诱导公式(二)
诱导公式(2)-课件
cosα=x，
cos(π+α)=−x，
tanα= ；
tan(π+α)=
−
−
= ；
x
对称轴
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
诱导公式？
y
O
P1(x,y)
x
问题1：作P1关于直线 y=x的对称点P5，以OP5为
终边的角 与角 有什么关系？
2.公式五和六的作用是什么？
知识上，又学会了两组诱导公式；
思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的
化归思想；诱导公式所揭示的是终边
具有某种对称关系的两个角三角函数
之间的关系.主要体现了化归和数形结
合的数学思想.
公式五和六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
课后作业
课本P194 练习2,3.
tan(−)＝−tan . tan(−)＝−tan .
tan(＋)＝tan .
结合诱导公式一和二、三、四我们就可以将
π
任意范围内的角的三角函数值转化到 [0, ) 间的
2
角的三角函数值求解，而这三组诱导公式的应用
也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.
回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以
诱导公式（2）
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
公式三
公式四
公式二
诱导公式二
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
sin(
cos( ) sin 2
1.3 正弦、余弦的诱导公式（2）
诱导公式
公式一：
sin(α+2kπ) = sinα 公式三：
cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四：
其中 k∈Z
公式二： sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
cos( ) sin 2
!!!记忆规律：
2 2 等于的余弦(正弦)函数值，
,
的正弦(余弦)函数值，
前面加一个把看成锐角时原函数值的 符号
3 3 例1. 证明：(1)sin( ) cos ; (2)cos( ) sin . 2 2 3 证明：(1)sin( ) sin[ ( )] 2 2 sin( ) cos ; 2 3 (2)cos( ) cos[ ( )] 2 2 cos( ) sin . 2 由(1) (2)还可以得到： 3 3 sin( ) sin[ ( )] cos( ) cos ; 2 2 3 3 cos( ) cos[ ( )] sin( ) sin . 2 2
课件4：5.3 诱导公式(二)
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
三角函数诱导公式二三四讲解
三角函数诱导公式二三四讲解
三角函数的诱导公式二、三、四主要用于简化三角函数的计算，通过代数运算将不同函数之间的关系转换为同一函数的关系。
以下是这些公式的详细解释：
1. 诱导公式二：适用于π+a的情况，其终边与角a的终边关于原点对称。
例如，sin(π+a)和cos(π+a)的值可以通过诱导公式二进行计算。
同样地，对于π-a的情况，其终边与角a的终边关于y轴对称。
2. 诱导公式三：适用于-a的情况，其终边与角a的终边关于x轴对称。
例如，sin(-a)和cos(-a)的值可以通过诱导公式三进行计算。
3. 诱导公式四：适用于2π+a的情况，其终边与角a的终边相同。
例如，sin(2π+a)和cos(2π+a)的值可以通过诱导公式四进行计算。
在应用这些公式时，需要特别注意函数的名称和符号的变化。
例如，在诱导公式二中，sin(π+a)和cos(π+a)的值应取负号，因为π+a的终边在第三象限，而正弦和余弦在第三象限取负值。
同样地，在诱导公式三中，sin(-a)和cos(-a)的值应取负号，因为-a的终边与x轴的负半轴重合，而正弦和余弦在x轴负半轴上取负值。
这些诱导公式不仅适用于正弦、余弦和正切函数，还可以推广到其他三角函数，如余切函数等。
通过对这些公式的理解和应用，可以有效地简化三角函数的计算过程。
课件3：5.3 诱导公式(二)
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα则 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或 从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定 义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练 掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
名师提醒 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________. [解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1. [证明] 右边＝－2sin32π1－ －θ2s·in－2θsinθ－1＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边，所以原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用 【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值． (2)已知 cosα＝－45，且 α 为第三象限角． 求 f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sin2π－α的值． [思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；23π－α＝π－3π＋α；π3＋α＋6π－α ＝π2.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．
诱导公式(二)
4.5.2 诱导公式（二）
1.诱导公式3：180°－α→α：
sin（180°－α）＝sinα，cos（180°－α）＝－cosα，tan（180°－α）＝－tanα
2.诱导公式4：180°＋α→α：
sin（180°＋α）＝－sinα，cos（180°＋α）＝－cosα，tan（180°＋α）＝tanα
3.诱导公式的记忆口诀：函数名称同，符号象限定（判断符号时，可将
角α看作锐角）
一、选择题
1.下列式子正确的是（
A ）.
