八年级数学上册知识点总汇第十四章__一次函数

第十四章一次函数

14.1 变量与函数

1、变量与常量的意义

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）。数值始终不变的量为常量。

友情提醒：在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）。

例1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？

1、在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度L（单位：cm）？

2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；

3、某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.

4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.

2、函数的概念

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

注意：1、对函数概念的理解，主要应该抓住以下三点：⑴有两个变量；⑵一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；⑶自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应。2、函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。3、自身先改变的是自变量,随之而变的是函数。

例1、判断下列变量之间是不是函数关系：

（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高。

例2、一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。

（1）写出表示y与x的函数关系式。（2）指出自变量x的取值范围。（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

解：（1）y=50-0.1x （2）0≤x≤500 （3）x=200, y=30

3、函数的表示方法

函数的表示方法为解析法、列表法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。

①解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，该等式简称解析式

优点：函数关系清楚，容易由自变量的值，求出对应的函数值（反之也可），便于利用解析式来研究函数的性质。

②列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。如：银行的利息表，三角函数表，平方根表。

优点：不用计算，就可求出函数值。

③图像法：用图像表示两变量之间的关系如：医务室的身高图，气象台的气温变化图。我国人口出生率变化的曲线图。

优点：形象直观地表示出函数的变化情况。

例1一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.

①由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；

②据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？

解：（1）y=0.05t+10 (0≤t≤7)

（2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35

预计2小时后水位将达到10.35米。

4、函数图象的意义

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。

例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小名离家的距离。

根据图象回答问题：

⑴菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；⑵小明给菜地浇水用了多少时间？⑶菜地离玉米地多远？

小明从菜地到玉米地用了多少时间？⑷小明给玉米锄草用了多少时间？⑸玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？

5、画函数图像的一般步骤

1、列表:

2、描点:

3、连线:。

6、函数自变量的取值范围：【三招确定“函数自变量取值范围”】

一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方法:

第一招: 必须使含自变量的代数式有意义.

⑴解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.

例如:指出下列各函数的自变量取值范围: ①y = x2-1 ；②y = 3x -2；③ y =-5x .

解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。

⑵解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.

例如: 确定下列函数的自变量取值范围:①y=

2

x

-；②y=

2

1

x+

；③ y =

2

1

1

x-

解：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量x 的分式，所以分母不为零时，函数有意义。 所以①中的x ≠0；②中的x ≠-1；③中的x ≠1且x ≠-1 ⑶解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数. 例如：确定下列函数的自变量取值范围: ①

②

；③

；④

解：① x ≥2； ②全体实数

；③0

10

x ≥⎧⎪≠ 即 x ≥0且x ≠1；④ 全体实数

⑷含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数. 例如：确定下列函数的自变量取值范围:

①

y=

()

2x -； ②

y=

)

3

1

-

解： ①x-2≠0， x ≠2 ;

②10

10

x +≥⎧⎪≠ 即x ≥-1且x ≠0

第二招:必须使实际问题有意义.

例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s （千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。

解：Q = 40 -0.4s ∵4000Q s ≥≥⎧⎨

≥⎩ ∴40400.40

0s s ≥-≥⎧⎨≥⎩

∴0≤s ≤10

∴自变量取值范围为0≤s ≤10 第三招:必须使图形存在.

例1：A 、B 、C 、D 四个人做游戏A 、B 、C 三人站在三个不同的点上构成一个三角形且∠BAC=40°， D 在△ABC 内部移动，但不能超越△ABC 。则D 与B 、C 构成一个三角形，则∠BDC 的度数的取值范围是__________________.

解:40°＜∠BDC ＜180°

例2 :已知等腰三角形的周长为20cm ， 请写出底边长y （cm ）与腰长x （cm ）之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围。

解：y= 20- 2x ∵x x y x y

x

+⎧⎨

+⎩ ∴22022020

x x

x -⎧⎨

-⎩ ∴ 5 ＜x ＜10

例3：已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20厘米,AC 与MN 在同一直线上,开始时点A 与点N 重合.让△ABC 以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A 与点M 重合,

则重叠三角形部分的面积y(cm 2

)与时间t(秒)之间的函数关系式为______________.自 变量t 的取值范围是________________.

分析:在移动的过程中,重合部分的三角形也为等腰直角三角形AN=2t , 则

MA= 20-2t, 所以解析式可求.由0＜MA ≤20可确定自变量取值范围解: y= ()2

12022

t - , 自变量t 的取值范围是

0≤t ＜10

14.2一次函数 1、正比例函数

一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 例1、写出下列函数的关系式。