插值matlab计算方法
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计 算 方 法
第五章
插值法
本部分课件主要参考哈工大刘克安老师的课件
史晓非 大连海事大学信息工程学院 信号与图像处理研究所
KeanL
计
算
计
KeanL KeanL KeanL
1-1问题 天气预报
KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
p4 ( x3 ) = y0l0 ( x3 ) y1l1 ( x3 ) y2l2 ( x3 ) y3l3 ( x3 ) y4l4 ( x3 ) = y3 p4 ( x4 ) = y0l0 ( x4 ) y1l1 ( x4 ) y2l2 ( x4 ) y3l3 ( x4 ) y4l4 ( x4 )
KeanL
KeanL KeanL
2 误差估计； 3 收敛性。
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
计 算 方 法
目的：通过已知点 求未知点。
f(x)
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4x
内插
外插
计 算 方
1-3 求解
1）已知曲线方程 法 直线、抛物线等
p4 ( x1 ) = y0l0 ( x1 ) y1l1 ( x1 ) y2l2 ( x1 ) y3l3 ( x1 ) y4l4 ( x1 )
= y0
= y1 p4 ( x2 ) = y0l0 ( x2 ) y1l1 ( x2 ) y2l2 ( x2 ) y3l3 ( x2 ) y4l4 ( x2 ) = y2
KeanL
KeanL
0 4 KeanL
7 KeanL
9
KeanL
16 KeanL
4
计 算 方 法
计 算 方 法 x0 x1
f(x)
g(x) f(x)
x2
x
x3
x4
实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点。
(x x )
lk ( x ) =
(x
j =0 jk
j =0 jk n
j
k
xj )
解 计 算 方 法
x y
0 2
1 3
2 0
3 -1
试求拉格朗日插值多项式。并求出 x=1.5时的值
计 算 方 法
已知函数y=f(x)的观测数据为
x y
解
0 1
1 2
2 3
试求拉格朗日插值多项式。
p2 ( x ) = 1 ( x 1)( x 2) ( x 0)( x 2) 2 (0 1)(0 2) (1 0)(1 2) ( x 0)( x 1) 3 (2 0)(2 1)
计 算 方 法
1-2 数学模型
已知：
曲线插值 问题
{xi , yi }, i = 1, 2,, n 是函数 f ( x) 的离散点
( xi ) = yi , i = 1, 2,, n
n
求： n ( x) f ( x), 且满足：
插值 条件
插值 插值 节点 函数
Interpolate 算 Fitting
将插值条件代入上式，得
y0 = a0 a1 x0 a2 x0 y1 = a0 a1 x1 a2 x12
2
y2 = a0 a1 x2 a2 x2 2
计 算 方 法
3)N阶多项式
y = a0 a1x a2 x2 an xn
只需确定 a j , j = 0,1,, n 即可
计
n ( x) = a0 a1x a2 x an x f ( x)
2 n
1, x, x ,, x 多项式的基
a0 , a1 ,, an 多项式的坐标
Rn ( x) = f ( x) n ( x)
2
n
余项（p144）
计 算 方 法
问题：当n很大时，待定系数法的工作 量太大，是否存在简单的构造插值 项式的方法？
计 方 法
( xi ) = yi , i = 1, 2, , n
n
min | n ( xi ) yi |
i =1
n
2
KeanL
计 算 方 法
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
数学模型：已知{xi，yi} ， 求一条光滑曲线满足 φ n(xi)= y i 。
n
i
1 x = xi , k = i lk ( x) = else 0
p ( x ) = y l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 计
算(x ) = y l (x ) y l (x ) y l (x ) y l (x ) y l (x ) p 4 0 0 0 0 11 0 2 2 0 33 0 4 4 0 方 法
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
算 方
早 中 晚 夜间 KeanL KeanL KeanL 0C 法 8 27 10 2 方 KeanL KeanL KeanL KeanL 15时出门怎样穿衣服？ KeanL KeanL KeanL KeanL
法
KeanL
数学模型外延广阔 潜在巨大意义
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
2）未知曲线方程， 允许一定的误差，构造多项式方程
拉格朗日、牛顿均差法等
计 算 方 法
2已知曲线方程
1)直线
y0 x0 x y y1 x1
令：y = a0 a1 x
将插值条件代入上式，得
y0 = a0 a1 x0 y1 = a0 a1 x1
1 x0 a0 y0 = 1 x1 a1 y1