A. sin（180°－θ）＝sinθ
B. cos（180°＋θ）＝cosθ
C. tan（－θ）＝tanθ
D. cos（－θ）＝－cosθ
2.下列式子错误的是（
D ）.
A. sin（180°＋50°）＝－sin50°
（6）tan170°＝tan（ 180°－10° ）＝
cos70°
－tan10°
2.根据范例，计算下列各式的值.
3
2
（例：cos150°＝cos（180°－30°）＝－cos30°＝－ ）
（1）sin300°＝sin（
360°－60° ）＝
（2）tan225°＝tan（ 180°＋45° ）＝
（3）cos120°＝cos（
180°－60° ）＝
－
－sin60° ＝
tan45° ＝
3
2
1
－cos60° ＝
1
－2
三、解答题（计算）
1.sin240°
解：原式＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－
2.tan210°
解：原式＝tan（180°＋30°）＝tan30°＝
高二数学诱导公式2
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函 数值相等，
公式（一）
cos( k 2 ) cos sin( k 2 ) sin
tan( k 2 ) tan
这组公式可以统一概括为的形式，
f ( 2k ) f ()(k Z)
特征：两边是同名函数，且符号相同.
作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º~360º之间角的正弦、余弦、正切
公式（二）:
sin(－α)=－sinα, cos(－α)=cosα; tan(－α)=－tanα.
y
P(x,y)
x O
-
P'(x,-y)
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
公式(三):
y
P(x,y)
-
x
O
π-α与α的正弦相等，余弦相反，正切相反。
例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 5
4
解：（1）cos210º=cos(180º+30º)
=－cos30º
3 2
（2）sin
5
4
=sin(π+ )
=－sin
4
4
2 2
例2．求下列各式的值：
（1）sin(
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
y P(x,y)
x
+ O
P'(-x,-y)
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
公式(四):
sin(π－α)=sinα, cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα.
5.3 诱导公式 课件(2)(共29张PPT)
37π 5π
(4)tan
·sin－ 3
6
π
π
＝tan6π＋ ·sin－2π＋
6
3
π
π
3
3 1
＝tan ·sin ＝ × ＝ .
6
3 3
2 2
解题方法（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：）
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[跟踪训练一]
.
α 直线 y＝x 对称.
六、诱导公式六
π
＋α 型诱导公式(公式六)：
2
π
sin ＋α＝
2
cos α
π
cos ＋α＝
2
－sin α
；
.
小试牛刀
25π
1．(1)sin
＝________；
6
7π
(2)tan－ ＝________.
π 1
tan(α＋2kπ)＝
(k∈Z)；
tan α (k∈Z)．
提醒 1：α＋2kπ 与 α 终边相同角.
二、诱导公式(二)
终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝ －sin α
cos(－α)＝
；
cos α ；
tan(－α)＝ －tan α
.
提醒 2：-α 与 α 关于 x 轴对称.
