导数及其应用
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
导数在物理学中的应用举例
导数在物理学中的应用举例
导数是微积分的一个重要概念，它在物理学中具有广泛的应用。
下面是一些导数在物理学中的应用举例：
1.速度和加速度计算：导数在描述物体的速度和加速度方面发
挥着关键作用。
在物理学中，我们可以通过对位移函数进行求导来
计算速度和加速度。
例如，一个物体在时间t的位移函数s(t)可以
通过对s(t)关于t的导数来得到物体的速度v(t)，进一步对v(t)关于t 求导，可以得到物体的加速度a(t)。
2.斜率和曲线的切线：导数可以用来计算曲线在特定点的斜率。
在物理学中，我们经常需要计算曲线在某一点的斜率，以便确定物
体在该点的运动特性。
导数也可以用来计算曲线在特定点的切线方程，帮助我们更好地理解曲线的形状和特征。
3.极值和拐点：导数是寻找函数的极值点和拐点的有力工具。
在物理学中，我们经常需要确定物体在某一时刻的极值点，例如物
体的最大高度或最大速度等。
通过对物体的位移、速度或加速度函
数进行求导，我们可以找到这些极值点的位置和数值。
4.动力学方程：导数在描述物体的运动和力学方程中起着重要
作用。
通过对运动方程进行求导，我们可以得到物体的速度和加速
度之间的关系。
物理学中的很多重要方程都是基于导数的运算得到的，例如牛顿第二定律F=ma，其中a是加速度，m是质量，F是力。
综上所述，导数在物理学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于
计算速度、加速度和斜率等物理量，还可以用于寻找极值点和描述
物体的运动特性。
了解导数的概念和应用对于理解和研究物理学中
的各种现象和问题非常重要。
导数的计算方法及其应用
导数的计算方法及其应用一、导数的定义与概念在微积分学中，导数是描述函数在任意一点斜率的概念，它是函数的一种变化率。
导数也可以被理解为：函数在某一点处的瞬时变化量，换句话说，它表示函数曲线在该点处的推移趋势。
导数的定义是：$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$在这里，如果这个极限存在，那么它就是函数$f(x)$的导数，通常用$f^{\prime}(x)$或$\frac{dy}{dx}$来表示。
导数的概念对于数学及其他应用领域的许多问题都是至关重要的。
导数在物理学、经济学、金融学等学科中都有广泛的应用。
二、导数的计算方法虽然导数的定义很简明，在实践中却很难直接计算。
而且，无论是手工还是机器方式，都需要找到一个规律来完成这项任务。
以下是几种常见的计算导数的方法：1. 基本公式法导数的计算方法中最常见的方式是使用基本公式法。
这种方法利用已知的一组基本导数表，来计算一个函数的导数。
根据基本公式法，对于函数$f(x)$，一些常见的导数结果集是：$$\begin{aligned} (x)^{n} & \rightarrow n x^{n-1} \\ \exp(x) &\rightarrow \exp(x) \\ (\ln x) & \rightarrow \frac{1}{x} \\ (a^{x}) & \rightarrow a^{x}(\ln a) \\ (\sin x) & \rightarrow \cos x \\ (\cos x) & \rightarrow -\sin x \\ (\tan x) & \rightarrow \sec^{2} x \end{aligned}$$如果函数可以表示为上述函数中任意两个函数的运算结果，则基本公式法可以使用“求和规则”和“乘积规则”来计算导数。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数的意义及应用
导数的意义及应用导数是微积分的重要概念之一，真实世界中有许多应用与导数相关。
导数表示一个函数在其中一点上的瞬时变化率。
可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数能够提供有关函数如何随着自变量的变化而变化的信息。
导数的应用：1.确定函数的递增和递减区间函数在其中一点的导数为正表示函数在该点处递增，即函数的值随自变量的增加而增大。
函数在其中一点的导数为负表示函数在该点处递减，即函数的值随自变量的增加而减小。
通过导数的正负性推断出函数的递增和递减区间。
2.求取最大值和最小值在函数图像上，极大值和极小值对应于导数为零或不存在的点，即导数为零的点可能是函数的极值点。
可以通过导数值的变化确定极值的位置，并通过二次导数的符号推断出最大值和最小值。
3.切线和法线导数可以用来确定函数曲线在其中一点的切线方程。
切线是曲线在该点上的最佳线性逼近。
导数还可以用来确定切线的斜率，进一步确定切线的方程。
法线是切线的垂直线，法线的斜率是切线斜率的相反数。
4.求解速度和加速度在物理学和工程学中，导数用于求解物体的速度和加速度。
速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过求解导数，可以确定物体的速度和加速度的变化率。
5.求解曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过函数的导数的变化来确定。
如果函数的二阶导数为正，表示函数的曲线是凹向上的；如果函数的二阶导数为负，表示函数的曲线是凹向下的。
通过确定曲线的凹凸性，可以优化路径规划和表面设计等。
6.求解函数的方程导数在求解函数的方程时也发挥重要作用。
利用导数可以找到函数的零点，即函数的图像与x轴相交的点。
通过求解导数，可以确定方程的解的存在性和位置。
总之，导数在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。
从数学的角度来看，导数提供了函数变化的有用信息。
从物理学、工程学和其他科学领域来看，导数帮助我们了解和解释自然现象以及进行预测和优化。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。
导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。
二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。
这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。
2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln(a)。
这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。
4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln(a))。
5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。
- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。
- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。
以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。
三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。
1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。
函数的导数与导数的应用
函数的导数与导数的应用导数是微积分学中的重要概念。
它可以用来描述函数在某一点处的变化率，并在实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍函数的导数的定义、求导法则以及导数在几何和物理问题中的应用。
一、函数的导数的定义函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。
设函数y=f(x)，如果函数在点x处的变化率存在极限，那么这个极限就是函数在该点的导数，记作f'(x)或dy/dx。
二、求导法则1. 基本导数法则- 常数的导数为0：(k)' = 0，其中k为常数。
- 幂函数的导数为幂次乘以原函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数。
- 对数函数的导数为倒数除以原函数：(log_ax)' = (1/lna)·(1/x)。
- 指数函数的导数为本身函数的导数再乘以常数：(a^x)' = ln(a)·a^x，其中a为常数。
2. 导数的四则运算法则- 和函数的导数等于两个函数的导数之和：(u+v)' = u' + v'。
- 差函数的导数等于两个函数的导数之差：(u-v)' = u' - v'。
- 乘积函数的导数等于一个函数乘以另一个函数的导数之和：(uv)' = u'v + uv'。
- 商函数的导数等于一个函数的导数乘以另一个函数减去另一个函数的导数乘以一个函数，再除以另一个函数的平方：(u/v)' = (u'v - uv') /v^2，其中v不等于0。
3. 复合函数的导数- 复合函数的导数可以通过链式法则求得。
设y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx = dy/du · du/dx。
三、导数的几何应用1. 切线与法线函数的导数可用来求函数图像上某一点处的切线斜率。
切线的斜率等于函数在该点的导数值。
此外，切线的斜率的倒数就是法线的斜率。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数在实际生活中有许多重要的运用，尤其是在科学、工程、经济学和医学等领域。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 物理学中的运动分析导数的最初应用是用于描述物体的运动。
通过对物体位置关于时间的导数，可以得到物体的速度。
通过再次对速度关于时间的导数，可以得到物体的加速度。
这些导数可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，并用于设计飞机、汽车等交通工具。
2. 经济学中的市场分析导数在经济学中有广泛的应用，尤其是在市场分析方面。
通过对市场需求曲线和供应曲线取导数，可以得到需求和供应的弹性。
这些导数可以帮助我们预测价格和数量的变化对市场的影响，从而进行合理的市场调控和决策。
3. 工程学中的优化问题导数在工程学中的应用非常广泛，尤其是在优化问题中。
通过对函数取导数，可以找到函数的最大值和最小值，从而解决工程中的优化问题。
这些导数可以帮助我们设计高效的工程系统，提高工程的性能和效益。
4. 生物学中的生物系统建模导数在生物学中的运用非常重要，尤其是在生物系统建模方面。
