导数及其应用

第一节 变化率与导数、导数的计算

考纲要求:1、了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义.

3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1

x

的导数.

4.能利用基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.

1.导数的概念

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

设函数y ＝f (x ),当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从f (x 0)变到f (x 1),函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 0

＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx 、

当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数.通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0

f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0

＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx 、 (2)导数的几何意义

函数y ＝f (x )在x 0处的导数,就是曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.

(3)函数的导函数

一般地,如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x ):f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

,则f ′(x )就是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导

数.

2.导数公式及运算法则 (1)导数公式表

(2)导数的运算法则

①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ); ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ); ③⎣⎡

⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )

[g (x )]2

(g (x )≠0). (3)复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.

[自我查验]

1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( )

(2)f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π

3

、( )

(5)若(ln x )′＝1

x

,

则⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x .( ) (6)函数f (x )＝sin (－x )的导数为f ′(x )＝cos x .( ) (7)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ,u ＝3x 复合而成.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2.曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程就是( ) A .x －3y ＋3＝0 B.x －2y ＋2＝0 C .2x －y ＋1＝0 D.3x －y ＋1＝0 解析:选C ∵y ＝sin x ＋e x ,∴y ′＝cos x ＋e x , ∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2,

∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0),即2x －y ＋1＝0、故选C 、 3.求下列函数的导数: (1)y ＝x n e x

;(2)y ＝x 3－1sin x

、

答案:(1)y ′＝e x (nx n －

1＋x n ). (2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x

sin 2x

、

[典题1] 求下列函数的导数: (1)y ＝(1－x )⎝

⎛⎭

⎫1＋

1x ; (2)y ＝ln x x ;

(3)y ＝tan x ; (4)y ＝3x e x －2x ＋e; (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1

、

[听前试做] (1)∵y ＝(1－x )⎝

⎛⎭⎫1＋

1x ＝1x

－x ＝x －12－x 12,

∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －1

2

、

(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1

x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2

、

(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫

sin x

cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′

cos 2x

＝

cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1

cos 2x

、 (4)y ′＝

(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2、

(5)y ′＝(ln (2x ＋3))′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′

(x 2＋1)2

＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2

＋1)－2x ln (2x ＋3)

(x 2＋1)2

＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2、

导数的运算方法

(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.

(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. (3)对数形式:先化为与、差的形式,再求导. (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.

(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为与或差的形式,再求导. (6)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导.

[典题2] (1)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3,则a 的值为________.

(2)已知f (x )＝1

2

x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ,则f ′(2 016)＝________、

[听前试做] (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1

x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3,所以a ＝3、

(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016

x

,