π
(2)cos－ ＝cos－6π＋ ＝cosπ－
6
6
6
π
3
诱导公式2
11 (1) cos(150 )(2) sin 6 17 0 (3) cos510 (4) t an( ) 3
引申: 求值 (1) sin 315 sin(1260 ) cos570 sin(840 )
0 0 0 0
(2)若 t an( ) 3, 求 2 cos( ) 3 sin( ) 4 cos( ) sin(2 )
；
战申?本届战申榜排位赛横空出世の鞠言战申?”祝桦老祖也知道鞠言の名字.“不是他还有谁?俺劝他不要进去,但他执意要进,俺也没办法.”倪炯老祖摇头说道.祝桦老祖也摇了摇头,顿了一下道：“倪炯道友,俺们也往前再看看吧！或许,还能看到鞠言战申.”就他们两个人目前所处の位置来说, 再接近禁区之地一些距离,也是比较安全の.总之,只要不踏入母体の感知范围,就没哪个大问题.“也好！鞠言战申进去,必定是要与子兽激战.俺,还没有亲眼看过鞠言战申の战斗能历,呐次正好能看看.”倪炯老祖点点头.呐两位老祖,随后也向着禁区之地又靠近了一些.不久之后,又陆续有几名混 元无上级善王来到禁区之地边缘.他们,都是得到了天庭の信息,然后打算趁着最后一点事间看一眼禁区之地.此事の鞠言,已经进入禁区之地の危险区域.在禁区之地の中心位置,有一大片红色の区域.呐片原本处于静态の红色区域,呐个事候突然剧烈の蠕动起来.与此同事,那连绵の巨大岩石下方, 开始有绿色、蓝色和黑色の身影钻出来.呐些颜色不同の身影,身形是长の,它们是趴在地上移动行走.若是靠近一些看,便可发现,呐是一种虫类凶兽,相貌极其丑陋邪恶.从岩石下钻出の虫子越来越多,它们发出尖利の名叫声,而后疯狂の移动起来.虫类凶兽,向鞠言所在の位置扑去.进入到危险区域 の鞠言,停住了脚步.他の眼睛,看到了一头头正在高速移动の凶兽.甚至,他已经能隐约の看到那在剧烈蠕动の一片红色.“那就是母兽吧！”鞠言望着红色,心中转念.鞠言手持冰炎剑,申历快速运转,微子世界の历量也处于蓄势之中.“数量好多！”鞠言也难免の脸色发生变化.看着一群群の绿色、 蓝色和黑色凶兽向自身扑来,恐怕任谁都无法保持淡定.“呐是虫类の凶兽?”“移动速度很快！”“呐凶兽叫声,居然还能影响修行者の申魂.”鞠言已经听到了虫类凶兽の名叫声.虫类凶兽の名叫声对于鞠言来说虽然也有些刺耳,觉得不太舒服,但无法真正威胁到鞠言の申魂体.鞠言の精申,能够 保持正常状态,就是说不会由于虫类凶兽の尖利叫声而影响实历发挥.三掌门第三零七陆章试试群杀第三零七陆章试试群杀(第一/一页)虫类凶兽の名叫声,类似于音波攻击,不过在呐界碑世界内,凶兽の声音全部都是通过道则传播.所以,其传播速度是瞬息而至の,几乎不需要事间.“按照倪炯老祖 所说,绿色の虫子对应の是一点黑月积分,所以绿色虫子凶兽实历应该最弱.”鞠言看着冲在前端の虫子,它们距离自身已经很近.“不过,呐绿色虫子凶兽の爬行速度,看起来倒是比蓝色虫子还要稍微快一些.”鞠言心中分析.入眼处,绿色虫子数量非常多,蓝色虫子凶兽数量相对少一些,至于黑色の 凶兽虫子就更少了,基本上一片区域内才有一头黑色虫子凶兽.“嘶嘶~嘶嘶~”一头绿色虫子凶兽,扑到了鞠言近前.鞠言抬手一剑,微子世界历量爆发出来,剑身轰在绿色虫子凶兽慢是黏液の身躯上.虫子凶兽发出更加尖锐の名叫声,身躯被击飞出去.然而,呐头绿色虫子凶兽摔落到地面后并未被击 杀,它身上の伤口正在快速愈合.“果然不容易杀！”“哪怕只是一点黑月积分の凶兽,也不好杀.方才俺全历释放微子世界历量,竟没能一剑将其杀死.”鞠言暗暗心惊の想着.倪炯老祖方才说过,呐样の子兽,要杀死也得耗费一番功夫.而且,便是绿色の虫子凶兽,其攻击历也能达到甚至超过其他の 拾分凶兽.虫子凶兽对应の黑月积分之所以少,原因在于防御之上.呐虫子凶兽の防御相比界碑世界内其他凶兽,要差很多,但相比外界の凶兽,虫子凶兽の防御和恢复能历仍然可怖.“鞠言战申还不跑?再不走,就来不及了！”祝桦老祖微微皱眉道.驻华老祖和倪炯老祖呐两人,正站在鞠言の后方,两 人处于母兽の感知界限处,他们能够看到鞠言の身影.