通过对生物体的生长、衰老和变异等过程建立数学模型，并计算这些模型的导数，可以帮助我们预测生物体的生长和发展趋势，从而进行合理的生物系统管理和疾病治疗。
5. 医学中的药物剂量计算导数在医学中也有重要的应用，尤其是在药物剂量计算方面。
通过对药物在人体内的分布和代谢过程建立数学模型，并计算这些模型的导数，可以帮助医生根据患者的特点和需要，合理地调整药物的剂量，从而实现最佳的治疗效果和减少不良反应。
导数在实际生活中有许多重要的运用。
它们可以帮助我们更好地理解和描述物理、经济、工程、生物和医学等系统的运动和变化规律，从而提高我们的生活质量和工作效率。
学习导数的基本概念和运算法则对我们来说是非常有益的。
导数在生活中的应用
导数在生活中的应用
导数是微积分中的重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，例如在科学、工程、经济学和医学等领域。
本文将介绍导数在生活中的应用，并探讨其重要性。
首先，导数在物理学中有着重要的应用。
在运动学中，导数可以帮助我们计算速度、加速度和位置等物理量随时间的变化率。
例如，当我们知道一个物体的位移随时间的函数时，可以通过对这个函数求导来得到物体的速度和加速度。
这对于设计运动系统、预测运动轨迹和解决工程问题都是至关重要的。
其次，导数在经济学和金融学中也有着重要的应用。
在经济学中，导数可以帮助我们分析市场供求关系、成本和收益等经济变量的变化率，从而帮助决策者做出合理的经济决策。
在金融学中，导数可以帮助我们对金融产品的风险和收益进行评估，从而帮助投资者和金融机构做出投资和风险管理的决策。
另外，导数在医学和生物学中也有着重要的应用。
在医学中，导数可以帮助我们分析生物体内各种生理变量的变化率，例如血压、心率和药物浓度等。
这对于诊断疾病、设计药物剂量和治疗方案都是至关重要的。
在生物学中，导数可以帮助我们研究生物体内各种生物过程的变化规律，例如细胞生长、代谢和遗传变异等。
总之，导数在生活中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
无论是在科学、工程、经济学还是医学等领域，导数都扮演着重要的角色。
因此，我们应该加强对导数的学习和理解，以更好地应用它解决现实生活中的问题。
导数的应用与求导法则知识点总结
导数的应用与求导法则知识点总结导数在数学和物理学中具有广泛的应用。
它是描述函数变化率的工具，可以用来解决许多实际问题。
在本文中，我们将讨论导数的应用以及一些常用的求导法则知识点。
一、导数的应用1. 切线与法线导数可以用来求解曲线上的切线和法线。
给定一个函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来获得曲线上任意一点的切线斜率。
切线的斜率是导数的值。
与切线垂直的线被称为法线。
法线的斜率是切线斜率的负倒数。
2. 最值问题导数可以帮助我们找到函数的最值点。
在一个区间内，函数的最大值和最小值通常出现在导数为零或不存在的点。
因此，我们可以通过求解导数为零的方程来找到这些临界点，然后通过比较函数值来确定最值。
3. 凹凸性与拐点导数可以用来判断函数的凹凸性以及拐点的位置。
如果导数在某个区间内是递增的，那么函数在该区间内是凹的；如果导数是递减的，那么函数是凸的。
拐点发生在导数变化的方向改变的点。
4. 高阶导数导数的概念可以进一步推广到高阶导数。
高阶导数描述了函数变化的更高阶性质，比如曲率和弯曲程度。
通过求解导数的导数，我们可以计算出函数的高阶导数。
二、求导法则知识点1. 基本导数法则基本导数法则是求导的基础。
它包括了常数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则和三角函数规则。
这些法则允许我们快速求解各种类型的函数导数。
2. 乘积法则乘积法则可以用来求解两个函数的乘积的导数。
假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积为f(x) = u(x)v(x)。
那么，f'(x) = u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
3. 商积法则商积法则可以用来求解两个函数的商的导数。
假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的商为f(x) = u(x) / v(x)。
那么，f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v(x)^2。
4. 链式法则链式法则可以用来求解复合函数的导数。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
导数在生活中的应用3则
导数在生活中的应用3则1.导数在股票投资中的应用：投资者通常会关注股票价格的变化趋势，导数可以用来衡量股票价格的变化速率。
如果股票价格的导数为正，表示股票价格在上升；如果股票价格的导数为负，表示股票价格在下降。
投资者可以根据股票价格的导数来作出买卖决策。
2.导数在医学中的应用：医学中，导数可以用来研究身体对药物的反应。
如果身体对药物的反应速率（即血液中药物浓度的变化速率）为正，表示药物的浓度在增加；如果身体对药物的反应速率为负，表示药物的浓度在减少。
医生可以根据身体对药物的反应速率来调整药物的用量。
3.导数在交通工程中的应用：交通工程中，导1.导数在建筑工程中的应用：建筑工程中，导数可以用来计算建筑物的屈服点。
屈服点是指建筑物在外力作用下，开始变形的点。
如果建筑物的弹性模量的导数为正，表示建筑物在受到外力时会变得更加坚固；如果建筑物的弹性模量的导数为负，表示建筑物在受到外力时会变得更加脆弱。
建筑工程师可以根据建筑物的弹性模量的导数来设计建筑物的结构。
2.导数在机械工程中的应用：机械工程中，导数可以用来计算机械设备的运动学参数。
如果机械设备的速度的导数为正，表示机械设备在变速；如果机械设备的速度的导1.导数在经济学中的应用：经济学中，导数可以用来研究经济变量之间的关系。
如果两个经济变量的函数图像的导数之积为正，表示这两个变量呈正相关；如果两个经济变量的函数图像的导数之积为负，表示这两个变量呈负相关。
经济学家可以根据这些信息来预测经济的发展趋势。
2.导数在生物学中的应用：生物学中，导数可以用来研究生物体内的生化反应速率。
如果生化反应速率的导数为正，表示反应速率在增加；如果生化反应速率的导数为负，表示反应速率在减少。
生物学家可以根据生化反应速率的导数来研究生物体的生理过程。
导数的应用知识点总结
导数的应用知识点总结一、导数的定义与几何意义。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，就说f(x)在区间(a,b)内可导。
这时对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数f^′(x)，这样就构成了一个新的函数f^′(x)，称它为函数y = f(x)的导函数，简称导数，记作y^′或f^′(x)或(dy)/(dx)等。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
二、导数的基本公式与运算法则。
1. 基本公式。
- (C)^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′ = nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′ = a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)2. 运算法则。
- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v + uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)三、导数在函数单调性中的应用。
1. 函数单调性与导数的关系。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。
导数的应用
导数的应用
导数是微积分中的重要概念，它有许多应用。
以下是一些常见的导数应用：
1. 切线和法线：导数可以用来确定函数曲线在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线的负倒数。
2. 最值问题：导数可以用来解决最值问题。
例如，对于一个函数，它的局部最大值或最小值出现在它的导数为零的点，或者在导数发生跃变的点。
3. 函数的增减性和凹凸性：导数可以用来研究函数的增减性和凹凸性。
如果函数在某一区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，函数是递减的。
函数的凹凸性则与导数的二阶导数有关。
4. 曲线的弧长：导数可以用来计算曲线的弧长。
通过对曲
线的参数方程或者极坐标方程进行导数运算，可以得到弧
长公式。
5. 高阶导数：导数可以进行高阶运算，即对导数再进行导数。
高阶导数可用于描述函数的曲率、加速度等更高阶的
变化特性。
以上只是导数的一些简单应用，实际上导数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，包括优化问题、速度与加
速度的计算、函数逼近等等。
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第一节 变化率与导数、导数的计算考纲要求:1、了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数设函数y ＝f (x ),当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从f (x 0)变到f (x 1),函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 、当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数.通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 、 (2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数,就是曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.(3)函数的导函数一般地,如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x ):f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx,则f ′(x )就是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导数.2.