B ､C ､D ，射线AB DC 、交于点P .射线AD BC 、交于点Q ，弦AC BD 、交于点R ，点M 为线段PQ 的中点.过点O 作MR 的垂线，分别PQ MR 、于点U ､V .过点U 作O 的切线UK ，与O 切于点K . 证明：（1）P ､Q ､V ､O 四点共圆；（2）K ､M ､R 三点共线.42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．43．（2020·全国·高三竞赛）如图，在锐角△ABC 中，M 是BC 边的中点点P 在△ABC 内，使得AP 平分△BAC .直线MP 与△ABP 、△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D 、E .证明：若DE =MP ，则BC =2BP .44．（2019·江苏·高三竞赛）如图所示，D 是△ABC 中，边BC 的中点，K 为AC 与△ABD 的外接圆O 的交点，EK 平行于AB 且与圆O 交于E ，若AD =DE ，求证：AB AK KC +=.45．（2019·广西·高三竞赛）如图所示，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，点M 是AD 的中点，△MDH 的外接圆交CM 于点E .求证：△AEB =90°. 46．（2019·福建·高三竞赛）如图，O ､H 分别为锐角△ABC 的外心垂心，AD △BC 于D ，G 为AH 的中点点K 在线段GH 上，且满足GK =HD ，连结KO 并延长交AB 于点E .（1） 证明：//EK BC ；（2） 证明：GE GC ⊥.47．（2019·全国·高三竞赛）如图，点A ､B ､C ､D ､E 在一条直线上顺次排列，满足BC =CD P 在该直线外，满足PB =PD .点K ､L 分别在线段PB ､PD 上，满足KC 平分△BKE ，LC 平分△ALD .证明：A ､K ､L ､E 四点共圆.48．（2021·全国·高三竞赛）如图，给定两个相交的圆1O 与2O ，A 、B 为1O 、2O 的交点，一动直线经过B 与1O 交于点C ，与2O 交于点D ，且B 在线段CD 内，过C的1O 的切线与过D 的2O 的切线相交于点M ，连结AM 交CD 于点E ，过点E 作DM 的平行线交AD 于点K ，求点K 的轨迹.（2021·全国·高三竞赛）ABC 的外接圆与内切圆分别为Γ、Ω，ΩA 为A -旁切圆． 49．证明：存在唯一圆1ω，1ω与Ω内切、与ΩA 外切，并且与Γ内切于点A ． 50．设圆1ω与ΩA 、Ω的切点分别为P 、Q ．如果BAQ CAP ∠=∠，求证：AB AC =．。
高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题17平面解析几何C辑(原卷版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C 辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值.2．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F 1,F 2为两个焦点.若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求tan∠ABF 1⋅tan∠ABF 2的值. 3．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径.4．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值.5．【2018高中数学联赛B 卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 与C 、D 分别是椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点与上、下顶点.设P ，Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ ∥AP ，M是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R .证明:线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形.6．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:y 2=4x ，曲线C 2:(x −4)2+y 2=8.经过C 1上一点P 作一条倾斜角为45°的直线l ，与C 2交于两个不同的点Q 、R ，求|PQ|⋅|PR|的取值范围. 7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 22+y 2=1的左、右焦点.设不经过焦点F 1的直线l 与椭圆交于两个不同的点A ，B ，焦点F 1到直线l 的距离为d .如果直线AF 1，l ，BF 1的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围8．【2014高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线y 2=4x 的两条切线，两切点连线l 与PO 垂直.设直线l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q ，R.(1)证明R是一个定点；(2)求|PQ||QR|的最小值.9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q，R满足QA1⊥PA1,QA2⊥PA2,RF1⊥PF1,RF2⊥PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.10．【2012高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6.(1)求证：|OA|⋅|OC|为定值；(2)当点A在半圆M：(x－2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时，求点C的轨迹.11．【2011高中数学联赛（第01试）】作斜率为13的直线l与椭圆C:x236+y24=1交于AB两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l的左上方.(1)证明：△P AB的内切圆的圆心在一条定直线上；(2)若∠APB=60°，求△P AB的面积.12．【2010高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1≠x2且x1+ x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值.13．【2009高中数学联赛（第01试）】设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆x216+y212=1交于不同两点A，B，与双曲线x24−y212=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l使得向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由.14．【2008高中数学联赛（第01试）】如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值.15．【2007高中数学联赛（第01试）】已知过点(0，1)的直线l与曲线C:y=x+1x(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M，N处的切线的交点轨迹.16．【2006高中数学联赛（第01试）】给定整数n≥2，设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx－1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx－1与直线y=x的一个交点.17．【2005高中数学联赛（第01试）】过抛物线y=x2上的一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AEEC =λ1；点F在线段BC上，满足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.18．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0,43),B(−1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l经过△ABC的内心(设D)，且与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围.19．【2002高中数学联赛（第01试）】已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围.20．【2001高中数学联赛（第01试）】设曲线C1:x2a2+y2=1(a为正的常数)与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P.(1)求实数m的取值范围(用a表示)；(2)O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0<a<12时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示).21．