“鞠言战申の黑月积分,距离进入榜单前拾差了不少,看来他还想在最后の事间里,冲刺一把.”倪炯老祖转目说道.“呐也太不要命了.”祝桦老祖摇摇头.为了点黑月积分,将性命都葬送,呐显然不值得.“再不从里面退出来,就真の来不及了.” 倪炯老祖凝声说道.禁区之地の子兽,已经快要对鞠言战申,呈现合围之势.鞠言现在想撤出来,都有些困难了,若是再耽误片刻,那就真の不可能再撤出.飞行逃离,同样不行！禁区之地の子兽,也具有短暂の飞行能历.“鞠言战申,速速从里面撤出来.”祝桦老祖大声对鞠言喊道.修行者在界碑世界,不 能调用世界内道则之历,所以祝桦老祖の声音,只能融入申魂历,呐样传递速度还能快一些.如果是普通の空气传播,那等声音传到鞠言耳中,怕黄花菜都要凉了.而融入申魂历の声音传递,在界碑世界内无法传出太远,只能在修行者申魂覆盖范围内传递.鞠言听到了祝桦老祖の声音,快速扭头看了一眼. 不过此事此刻,鞠言可没工夫回应祝桦老祖.“还不撤出！”“呐个年轻人,太疯狂了.”祝桦老祖摇头惋惜,也不多说了.“那不是鞠言战申吗?”陆续有一些进入界碑世界の修行者,也来到了祝桦老祖两人附近,他们看到了在危险区域の鞠言战申.“真是鞠言战申.”“他……居然进去了！疯了 吧?”“呐个不知死活の蠢货,死在呐里也好！”一道刺耳声音响起.其他诸人,都看向说呐句话の修行者.此人,正是红叶王国の尹红战申,他の黑月
诱 导 公 式(二) 课件(41张)
当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos （2n＋1）π＋π3＋α ＋ cos （2n＋1）π－π3－α ＝cos π＋π3＋α ＋cos π－π3－α ＝－cos π3＋α －cos π3＋α ＝－2cos π3＋α . 所以化简所得的结果为(－1)k2cos π3＋α .
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________．
【解析】f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3 2
.
答案：－
3 2
＝2si2nsαicno2αs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α
，
所以 f－263π
＝ tan
1 －263π
＝ tan
1 －4π＋6π
＝1 tan
π 6
＝
3.
答案： 3
诱导公式在三角形中的应用
【典例】在△ABC中，sin
A＋B－C 2
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
【解析】选A.因为 1－2sin （π＋θ）sin 32π－θ ＝ 1－2sin θcos θ ＝ （sin θ－cos θ）2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈2π，π ，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.
2．sin 105°＋cos 165°的值为________． 【解析】sin 105°＋cos 165°＝sin (90°＋15°)＋cos (180°－15°)＝cos 15°－cos 15° ＝0. 答案：0
5.3诱导公式(二)课件(人教版)
cos( + ) = − cos
tan( + ) = tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式三：终边关于轴对称的角
sin(−) = −sin
cos(− ) = cos
tan(−) = − tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式四：终边关于轴对称的角
高中数学必修第一册
典例精析
例1 证明：
3
（1）(
2
− ) = − ；
3
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = .
典例精析
变式1 证明：
5
（1）(
2
− ) = ；
7
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = ；
典例精析
变式1 证明：
与角有什么关系？
y
P5
O
高中数学必修第一册
P1
x
问题探究
探究：3.直角坐标系中关于直线 = 对称的两个点的坐标之
间有什么关系？
y
y
P5
P1
P1
O
O
x
P5
y
y
x
P5
O
x
O
x
P5
P1
高中数学必修第一册
P1
知识小结
公式五：终边关于 = 对称的角
sin( − ) = cos
2
教材P195综合运用T7
在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由：
（1）( + ) = ； （2）( + ) = ；
诱导公式2
2、如果α,β满足α+β=π，那么下列式子中正确的个 如果α,β满足α+β=π， α,β满足α+β=π sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③ 数是 ①sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③cosα=cosβ; cosα=④cosα=-cosβ B A、 1 B、 B、 2 C、 C、 3 D、 D、 4
sin 解： ( 3π-α ) = 2 sin ( 2π+β ) ⇒ sin α= 2 sin β 3 cos ( - α ) =- 2 cos ( π+β ) ⇒ 3 cos α= 2 cos β
利用本公式和公式 ( −α )、 公式 (180 o + α )还可以推导下列 公式 : sin( 90 o + α ) = cos α 诱导公式七: 诱导公式七: cos( 90 o + α ) = − sin α
sin( 270 o − α ) = − cos α 诱导公式八: 诱导公式八: cos(270 o − α ) = − sin α sin( 270 o + α ) = − cos α 诱导公式九: 诱导公式九: cos(270 o + α ) = sin α
例4:化简 化简
π 11π sin ( 2π − α ) cos (π + α ) cos + α cos −α 2 2 . 9π cos (π − α ) sin ( 3π − α ) sin ( −π − α ) sin +α 2
sin ( π -α ) = sin π + ( -α ) =- sin ( -α ) = sin α
诱导公式四
cos ( π -α ) =- cos α tan ( π -α ) = tan α
诱导公式(二)
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
公式五
复习初中知识
cos60 sin45 cos45 sin 60 cos30
诱导公式 三：
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
其他诱导公式 sin( ) sin , sin(2 ) sin , cos( ) cos , cos(2 ) cos , tan( ) tan . tan(2 ) tan .
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限 意义：k k Z）的三角函数值 （
2 1 ）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
例题:化简
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
sin( 2k ) sin ( k Z ), cos( 2k ) cos ( k Z ), tan( 2k ) tan ( k Z ).
诱导公式 一：
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式 二： sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan . 诱导公式 四：
2
2
P2 P1 α
专题48 高中数学诱导公式二、三、四(解析版)
专题48 诱导公式二、三、四1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．5．四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.6．四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.题型一 给角求值问题1．求下列各三角函数值：(1)sin 1320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)；(4) tan ⎝⎛⎭⎫－4π3 ；(5) (5)sin 2π3 ；(6) cos ⎝⎛⎭⎫－7π6 [解析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. (4)tan ⎝⎛⎭⎫－4π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3＝tan 2π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－tan π3＝－ 3. (5)sin2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32. (6)cos ⎝⎛⎭⎫－7π6＝cos 7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 2．求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[解析] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 3．计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)． (3)tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5；(4)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.(5)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．[解析](1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.(3)原式＝tan π5＋tan 2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0. (4)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－32－cos45°－tan45° ＝－32－22－1＝－2＋3＋22.(5)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1. 4．利用公式求下列三角函数值： (1)cos476π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－296π)；(4)tan 34π＋sin 116π. [解析] (1)cos476π＝cos(116π＋6π)＝cos 116π＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°) ＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π－5π6＝sin(－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－5π6 ＝－sin(180°＋45°)＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin 45°－cos π6＝22－32＝2－32. (4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π6)＝－tan π4－sin π6＝－1－12＝－32.5．求下列各三角函数值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(2)tan(－765°)；(3)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4. [解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan 45°＝－1. (3)sin4π3·cos 25π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－sin π3cos π6tan π4＝－32×32×1＝－34. 6．求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin8π3cos 31π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin 2π3cos 7π6＋tan π4 ＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6＋tan π4＝32×⎝⎛⎭⎫－32＋1＝14. 7．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.[解析]原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°) ＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°＝32×32＋12×12－1＝0. 8．cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________． [解析]原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°－(－sin 30°)＝－2222＋12＝2－2. 9．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是[解析]因为sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝22，sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22，所以原式＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－222＝14＋12－1＋12＝14.10．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为 [解析]由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.11．设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( )A ．1－a 2 B.1－a 2 C ．－1－a 2D ．±1－a 2[解析]因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2. 12．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b[解析]a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .13．已知f (x )＝⎩⎨⎧sin πx (x ＜0)，f (x －1)－1(x ＞0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [解析] f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12， f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫116－1－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1－2＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝12－52＝－2. 14．若f (n )＝sinn π3(n ∈Z)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝________． [解析]f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，…， 因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋336×0＝32. 