= x 1
计 利用y 算
= x在1，，处的值建立拉格朗日多项式并 49
近似求 3 ， 6 方
法
( x 4)( x 9) ( x 1)( x 9) , l1 ( x) = (1 4)(1 9) (4 1)(4 9) ( x 1)( x 4) l2 ( x) = (9 4)(9 1) l0 ( x) =
的线性代数方程组。其系 算 数行列式是
1 x0 x0
n
存在唯一性
1 x1 x1n 1 1 xn xn n
这是范德蒙行列式，其插值节点互异时，它 不等于零，方程组的解存在唯一。可以用高 斯消去法求解，其工作量： n3 / 3
3未知曲线方程， 算 允许一定的误差，构造多项式方程 方 法用N阶多项式近似：
=y
计 算 方 法
1 x = xi , k = i lk ( x) = else 0
lk ( x) = ( x x0 )( x x1 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn )
lk ( x) = 0?
lk ( x) = 1?
x = xi , k = i
1 1 1 1 x0 x1 xn x0 n a0 y0 n x1 a1 y1 = n xn an yn
计 是关于 a j 方 法
KeanL
KeanL
KeanL i KeanL
7 =?
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL 4
KeanL
x
4
9 16
4
KeanL 3
KeanL
KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL
2
KeanL KeanL
yi 2
-
3
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
n
(x
j =1
n
0
xj )
xj )
计 算 方 法
(x x
l1 ( x ) =
n
(x
j =0 j 1
j =0 j 1 n
j
)
1
xj )
(x x )
lk ( x ) =
n
(x
j =0 jk
j =0 jk n
j
k
xj )
称为Lagerange插值基
计 算 方 法
例：已知函数y=f(x)的观测数据为 x y
n
1 0
2 -5
3 -6
4 3
试求拉格朗日插值多项式。
(x x )
lk ( x ) =
(x
j =0 jk
j =0 jk n
j
k
xj )
解 计 算 方 法
x y
1 0
2 -5
3 -6
n
4 3
( x 2)( x 3)( x 4) p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计 算 方 法
2)抛物线
y y0 x0 x x1 x2
y1
y2
1 x0 1 x1 1 x2
x0 2 a0 y0 2 x1 a1 = y1 2 y x2 a2 2
令： 2 y = a0 a1 x a2 x
计 算 方 法
4 Lagrange插值方法
pn ( x) = y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) ynln ( x) = yk lk ( x)
n k =0
pn ( xi ) = yi , i = 1, 2,, n
y l (x ) = y
k =0 k k i
( x x0 )( x x1 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) lk ( x) = ( xi x0 )( xi x1 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
计 算
l0 ( x)是个n次多项式，在点x1， ，xn处的值是0，而在点x0处是1 显然l0具有如下形式
方 l0 = c( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) = c 法
(x x )
j =1 j
n
令x = x0 ,由于 1 = c ( x0 x j )
j =1 n
可得到c的值 c= 1
l0 ( x) =
(x x ) (x
j =1 j =1 n j 0
P n ( x) = 1* l0 ( x) 2l1 ( x) 3l2 ( x)
计 算
程序：
pn ( x) = y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) ynln ( x) = yk lk ( x)
k =0 n
function yTest=GetLagrange(x,y,xTest) 方nSampNum=length(x); nTestNum=length(xTest); 法yTest=zeros(nTestNum,1); for nTIndex=1:nTestNum z=xTest(nTIndex); s=0; for k=1:nSampNum p=1; for j=1:nSampNum if j~=k p=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j)); end end s=p*y(k)+s; end yTest(nTIndex)=s; end
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
理论问题：1 数学描述；
KeanL
KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL
第五章
插值法
本部分课件主要参考哈工大刘克安老师的课件
史晓非 大连海事大学信息工程学院 信号与图像处理研究所
KeanL
计
算
计
KeanL KeanL KeanL
1-1问题 天气预报
KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
p4 ( x3 ) = y0l0 ( x3 ) y1l1 ( x3 ) y2l2 ( x3 ) y3l3 ( x3 ) y4l4 ( x3 ) = y3 p4 ( x4 ) = y0l0 ( x4 ) y1l1 ( x4 ) y2l2 ( x4 ) y3l3 ( x4 ) y4l4 ( x4 )
KeanL
KeanL KeanL
2 误差估计； 3 收敛性。
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
计 算 方 法
目的：通过已知点 求未知点。
f(x)
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4x
内插
外插
计 算 方
1-3 求解
1）已知曲线方程 法 直线、抛物线等
p4 ( x1 ) = y0l0 ( x1 ) y1l1 ( x1 ) y2l2 ( x1 ) y3l3 ( x1 ) y4l4 ( x1 )
= y0
= y1 p4 ( x2 ) = y0l0 ( x2 ) y1l1 ( x2 ) y2l2 ( x2 ) y3l3 ( x2 ) y4l4 ( x2 ) = y2
KeanL
KeanL
0 4 KeanL
7 KeanL
9
KeanL
16 KeanL
4
计 算 方 法
计 算 方 法 x0 x1
f(x)
g(x) f(x)
x2
x
x3
x4
实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点。
(x x )
lk ( x ) =
(x
j =0 jk
j =0 jk n
j
k
xj )
解 计 算 方 法
x y
0 2
1 3
2 0
3 -1
试求拉格朗日插值多项式。并求出 x=1.5时的值
计 算 方 法
已知函数y=f(x)的观测数据为
x y
解
0 1
1 2
2 3
试求拉格朗日插值多项式。
p2 ( x ) = 1 ( x 1)( x 2) ( x 0)( x 2) 2 (0 1)(0 2) (1 0)(1 2) ( x 0)( x 1) 3 (2 0)(2 1)
计 算 方 法
1-2 数学模型
已知：
曲线插值 问题
{xi , yi }, i = 1, 2,, n 是函数 f ( x) 的离散点
( xi ) = yi , i = 1, 2,, n
n
求： n ( x) f ( x), 且满足：
插值 条件
插值 插值 节点 函数
Interpolate 算 Fitting
将插值条件代入上式，得
y0 = a0 a1 x0 a2 x0 y1 = a0 a1 x1 a2 x12
2
y2 = a0 a1 x2 a2 x2 2
计 算 方 法
3)N阶多项式
y = a0 a1x a2 x2 an xn
只需确定 a j , j = 0,1,, n 即可
计
n ( x) = a0 a1x a2 x an x f ( x)
2 n
1, x, x ,, x 多项式的基
a0 , a1 ,, an 多项式的坐标
Rn ( x) = f ( x) n ( x)
2
n
余项（p144）
计 算 方 法
问题：当n很大时，待定系数法的工作 量太大，是否存在简单的构造插值 项式的方法？
计 方 法
( xi ) = yi , i = 1, 2, , n
n
min | n ( xi ) yi |
i =1
n
2
KeanL
计 算 方 法
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
数学模型：已知{xi，yi} ， 求一条光滑曲线满足 φ n(xi)= y i 。
n
i
1 x = xi , k = i lk ( x) = else 0
p ( x ) = y l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 计
算(x ) = y l (x ) y l (x ) y l (x ) y l (x ) y l (x ) p 4 0 0 0 0 11 0 2 2 0 33 0 4 4 0 方 法
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
算 方
早 中 晚 夜间 KeanL KeanL KeanL 0C 法 8 27 10 2 方 KeanL KeanL KeanL KeanL 15时出门怎样穿衣服？ KeanL KeanL KeanL KeanL
法
KeanL
数学模型外延广阔 潜在巨大意义
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
2）未知曲线方程， 允许一定的误差，构造多项式方程
拉格朗日、牛顿均差法等
计 算 方 法
2已知曲线方程
1)直线
y0 x0 x y y1 x1
令：y = a0 a1 x
将插值条件代入上式，得
y0 = a0 a1 x0 y1 = a0 a1 x1
1 x0 a0 y0 = 1 x1 a1 y1
= x 1
计 利用y 算
= x在1，，处的值建立拉格朗日多项式并 49