导数公式及运算法则 (1)导数公式表(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ); ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ); ③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). (3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.[自我查验]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( )(2)f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3、( )(5)若(ln x )′＝1x,则⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x .( ) (6)函数f (x )＝sin (－x )的导数为f ′(x )＝cos x .( ) (7)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ,u ＝3x 复合而成.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2.曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程就是( ) A .x －3y ＋3＝0 B.x －2y ＋2＝0 C .2x －y ＋1＝0 D.3x －y ＋1＝0 解析:选C ∵y ＝sin x ＋e x ,∴y ′＝cos x ＋e x , ∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2,∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0),即2x －y ＋1＝0、故选C 、 3.求下列函数的导数: (1)y ＝x n e x;(2)y ＝x 3－1sin x、答案:(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n ). (2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos xsin 2x、[典题1] 求下列函数的导数: (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ; (2)y ＝ln x x ;(3)y ＝tan x ; (4)y ＝3x e x －2x ＋e; (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1、[听前试做] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12,∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12、(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2、(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin xcos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x、 (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2、(5)y ′＝(ln (2x ＋3))′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2、导数的运算方法(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. (3)对数形式:先化为与、差的形式,再求导. (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为与或差的形式,再求导. (6)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导.[典题2] (1)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3,则a 的值为________.(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ,则f ′(2 016)＝________、[听前试做] (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3,所以a ＝3、(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x,所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016,即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017、 答案:(1)3 (2)－2 017在求导过程中,要仔细分析函数解析式的特点,紧扣法则,记准公式,预防运算错误.1.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2,则f ′(－1)等于( ) A .－1 B.－2 C.2 D.0 解析:选B ∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c , ∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx 、又f ′(1)＝2, ∴4a ＋2b ＝2,∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2、2.在等比数列{a n }中,a 1＝2,a 8＝4,函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8),则f ′(0)的值为________.解析:因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ,所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8、因为数列{a n }为等比数列,所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8,所以f ′(0)＝84＝212、答案:212导数的几何意义就是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题,且主要有以下几个命题角度:角度一:求切线方程[典题3] (1)(2016·宜春模拟)曲线y ＝e x －ln x 在点(1,e)处的切线方程为( ) A .(1－e)x －y ＋1＝0 B.(1－e)x －y －1＝0 C .(e －1)x －y ＋1＝0 D.(e －1)x －y －1＝0(2)(2016·铜川模拟)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直,则实数a ＝( )A .3 B.1 C .2 D.0(3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4、 ①求曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; ②求经过点A (2,－2)的曲线f (x )的切线方程.[听前试做] (1)由于y ′＝e －1x ,所以y ′x ＝1＝e －1,故曲线y ＝e x －ln x 在点(1,e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1),即(e －1)x －y ＋1＝0、(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2, ∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2,解得a ＝2、(3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5, ∴f ′(2)＝1,又f (2)＝－2,∴曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2, 即x －y －4＝0、②设切点坐标为(x 0,x 30－4x 20＋5x 0－4),∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5,∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2),又切线过点(x 0,x 30－4x 20＋5x 0－4), ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2),整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0,解得x 0＝2或x 0＝1,∴经过A (2,－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0、 答案:(1)C (2)C 角度二:求切点坐标[典题4] (2015·陕西高考)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.[听前试做] y ′＝e x ,曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1,设P (m ,n ),y ＝1x (x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0),曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0),因为两切线垂直,所以k 1k 2＝－1,所以m ＝1,n ＝1,则点P 的坐标为(1,1).答案:(1,1)角度三:求参数的值[典题5] (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0,m )处有公切线,则a ＋b ＝( )A .