题型二 给值(式)求值问题1．若cos(π＋α)＝－13，则cos α的值为[解析] cos(π＋α)＝－cos α，所以cos α＝13.2．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32D ．－32[解析]由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 3．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213D.512[解析]由cos(α－π)＝－513，得cos α＝513.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.4．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[解析]因为cos(π－α)＝－cos α，所以cos α＝35.因为α是第一象限角，所以sin α>0.所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α等于 [解析]因为tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α，所以tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝________． 【解析】)cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝________. [解析])因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.9．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是[解析] 因为sin α＝35且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(π＋α)＝tan α＝－34.10．已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；[解析]∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 11．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是[解析]因为sin(π＋α)＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.又α是第四象限角，所以cos α＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45.12．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是[解析]∵sin(π＋α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝35.又∵cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cos α＝3513．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin(π－α)＝ [解析]因为cos(2π－α)＝cos α＝53，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－23， 所以sin(π－α)＝sin α＝－23.14．若sin(π＋α)＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(π－α)等于 [解析]因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos α>0， 所以cos α＝1－sin 2α2＝32.所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tan α＝33.15．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于 [解析] 因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m ，所以sin α＝m 2，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .16．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7＝________.[解析] 因为sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7＝sin 2π7＝m ，且2π7∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2π7＝1－m 2.17．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于 [解析]sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.18．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[解析] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223. 19．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为 [解析]sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32. 20．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.[解析]由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 21．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为 [解析]∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tan α＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，且tan α＜0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＞0，cos α＜0. 又∵tan α＝sin αcos α＝－34， ①而sin 2α＋cos 2α＝1, ②由①②，解得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝－45.∴sin α＋cos α＝35－45＝－15.22．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 018)＝8，则f (2 019)的值为________． [解析]因为f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7， 所以a sin α＋b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝1，又f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019 π＋β)＋7＝－a sin α－b cos β＋7＝－1＋7＝6. 所以f (2 019)＝6.题型三 化简求值问题1．以下四种化简过程，其中正确的有( )①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°； ③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析]由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．[答案] B2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是[解析]原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2. 3．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为 [解析]∵原式＝sin 2α－(－cos α·cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝24．设f (α)＝2sin （2π－α）cos （2π＋α）－cos （－α）1＋sin 2α＋sin （2π＋α）－cos 2（4π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－236π的值为 [解析]f (α)＝2sin （－α）cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝－cos α（2sin α＋1）sin α（2sin α＋1）＝－1tan α.所以f ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3. 5．化简(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α.[解析] (1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)＝sin (180°＋α)·cos αtan α＝－sin α·cos αtan α＝－cos 2α.(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α＝sin α(－cos α)cos αtan α＝－cos α.6．化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(3)sin (1 440°＋α)·cos (1 080°－α)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). [解析] (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝(－tan α)sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝tan α·sin α·cos α－cos α·sin α＝－tan α.(3)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.7．化简下列各式． (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). (3)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).[解析] (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°－tan45°＝12.(3)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ.8．已知tan(π＋α)＝－12，则2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)＝________.[解析]tan(π＋α)＝－12，则tan α＝－12，原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.9．已知tan(π＋α)＝3，求2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）的值．[解析]因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.10．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值：(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)；(2)sin(α－7π)cos(α＋5π)． [解析]由tan(π＋α)＝－12，得tan α＝－12.(1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.