【2000高中数学联赛（第01试）】已知C0:x2+y2=1和C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0).试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形?并证明你的结论22．【1999高中数学联赛（第01试）】给定A(－2，2)，已知B是椭圆x225+y216=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+53|BF|取最小值时，求B的坐标.23．【1998高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=2px及定点A(a，b)，B(－a，0)(ab≠0，b2≠2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.求证：当点M在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1≠M2)，直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.24．【1993高中数学联赛（第01试）】设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹.25．【1991高中数学联赛（第01试）】设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ= b，求△OPQ的面积.优质模拟题强化训练1．易知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴为4，离心率为e1.双曲线x2m−y2n=1(m>0,n>0)的渐近线为y=±x，离心率为e2，且e1⋅e2=1.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为k1,k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.2．如图，椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:x2=2py(p>0)，设C1,C2相交于A、B两点，O为坐标原点.（1）若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值；（2）若△ABO的外接圆经过点N(0,132)，求实数p的值.3．如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆E:x24+y2=1于点A、M和A、N.（1）求k⋅k1的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.4．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1､F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点.已知PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M､N两点(M､N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.5．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点M(0,2)，且右焦点为F(2,0)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，交y轴于点P．若PA=mAF,PB=nBF，求证：m+n为定值；（3）在（2）的条件下，若点P不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点O的对称点，试求三角形QAB面积的最小值．6．．已知点F是椭圆x 21+a2+y2=1(a>0)右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y上的动点，且满足MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点P 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x =−a 分别交于点S 、T （其中O 为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值； ⑵求△AOB 的外心P 的轨迹方程.8．已知离心率为12的椭圆的左焦点F 1为抛物线y 2=4px(p >0)的准线与x 轴的交点，右焦点F 2也为抛物线的焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ，延长PF 1，与该抛物线交于点Q ，M 为抛物线上一个动点，且M 在点P 与Q 之间运动.若ΔPF 1F 2的边长恰为三个连续的正整数，求ΔMPQ 面积的最大值. 9．如图，已知⊙G:(x −2)2+y 2=r 2是椭圆x 216+y 2=1的内接△ABC 的内切圆，其中，A 为椭圆的左顶点.（1）求⊙G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作⊙G 的两条切线与椭圆交于E 、F 两点，证明:直线EF 与⊙G 相切.10．已知双曲线x 2−y 2=2的左、右焦分别为点F 1、F 2，过定点P(2,3)作双曲线x 2−y 2=2的切线，切点分别为A 、B ，且点A 的横坐标小于点B 的横坐标。
1988-2018全国高中数学联赛真题(二试)分类汇编---平面几何
全国高中数学联合竞赛（加试）试题分类汇编一【平几】1、【1988·2】(本题满分35分)如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：S∆PQRS∆ABC>29．NACBPQ RH2、【1989·1】(本题满分35分)已知在ΔABC中，AB>AC， A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证：2AF=AB-AC．EAFB C3、【1990·1】(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．O OA B C DP 1O O O 234F4、【1991·2】(本题满分35分)设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于1 4．5、【1992·1】(本题满分35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为△A2A3A4、△A3A4A1、△A4A1A2、△A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．6、【1993·3】(本题满分35分)水平直线m通过圆O的中心，直线l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR 为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB⨯CR+BC⨯AP=AC⨯BQ；(2)l与圆O相交时，AB⨯CR+BC⨯AP＜AC⨯BQ；(3)l与圆O相离时，AB⨯CR+BC⨯AP＞AC⨯BQ.7、【1994·3】(本题满分35分)如图，设三角形的外接圆O 的半径为R,内心为I ，∠B=60 ,∠A <∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ．证明:(1)IO=AE ；(2)2R <IO +IA +IC <(1+3)R ．AB COIE8、【1995·3】(本题满分35分)如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．9、【1996·3】（本题满分35分）如图，圆O 1和圆O 2与△ABC 的三边所在的三条直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。
高中数学联赛真题分类平面解析几何C辑(原卷版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C 辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值.2．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F 1,F 2为两个焦点.若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求tan∠ABF 1⋅tan∠ABF 2的值.3．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径.4．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值.5．【2018高中数学联赛B 卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 与C 、D 分别是椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点与上、下顶点.设P ，Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ ∥AP ，M是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R .