高等几何(2)
高等几何课后答案第三版新编
高等几何课后答案第三
版新编
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高等几何课后答案（第三版）
第一章仿射坐标与仿射变换第二章射影平面
习题一
习题二
习题三
习题四
第三章射影变换与射影坐标
习题一
习题二
1.求还:如果一维肘龙对俺使直线/ 上的无穷远点对应直线厂上的无穷远点? 则这亍对应一定是仿館对应.
1.提示: 因为仿射对应杲保持共线三点的单比不变的，设A,
L设直绘/上的点P沁0）?冃（I）,已（2）经射老对应"顾次对应「上的L点P；（-I）.P2 （O）（-2），人射影对应式，并化为齐机塑标式？求出上的无穷远点的
对应点. J
第巨迄
第
勰曙
麻此（ABC）= M B C >.
◎，尺?又顶点B.C 各在一条定直线上?求证;顶点A 也在一条定直线上.
习题二习题三
第六章二次曲线的仿射性质与度量性质。
高等几何 总复习
a 2 (b c ) d 0,
一维射影变换的分类：
(ad bc 0)
( 2)
相异实根 相异实二重元 双曲型 0 0 (2)有两个相同实根 (1)有两个相同实二重元 称为 抛物型 0 共轭虚根 共轭虚二重元 椭圆型
18
第三章 一维射影几何学
③将每一个特征根λ 分别代入方程组(A’-λ E)u=0，求 出固定线的坐标.
(a11 ) y1 a12 y2 a13 y3 0 a21 y1 (a22 ) y2 a23 y3 0 a y a y (a ) y 0 33 3 31 1 32 2
28
相应的变换群
射影群
3
仿射群
运动群
变换式
xi aij x j , x a1 x b1 y c1
j 1
i 1,2,3,
y a2 x b2 y c2
x x y h y x y k
aij 0
考试重点：作图题
22
第四章 德萨格定理，四点形与四线形
A
几何构形的代号：
完全四点形
4 3 2 6
B C
D
完全四线形 三角形 德萨格构形 帕普斯定理
6 2 3 4
a
d
b c
23
第五章
射影坐标系和射影变换
5.1 一维射影坐标系 5.2 平面内的射影坐标系 5.3 射影坐标的特例 5.4 坐标转换 5.5 射影变换 5.6 二维射影几何基本定理 5.7 射影变换的二重元素（或固定元素） 5.8 射影变换的特例 5.9 换群 5.10 变换群的例证 5.11 变换群与几何学
高等几何2 B1答案
2008—2009学年上学期期末试卷答案及评分标准（数学系2005级《高等几何》） (试卷编号: B1 )一、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）1、—12、 点（0，0，1）3、（2，-1，2）4、0pq S =5、346、2,1,a a ≠-= 双曲型对合7、实长圆型8、通过圆点的直线（无穷远直线除外）二、选择题（本大题共6题，每小题3分，共18分）1、D2、C3、B4、A5、B6、A三、判断题（本大题共6题，正确的打“√”，错误的打“×”，每题2分，共12分）1、（√）2、（×）3、（×）4、（×）5、（×）6、（×）四、计算题（本大题共4题，每小题8分，共32分）1、设一维射影对应式为11111222211222,0x a x a x x a x a x ρρρ⎧'=+⎪≠⎨'=+⎪⎩ ------------------（2分）代入已知点，解得1122120,0x x x x x x ρρρ⎧'=+⎪≠⎨'=-+⎪⎩ -------------------（4分）则l 上的(1,0)p ∞的对应点为（0，1）或(0)p ' ------------------（2分）2、由方程1100100001μμμ--=-得11,μ= --------------（4分）当11μ=时，由12312312300000000000y y y y y y y y y ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 得20y = （即x 轴上的点均为不变点）-------------（4分）3、因为123223020013010y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12312312322302001300y y y y y y y y y ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ -------------（6分）所以极点为（2，7，－6） -------------（2分）4、已知二次曲线化为22211221323322420x x x x x x x x x +++++=1）中心为313233(,,)A A A ，即C （7，4，—3） ------------------（3分）2）因斜率为的32直径上无穷远点是 3(1,,0)2------------------（2分） 则其共轭直径为1231253(1,,0)22202520x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即所求共轭直径为123480x x x -+= --------------------（3分）五、作图题（本大题共1题，每小题6分，共6分）令Ｐ为5A 作法：（1）在二阶曲线上取四点4321A A A A 、、、；（2）连接P A A A 421、，交于点L ；（3）连接143PA A A 、，交于点N ； -------（2分）（4）连接LN ；(5) 连接32A A ，交LN 于点M ；（6）连接MP 。
大学高等几何课件第二讲
定理1.7 给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可 使一个三角形变为另一个三角形。
经过仿射变换可以相互转换的图形称为是仿射等价的。 所以任意两个三角形是仿射等价的。直线、四边形也是仿 射等价的。
平面仿射几何基本定理：设P1,
P 2
,
P 是平面内不共线的 3
中心投影：设 f : 是平面到平面 的一一点对应, 且满足对应点的连线通过一个定点,则称 f 是从平面 到 平面 的中心投影.