(2)原式＝sin(－6π＋α－π)cos(4π＋α＋π)＝sin(α－π)cos(α＋π)＝－sin α(－cos α) ＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 11．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________． [解析]2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝sin 2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.12．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________．[解析]原式＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.13．化简：1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝________.[解析]1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|，因2弧度在第二象限，故sin2>0>cos2，所以原式＝sin2－cos2.14．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝________. [解析]因为sin(α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0， 所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43， 所以2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73. 15．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为 [解析]由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ，∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 16．已知tan(7π＋α)＝2，求2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值． [解析]∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2. 17．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin （π－α）＋5cos （2π＋α）3cos （π－α）－sin （－α）＝－35. [解析]因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，所以sin α＝－2cos α.所以左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以原式得证． 18．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解析] (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12. 19．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．sin(α－2π)＝sin βC ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β[解析]由α和β的终边关于x 轴对称，故β＝－α＋2k π(k ∈Z)，故cos α＝cos β.[答案] C20．在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[解析]①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin [2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin [2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos [2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos [2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.21．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[解析]由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π. 22．当θ＝5π4时，sin[θ＋（2k ＋1）π]－sin[－θ－（2k ＋1）π]sin （θ＋2k π）cos （θ－2k π）(k ∈Z)的值等于________． [解析]原式＝－sin θ－sin θsin θcos θ＝－2cos θ.当θ＝5π4时，原式＝－2cos 5π4＝2 2. 23．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( ) A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤ [解析]①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3； ②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3； ③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3； ⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 24．设k 为整数，化简：(1)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α); (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°；(3)sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫k π＋4π3(k ∈Z)． [解析]法一：(分类讨论)当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z)，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1； 当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，故cos [(k －1)π－α]＝cos [(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)，sin [(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)， sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．所以原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1. (2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70° ＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70° cos 70°－sin 70°＝－1. (3)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3cos π3＝－34. 当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3cos π3＝34. 25．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z)． [解析]当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α. 所以原式＝⎩⎨⎧ 2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).26．已知函数f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )，且f (m )＝2，试求f (－m )的值． [解析]因为f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ， 又因为f (－x )＝－6cos (－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ＝f (x )， 所以f (－m )＝f (m )＝2.27．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22， 求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． [解析]由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22. 故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.。
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )
诱导公式2
3、角与角 +(2k+1)的三角函数间的关系
诱导公式三：
sin[ +(2k+1) ] sin cos[ +(2k+1) ] cos tan[ +(2k+1) ] tan
复习练习一 • 求下列三角函数值： • （1）sin(-1050º )； • (2) cos1410°
-
cos cos sin 原式 1. sin ( cos )
探究： a与a 的三角函数间的关系。 2 P(cos a,sin a),
y y=x N M
N (cos ,sin ) 由对称性 M (sin a, cos a ); 又因为点M 与N 关于y轴对称， 所以 N （ sin a, cos a） , N (cos ,sin ).
4、已知 是三角形的一个内角，且sin =
2 ，那么角 等于（ 2
）
A. 3
B. C . 或 4 4 6
3 D. 或 4 4
5、 sin135 cos 2 150 2sin 210 cos 225的值是（ 2 2 1 2 2 1 2 A. B. C. 4 4 2
2
(其中
0
4
)的形式
sin sin
180
0 0
2 90
0 0
sin(180 ) sin(1800 - ) sin(900 ) sin(90 )
0
, ,
180 - ) 90
0 0
2 90 - ) 1 90
诱导公式(2)
复习知识
5.3.2 诱导公式(第二课时课件)
2
函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
函数名改变，符号看象限
作用：实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
2 诱导公式(二)
思考：诱导公式可统一为 k (k Z) 的三角函数与α的
2
三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限
3 典型例题
例.证明： (1)
c
α
b
（ − ） =
2
2 诱导公式(二)
思考：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α
的终边有什么关系？
y
2
的终边
α的终边
思考：点P1（x，y）关于
直线 y=x 对称的
点P2的坐标是什么？
O
yx
x
2 诱导公式(二)
思考：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），
思考：你能用简洁的语言概括一下公式五、六吗？
它们的作用是什么？
sin(
诱导公式五
诱导公式六
cos(
2
2
) cos
) sin
sin(
2
) cos
cos( ) sin
2
2 诱导公式(二)
公式概括：
的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）
2
sinα
7π
(3)cos( ＋α)＝________；
2
tanα
(4)tan(α－11π)＝________.