证明:线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形.6．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:y 2=4x ，曲线C 2:(x −4)2+y 2=8.经过C 1上一点P 作一条倾斜角为45°的直线l ，与C 2交于两个不同的点Q 、R ，求|PQ|⋅|PR|的取值范围.7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 22+y 2=1的左、右焦点.设不经过焦点F 1的直线l 与椭圆交于两个不同的点A ，B ，焦点F 1到直线l 的距离为d .如果直线AF 1，l ，BF 1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围8．【2014高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2=4x的两条切线，两切点连线l与PO垂直.设直线l与直线PO，x轴的交点分别为Q，R.(1)证明R是一个定点；(2)求|PQ||QR|的最小值.9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q，R满足QA1⊥PA1,QA2⊥PA2,RF1⊥PF1,RF2⊥PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.10．【2012高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6.(1)求证：|OA|⋅|OC|为定值；(2)当点A在半圆M：(x－2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时，求点C的轨迹.11．【2011高中数学联赛（第01试）】作斜率为13的直线l与椭圆C:x236+y24=1交于AB两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l的左上方.(1)证明：△P AB的内切圆的圆心在一条定直线上；(2)若∠APB=60°，求△P AB的面积.12．【2010高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1≠x2且x1+ x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值.13．【2009高中数学联赛（第01试）】设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆x216+y212=1交于不同两点A，B，与双曲线x24−y212=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l使得向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由.14．【2008高中数学联赛（第01试）】如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值.15．【2007高中数学联赛（第01试）】已知过点(0，1)的直线l与曲线C:y=x+1x(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M，N处的切线的交点轨迹.16．【2006高中数学联赛（第01试）】给定整数n≥2，设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx－1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx－1与直线y=x的一个交点.17．【2005高中数学联赛（第01试）】过抛物线y=x2上的一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AEEC =λ1；点F在线段BC上，满足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.18．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0,43),B(−1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l经过△ABC的内心(设D)，且与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围. 19．【2002高中数学联赛（第01试）】已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围.20．【2001高中数学联赛（第01试）】设曲线C1:x2a2+y2=1(a为正的常数)与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P.(1)求实数m的取值范围(用a表示)；(2)O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0<a<12时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示).21．【2000高中数学联赛（第01试）】已知C0:x2+y2=1和C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0).试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形?并证明你的结论22．【1999高中数学联赛（第01试）】给定A(－2，2)，已知B是椭圆x225+y216=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+53|BF|取最小值时，求B的坐标.23．【1998高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=2px及定点A(a，b)，B(－a，0)(ab≠0，b2≠2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.求证：当点M在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1≠M2)，直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.24．【1993高中数学联赛（第01试）】设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹.25．【1991高中数学联赛（第01试）】设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ= b，求△OPQ的面积.优质模拟题强化训练1．易知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴为4，离心率为e1.双曲线x2m−y2n=1(m>0,n>0)的渐近线为y=±x，离心率为e2，且e1⋅e2=1.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为k1,k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.2．如图，椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:x2=2py(p>0)，设C1,C2相交于A、B两点，O为坐标原点.（1）若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值；（2）若△ABO的外接圆经过点N(0,132)，求实数p的值.3．如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆E:x24+y2=1于点A、M和A、N.（1）求k⋅k1的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.4．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1､F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点.已知PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M､N两点(M､N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.5．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点M(0,2)，且右焦点为F(2,0)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，交y 轴于点P ．若PA =mAF,PB =nBF ，求证：m +n 为定值； （3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值． 6．．已知点F 是椭圆x 21+a 2+y 2=1(a >0)右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x 轴、y 上的动点，且满足MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点P 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x =−a 分别交于点S 、T （其中O 为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值； ⑵求△AOB 的外心P 的轨迹方程.8．已知离心率为12的椭圆的左焦点F 1为抛物线y 2=4px(p >0)的准线与x 轴的交点，右焦点F 2也为抛物线的焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ，延长PF 1，与该抛物线交于点Q ，M 为抛物线上一个动点，且M 在点P 与Q 之间运动.若ΔPF 1F 2的边长恰为三个连续的正整数，求ΔMPQ 面积的最大值. 9．如图，已知⊙G:(x −2)2+y 2=r 2是椭圆x 216+y 2=1的内接△ABC 的内切圆，其中，A 为椭圆的左顶点.（1）求⊙G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作⊙G 的两条切线与椭圆交于E 、F 两点，证明:直线EF 与⊙G 相切.10．已知双曲线x2−y2=2的左、右焦分别为点F1、F2，过定点P(2,3)作双曲线x2−y2=2的切线，切点分别为A、B，且点A的横坐标小于点B的横坐标。