问题：中心投影是不是数学意义下的一一对应？ 分析：当照射光线OP0与l平行时, P0在l上的投影不存在,而引 起P0的投影不存在的原因是平行没有交点这一约定. 解决办法: 取消平行线没有交点的限制,在直线上引进"新点".
(1) 空间中任何一组平行直线有且仅有一个公共的点 无穷远点.
(2) 一直线与它的平行平面交于一个无穷远点. (3) 一组平行平面相交于一条无穷远直线.
仿射直线与射影直线 仿射直线(平面):引入了无穷远点的欧氏直线(平面)称为
仿射直线(平面). 射影直线(平面): 将仿射直线(平面)上的无穷远点与通常的
无穷远元素 规定1: 在平面内对任何一组平行线引进唯一一点叫做无穷远 点(记作P )与之对应,此点在组中的每一直线上,而不在组外的 任何直线上. 规定2: 平面内无穷远点的集合是一条无穷远直线,记作l. 规 定 3 : 空间中所有无穷远点的集合是一个平面,叫做无穷远平
面, 记做 .
在这些规定下, 可以证明 :
a
2经过伸缩变换
y
b a
(a y,
0, b
高等几何第二章2013
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
2. 性质 3. 特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有 某二点相同. 证明 根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, .
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
4. 调和比 5. 交比的计算 (1) 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i P2 . i=1,2. 1 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有1 3. 对于i=2, 同理求得 2 3. 于是， 2. 性质 3. 特殊情况
而 于是
1 ( p1 p2 , p3 p4 ) ( P P2 , P3 P4 ). 1 2
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1. 线束的参数表示 则 2. 定义 3. 交比为射影不变量
定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4).
( p1 p2 , p3 p4 ) ( P P2 , P3 P4 ). 1
( PP2 , P P4 ) k , 1 3
(k 0,1, )
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
4. 调和比 5. 交比的计算 (2) 由交比求坐标 例3 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率为1的 方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标. 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设
高等几何习题集[1]2
![高等几何习题集[1]2](https://img.taocdn.com/s3/m/946569ff846a561252d380eb6294dd88d0d23d08.png)
高等几何习题集习题1.11．证明：任一三角形都有一个内切椭圆，其切点为三边的中点，中心为三角形的重心；同时有一个外接椭圆以三角形的重心为中心。
2．平行于平行四边形ABCD 对角线AC 作一直线与AB 、BC 交于点E 、F ，证明：三角形AED 和CDF 的面积相等。
3．在椭圆的内接三角形的顶点作切线构成外切三角形，证明：如果这两上三角形有两对边平行，则第三对边也平行。
4．过三角形ABC 内任一点P 作DE//BC ，交AB 、AC 于E 、E ，作FG//CA 交BC 、BA 于F 、G ，作HK//AB 交BC 、CA 于H 、K ，证明：=++ABHK CA FG BC DE 常数。
5．设X 、Y 是三角形ABC 的边AB 、CA 上的动点，满足BX ：XA=CY ：Y A 。
证明：BY 与CX 的交点在一条定直线上。
6．设D 、E 、F 各是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且DE//AB ，DF//CA ，证明：CD E BFD AEF S S S ∆∆∆⋅=2。