练一练
3π
3
2.已知 cos(
＋α)＝－ ，且α是第四象限角，
诱导公式
诱导公式[基础知识归纳]1．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．4．诱导公式五 5．诱导公式六sin(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α. sin(π2α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α. 即π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α可统一表示成kπ2±α(k ∈Z)的形式．当k 为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k 为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定kπ2±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[例题与练习]【例1】 求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－316π)；(3)tan(－945°)．答案：(1)－32. (2)－32.变式训练11：计算下列各式的值：(1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°. 答案：(1)32. (2) 1.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值． 答案：α是第一象限角， sin(2π－α)＝－32. α是第四象限角， sin(2π－α)＝32.变式训练21：已知sin(π3－α)＝12，则cos(π6α)＝________.答案： 12.【例3】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.变式训练31：已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，证明：(1)cos A ＋cos(B ＋C)＝0；(2)sin B ＋C 2＝cos A 2.【例4】 化简cos(4n ＋14π＋x)＋cos(4n －14π－x)(n ∈Z)． 答案： ⎩⎨⎧－2cos (π4＋x )，n 为奇数2cos (π4x )，n 为偶数变式训练41：已知：sin(π＋θ)＝－13，求值：cos (3π＋θ)cos (－θ)[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)cos 2θsin 32π＋cos θ. 答案： 18【例5】 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．答案：∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.变式训练51：若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B －sin A ，sin B －cos A)在( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 选B.。
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课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ <0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A 等于( ) A ．－12B.12 C ．－32 D.32解析：选B ∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12， ∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( ) A ．2B ．－2C ．0 D.23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A ．cos(A ＋B )＝cos CB ．sin(A ＋B )＝－sinC C ．cos A ＋C 2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A 、B 错．∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B 2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.答案：07．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，且α∈(－π，0)，则tan(α－π)＝________. 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，得cos α＝13.又α∈(－π，0)，所以α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， tan(α－π)＝tan α＝sin αcos α＝－22313＝－2 2. 答案：－2 28．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α)＝－sin 2α.答案：－sin 2α9．求证：tan (3π－α)sin (－5π＋α)cos (4π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝tan α.证明：左边＝－tan αsin (－π＋α)cos (－α)－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－tan α(－sin α)cos α－cos α(－sin α)＝tan α＝右边，所以等式成立．10．在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，试判断△ABC 的形状．解：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .又∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．层级二 应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为() A ．－23m B ．－32mC.23mD.32m解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .2．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( )A ．1B ．sin 2αC ．－cos 2αD ．－1解析：选C 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α，tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α，所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，选C. 3．化简cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos (π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( ) A ．－1B ．1C ．tan αD ．－tan α解析：选C 原式＝ －cos α·(－sin α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( ) A ．－223 B.223 C ．－23 D.23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 5．已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3 的值为________． 解析：f (α)＝(－sin α)(－cos α)(－cos α)(－tan α)＝cos α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos 25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 答案：126．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1， sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：912 7．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15， 所以sin α＝－15. 又α是第三象限的角，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.8．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β， 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件，则由题可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴cos 2α＝12，∴cos α＝±22. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝22. 由cos α＝22，3cos α＝2cos β，得cos β＝32. ∵β∈(0，π)，∴β＝π6. ∴sin β＝12，结合①可知sin α＝22，则α＝π4. 故存在α＝π4，β＝π6满足条件．。