高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题25平面几何A辑(原卷版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题25平面几何A辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】如图,在等腰△ABC中, AB=BC, I为内心, M为BI的中点,P为边AC 上一点,满足AP=3PC,PI延长线上一点H满足MH⊥PH,Q为ΔABC的外接圆上劣弧AB的中点.证明:BH⊥QH.2．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】如图,A,B,C,D,E是圆Ω上顺次的五点,满足ABC=BCD=CDE,点P,Q分别在线段AD,BE上,且P在线段CQ上.证明:∠P AQ=∠PEQ.3．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点点P在△ABC内，使得A P平分∠BAC.直线MP与△ABP、△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明:若DE=MP，则BC =2BP.4．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】如图，点A、B、C、D、E在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=√AB⋅DE，点P在该直线外，满足PB=PD.点K、L分别在线段PB、PD上，满足KC平分∠BKE，LC平分∠A LD.证明:A、K、L、E四点共圆.5．【2018高中数学联赛A卷（第02试）】如图，△ABC为锐角三角形，AB<AC，M为BC边的中点，点D和E 分别为△ABC的外接圆弧BAC和弧BC的中点，F为△ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB⊥AB.证明:若BN=EM，则DF⊥FG.6．【2018高中数学联赛B卷（第02试）】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，边AC上一点D及BC延长线上一点E满足ADDC =BC2CE，以AB为直径的圆ω与线段DE交于一点F.证明:B、C、F、D四点共圆.7．【2017高中数学联赛A卷（第02试）】如图，在△ABC中，AB=AC，I为△ABC的内心.以A为圆心，AB为半径作圆Γ1，以I为圆心，IB为半径作圆Γ2，过点B、I的圆Γ3与Γ1,Γ2分别交于点P、Q(不同于点B).设IP与BQ 交于点R.证明:BR⊥CR.8．【2017高中数学联赛B卷（第02试）】如图，点D是锐角△ABC的外接圆ω上弧BC的中点，直线DA与圆ω过点B、C的切线分别相交于点P、Q，BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T.求证:AT平分线段XY.9．【2016高中数学联赛（第02试）】如图所示，在△ABC中，X、Y是直线BC上两点(X，B，C，Y顺次排列)，使得BX⋅AC=CY⋅AB.设△ACX、△ABY的外心分别为O1,O2，直线O1O2与AB、AC分别交于点U、V.证明:△AUV是等腰三角形.10．【2015高中数学联赛（第02试）】如图，△ABC内接于圆O，P为弧BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分∠ABC.过K，P，C三点的圆与边AC交于点D，联结BD交圆厂于点E，联结PE并延长与边AB交于点F.证明：∠ABC=2∠FCB.11．【2014高中数学联赛（第02试）】如图，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B，C分别作△ABC的外接圆的切线BD，CE，且满足BD=CE=BC.直线DE与AB，AC的延长线分别交于点F，G设CF与BD交于点M，C E与BG交于点N证明：AM=AN.12．【2013高中数学联赛（第02试）】如图，AB是圆ω的一条弦，P为弧AB内一点，E，F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.联结PE，PF并延长，与圆分别相交于点C，D.求证EF⋅CD=AC⋅BD.13．【2012高中数学联赛（第02试）】在锐角△ABC中，AB>AC，M，N是BC边上不同的两点，使得∠BAM=∠CAN.设△ABC和△AMN的外心分别为O1，O2，求证：O1，O2，A三点共线.14．【2011高中数学联赛（第02试）】如图，P，Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点若∠BP A=∠DP A，证明：∠AQB=∠CQB.15．【2010高中数学联赛（第02试）】如图，锐角△ABC的外心为O，K是边BC上一点(不是边BC的中点)，D 是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆.16．【2009高中数学联赛（第02试）】如图，M，N分别为锐角△ABC(∠A<∠B)的外接圆Γ上弧BC，AC的中点.过点C作PC∥MN交圆于点P，I为△ABC的内心，联结PI并延长交圆Γ于T.(1)求证：MP⋅MT=NP⋅NT；(2)在弧AB(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的内心分别为I1,I2，求证：Q，I1，I2，T 四点共圆.17．【2008高中数学联赛（第02试）】如图，给定凸四边形ABCD，∠B+∠D<180°，P是平面上的动点，令f(P )=PA⋅BC+PD⋅CA+PC⋅AB，(1)求证：当f(P)达到最小值时，P，A，B，C四点共圆；(2)设E是△ABC外接圆O的弧AB上一点，满足：AEAB =√32,BCEC=√3−1,∠ECB=12∠ECA，又已知DA，DC是圆O的切线，AC=√2，求f(P)的最小值.18．【2007高中数学联赛（第02试）】如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F.O1，O2分别是△BDF，△CDE的外心求证：O1，O2，E，F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.19．【2005高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线L.又以A 为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E，F.证明：直线DE，DF分别通过△ABC的内心与一个旁心.(注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心).20．【2004高中数学联赛（第02试）】在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB，AC于F，G两点.FG与AH相交于点K.已知BC=25，BD=20，BE=7.求AK的长. 21．【2003高中数学联赛（第02试）】过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC.求证：∠DBQ=∠P AC.22．【2003高中数学联赛（第02试）】设三角形的三边长分别是整数l，m，n，且l>m>n，已知{3l104}={3m104}={3n104}，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数.求这种三角形的周长的最小值.23．【2003高中数学联赛（第02试）】由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+l，l⩾12q(q+1)2+l，q⩾2，q∈N.已知任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段.证明：必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形) 24．【2002高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，∠A=60°，AB>AC，点O是外心.两条高BE，CF交于点H.点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN.求MH+NHOH的值.25．