－1 B.0 C .1 D.2(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a ＝________、(3)(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________、[听前试做] (1)∵两曲线的交点为(0,m ),∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝am ＝1即a ＝1,∴f (x )＝cos x ,∴f ′(x )＝－sin x , 则f ′(0)＝0,f (0)＝1、 又g ′(x )＝2x ＋b ,∴g ′(0)＝b , ∴b ＝0,∴a ＋b ＝1、 (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1,∴f ′(1)＝3a ＋1、又f (1)＝a ＋2, ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1).∵切线过点(2,7),∴7－(a ＋2)＝3a ＋1,解得a ＝1、 (3)法一:∵y ＝x ＋ln x ,∴y ′＝1＋1x ,y ′x ＝1＝2、∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1、∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0、 由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8、 法二:同法一得切线方程为y ＝2x －1、设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2),∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12a ＝8、答案:(1)C (2)1 (3)8(1)注意区分曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程就是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(如角度一)(2)已知斜率k ,求切点A (x 0,f (x 0)),即解方程f ′(x 0)＝k 、(如角度二)(3)①根据导数的几何意义求参数的值时,一般就是利用切点P (x 0,y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.②当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时,则切线恒过定点.(如角度三)———————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值;(f (x 0))′就是函数值f (x 0)的导数,而函数值f (x 0)就是一个常数,其导数一定为0,即(f (x 0))′＝0、2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.3.奇函数的导数就是偶函数,偶函数的导数就是奇函数,周期函数的导数还就是周期函数.[易错防范]1.曲线y ＝f (x )“在点P (x 0,y 0)处的切线”与“过点P (x 0,y 0)的切线”的区别:前者P (x 0,y 0)为切点,而后者P (x 0,y 0)不一定为切点.2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.3.直线与曲线公共点的个数不就是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定就是曲线的切线,同样,直线就是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.4.曲线未必在其切线的同侧,如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.[全盘巩固]一、选择题1.曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A .1 B.2 C.e D 、1e解析:选A 由题意知y ′＝e x ,故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1、 2.(2016·抚州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ,则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A .－3π2 B.－1π2 C.－3π D.－1π解析:选C ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x ),∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π、 3.设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π21处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行,则实数a 等于( )A .－1B 、12C.－2D.2解析:选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ,∴y ′x ＝π2＝－1,由条件知1a＝－1,∴a ＝－1、4.(2016·西安模拟)设直线y ＝12x ＋b 就是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线,则实数b 的值为( )A .ln 2－1 B.ln 2－2 C .2ln 2－1 D.2ln 2－2解析:选A 设切点坐标为(x 0,ln x 0),则1x 0＝12,即x 0＝2,∴切点坐标为(2,ln 2),又切点在直线y ＝12x ＋b 上,∴ln 2＝1＋b ,即b ＝ln 2－1、5.(2016·上饶模拟)若点P 就是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点,则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )A .1B 、 2C 、22D 、3 解析:选B 因为定义域为(0,＋∞),所以y ′＝2x －1x ＝1,解得x ＝1,则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0,所以两平行线间的距离为d ＝22＝2、 二、填空题6.已知函数f (x )＝x ln x ,若f ′(x 0)＝2,则x 0＝________、 解析:f ′(x )＝ln x ＋1,由f ′(x 0)＝2,即ln x 0＋1＝2,解得x 0＝e 、 答案:e7.若直线l 与幂函数y ＝x n 的图像相切于点A (2,8),则直线l 的方程为________. 解析:由题意知,A (2,8)在y ＝x n 上,∴2n ＝8,∴n ＝3,∴y ′＝3x 2,直线l 的斜率k ＝3×22＝12,又直线l 过点(2,8).∴y －8＝12(x －2),即直线l 的方程为12x －y －16＝0、答案:12x －y －16＝08.(2016·商洛模拟)在平面直角坐标系xOy 中,点M 在曲线C :y ＝x 3－x 上,且在第二象限内,已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2,则点M 的坐标为________.解析:∵y ′＝3x 2－1,曲线C 在点M 处的切线的斜率为2,∴3x 2－1＝2,x ＝±1,又∵点M 在第二象限,∴x ＝－1,∴y ＝(－1)3－(－1)＝0,∴M 点的坐标为(－1,0).答案:(－1,0) 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋x －16、(1)求曲线y ＝f (x )在点(2,－6)处的切线的方程;(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标.解:(1)可判定点(2,－6)在曲线y ＝f (x )上. ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1,∴f (x )在点(2,－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13、 ∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2), 即y ＝13x －32、 (2)设切点坐标为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1,y 0＝x 30＋x 0－16, ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16、 又∵直线l 过原点(0,0),∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16,整理得,x 30＝－8, ∴x 0＝－2,∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,得切点坐标(－2,－26),k ＝3×(－2)2＋1＝13、 ∴直线l 的方程为y ＝13x ,切点坐标为(－2,－26).10.设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1,函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2,已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直,求a ＋b 的值.解:对于C 1:y ＝x 2－2x ＋2,有y ′＝2x －2, 对于C 2:y ＝－x 2＋ax ＋b ,有y ′＝－2x ＋a , 设C 1与C 2的一个交点为(x 0,y 0),由题意知过交点(x 0,y 0)的两条切线互相垂直. ∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1, 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0,① 又点(x 0,y 0)在C 1与C 2上,故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0、② 由①②消去x 0,可得a ＋b ＝52、[冲击名校]1.下面四个图像中,有一个就是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图像,则f (－1)＝( )A 、13 B.－23 C 、73 D.－13或53解析:选D ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1,∴f ′(x )的图像开口向上,则②④排除.若f ′(x )的图像为①,此时a ＝0,f (－1)＝53;若f ′(x )的图像为③,此时a 2－1＝0,又对称轴x ＝－a ＞0,∴a＝－1,∴f (－1)＝－13、2.