近似求 3 ， 6 方
法
( x 4)( x 9) ( x 1)( x 9) , l1 ( x) = (1 4)(1 9) (4 1)(4 9) ( x 1)( x 4) l2 ( x) = (9 4)(9 1) l0 ( x) =
的线性代数方程组。其系 算 数行列式是
1 x0 x0
n
存在唯一性
1 x1 x1n 1 1 xn xn n
这是范德蒙行列式，其插值节点互异时，它 不等于零，方程组的解存在唯一。可以用高 斯消去法求解，其工作量： n3 / 3
3未知曲线方程， 算 允许一定的误差，构造多项式方程 方 法用N阶多项式近似：
=y
计 算 方 法
1 x = xi , k = i lk ( x) = else 0
lk ( x) = ( x x0 )( x x1 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn )
lk ( x) = 0?
lk ( x) = 1?
x = xi , k = i
1 1 1 1 x0 x1 xn x0 n a0 y0 n x1 a1 y1 = n xn an yn
计 是关于 a j 方 法
KeanL
KeanL
KeanL i KeanL
7 =?
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL 4
KeanL
x
4
9 16
4
KeanL 3
KeanL
KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL
2
KeanL KeanL
yi 2
-
3
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
n
(x
j =1
n
0
xj )
xj )
计 算 方 法
(x x
l1 ( x ) =
n
(x
j =0 j 1
j =0 j 1 n
j
)
1
xj )
(x x )
lk ( x ) =
n
(x
j =0 jk
j =0 jk n
j
k
xj )
称为Lagerange插值基
计 算 方 法
例：已知函数y=f(x)的观测数据为 x y
n
1 0
2 -5
3 -6
4 3
试求拉格朗日插值多项式。
(x x )
lk ( x ) =
(x
j =0 jk
j =0 jk n
j
k
xj )
解 计 算 方 法
x y
1 0
2 -5
3 -6
n
4 3
( x 2)( x 3)( x 4) p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计 算 方 法
2)抛物线
y y0 x0 x x1 x2
y1
y2
1 x0 1 x1 1 x2
x0 2 a0 y0 2 x1 a1 = y1 2 y x2 a2 2
令： 2 y = a0 a1 x a2 x
计 算 方 法
4 Lagrange插值方法
pn ( x) = y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) ynln ( x) = yk lk ( x)
n k =0
pn ( xi ) = yi , i = 1, 2,, n
y l (x ) = y
k =0 k k i
( x x0 )( x x1 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) lk ( x) = ( xi x0 )( xi x1 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
计 算
l0 ( x)是个n次多项式，在点x1， ，xn处的值是0，而在点x0处是1 显然l0具有如下形式
方 l0 = c( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) = c 法
(x x )
j =1 j
n
令x = x0 ,由于 1 = c ( x0 x j )
j =1 n
可得到c的值 c= 1
l0 ( x) =
(x x ) (x
j =1 j =1 n j 0
P n ( x) = 1* l0 ( x) 2l1 ( x) 3l2 ( x)
计 算
程序：
pn ( x) = y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) ynln ( x) = yk lk ( x)
k =0 n
function yTest=GetLagrange(x,y,xTest) 方nSampNum=length(x); nTestNum=length(xTest); 法yTest=zeros(nTestNum,1); for nTIndex=1:nTestNum z=xTest(nTIndex); s=0; for k=1:nSampNum p=1; for j=1:nSampNum if j~=k p=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j)); end end s=p*y(k)+s; end yTest(nTIndex)=s; end
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
理论问题：1 数学描述；
KeanL
KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL
KeanL
KeanL KeanL