高等几何(2)

5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
: '
O 投射中心(O ' ) OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因 此 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
给平行线添加交点！
一、中心射影 二、无穷远元素
O 投射中心(O l l ' ) OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像
因此 ，–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
}
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
点与直线的关联关系
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
第二章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§ 2.1 射影直线和射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
平 行 两平面 交于惟一 不平行 无穷远直线 有穷远直线
空间中任二平面必相交于惟一直线
三、射影基本形
1、一维基本形 (1) 点列(同一直线上点 的集合) (1') 线束(平面上过同 一点的直线的集合)
记号来自百度文库l(A,B,C,…) 或 l(P)
记号 S(a,b,c,…) 或 S(p)
底
元素
束心
元素
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定一添加无穷远点之后，平面上全体无穷 远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)， 记作 l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.