【2001高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED 和AB交于点M，FD和AC交于点N.求证：(1)OB⊥DF，OC⊥OE；(2)OH⊥MN.优质模拟题强化训练1．如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点点P在△ABC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP、△AC P的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明：若DE=MP，则BC=2BP.2．如图所示，D是△ABC中，边BC的中点，K为AC与△ABD的外接圆O的交点，EK平行于AB且与圆O交于E，若AD=DE，求证：AB+AK=KC.3．如图所示，BE、CF分别是锐角三角形△ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC 为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆.4．如图，AB、P A、PBC分别为⊙O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交⊙O于另一点G、交P A于点K.证明：（1）K是P A的中点；（2）AG2=BG⋅PG..5．如图，设△ABC的外接圆为⊙O，∠BAC的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若△ADM的外接圆⊙Z分别于AB、AC交于P、Q，N为PQ的中点，证明：MN//AD.6．如图，⊙O1、⊙O2与⊙O3交于点P，⊙O1与⊙O2的另一个交点为A，经过点A的一条直线分别与⊙O1、⊙O2交于点B、C，AP的延长线与⊙O3交于点D，作DE∥BC与⊙O3交于点E，再作EM、EN分别与⊙O1、⊙O2切于点M、N.证明：EM2−EN2=DE⋅BC.7．如图，在锐角△ABC中，E、E是边BC上的点，△ABC、△ABD、△ADC的外心分别为O、P、Q．证明：（1）△APQ∽△ABC；（2）若EO⊥PQ，则QO⊥PE．8．如图，ΔABC的内切圆⊙I与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，直线AI、BI与⊙I分别交于点A1、A0、B1、B0(|AA1|<|AA0|,|BB1|<|BB0|).过点A0、B0作边AB的平行线分别与⊙I交于点C A、C B，联结C A F、C B F，过点F作C A F的一条垂线与C A A1交于点C3，过点F作C B F的一条垂线与C B B1交于点C4.设直线AC3与直线BC4交于点C’，类似地，得到点A’、B’.证明：ΔA′B′C′的外接圆半径是⊙I半径的2倍.9．如图，⊙O1与⊙O2的半径相等，交于X、Y两点. ΔABC内接于⊙O1，且其垂心H在⊙O2上，点Z使得四边形CXZY为平行四边形.证明：AB、XY、HZ三线共点.10．如图，⊙O切AB、AC于点B、C，过C的割线CD//AB交⊙O于点D，E是AB延长线上一点，直线CE分别交BD和⊙O于点F、G.延长BG与CD的延长线相交于点P.求证：A、F、P三点共线.11．如图，在△ABC中，AB>AC，圆Γ是△ABC的外接圆，圆a>2过点B且与AC切于点A，圆Γ2过点C且与AB切于点A，圆a>2与圆Γ2交于A、D两点，射线BD与圆Γ2交于点E，射线CD与圆a>2交于点F(点E、F均不与D 重合)，直线BF与CE交于点P。
平面几何加试真题及讲解--全国高中数学联赛A卷
全国高中数学联赛决赛（A 卷）试题---- 平面几何专题（2014）如图，在锐角ABC ∆中，︒≠∠60BAC ，过点B 、C 分别作ABC ∆的外接圆⊙O 的切线BD 、EC ，且满足BC CE BD ==.直线DE 与AB 、AC 的延长线分别交于点F 、G .设CF 与BD 交于点M ，CE 与BG求证：AN AM =.（2015）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为弧BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过K 、P 、C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F .求证：FCB ABC ∠=∠2（2016）如图所示，在ABC ∆中，X 、Y 是直线BC 上的两点（X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅.设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为O O ',，直线O O '与AB 、AC 分别交于点U 、V .（2017）如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R . 求证：CR BR ⊥.A（2018）ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC 和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.(2019)如图，锐角三角形ABC ∆的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M . 求证：若MN OK ⊥，则C D B A ,,,四点共圆.NG F E DMBAC答案（2014）（2015）（2017）（2019）。
专题46平面解析几何第六缉(原卷版)-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编
备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题46平面解析几何第六缉1．【2024高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值.2．【2024年福建预赛】已知△DEF 三边所在的直线分别为l 1:x =－2，l 2：x +√3y －4=0，l 3：x －√3y －4=0，⊙C 为△DEF 的内切圆. （1）求⊙C 的方程；（2）设⊙C 与x 轴交于A 、B 两点，点P 在⊙C 内，且满足|PC |2=|PA |⋅|PB |.记直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1 k 2的取值范围.3．【2024年江苏预赛】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为x 2+y 2=4，过点P(0,1)的直线l 与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ为定值。
4．【2024年江苏预赛】如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，ΔABD 与ΔABC 的内心分别为I 1和I 2，直线I 1I 2分别与AC ，BD 交于点M ，N ，求证：PM =PN .5．【2024年贵州预赛】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率e =√22，直线y =2x －1与C 交于A 、B 两点，且|AB |=89√5 ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记λ=SΔOMESΔOMF，求λ的取值范围．6．【2024年浙江预赛】已知动直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆x29+y2=1相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.7．【2024年重庆预赛】设椭圆C的左、右顶点为A，B(a,0)，过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，试证：k1k2为定值，并求此定值（用a的函数表示）8．【2024年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A在B的上方），且|AB|=3.（1）求圆C的方程；（2）设过点B的直线l与椭圆x 28+y24=1相交于P，Q两点，求证：射线AB平分∠PAQ.9．【2024年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A在B的上方），且|AB|=3.（1）求圆C的方程；（2）设过点B的直线l与椭圆x 28+y24=1相交于P，Q两点，求证：射线AB平分∠PAQ.10．【2024年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A在B的上方），且|AB|=3.（1）求圆C 的方程；（2）设过点B 的直线l 与椭圆x 28+y 24=1相交于P ，Q 两点，求证：射线AB 平分∠PAQ .11．【2024年湖南预赛】已知抛物线C 1的顶点(√2−1,1)，焦点(√2−34,1)，另一抛物线C 2的方程为y 2−ay +x +2b =0，C 1与C 2在一个交点处它们的切线互相垂直.试证C 2必过定点，并求该点的坐标.12．【2024年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC=MD.分别过点C 、D 作边BC 、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P 作PQ ⊥AB 与Q.求证：∠PQC =∠PQD .13．