2020-2021学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4

分）函数2()(2)f x log x =

-的定义域为 ．

2．（4分）不等式2

23

3

(1)(31)x x ->+的解集为 ．

3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 ． 4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a b

ad bc c d

-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，

则方程()1f x =的解为 ．

5．（4分）若函数()1

ax

f x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 ． 6．（4分）已知函数24()1,f x min lo

g x x ⎧⎫

=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的

取值范围为 ．

7．（5分）已知函数15

()||(0)2

f x x x x =+

->，则()f x 的递减区间是 ． 8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = ． 9．（5分）若关于x 的不等式1

|2|02x x

m --

<在区间[0，

1]内恒成立，则实数m 的范围 ． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ．

11．（5分）若函数22()(0)1x x a f x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，

则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有

A a

λ

∈，则t 的值是 ．

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑

13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-

B ．[0，1)

C ．R

D ．[0，1]

14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：

2(1)S

C Wlog N

=+

，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、

信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S

N

叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比

S

N

从1000提升至5000，则C 大约增加了( )

A ．20%

B ．23%

C ．28%

D ．50%

15．（5分）若函数1

()f x lnx a x

=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<

B ．1

1a e <<

C ．1

11a e -<<

D ．1

11a e

+<<

16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：

p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；

1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；

2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．

用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题

D ．两个命题S ，T 都不是真命题

三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；

（2）求函数()()g x h x =+在1

[1,]2x ∈-的值域．

18．（14分）已知函数12

()||h x log x =．

（1）求()h x 在11

[,]()22

a a >上的最大值；

（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其

中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知12

1()||([,2])2h x log x x =∈，若1

(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”

，求a 的最大值． 19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =

+；当产量不小于60万箱时，6400

()1011860p x x x

=+-，

若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 20．（16分）设0a >，函数1

()12

x

f x a =

+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；

（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；

（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围． 21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；

（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；

（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围．