7．将三角形的每边三等分，将每个分点与三角形的对顶点相连，这六条直线构成一个六边形，证明：此六边形的三双对顶点的连线共点。
8．在三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点D 、E 、F 使BD ：DC = CE ：EA = AF ：FB = 1 ：n 。
设AD 交BE 于L ，BE 交CF 于K ，CF 交AD 于M ，证明：1122++-=n n n S S ABC LKM )(∆∆ 。
9．设点D 、E 、F 分别位于三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上，且BD ：DC=CE ：EA=AF ：FB ，三线AD 、BE 、CF 构成三角形PQR ，证明：三角形ABC 、DEF 和PQR 具有共同的重心。
10．过椭圆的弦AB 的中点C 任作二弦PQ 和ST ，PS 、QT 分别交AB 于M 、N ，证明：MC=CN 。
2017年《高等几何》教学课件
主要困难
必须注意
来自传统笛氏坐标的干扰
齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性， 因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识。 尽管针对拓广平面, 但是今后通用
齐次性问题
几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
一、n 维实向量类
n 维实向量的集合 定义等价关系 ~ n 维实向量类的集合 (用圆括号记向量)
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
( RP ) ( R \ {0}) / ~
n
n1 *
(n 2)
事实上, 关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算 本课程仅涉及n=2, n=3.
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
二、齐次点坐标
1. 一维齐次点坐标 定义1.4 非齐次 关系 齐次坐标
有穷远点
无穷远点 注
x
x= x1 / x2
Rn {x ( x1, x2 ,, xn ) | xi R} (Rn )* {x [ x1, x2 ,, xn ]| xi R}
x ~ y 0 R, 使得x y.
RP
n1
( R \ {0}) / ~
n
(n 2)
n维实向量空间的商空间 n 维实向量类的集合 [用方括号记向量]
高等几何2.1
§ 2.1 交比
若(P1P2, P3P4)= –1且P4=P , 由交比的初等几何意义
(P 1P 2, P 3P ) ( PP 1 2P 3 ),
得到
( PP 1 2P 3 ) 1,
这表示P3为P1P2的中点, 从而有: 推论3 设P1, P2, P 为共线的通常点, P∞为此直线上的无穷远点, 则P为P1P2的中点 ( PP 1 2 , PP ) 1. 注: 本推论建立了线段的中点、调和比以及直线的平行性之 间的联系.
特别地, 若( p1 p2, p3 p4)= –1, 则称这四条直线为调和直线组.
§ 2.1 交比
3. 交比为射影不变量 定理6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截 于四点Pi (i=1, 2, 3, 4). 则 ( p1 p2 , p3 p4 ) ( P 1P 2, P 3P 4 ). 证明 设直线p1, p2, p3, p4的齐次坐标分别为a, b, a+1b, a +2b, 直线s的齐次坐标为c. 则可以求出点Pi的坐标分别为
பைடு நூலகம்
1 ( p1 p2 , p3 p4 ) (P 1P 2, P 3P 4 ). 2
§ 2.1 交比
注1: 定理6也可看作：设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S 连线依次为 pi (i=1, 2, 3, 4). 则 (P 1P 2, P 3P 4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ).
定理3 构成交比的四点中有某二点相同这四点的交比值 出现 1, 0, ∞三者之一.
例 设1, 2, 3, 4 为四个相异的共线点. 证明: 若 (12, 34) = (14, 32), 则 (24, 13) = –1.