【2024年贵州预赛】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率e =√22，直线y =2x －1与C 交于A 、B两点，且|AB |=89√5 ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (2，0)的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在点F 、M 之间），记λ=S ΔOME S ΔOMF，求λ的取值范围．14．【2024年广西预赛】已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为√32的椭圆过点(√2,√22).设不过原点O的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．15．【2024年安徽预赛】设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值； ⑵求△AOB 的外心P 的轨迹方程.16．【2024年山东预赛】已知圆O:x 2+y 2=4与曲线C:y =3|x −t |，A (m,n )，B (s,p )，(m,n,s,p ∈N ∗)为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (k >1)，求t 的值． 17．【2024年湖北预赛】已知O 为坐标原点，N (1,0)，点M 为直线x =−1上的动点，∠MON 的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点Q (−12,−12)作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.18．【2024年甘肃预赛】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1过点M (0,2)，且右焦点为F (2,0)． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，交y 轴于点P ．若PA⃗⃗⃗⃗⃗ =mAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =nBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：m +n 为定值； （3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．19．【2024年吉林预赛】如图，已知抛物线y =ax 2过点P （-1，1），过点Q （−12，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M 、N 两点（点M 在Q 、N 之间），过点M 作x 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B.△PMA 与△OAB 的面积分别记为S 1、S 2，比较S 1与3S 2的大小，说明理由.20．【2024年天津预赛】如图，F1、F2是双曲线x2−y24=1的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）|OA|⋅|OB|=|OF1|2；⑵F1、F2、A、B 四点在同一个圆上.21．【2024年河南预赛】已知方程17x2−16xy+4y2−34x+16y+13=0在xOy平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．22．【2024年河北预赛】如图，椭圆x2y2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为S1，△OED（O坐标原点）的面积为S2.求S1S2的取值范围.23．【2024年四川预赛】已知双曲线x24−y23=1，设其实轴端点为A1、A2，点P是双曲线上不同于A1、A2的一个动点，直线PA1、PA2分别与直线x=1交于M1、M2两点.证明：以线段M1、M2为直径的圆必经过定点.24．【2024年浙江预赛】已知动直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆x29+y2=1相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.25．【2024年辽宁预赛】如图所示，在平面直角坐标系xOy，设点M(x0,y0)是椭圆C:x24+y2=1上一点，左右焦点分别是F1、F2，从原点O向圆M：(x−x0)2+(y−y0)2=r2(0<r<1)作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为k1、k2.(1)设直线MF1、MF2分别与圆交于A、B两点，当|AF1|−|BF2|=2r，求点A的轨迹方程；(2)当k1·k2为定值时，求|OP|·|OQ|的最大值.26．【2024年江西预赛】若椭圆x225+y29=1上不同的三点A(x1,y1)，B(4,95)，C(x2,y2)到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC的中垂线l交x轴于点T，求直线BT的方程．27．【2024年湖南预赛】设曲线C:|x2−16y|=256−16|y|所围成的封闭区域为D.（1）求区域D的面积；（2）设过点M(0,−16)的直线与曲线C交于两点P、Q，求|PQ|的最大值.28．【2024年福建预赛】已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(2√63,1)在椭圆C上，且△F1PF2的垂心为H(2√63,−53)．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l交椭圆C于D、D两点．记直线AD、AE的斜率分别为k1、k2，若k1+k2=−12，求直线l的方程．29．【2024年全国】在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y2=4x的过点F（1，0）的弦，△AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O，A，B）.若PF平分∠APB，求|PF|的所有可能值.30．【2024高中数学联赛B卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆Γ:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点.设P，Q是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明:线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形.。
历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编1、如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．2、如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。
求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。
【解析】证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC又∠OBC ＝21(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC∴OB ⊥DF ． (2)∵CF ⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH ⊥MN∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ． 在直线BE 的方程)(b x a cy -=中令x ＝0得H (0，a bc -)∴ac ab bc a c b a bc a a bc k OH++=+++=32222直线DF 的方程为x bc a acab y +-=2由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bc a ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (22222222,2b bc a ab abc b bc a c b b a -+--++) ∴bc a ac ab bc a bc a b c bc a c b a k MN3)3)()(())((222222++-=++-+-=∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．3、如图，在⊿ABC 中，∠A=60°，AB>AC ，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H点，点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM=CN ，求OH NH MH +的值。
全国高中数学联赛分类汇编第10讲平面几何
