必修四2.4.平面向量的数量积

平面向量的数量积

教案 A 第 1 课时

教学目标

一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义， 理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．

三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养 学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的

能力． 教学重点、难点

教学重点：

教学难点： 教学关键： 教学方法

本节学习的

关键是启发学生理解平面向量数量积的定义， 理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 学习方法

通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学准备

教师准备 : 多媒体、尺规 . 学生准

备 : 练习本、尺规 .

教学过程

一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 么力F 所做的功W 可由下式计算： W =| F II s | cos 0,

其中0是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量） 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题

平面向量数量积的定义． 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 平面向量数量积的定义的理解． F 的作用下产生位移 s ，那

①

a •

b 的运算结果是向量还是数量它的名称是什么

② 由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的 乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律

师生活动：已知两个非零向量 a 与b ,我们把数量I a ll b |cos e 叫做a 与b 的数量积 (或内积)，记作a • b ,即卩

a •

b =| a ll b |cos e( 0

其中e 是a 与b 的夹角，I a |cos e( | b |cos e)叫做向量 a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投

影.

在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意

：

(1) 两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的

乘积；

(2)

零向量与任一向量的数量积为 0,即a - 0=0;

(3) 符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替； (4)

当 owe< —时 cos e >0,从而 a • b >0；当一

2 2

a •

b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.

已知a 、b 、c 和实数入，则向量的数量积满足下列运算律 ：

①

a •

b =b • a (交换律);

② (入 a )・ b =^( a • b )

®( a +b )・ c =a - c +b - c 特别是：(1)当a z 0时， 垂直的非零向量 b ,都有a • b =0.

注意：已知实数 a 、b 、c (b z0),则ab =bc a =c .但对向量的数量积，该推理不 正确，即a •

b =b •

c 不能推出a =c .由上图很容易看出，虽然 a • b =b • c ,但a z c .

对于实数 a 、b 、c 有 ( a • b ) c =a (b • c )；但对于向量 a 、b 、c , (a • b ) c =a (b • c ) 不成立.这是因为(a • b ) c 表示一个与c 共线的向量，而 a (b • c )表示一个与a 共 线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a • b ) c =a (b • c )不成立.

提出问题

① 如何理解向量的投影与数量积它们与向量之间有什么关系 ② 能用“投影”来解释数量积的几何意义吗

师生活动：教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向 量的数量积的定义， 提出注意点“投影”

定义：| b |cos A 投影也是一个数量，不是向量；

=a •(入b )(数乘结合律)；

(分配律).

由a • b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与 a

从数与形两个角度进行探索研究. 教师给出图形并作结论性的总结,

的概念，如下图.

e 叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考

B当e为锐角时投影为正值；当e为钝角时投影为负值；当e为直角时投影为

0 ；当e =0°时投影为| b | ；当e =180°时投影为-| b |.

教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义： 数量积a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影| b |cos e 的乘积.

让学生思考：这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果 是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质

：

设 A B C

特别地 a • a =| a |2 或 | a |= J a ?a . a ? b

D. cos e= ------- .

|a||b|

E | a • b | a || b | .

上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示， 在推导过程中理解并记忆这些性质.

讨论结果： ① 略.

② 向量的数量积的几何意义为数量积 a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影

| b |cos e 的乘积.

三、拓展创新，应用提高

例1已知|a |=5 , | b |=4 , a 与b 的夹角为120。，求a • b 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解. 解：a • b =| a || b |cos e

=5X 4 X cos 120 ° =5X 4 X(-)

2

=-10 .

点评：确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解.

2 2 2 2 2 我们知道，对任意 a , b € R,恒有(a +b ) =a +2ab +b , ( a +b ) (a - b ) =a -

b .对 a 、b ,是否也有下面类似的结论

(a +b ) 2=a 2+2a • b +b 2；

(a +b )・( a -b ) =a 2- b 2

. 解：(1) (a +b ) = ( a +b )・( a +b ) =a • b +a • b +b • a +b • b =a 2+2a - b +b 2；

(2) (a +b )・( a -b ) =a • a -a • b +b - a -b - b

=a 2- b 2.

例 3 已知 | a |=6 , | b |=4 , a 与 b 的夹角为 60°,求(a +2b )・(a -3 b ).

a 、

b 为两个非零向量，e 为两向量的夹角，e 是与b 同向的单位向量. e • a =a •

e=| a |cos e . a 丄 b a • b =0.

当a 与b 同向时，a • b =| a || b | ；当a 与b 反向时，a • b =-| a || b | . 例2

任意向量 (1)

(2)