已知曲线C :f (x )＝x 3－ax ＋a ,若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则a 的值为( )A 、278 B.－2 C.2 D.－278解析:选A 设切点坐标为(t ,t 3－at ＋a ).由题意知,f ′(x )＝3x 2－a ,切线的斜率k ＝y ′x ＝t＝3t 2－a ①,所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②、将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t ),解得t ＝0或t ＝32、分别将t ＝0与t ＝32代入①式,得k ＝－a 与k ＝274－a ,由题意得它们互为相反数,故a ＝278、 3.函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图像关于直线2x －y －3＝0对称,P ,Q 分别就是函数f (x ),g (x )图像上的动点,则|PQ |的最小值为( )A 、55 B 、 5 C 、255D.25 解析:选D 因为f (x )与g (x )的图像关于直线2x －y －3＝0对称,所以当f (x )与g (x )在P ,Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时,|PQ |的长度最小.f ′(x )＝e x ＋2x ＋1,令e x ＋2x ＋1＝2,得x ＝0,此时P (0,2),且P 到2x －y －3＝0的距离为5,所以|PQ |min ＝25、4.若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围就是________.解析:由题意,可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ,又存在垂直于y 轴的切线,所以3ax 2＋1x ＝0,即a ＝－13x 3(x >0),故a ∈(－∞,0). 答案:(－∞,0)5.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C 、(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.解:(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3, 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1,即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围就是[－1,＋∞). (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,⎩⎨⎧k ≥－1－1k≥－1解得－1≤k ＜0或k ≥1,故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1,得x ∈(－∞,2－2]∪(1,3)∪[2＋2,＋∞).第二节 导数与函数的单调性、极值、最值考纲要求:1、了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数(1)极大值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数y＝f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.(2)极小值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值,称点x0为函数y＝f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.(3)极值:极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:一般地,如果在区间[a,b]上,函数y＝f(x)的图像就是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.(2)求函数y＝f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.[自我查验]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)f ′(x )>0就是f (x )为增函数的充要条件.( )(2)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图像就越“平缓”.( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( )(4)对可导函数f (x ),f ′(x 0)＝0就是x 0点为极值点的充要条件.( ) (5)函数的极大值一定就是函数的最大值.( ) (6)开区间上的单调连续函数无最值.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ 2.函数f (x )＝e x －x 的减区间为________. 答案:(－∞,0)3.已知f (x )＝x 3－ax 在[1,＋∞)上就是增函数,则a 的最大值就是________. 答案:34.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为________.答案:2835.函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值就是________. 解析:y ′＝6x 2－4x ,令y ′＝0,得x ＝0或x ＝23、∵f (－1)＝－4,f (0)＝0,f ⎝⎛⎭⎫23＝－827,f (2)＝8、 ∴最大值为8、 答案:8[典题1] 设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ,曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y ＝1、(1)求b ,c 的值;(2)求函数f (x )的单调区间;(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ,且g (x )在区间(－2,－1)内为单调递减函数,求实数a 的取值范围.[听前试做] (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1f ′(0)＝0即⎩⎨⎧c ＝1b ＝0、(2)由(1)得,f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a ).①当a ＝0时,f ′(x )＝x 2≥0恒成立,即函数f (x )在(－∞,＋∞)内为单调增函数. ②当a >0时,由f ′(x )>0得,x >a 或x <0;由f ′(x )<0得0<x <a 、 即函数f (x )的单调递增区间为(－∞,0),(a ,＋∞),单调递减区间为(0,a ). ③当a <0时,由f ′(x )>0得,x >0或x <a ;由f ′(x )<0得,a <x <0、 即函数f (x )的单调递增区间为(－∞,a ),(0,＋∞),单调递减区间为(a,0). (3)∵g ′(x )＝f ′(x )＋2＝x 2－ax ＋2,且g (x )在(－2,－1)内为减函数, ∴g ′(x )≤0,即x 2－ax ＋2≤0在(－2,－1)内恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(－2)≤0g ′(－1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤01＋a ＋2≤0解得a ≤－3,即实数a 的取值范围为(－∞,－3].[探究1] 在本例(3)中,若g (x )的单调减区间为(－2,－1),如何求解？ 解:∵g (x )的单调减区间为(－2,－1), ∴x 1＝－2,x 2＝－1就是g ′(x )＝0的两个根, ∴(－2)＋(－1)＝a ,即a ＝－3、[探究2] 在本例(3)中,若g (x )在区间(－2,－1)内存在单调递减区间,如何求解？ 解:g ′(x )＝x 2－ax ＋2, 依题意,存在x ∈(－2,－1),使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立, 即x ∈(－2,－1)时,a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22, 当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立.所以满足要求的a 的取值范围就是(－∞,－22).[探究3] 在本例(3)中,若g (x )在区间(－2,－1)内不单调,如何求解？ 解:∵g (x )在(－2,－1)内不单调,g ′(x )＝x 2－ax ＋2,∴g ′(－2)·g ′(－1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧－2<a2<－1Δ>0g ′(－2)>0g ′(－1)>0、由g ′(－2)·g ′(－1)<0,得(6＋2a )·(3＋a )<0,无解.由⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a2<－1Δ>0g ′(－2)>0g ′(－1)>0得⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <－2a 2－8>06＋2a >03＋a >0即⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <－2a >22或a <－22a >－3解得－3<a <－22,即实数a 的取值范围为(－3,－22).[探究4] 在本例(3)中,若函数g (x )在R 上为单调函数,如何求解？ 解:∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2,∴要使g (x )在R 上为单调函数,则g ′(x )≥0恒成立, ∴Δ＝a 2－8≤0,即a 2≤8, ∴－22≤a ≤22、即实数a 的取值范围为[－22,2 2 ]. [解题模板] 利用导数求函数单调区间的步骤特别提醒:若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“＝”不能省略,否则可能会漏解.函数的极值就是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,为中高档题,且主要有以下几个命题角度:角度一:求函数的极值[典题2] (2016·九江模拟)已知函数f (x )＝1＋ln xkx (k ≠0).求函数f (x )的极值.