BABCMNPTIB 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第10讲：平面几何1、（2009二试1）如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC ⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ， 求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆， 故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =． 连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式 1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1sin 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1sin 2PN NT PMT=⋅∠于是PM MT PN NT ⋅=⋅．又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽． 故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠． 因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．学&科网2、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．同理()()22222QK QO r KO r =-+-，所以2222PO PK QO QK -=-，故OK ⊥PQ ．由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=．① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=，② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=．③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =，所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽△DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. 注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅，④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故MPFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅，⑤⑤-④，得2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．3、（2011二试1）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．【解析】延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即BD PC CD AB ⋅=⋅ . FE QPONMK D CBA从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21， 即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠． 又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠．4、（2012二试1）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A 三点共线.是1O 的切线.因此B PAC ∠=∠, 因为,BAM CAN ∠=∠所以AMP B BAM PAC CAN PAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠因而AP 是AMN 的外接圆2O 的切线, 故2.AP AO ⊥所以12,,O O A 三点共线.5、（2013二试1）（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==.连接PE PF 、并延长，与圆ω分别相交于点C D 、.求证：EF CD AC BD ⋅=⋅【证明】连接AD ，BC ，CF ，DE .由于AE=EF=FB ，从而ABsin =2sin BC BCE B CP BEAC ACE A CP AE⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.(1 )同样sin =2sin AD ADF A PD AFBD BDF B PD BF⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.(2 )另一方面，由于BCE BCP BDP BDF ∠=∠=∠=∠， ACE ACP ADP ADF ∠=∠=∠=∠，6、（2014二试2）（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC ≠60°，过点B,C 分别作三角形ABC 的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE 与A B ，AC 的延长线分别交于点F,G ，设CF 与BD 交于点M,CE 与BG 交于点N ，证明：AM=AN.ABCDEFPωωPFEDCBA.,MC BC BD AC LCDFB MF FD FD AB LB====△相似||.LM BF 因此 ||,LN CG 同理，由此推出0180-BAL ABL +=∠ALM=∠ALB+∠BLM=∠ALB ∠∠0=180-CAL ALC ACL ALC CLN =+=+∠∠∠∠∠.ALN =∠||BC FG 再结合以及内角平分线定理得到1LM LM BF CG CL AB BC CL ABLN BF CG LN BC AC BL BL AC=⋅⋅=⋅⋅=⋅=及LM=LN.学科*网 故由AL=AL,∠ALM=∠ALN,LM=LN 得到△ALM 与△ALN 全等，因而AM=AN,证毕.7、(2015二试3)(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠8、（2016二试2）（本题满分40分）如图所示，在△ABC 中，X,Y 是直线BC 上两点（X,B,C,Y 顺次排列），使得BX·AC=CY·AB. 设△ACX ，△ABY 的外心分别为12,O O ，直线12O O 与AB,AC 分别交于点U 、V.证明：△AUV 是等腰三角形.即CP·PX=BP·PY .故P 对圆1w 和2w 的幂相等，所以P 在1w 和2w 的根轴上. 于是AP ⊥12O O ，这表明点U 、V 关于直线AP 对称，从而△AUV 是等腰三角形.9、（2017二试1）（本题满分40分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1T ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2T ，过点B I 、的圆3T 与1T ,2T 分别交于点,P Q （不同于点B ），设IP 与BQ 交于点R .证明：BR CR ⊥.证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC201,IBQ IPB..,I ABC IB IC,,1180,2360?360IB IP Q T IB IQ IR IBIC IP AB AC IR ICBC BPC A BRC IRB IRC IBP ICPBIC BPC =∠=∠∆∆∠∠==∆==∆∆∠∠∠=-∠∠=∠+∠=∠+∠=-∠-∠=由于点在圆上，故所以故IBP IRB,从而有IRB=IBP,且注意到且为的内心，故所以于是ICP IRC,故IRC=ICP.又点P 在圆T 的弧上，故因此0011°(90?+180=90.22A A BR CR -∠--∠⊥）（）.故。
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历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编1、如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．2、如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。
求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。
【解析】证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC又∠OBC ＝21(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC∴OB ⊥DF ． (2)∵CF ⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH ⊥MN∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ． 在直线BE 的方程)(b x a cy -=中令x ＝0得H (0，a bc -)∴ac ab bc a c b a bc a a bc k OH++=+++=32222直线DF 的方程为x bc a acab y +-=2由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bc a ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (22222222,2b bc a ab abc b bc a c b b a -+--++) ∴bc a ac ab bc a bc a b c bc a c b a k MN3)3)()(())((222222++-=++-+-=∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．3、如图，在⊿ABC 中，∠A=60°，AB>AC ，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H点，点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM=CN ，求OH NH MH +的值。