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的性质和相互关系。
3. 理解几何变换的基本原理。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的性质和相互关系。
3. 几何变换的基本原理。
教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。
2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。
3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。
2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。
2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。
3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。
教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。
2. 理解平面的性质和方程。
3. 学会利用直线和平面解决几何问题。
教学内容：1. 直线的性质和方程。
2. 平面的性质和方程。
3. 直线与平面的相互关系。
教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。
2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。
3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。
2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。
课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。
最完整高等几何习题解答(最全版)
高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。
《高等几何》课程教学大纲
《高等几何》课程教学大纲课程编号：20811010总学时数：48（理论48）总学分数：3课程性质：专业基础和专业课程适用专业：数学与应用数学一、课程的任务和基本要求：几何学是数学的一个重要分支。
高等几何与高等代数，数学分析统称“三高”，是师范数学专业的重要的基础课。
本课程按传统的讲法，在欧氏平面的基础上讲授一维和二维射影几何和仿射几何的基本内容，使学生对射影几何和仿射几何有初步的，直观的，具体的认识。
为进一步充分运用代数知识学习抽象的高维射影几何理论做准备。
另一方面掌握射影几何和仿射几何的理论和方法，对中学几何有直接的指导作用。
使中学数学教师能居高临下，深入掌握中学数学内容，具备应有的水平和素质。
本课程总学时数为51学时，讲授与习题课学时数之比约为5:1。
二、基本内容和要求：（一）仿射坐标与仿射变换1、透视仿射对应，仿射对应与仿射变换。
2、仿射坐标系，仿射变换的代数表示，几种特殊的仿射变换。
3、图形的仿射性质。
要求：掌握仿射变换的定义、性质和解析表达式；知道几种特殊的仿射变换；理解图形的仿射性质，掌握单比的概念和坐标表示法。
（二）射影平面1、欧氏平面的拓广：中心投影与无穷远元素的引进。
2、射影直线与射影平面的概念。
3、齐次点坐标，直线的齐次方程，齐次线坐标，在齐次坐标下，有关点与直线结合性的命题。
4、德萨格定理，运用德萨格定理证明初等几何的有关命题。
5、射影平面上的对偶原理，对偶命题，对偶图形。
要求：掌握射影平面、仿射平面的概念；掌握直线的坐标和点的方程的概念；掌握对偶原则的内容，能写出一个命题的对偶命题。
理解德萨格定理，并会用它来推证某些“点共线”或“线共点”的问题。
（三）射影变换与射影坐标1、共线四点和共点四线的交比，调和比，完全四点形与完全四线形的调和性。
2、射影平面内的一维基本形，一维基本形间的透视对应，射影对应，一维基本形的射影变换，对合。
3、一维二维射影坐标系，射影坐标与仿射坐标，笛氏坐标的关系。
高等几何讲义(第2章)
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面 一般地，记 a、b所连直线为 a b，其坐标方程为 x1 x2 x3 a1 a2 a3 0． b1 b2 b3 其参数方程为：
x1 a1 b1 x2 a2 b2，、 R 且 2 2 0． x3 a3 b3
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§2. 射影平面
故又可写成分解式： (x1, x2, x3) (x1/1)(1, 0, 0) (x2/2)(0, 2, 0) (x3/3)(0, 0, 3)， (2.2) 代数形式上，(x1/1, x2/2, x3/3) 与 (x1, x2, x3) 应 表示同一点的坐标．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面
2. 点的齐次仿射坐标
定义 设 = [O; e1, e2 ]是平面仿射坐标系．在 之下，满足下述条件的有序实数组 (x1, x2, x3) (0, 0, 0) 称为平面上点的齐次仿射坐标： 1．若 0，则 ( x1, x2, x3) 与 (x1, x2, x3)为同 一点的齐次仿射坐标； 2．若 x3 0，则 (x1, x2, x3)是(非齐次)仿射坐标为 x = x1/x3 , y = x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标； 3．齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点． 注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标 与齐次仿射坐标之间互化的方法．
3. 点 c 与直线 ab 的结合对应于由 (c) 生成的一
维子空间包含在由 (a) 和 (b) 生成的二维子空间．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
几何学引论答案
几何学引论答案【篇一：数学文化作业答案(全正确答案)】3 1870-1950是现代数学的形成阶段。
正确答案：√4集合论是哪位科学家提出的a、康托5庞加莱创立了拓扑学正确答案：√6现代数学时期的成果称为高等数学，力学，物理学等科学教学的内容，并被科技工作者应用。
正确答案：√ 7抓三堆问题可以抽象成三维向量正确答案：√8现代数学时期从什么时间开始b、19世纪20年代9数学起源于四个“河谷文明”地域，以下不是的是：c、亚马逊河 10现代数学繁荣阶段是从1950年至今。
正确答案：√11现代数学时期分为几个阶段：b、3个12数学发展史可以分为几个阶段：d、四个13“现代微分几何”是哪位学者创建的：d、黎曼14现代数学从（）开始。
a、19世纪20年代16拓扑学是（）创立的d、庞加莱17爱因斯坦何时提出广义相对论c、1915年18周长和直径之比是一个常数。
正确答案：√20平面图形中对称性最强的是a、圆21爱因斯坦何时提出狭义相对论c、1905年1目前我们采用十进制和（）有关。
a、人的十指3国际数学家大会每四年举办一次正确答案：√4中国的甲骨文出现在c、公元前1600年5十进制和人的十个手指有关正确答案：√6称为中国古代数学第一人的是b、刘徽7狼骨上的刻痕计数考古发现在3万年前左右。
正确答案：√8古埃及的象形文字在（）出现。
b、公元前3400年10直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这是勾股定理。
正确答案：√11中国的甲骨数字出现在：d、公元前1600年12以下不是初等数学的主要分支的是：b、函数13在古希腊数学家中，阿基米德的主要贡献是：c、面积和体积14人类现在主要采用十进制，与人的手指共有十个有关。
正确答案：√16考古发现最早的计数是（）。
c、狼骨上刻痕17“数学”这词是谁创的a、毕达哥拉斯18发现的第一个无理数是a、根号219“万物皆数”是谁提出d、毕达哥拉斯1阿拉伯数字是（）发明的。
d、印度人2属于印度波罗摩笈多时期的成就的是c、代数3《阿耶波多历数书》出现在公元（）年。
高等几何2.2节(新稿)
由此可见，用矢量表示，则直线a (即a x 0) 和直线b(即b x 0)交点的坐标为x a b
9
云南师范大学
2.2 齐次坐标
齐次坐标(一般形式) 特定一组
P 1 (0,0,1) P2 (1,0,1)
2.二维齐次点坐标
例1 (1). 求下列各点的齐次坐标.
P 1 (0,0) P2 (1,0)
为了学习线几何学，引进线坐标概念。
主要困难 来自根深蒂固的点几何学传统观念的干扰。
11
云南师范大学
2.2 齐次坐标
3
二、齐次线坐标
1. 定义 将直线l： ui xi 0 中的系数称为l的齐次线坐标，记作
i 1
Hale Waihona Puke [u1 , u2 , u3 ].
注1 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质。
三、有关齐次坐标的基本结论
(3) 相异三点a,b,c共线
a1 秩 b1 c 1 a2 b2 c2 a3 b3 2. c3
证：显然秩<3，由相异得秩为2.
上述给出的3对重要的基本结论。到第2.3节将会看到，这 注 种结论成对出现的现象恰是射影几何中的一个重要规律。 即对偶原理。
(1) x轴上的无穷远点 (1,0,0) u1 0.
(2) y轴上的无穷远点 (0,1,0) u2 0. (3) 原点 (4) 点
(0,0,1) u3 0.
(1,2,2) u1 2u2 2u3 0.
1 的无穷远点 (3,1,0) 3u1 u2 0. 3 (6) 无穷远直线上的点 ( x1 , x2 ,0) x1u1 x2u2 0.
（6）斜率为k 的直线y=kx+b的齐次坐标方程是 x2 kx1 bx3 , 和无穷远线 x3 0联立求解， 可得交点坐标为 x︰ ︰x3 1 ︰k ︰o, 所以， 1 x2 斜率为k的直线上的无穷远点是（1，k,0）.