[听前试做] f (x )＝1＋ln xkx ,其定义域为(0,＋∞),则f ′(x )＝－ln xkx 2、令f ′(x )＝0,得x ＝1,当k >0时,若0<x <1,则f ′(x )>0; 若x >1,则f ′(x )<0,∴f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,即当x ＝1时,函数f (x )取得极大值1k 、当k <0时,若0<x <1, 则f ′(x )<0; 若x >1,则f ′(x )>0,∴f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,即当x ＝1时,函数f (x )取得极小值1k、[解题模板] 利用导数求函数极值的步骤角度二:已知极值求参数[典题3] (1)(2016·金华十校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围就是________.(2)(2016·上饶模拟)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ,若x ＝1就是f (x )的极大值点,则a 的取值范围为________.[听前试做] (1)f ′(x )＝(ln x －ax )＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a ＝ln x ＋1－2ax ,令f ′(x )＝0,得2a ＝ln x ＋1x 、设φ(x )＝ln x ＋1x ,则φ′(x )＝－ln xx 2,易知φ(x )在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,所以φ(x )max ＝φ(1)＝1,则φ(x )的大致图像如图所示,若函数f (x )有两个极值点,则直线y ＝2a 与y ＝φ(x )的图像有两个交点,所以0<2a <1,得0<a <12、(2)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1x －ax －b ,由f ′(1)＝0,得b ＝1－a 、∴f ′(x )＝1x －ax＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －xx 、①若a ≥0,当0<x <1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x >1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,所以x ＝1就是f (x )的极大值点.②若a <0,由f ′(x )＝0,得x ＝1或x ＝－1a 、因为x ＝1就是f (x )的极大值点,所以－1a>1,解得－1<a <0、综合①②得a 的取值范围就是a >－1、答案:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫012 (2)(－1,＋∞)(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件就是f ′(x 0)＝0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同.(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不就是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.[典题4] (2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性;(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a －2时,求a 的取值范围.[听前试做] (1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1x－a 、若a ≤0,则f ′(x )>0,所以f (x )在(0,＋∞)上单调递增.若a >0,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫01a 时,f ′(x )>0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋∞时,f ′(x )<0、所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫01a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋∞上单调递减.(2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,＋∞)上无最大值;当a >0时,f (x )在x ＝1a处取得最大值,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1、 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0、令g (a )＝ln a ＋a －1,则g (a )在(0,＋∞)上单调递增,g (1)＝0、于就是,当0<a <1时,g (a )<0;当a >1时,g (a )>0、因此,a 的取值范围就是(0,1).[解题模板] 利用导数求函数最值的步骤已知函数f (x )＝(x －k )e x 、 (1)求f (x )的单调区间;(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值. 解:(1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x 、令f′(x)＝0,得x＝k－1、f(x)与f′(x)的情况如下:x (－∞,k－1)k－1(k－1,＋∞)f′(x)－0＋f(x)－e k－1所以,f(x)的单调递减区间就是(－∞,k－1);单调递增区间就是(k－1,＋∞).(2)当k－1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k;当0<k－1<1,即1<k<2时,f(x)在[0,k－1]上单调递减,在[k－1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1;当k－1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e、综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k;当1<k<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1;当k≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e、———————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况,直观而且条理,减少失分.2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小.3.若函数f(x)的图像连续不断,则f(x)在[a,b]内一定有最值.4.若函数f(x)在[a,b]内就是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.5.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定就是函数的最值点.[易错防范]1.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就就是最值点,要通过认真比较才能下结论.2.解题时要注意区分求单调性与已知单调性的问题,处理好f′(x)＝0时的情况;区分极值点与导数为0的点.[全盘巩固]一、选择题1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示,则f (x )的图像可能就是( )解析:选D 当x <0时,由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0,知相应的函数f (x )在该区间内单调递减;当x >0时,由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可知,导函数在区间(0,x 1)内的值就是大于0的,则在此区间内函数f (x )单调递增.2.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A .(0,1) B.(0,＋∞) C .(1,＋∞) D.(0,2)解析:选A 对于函数y ＝12x 2－ln x ,易得其定义域为{x |x >0},y ′＝x －1x ＝x 2－1x ,令x 2－1x<0,又x >0,所以x 2－1<0,解得0<x <1,即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1).3.(2016·汉中模拟)已知函数f (x )＝(2x －x 2)e x ,则( ) A .f (2)就是f (x )的极大值也就是最大值 B .f (2)就是f (x )的极大值但不就是最大值 C .f (－2)就是f (x )的极小值也就是最小值 D .f (x )没有最大值也没有最小值解析:选A 由题意得f ′(x )＝(2－2x )e x ＋(2x －x 2)e x ＝(2－x 2)e x ,当－2<x <2时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增;当x <－2或x >2时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,所以f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝2(2－1)e2>0,在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝2(－2－1)e－2<0,又当x <0时,f (x )＝(2x －x 2)e x <0,所以f (2)就是f (x )的极大值也就是最大值.4.函数f (x )＝ln x －x 在区间(0,e ]上的最大值为( ) A .1－e B.－1 C.－e D.0解析:选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x ,当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,e ]时,f ′(x )<0,所以f (x )的单调递增区间就是(0,1),单调递减区间就是(1,e ],所以当x ＝1时,f (x )取得最大值ln 1－1＝－1、5.