4、过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ．求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．5、在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．6、如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
）【解析】证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。
如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ， 则由AD=AC ，得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上，7、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。
在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1交B 1A 的延长线于P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P ′0，交AB 0的延长线于P ′0。
试证：（1）点P ′0与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0与P 0Q 1相内切于P 0； （2）四点P 0、Q 0、Q 1、P 1共圆。
【解析】以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。
在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1交B 1A 的延长线于P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P ′0，交AB 0的延长线于P ′0。
试证：（1）点P ′0与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0与P 0Q 1相内切于P 0；（2）四点P 0、Q 0、Q 1、P 1共圆。
证明：（1）显然B 0P 0=B 0Q 0，并由圆弧P 0Q 0和Q 0P 1，Q 0P 1和P 1Q 1，P 1Q 1和Q 1P ′0分别相内切于点Q 0、P 1、Q 1，得C 1B 0+B 0Q 0=C 1P 1，B 1C 1+C 1P 1=B 1C 0+C 0Q 1以及C 0Q 1=C 0B 0+B 0P ′0。
四式相加，利用B 1C 1+C 1B 0=B 1C 0+C 0B 0以及P ′0在B 0P 0或其延长线上，有B 0P 0=B 0P ′0。
从而可知点P ′0与点P 0重合。
由于圆弧Q 1P 0的圆心C 0、圆弧P 0Q 0的圆心B 0以及P 0在同一直线上，所以圆弧Q 1P 0和P 0Q 0相内切于点P 0。
（2）现在分别过点P 0和P 1引上述相应相切圆弧的公切线P 0T 和P 1T 交于点T 。
又过点Q 1引相应相切圆弧的公切线R 1S 1，分别交P 0T 和P 1T 于点R 1和S 1。
连接P 0Q 1和P 1Q 1，得等腰三角形P 0Q 1R 1和P 1Q 1S 1。
基于此，我们可由∠P 0Q 1P 1=π−∠P 0Q 1R 1−∠P 1Q 1S 1=π−(∠P 1P 0T −∠Q 1P 0P 1)−(∠P 0P 1T −∠Q 1P 1P 0) 而π−∠P 0Q 1P 1=∠Q 1P 0P 1+∠Q 1P 1P 0，代入上式后，即得)(211001110T P P T P P P Q P ∠+∠-=∠π，同理可得)(211001100T P P T P P P Q P ∠+∠-=∠π。
所以四点P 0、Q 0、Q 1、P 1共圆。
8、如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，做PF ⊥AB ，垂足为F 。
O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。
求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。
9、如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：32AE AB =，31BCEC =-，12ECB ECA∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=． 由已知31BCEC =-=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得231sin cos 22EAC EAC -∠=∠，故1tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-⋅⋅=，5BD =．故min ()5210f P BD AC =⋅=⋅=．方法二：（1）如图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆．设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅011011011P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅1112A B C S ∆=111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅()f M λ=，（第1题图2）从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0P A B C 、、、四点共圆．方法：（1）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号． 有PA BC PC AB PA BC PC AB⋅+⋅≥⋅+⋅，所以()()()()A P C B C P B A --+--()()()()A P CBC P B A ≥--+-- ①P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅()()B P C A PB AC=--=⋅，从而PA BC PC AB PD CA ⋅+⋅+⋅PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC=+⋅BD AC≥⋅． ②①式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A --同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--， A P B A C P C B λ--=--，所以 arg()arg()A PB AC P C B --=--，向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角，从而P A B C 、、、四点共圆．②式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，P A B C 、、、四点共圆．（2）由（1）知min ()f P BD AC =⋅．同方法一10、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC ⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，11、如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆． 证明：由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN ⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM ⋅⋅=． ③由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC =，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④ 则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，12、如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．【解析】延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CD PCBD AB =，即BD PC CD AB ⋅=⋅ . 从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21，即CD BQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠．。