第七章 海浪

第七章海浪
第五节海浪的统计特性与海浪谱
理论波动可以解释自然界中比较简单的理想规则波动，实际海洋中的海浪并不那样具有规律性，而是具有很大的随机性，海浪可视为一个随机过程。

海浪可视为无数随机正弦波动的叠加，且位相也是随机的。

各正弦波有各自的振幅和频率，其关系未被讨论。

实际观测表明，频率很小和很大的海浪波高都不大，波高显著部分的频率则介于某个范围内。

1、随机海浪过程的平稳性和各态历经性
某随机过程的数学期望为常值，协方差只是与时间间隔有关，即：
则该随机过程为平稳随机过程。

平稳随机过程的特点：过程的统计特征不随时间变化。

如果当时，该平稳过程具有各态历经性。

平稳随机过程各态历经性的特点：一个样本（一次现实）可代替总体。

实际海浪可视为无数正弦波动的叠加。

在较短的时间内，海浪过程为准平稳过程，同时具有各态历经性。

2、波剖面的分布
对于随机变量X，最常见的一种概率分布为正态分布
实际海浪可视为具有各态历经性的平稳随机过程；同时将海浪视为无数位相不同振幅不等的正弦波的叠加。

固定点处波面高度可写成：
每个随机波面的期望值和方差为：
合成波面的期望值和方差为：
由于简单波动的振幅无限小，各组成正弦波动相互独立，且数目极大，则根据李亚普诺夫定理，波面
的概率分布为正态分布。

经实测资料验证，波剖面服从正态分布，可近似认为实际海浪是由无数随机的正弦波动叠加而成。

海浪的内部结构
海区测得的波面高度的概
率分布（Kinsman，1965）
实验测得的波面高度的概率分布（Jacobson和Colonell，1972）
3、波高的分布
从外观上直接描述波面，固定点的波剖面可写成：
和为实随机函数，分别代表波的包络线和位相函数。

振幅a的概率分布为：
波高H=2a，平均波高，均方根波高
波高的概率分布遵从瑞利分布。

4、各种波高之间的关系
海浪波高是随机出现的，其统计性质可由概率分布描述。

实际应用中，常根据使用的目的，采用具
有某种代表意义的特征波高（平均波高、均方根波高、最大波高等）。

各种波高之间存在一定关系。

平均波高：（反映海面波高的平均状态）
均方根波高：（反映海浪的平均能量）
累积率波高：（在港口工程计算中，该波高反映某种给定波高值出现的可能性）
部分大波平均波高：（在航行、港口设计中，该波高反映海浪的显著部分）
的值可由振幅比所列值乘以得到。

最大波高：（实际应用中非常重要，为随机量，表示最大波高的最可能值）
经观测资料验证，上述各波高之间的关系成立。

5、周期和波长的分布
半经验半理论的波长概率密度为瑞利分布：
为平均波长。

利用深水中波长和周期的关系，得出周期的概率分布为：
其中。

6、能谱和方向谱的概念
（1）能谱
固定点观测到的实际海浪的波剖面可写成：
数学期望值和方差为每个组成波的期望和方差之和：
上式有两层意思：①每个组成正弦波的方差同其波动的平均能量成正比。

②合成波动的组成方差依频率分布，有的频率对应的方差大，有的对应的方差小，方差的大小取决于频率所对应的波动振幅。

如
果频率近似连续分布，频率区间总对应一个组成方差的部分和，令：
即为能谱，表征频率区间内所有正弦波动能量之和的平均值的大小。

当组成的正弦波很多时，合成波动方差和能谱的关系为：
波剖面的协方差为：
（海浪能谱的基本表达式）
能谱描述了不同频率波动所对应的能量分布情形，描述了海浪的内部结构。

Pierson建立的海浪谱模型同能谱相似，为。

（2）方向谱
能谱为由频率表示的一维谱，仅能描述固定地点海浪内部平均能量相对于频率的分布。

方向谱则能反映海浪内部平均能量相对于方向的的结构，为二维谱。

设xy平面上，用沿着与x轴成角的方向传播的正弦波动叠加表示合成波动：
令：
反映了频率介于，方向介于之间所有正弦波能量之和的平均值。

他们反映了海浪内部的方向结构，称之为方向谱和二维谱。

7、谱的具体形式
（1）Neumann谱
根据能谱的示意图，通过观测资料的分析和理论推导，Neumann于1952年得到了半经验半理论的Neumann谱：
（适用于充分成长的海浪）
其中U为距海面7.5m高度处的风速。

三种不同风速下的Neumann谱
Neumann谱的一般特性：
①谱的显著部分集中在一窄的频带内。

②随着风速的增大，谱线下面的面积和显著部分的频率范围都变大。

（峰频）
③随着风速的增大，谱峰的频率变小，谱的显著部分向低频方向移动。

（2）PM谱
Pierson和Moscowitz于1964年，根据大量的观测资料得到了PM谱：
（适用于充分成长的海浪）
其中U为距海面19.5m高度处的风速。

PM谱与Neumann谱的比较（Pierson，1964）
PM谱的一般特性：
①与Neumann谱相比，两者比较接近。

②风速相同，低风速时：Neumann谱的峰值<PM谱的峰值，高风速时：Neumann谱的峰值>PM谱的峰值。

（3）JONSWAP谱
“联合北海波浪计划”于1968年根据该计划的观测资料得到了海浪谱：
（只适用于深水海浪）其中为峰频，，x为风区，U为10m高处风速。

JONSWAP谱相对于风区的成长（Hasselmann等，1973）
JONSWAP谱的一般特性：
谱峰随风速和风区而变，随着风速的增大，谱频向低频推移；大风区的峰频低与小风区的峰频。

8、海浪能谱的估计
谱估计不仅是获得经验海浪谱的有效手段，而且是检验理论谱和经验谱的重要手段。

海浪谱可以由协方差求得：
海浪为具有各态历经性的平稳正态随机过程，协方差可由一个样本（一次现实）求得：
其中T为记录时间长度。

以取样间隔记录波剖面，得序列：
其中，协方差的近似表达式为：
式中。

海浪能谱可写成：
谱估计需要注意的几个问题
（1）取样间隔要适当小，以避免将高频振动误认为低频振动。

（2）波面记录长度T一般取10-20min，至多30min。

（3）延时最大值，一般取。

（4）估计谱需要加权平滑，小p对应的方差权重大一些。

（5）估计谱的可靠性问题，根据其概率分布用置信区间表示。

9、海浪谱在海浪要素计算中的应用
波高的计算
根据海浪平均振幅与均方差之间的关系，可得平均波高。

其中波能量E由海浪谱公式确定，即：
均方差波高、累积率波高及部分大波平均波高可以根据其与平均波高的关系得到。

周期的计算
平均周期可以用相邻两个峰之间的时间间隔平均得到，也可以由相邻上跨零点时间间隔定义，也可以根据海浪谱来确定平均周期：
Neumann谱代入后得：
海浪记录曲线
波长的计算
对谱贡献大的组成波是沿风的方向传播的。

设沿风向取一铅直平面，某一固定时刻该平面上的波剖面，相邻上跨点间的距离定义为波长，则平均波长为：
其中为组成波的波数沿X轴的分量。