轴对称和全等三角形专题

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全等三角形培优辅导

知识要点：

全等三角形的定义：能够的两个三角形。

全等三角形的性质：全等三角形对应边，对应角，对应边上的

高，对应边上的中线，周长，面积。

全等变换的定义：只改变图形的，而不改变其的图形变换。

判定三角形全等公理：边角边公理：。

角边角公理：。

推论：（AAS）

边边边公理：。

斜边直角边公理：的两个直角三角形全等。

用全等三角形证明线段相等或角相等的思路:①观察要证的线段或角（或者用等量代换后的线段或角）在哪两个可能全等的三角形之中；②分析要证全等的这两个三角形，已知什么还缺什么条件；（已知条件分为两种：一个是题目给出的；一个是图形中所隐含的，如公共角、公共边、对顶角等）；③设法证明出所缺条件；

④当待证得线段或角不分布在两个三角形中（也找不到等量代换）时，常需要添加辅助线构造出三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角。

证题时常用的方法：（1）证角相等的方法：①对顶角相等；②同角（或等角）的余角（或补角）相等；③平行线同位角相等，内错角相等；④角平分线定义；⑤等式性质；⑥全等三角形对应角相等。（2）证线段相等常用方法：①中点定义；

②全等三角形对应边相等；③等式性质；④中垂线定义；⑤角平分线上的点到角的两边距离相等；⑥等腰（等边）三角形的性质

（4）证题常用分析方法：①综合法：从已知出发用学过的定义、公理、定理得出结论；②分析法：从结论出发反过来寻找能使结论成立所需要的条件，这样一步一步地逆求，一直到是结论成立的条件与已知条件吻合；③两头“凑”的方法：综合上两种方法来证明结论。

角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线。

角平分线的性质定理：。

逆定理也同时成立。逆定理也常作为角平分线的判定定理。

全等三角形一些常见题型：

一、探索条件型此类型题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件。一般地，依据三角

形全等地判定方法，补充所缺少的条件。

例：如图，已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,

下列哪些条件不能判定△ABM≌△CDN

A.∠M=∠N

B.AB=CD

C.AM=CN

D.∠AMB=∠NCD

二、探索结论型

此类型题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根据所给条件探索可能得到的

结论。

例. （2004年宁夏自治区）如图2，AB=AD，BC=CD，AC和BD

相交于E。由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中3个

正确结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明）

结论1：

结论2：

结论3：

三、探索方案型

此类型题首先提供一个实际问题背景，按照问题的要求研究解决问题的合理方案。

例：（2004年芜湖市）如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿( )去配.

②③

四、探索编拟问题型

例.如图，在△AFD和△BEC中，

点A、E、F、C在同一直线上，有下列四个论断：

①AD=CB，②AE=CF，③∠B＝∠D，④∠A＝∠C.请用其中三个作为条件余

下一个作为结论，编一道数学题，

并写出解答过程。

三角形全等的经典类型

类型一平移法构造全等三角形

例已知：如图，在ΔABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。

求证：∠BAD=∠DAE+∠C

类型二翻折法构造全等三角形

A

B

C

D

E

例已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC,OB=OD

求证：AB=CD

类型三补短法构造全等三角形

例已知：如图，在ΔABC中，∠C=2∠B，∠BAD=∠CAD,

证明：ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ

类型四截长法构造全等三角形

例如图，已知在ΔABC中，ＡＤ为ＢＣ边上的高2∠C=∠B

求证：ＣＤ＝ＡＢ＋ＢＤ

类型五证明三点共线

例如图，BD、CE是ΔABC的中线，延长BD到F点，使DF=BD，延长CE到G点，使EG=CE

求证：点G、A、F在一条直线上

类型六角平分线与全等的综合应用

例如图，OD平分∠AOB，在OA、OB边上取OA=OB，PM⊥AD。

求证：PM=PN

小专题证明三角形全等的基本思路

类型1已知两边对应相等

方法1寻找第三边对应相等，用“SSS”

1．把四根木条做成如图所示的四边形ABCD，其中AB＝AD，CB＝CD，有人说它可以当成一个平分角的仪器，请你说明其中的道理．

方法2寻找夹角对应相等，用“SAS”

2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.

求证：BC＝DE.

类型2已知两角对应相等

方法1寻找夹边对应相等，用“ASA”

3．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.求证：AE＝DF.

方法2寻找任一对应角的对边对应相等，用“AAS”

4．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，

阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分

△AOF与△DOC是否全等？为什么？

类型3已知一边一角对应相等

方法1有一边和该边的对角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”

5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE.

方法2有一边和该边的邻角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”6．如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C，求证：OA＝OD.

方法3有一边和该边的邻角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”7．(北京中考)已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.

类型4全等基本图形归纳(平移、旋转、翻折)

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，

若将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，

则∠ADE的度数是（）

A．30°B．40°C．50°D．55°

9．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF .