点差法

“秒杀”高考综合题系列之(一)——

点差法在解析几何综合题中的应

到高三的同学都知道，浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综合题，一般多是椭圆和抛物线，按照命题的规律和趋势，我们发现以下两点：（1）理科数学在此章节一般考察椭圆，文科数学一般考察抛物线；（2）考察的题型一般是直线与解析几何的位置关系。诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。

上过从老师高考班的同学应该记得，在解决解析几何图形与直线相切这个位置关系的题型的时候，“抄一个，代一个”这六个字可以帮助大家快速提升做题速度。如果大家要用判别式、位置关系等通法解决此类问题时，耗费5~10分钟不说，5~10分钟的计算量还不一定能保证结果正确。但诸位如果知道“抄一个，代一个”，一旦看到直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等相切问题时，应做到能在10秒钟以内准确地写出切线的方程。

当然，直线与上面图形的位置关系除了相切以外，另外一种更常考的位置是相交。在相交的题型中，一旦看到“弦长”或者“面积”等关键词时，应立即想到“设直线、代曲线、根与系数搞定一切”（弦长公式）。相信大家对这种题型应该有较深的体会了。

今天我在这里要跟大家探讨的是：题目中出现“直线与椭圆交于两点A、B”（即AB是椭圆内的一条弦）、“AB中点M”等关键词时的解题方法。“点差法”精髓在于“设而不求”，通过点差法有个重要的结论要求大家记住。

设椭圆方程为，任意一条直线交椭圆于，两点，则

两式相减得到，移向整理后得到：

即：（M为AB中点）

同样的道理，对于长轴在y轴上的椭圆，结论为. 也就是说：椭圆内任意弦AB所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积

为一个常数。

【再拓展】当A、B两点离的非常近时，可以将这个结论看做：过椭圆上某点P有一条切线，

则

请看2009年浙江高考第21题

已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

也许很多同学都看过所谓“标准答案”给我们的解题过程，设出直线方程后代入，经过两次判别式来确定h的取值范围。这也是很多参考书上给出的参考解题思路。不过按照此种通法解题思路，计算量和整理的工作至少需要7~10多分钟。

第一问很简单，结果为：

按照我们上面讲到的“点差法”，在第二问中一旦看到“弦”、“中点”等关键词，就应立即想到：（T为MN中点）

首先想到MN的斜率即是点P处的切线斜率，设点P横坐标为，则点P纵坐标为

根据导函数可得：

MN中点T的横坐标即PA中点横坐标，

根据“抄一个，代一个”的技巧，很容易直接就得到过点P切线直线方程

，将的值代入直线方程，得：所以

于是，整理，得：，显然这是一个基本不等式，非常容易就得到或者

很显然，对于，此时的抛物线内部包含了椭圆，切线与椭圆没有交点，排除掉；

所以。的最小值为1。

【总结一下】注意题目中出现的“弦”、“中点”等关键词，利用点差法推导出来的这个结论，不仅可以提供解决题目的思路，很顺畅地进行“需要什么就写什么”数学解题，而且可以大大减少运算量，提高速度和正确率。

对于抛物线，利用点差法也可以有类似的结论，由于篇幅关系，不再赘述。

【课外练习】利用常规方法解决下面问题，再用上面的小结论分析解决一次。比较一下两种方法所需的时间。

【练习I】如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点

的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=。（I）求椭圆方程；（II）设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AF T。【解答提示】如果利用常规解法，第一问需要5-10的时间，我们可以将这个结论

扩充到直线与椭圆相切的模型，利用该结论很快得到OT直线的斜率，进而得到点T的坐标，问题得解。在第一小问解决后，根据相似或者余弦定理都可得证第二小问。

【练习II】已知，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点

在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围。

【解答提示】重心是三角形中线的交点，出现“中点”，同时，注意在“圆内”这个词，我会跟同学强调，看到“圆内”这个词，有两个角度可以考虑：第一，圆心到该点的距离小于半径，这个思路最直观，但在此题中，这个方法比较繁琐；第二，说明该点和直径两端点所成的夹角大于90°，可考虑使用向量，向量点积小于0即可。

【练习III】（湖北省八校高2008第二次联考）已知A,B是抛物线（P>0）上的两个动点，为坐标原点，非零向量,满足。

（Ⅰ）求证：直线经过一定点；

（Ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值。

【解答提示】从老师强调，看到，立即想到，则立即想到老师讲的一个结论——直线AB通过一个定点；第一问的证明即证出。第二问出现“中点”，即可考虑点差法。

【练习IV】（温州市2010届高三第一次适用性测试）已知为椭圆:

短轴的两个端点，为椭圆的一个焦点，为正三角形，

（I）求椭圆的方程；（II）设点P在抛物线:上，在点P处的切线与椭圆交于A、C两点，若点P是线段AC的中点，求AC的直线方程。

【解答提示】第一问对一般学生来说，不是问题；可求出椭圆的方程。在第二问中又出现“弦”（其实就是线段AC）、“中点”，想想老师讲的结论。

【练习V】（2010）嘉兴市高三教学测试

【练习VI】（2010金华十校）

已知抛物线

（1）设是C1的任意两条互相垂直的切线，并设，证明：点M的纵坐标为定值；

（2）在C1上是否存在点P，使得C1在点P处切线与C2相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C1的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。