已知函数f (x )＝x ＋1ax 在(－∞,－1)上单调递增,则实数a 的取值范围就是( )A .[1,＋∞) B.(－∞,0)∪(0,1] C .(0,1] D.(－∞,0)∪[1,＋∞)解析:选D 函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax 2,由于f (x )在(－∞,－1)上单调递增,则f ′(x )≥0在(－∞,－1)上恒成立,即1a ≤x 2在(－∞,－1)上恒成立.由于当x <－1时,x 2>1,则有1a≤1,解得a ≥1或a <0、 二、填空题6.(2016·上饶模拟)f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点,则a 的取值范围就是________. 解析:由f ′(x )＝3x 2－3>0,解得单调递增区间为(－∞,－1),(1,＋∞),f ′(x )<0得单调递减区间为(－1,1).要有3个不同零点需满足⎩⎨⎧f (1)<0f (－1)>0解得a ∈(－2,2).答案:(－2,2)7.若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1,k ＋1)上不就是单调函数,则实数k 的取值范围就是________.解析:因为y ′＝3x 2－12,由y ′>0,得函数的增区间就是(－∞,－2)及(2,＋∞),由y ′<0,得函数的减区间就是(－2,2),由于函数在(k －1,k ＋1)上不就是单调函数,所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1,解得－3<k <－1或1<k <3、答案:(－3,－1)∪(1,3)8.已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 2 0142 014＋x 2 0152 015,若函数f (x )的零点均在[a ,b ](a <b ,a ,b ∈Z )内,则b －a 的最小值就是________.解析:f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 014＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2 0151＋xx ≠－12 014x ＝－1当x >－1时,f ′(x )>0,当x <－1时,f ′(x )>0,所以f (x )单调递增,而f (0)＝1,f (－1)<0,所以f (x )存在唯一零点x 0∈(－1,0),当a ＝－1,b ＝0时,b －a 取得最小值1、答案:1 三、解答题9.已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ,a >0、讨论f (x )的单调性.解:由题意知,f (x )的定义域就是(0,＋∞),导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2、设g (x )＝x 2－ax ＋2,二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8、 ①当Δ<0,即0<a <22时,对一切x >0都有f ′(x )>0、 此时f (x )就是(0,＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0,即a ＝2 2 时,仅对x ＝2有f ′(x )＝0,对其余的x >0都有f ′(x )>0、此时f (x )就是(0,＋∞)上的单调递增函数.③当Δ>0,即a >22时,方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82,x 2＝a ＋a 2－82,0<x 1<x 2、 所以f (x ),f ′(x )随x 的变化情况如下表:f (x )极大值极小值此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 2－82上单调递增,在a －a 2－82,a ＋a 2－82上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋a 2－82＋∞上单调递增. 10.(2016·衡阳模拟)已知函数f (x )＝x －1x －a ln x 、(1)若f (x )无极值点,求a 的取值范围;(2)设g (x )＝x ＋1x －(ln x )a ,当a 取(1)中的最大值时,求g (x )的最小值.解:(1)由题意f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2、由于f (x )无极值点,故x 2－ax ＋1≥0在(0,＋∞)上恒成立,即a ≤x ＋1x ,x ∈(0,＋∞)恒成立,又x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号),即⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2,所以a ≤2、即a 的取值范围为(－∞,2]. (2)当a ＝2时,g (x )＝x ＋1x －(ln x )2,g ′(x )＝1－1x 2－2ln x ·1x ＝x 2－2x ln x －1x 2、设k (x )＝x 2－2x ln x －1、k ′(x )＝2x －2ln x －2＝2(x －1－ln x ), 下面证明ln x ≤x －1、设m (x )＝ln x －x ＋1,m ′(x )＝1x －1＝1－x x ,x ∈(0,1)时,m ′(x )>0,m (x )单调递增, x ∈(1,＋∞)时,m ′(x )<0,m (x )单调递减, ∴m (x )≤m (1)＝0,即ln x ≤x －1、∴k ′(x )≥0,故k (x )在(0,＋∞)上单调递增,又k (1)＝0,所以x ∈(0,1)时,k (x )<0,g ′(x )<0,g (x )单调递减, x ∈(1,＋∞)时,k (x )>0,g ′(x )>0,g (x )单调递增, ∴g (x )≥g (1)＝2,故g (x )的最小值为2、[冲击名校]1.(2016·渭南模拟)设f (x )在定义域内可导,其图像如右图所示,则导函数f ′(x )的图像可能就是( )解析:选B 由f (x )的图像可知,当x <0时,就是减函数,f ′(x )<0,排除C 、D 两项,当x >0时,函数的单调性就是先减后增再减.∴当x →∞时,f ′(x )<0,故选B 、2.已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x ),当x ≠0时,f ′(x )＋f (x )x >0,若a＝12f ⎝⎛⎭⎫12,b ＝－2f (－2),c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎫ln 12,则a ,b ,c 的大小关系正确的就是( ) A .a <c <b B.b <c <a C .a <b <c D.c <a <b解析:选A 构造函数h (x )＝xf (x ),∴h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x ),∵y ＝f (x )就是定义在实数集R 上的奇函数,∴h (x )就是定义在实数集R 上的偶函数,当x >0时,h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )>0,此时函数h (x )单调递增.∵a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12＝h ⎝⎛⎭⎫12,b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2),c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12·f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝h ⎝⎛⎭⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2),又2>ln 2>12,∴b >c >a 、3.若不等式2y 2－x 2≥c (x 2－xy )对任意满足x >y >0的实数x ,y 恒成立,则实数c 的最大值为________.解析:由x >y >0,2y 2－x 2≥c (x 2－xy )得c ≤2y 2－x 2x 2－xy ,即c ≤2－x 2y 2x 2y 2－x y 、设t ＝x y ,则t >1,令g (t )＝2－t 2t 2－t ＝－t 2＋t ＋2－t t 2－t ＝－1＋2－tt 2－t,g ′(t )＝－(t 2－t )－(2t －1)(2－t )(t 2－t )2＝t 2－4t ＋2(t 2－t )2,当1<t <2＋2时,g ′(t )<0,当t >2＋2时,g ′(t )>0,所以g (t )min ＝g (2＋2)＝22－4、则c ≤22－4,即实数c 的最大值为22－4、答案:22－44.(2016·烟台模拟)已知函数f (x )＝a x －2x (a >0,且a ≠1). (1)当a ＝2时,求曲线f (x )在点P (2,f (2))处的切线方程; (2)若f (x )的值恒非负,试求a 的取值范围; (3)若函数f (x )存在极小值g (a ),求g (a )的最大值. 解:(1)当a ＝2时,f (x )＝2x －2x ,所以f ′(x )＝2x ln 2－2,所以f ′(2)＝4ln 2－2, 又f (2)＝0,所以所求切线方程为y ＝(4ln 2－2)(x －2). (2)当x ≤0时,f (x )≥0恒成立; 当x >0时,若0<a <1,则x >1时, f (x )<1－2<0,与题意矛盾,故a >1、 由f (x )≥0知a x ≥2x ,所以x ln a ≥ln(2x ), 所以ln a ≥ln (2x )x、令g (x )＝ln (2x )x ,则g ′(x )＝12x ×2×x －ln (2x )x 2＝1－ln (2x )x 2,令g ′(x )＝0,则x ＝e2,且0<x <e 2时,g ′(x )>0,x >e2时,g ′(x )<0,则g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫e 2＝ln e e 2＝2e ,所以ln a ≥2e ,a ≥e 2e ,即a 的取值范围为[e 2e ,＋∞).(3)f ′(x )＝a x ln a －2,①当0<a <1时,a x >0,ln a <0,则f ′(x )<0, 所以f (x )在R 上为减函数,f (x )无极小值. ②当a >1时,设方程f ′(x )＝0的根为t ,得a t ＝2ln a, 即t ＝log a 2ln a ＝ln2ln a ln a,所以f (x )在(－∞,t )上为减函数,在(t ,＋∞)上为增函数,所以f (x )的极小值为f (t )＝a t －2t ＝2ln a －2ln 2ln a ln a, 即g (a )＝2ln a －2ln 2ln a ln a ,又a >1,所以2ln a>0、设h (x )＝x －x ln x ,x >0,则h ′(x )＝1－ln x －x ·1x ＝－ln x ,令h ′(x )＝0,得x ＝1,所以h (x )在(0,1)上为增函数,在(1,＋∞)上为减函数, 所以h (x )的最大值为h (1)＝1, 即g (a )的最大值为1,此时a ＝e 2、第三节 导数的综合应用[典题1] (2015·北京高考)设函数f (x )＝x 22－k ln x ,k >0、(1)求f (x )的单调区间与极值;(2)证明:若f (x )存在零点,则f (x )在区间(1, e ]上仅有一个零点. [听前试做] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k >0),得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx 、由f ′(x )＝0,解得x ＝k (负值舍去). f (x )与f ′(x )在区间(0,＋∞)上的情况如下:x (0,k ) k (k ,＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )k (1－ln k )2所以,f (x )的单调递减区间就是(0,k ),单调递增区间就是(k ,＋∞). f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2、 (2)证明:由(1)知,f (x )在区间(0,＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2、 因为f (x )存在零点,所以k (1－ln k )2≤0,从而k ≥e 、当k ＝e 时,f (x )在区间(1,e)上单调递减,且f (e)＝0, 所以x ＝e 就是f (x )在区间(1, e ]上的唯一零点.当k >e 时,f (x )在区间(1, e ]上单调递减,且f (1)＝12>0,f (e)＝e －k 2<0,所以f (x )在区间(1, e ]上仅有一个零点.综上可知,若f (x )存在零点,则f (x )在区间(1, e ]上仅有一个零点.用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图像的交点问题,利用数形结合来解决.(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝12x 2,g (x )＝a ln x (a >0).(1)求函数F (x )＝f (x )·g (x )的极值;(2)若函数G (x )＝f (x )－g (x )＋(a －1)x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e e 内有两个零点,求实数a 的取值范围.解:(1)由题意知,F (x )＝f (x )·g (x )＝12ax 2ln x ,F ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝12ax (2ln x ＋1),由F ′(x )>0得x >e －12,由F ′(x )<0得0<x <e －12,故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0e －12上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e －12＋∞上单调递增,所以x ＝e －12为F (x )的极小值点,F (x )极小值＝F (e －12)＝－a4e,无极大值.(2)G (x )＝12x 2－a ln x ＋(a －1)x ,G ′(x )＝x －ax ＋a －1＝(x ＋a )(x －1)x ,由G ′(x )＝0,得x ＝1或x ＝－a (舍去), 当x ∈(0,1)时,G ′(x )<0,G (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,G ′(x )>0,G (x )单调递增,要使G (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e e 内有两个零点,需满足⎩⎪⎨⎪⎧G ⎝⎛⎭⎫1e >0G (1)<0G (e )>0即⎩⎪⎨⎪⎧ 12e 2＋a －1e＋a >012＋a －1<0e 22＋(a －1)e －a >0即⎩⎪⎨⎪⎧a >2e －12e 2＋2ea <12a >2e －e 22e －2、下面比较2e －12e 2＋2e 与2e －e 22e －2的大小.由于2e －12e 2＋2e －2e －e 22e －2＝2e 4－2e 3－6e ＋2(2e 2＋2e )(2e －2)＝2e [e 2(e －1)－3]＋2(2e 2＋2e )(2e －2)>0,故2e －12e 2＋2e >2e －e 22e －2,故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －12e 2＋2e 12、导数在不等式中的应用问题就是每年高考的必考内容,多以解答题的形式考查,难度较大,属中高档题,且主要有以下几个命题角度:角度一:证明不等式[典题2] (2016·日照模拟)已知函数f (x )＝ax ＋bx 2＋1在点(－1,f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0、(1)求函数f (x )的解析式;(2)设g (x )＝ln x ,求证:g (x )≥f (x )在[1,＋∞)上恒成立; (3)若0<a <b ,求证:ln b －ln a b －a >2aa 2＋b 2、[听前试做] (1)将x ＝－1代入切线方程得y ＝－2,所以f (－1)＝b －a1＋1＝－2,化简得b －a＝－4、 ①f ′(x )＝a (x 2＋1)－(ax ＋b )·2x (x 2＋1)2,f ′(－1)＝2a ＋2(b －a )4＝2b 4＝b2＝－1、 ②联立①②,解得a ＝2,b ＝－2、所以f (x )＝2x －2x 2＋1、(2)证明:由题意知要证ln x ≥2x －2x 2＋1在[1,＋∞)上恒成立, 即证明(x 2＋1)ln x ≥2x －2,x 2ln x ＋ln x －2x ＋2≥0在[1,＋∞)上恒成立. 设h (x )＝x 2ln x ＋ln x －2x ＋2,则h ′(x )＝2x ln x ＋x ＋1x－2,因为x ≥1,所以2x ln x ≥0,x ＋1x≥2x ·1x≥2(当且仅当x ＝1时等号成立),即h ′(x )≥0, 所以h (x )在[1,＋∞)上单调递增,h (x )≥h (1)＝0, 所以g (x )≥f (x )在[1,＋∞)上恒成立.(3)证明:因为0<a <b ,所以b a >1,由(2)知ln b a >2·b a －2⎝⎛⎭⎫b a 2＋1,整理得ln b －ln a b －a >2aa 2＋b2,所以当0<a <b 时,ln b －ln a b －a >2aa 2＋b 2、若证明f (x )＜g (x ),x ∈(a ,b ),可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x ),如果F ′(x )＜0,则F (x )在(a ,b )上就是减函数,同时若F (a )≤0,由减函数的定义可知,x ∈(a ,b )时,有F (x )＜0,即证明了f (x )＜g (x ).角度二:由不等式恒成立求参数的范围[典题3] (1)(2016·西宁模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ,g (x )＝x e x 、 ①求f (x )－g (x )的极值;②当x ∈(－2,0)时,f (x )＋1≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围. (2)已知f (x )＝x ln x ,g (x )＝－x 2＋ax －3、 ①求函数f (x )在[t ,t ＋2](t >0)上的最小值;②对一切x ∈(0,＋∞),2f (x )≥g (x )恒成立,求实数a 的取值范围; ③证明:对一切x ∈(0,＋∞),都有ln x >1e x －2e x 成立.[听前试做] (1)①令h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2＋2x －x e x , 则h ′(x )＝(x ＋1)(2－e x ), 令h ′(x )＝0,解得x ＝－1或x ＝ln 2、当x 变化时,h ′(x )与h (x )的变化情况如下表: x (－∞,－1)－1 (－1,ln 2)ln 2 (ln 2,＋∞)h ′(x )－＋－h (x )极小值极大值∴h (x )极小值＝h (－1)＝1e －1,h (x )极大值＝h (ln 2)＝ln 22,即f (x )－g (x )的极小值为1e －1,极大值为ln 2 2、②由题意知,当x ∈(－2,0)时,x 2＋2x ＋1≥ax e x 恒成立,即a ≥x 2＋2x ＋1x e x恒成立.令t (x )＝x 2＋2x ＋1x e x,则t ′(x )＝－(x 2＋1)(x ＋1)x 2e x,∴当x ∈(－2,－1)时,t ′(x )>0,t (x )单调递增; 当x ∈(－1,0)时,t ′(x )<0,t (x )单调递减. 故当x ∈(－2,0)时,t (x )max ＝t (－1)＝0、 ∴a ≥0、故a 的取值范围就是[0,＋∞).(2)①由f (x )＝x ln x ,x >0,得f ′(x )＝ln x ＋1,令f ′(x )＝0,得x ＝1e、当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫01e 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＋∞时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.1°、当0<t <1e <t ＋2,即0<t <1e 时,f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e; 2°、当1e ≤t <t ＋2,即t ≥1e时,f (x )在[t ,t ＋2]上单调递增,f (x )min ＝f (t )＝t ln t 、所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e0<t <1et ln t t ≥1e、②由2f (x )≥g (x )恒成立,x >0,得2x ln x ≥－x 2＋ax －3,则a ≤2ln x ＋x ＋3x ,设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0),。