《高等几何》朱德祥答案
第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D'（图1）。
∵T 保留简比不变，即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B'的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G)∵G ∈AD ，由结合性得G '∈A'D'；又∵（AGD ）=（A'G'D'）即 31A D A D G D G D ''=='' 3311BE B E CF C F GE G E GF G F ''''====''''同理可得：， ∴G'是△A'B'C'的重心。
高等几何课后答案解析第三版
高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经过A（-32）和1）的直线AB与直线工+ 3，一6二0相交于P点、秦仃WP）=?U戌线AB的方程为x+9^- 15 = 0：F点的坐标为（yry）；（ABP）= -L2.求一仿射更换，它使直线工+2』- 1 = D上妁每个点都不变J 且<A（b-l）< 为点（-L2）.2 T在直线'工+ 2》一I =0上任取两点A Ui0）<B1 *1由于A（1 *D）fA C 10）I B_L l〉f E f - It1）* 又点（1・一1）f（-1 f 2）i仿輛变换式< . ' 可解得所求为ly =如严4 gy+如*2L y-b工_2y+ y -3.求仿射变换P = 7x -了十I ・'y - +r 十2y + 4的不变点和不变直线.3 r不变点为（一一2）・牛■变氏线为2r - 2_y _3 = 0与4⑦一_y = 0.4.问在仿射变换下，于列图形的对应图形为何？①菱形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形；（2）平疔四边形：G）梯形；（4）三骨形.5.节述性质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线*点；③三角形内接于一國；④一角的平分线上的点到两边等距.5. 0）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一1.下列哪些图带具有射影性质？平行宣蝕；三点共线；三武錢共点；两点阿的陌离；两亶统的先角；两相聘找段L答:（2）＞具有射影性质.2.求证：仟宦四边涉可以射齡虑甲行四边影. |2.捉示:将四边竝两对对也的交点连线収作燈消线，作•屮心射影即得.3・在平闻2上有一定直线宀以0対射右.投对封平面『上得到直线//•求证当Q变动时•”通过•定点.3.提灵平面（0-0）宀皆交于总线和它们与平而孑的交线为P；■如果p 口 J 交于点FS则嵐皿二…都通过点P. 如果P是无穷远点*则pjp.…彼此平行.4.设=xn P J P a.QiQ^fi|K I交于一点»Sl交二豈线2 于P M Q I.R.与齐求叫高找P.Q1与P1O|的交点・色&勻QR*的交氨点\Pi与殆兀的丸点启点共线，且就宜线与/i J3英点.4 ,捉力“如图2 —2 —2可卽选取射鏗中亡V与另呼面八将GT :点射影成平囱f上的无穷远直.如阍2-2-3,这时皆为平行网边形的对和线交点，容易证明它们扶线’且所共直线与I；平行’ 根抵站合性足射影性硕，所以夬线・11此J1线与石忆共点・5-试用稱脾格谟理证朗：任栽四边理各对时边中点的连线与二对角线中点的连线相理于一点.匚捉缺如图2-27段四边形AT3CD四边中点依次为E, F. ◎ H,对用线AQ.ED 的中点足P,Q,砂究三点形PER和QGF t利用捌萨格定理咐逆定理，可以证明其对应顶点连纯EG.FH.PQ 共点.6,ABCD Iffil面体』XftBC±,-直銭iS过X井別交AB.AC干巴。
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一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
: '
O 投射中心(O ' ) OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因 此 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射
第二章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§ 2.1 射影直线和射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平 行 两平面 交于惟一 不平行 无穷远直线 有穷远直线
空间中任二平面必相交于惟一直线
三、射影基本形
1、一维基本形 (1) 点列(同一直线上点 的集合) (1') 线束(平面上过同 一点的直线的集合)
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
记号 S(a,b,c,…) 或 S(p)
底
元素
束心
元素
O 投射中心(O l l ' ) OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像
因此 ，–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
}
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
点与直线的关联关系
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定一添加无穷远点之后，平面上全体无穷 远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)， 记作 l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
给平行线添加交点！
一、中心射影 二、无穷远元素