高阶微分方程求解

* 1
1 a ， 8
* (2) 设 y2 x(c cos 2 x d sin 2 x ),
则 ( y ) (c 2dx) cos 2 x (d 2cx ) sin 2 x,
* 2
* ( y2 ) (4d 4cx ) cos 2 x (4c 4dx) sin 2 x,
高阶方程
特征方程法 幂级数解法 待定系数法
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
特点 解法
y f ( x , y ) 型
不显含未知函数y.
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
5、方程 y y 0 的通解是( ). (A) y sin x cos x C 1 ； (B) y C 1 sin x C 2 cos x C 3 ； (C) y sin x cos x C 1 ； (D) y sin x C 1 . 6、若 y1 和y 2 是二阶齐次线性方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的两个特解,则 y C 1 y1 C 2 y 2 (其中C 1 , C 2 为任意常数)( (A)是该方程的通解； (C)是该方程的特解；
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
* * 设原方程的特解为 y* y1 y2 . * * (1) 设 y ax b, 则 ( y1 ) a , ( y1 ) 0,
* 1
1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
由
1 4a ， 2
4b 0，
解得
1 y x; 8 b 0，
(D) y ce . 2 2 x y x y y 是( 2、方程 ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .
P ( x ) dx
Q ( x ) e [ Q ( x )e
P ( x ) dx
dx ；
P ( x ) dx
dx C ] ；
dy dx 3、 2 2 0 , y(1) 2 的特解是( ). y x (A) x 2 y 2 2 ； (B) x 3 y 3 9 ； 3 3 x y 1. (C) x 3 y 3 1 ； (D) 3 3 4、方程 y sin x 的通解是( ). 1 (A) y cos x C 1 x 2 C 2 x C 3 ； 2 1 (B) y sin x C 1 x 2 C 2 x C 3 ； 2 (C) y cos x C 1 ； y 2 sin 2 x (D) .
二、典型例题
1 y 2 例1 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , y P , 代入方程，得 dy dP 1 P 2 P , 解得， 1 P 2 C1 y, dy 2y dy 即 C 1 y 1, P C1 y 1, dx 2 C1 y 1 x C 2 . 故方程的通解为 C1
3 f ( x) 3 . x 1 3 （２） 原方程为 y y 3 . x x 显见 y1 1, y2 x 2 是原方程对应的齐次方 程
1 p( x ) , x
的两个线性无关的特解 ， 1 * 又 y 是原方程的一个特解， x 由解的结构定理得方程的通解为 1 2 y C1 C 2 x . x
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
通解的表达式
2
特征根的情况
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
若y1 , y2是解, 则y c1 y1 c2 y2也是解 若y1 , y2是两无关解, 则y c1 y1 c2 y2是通解
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
y(1) 1,
由
5 (C1 2C 2 )e 1, 6 1 1 2 1 C1 C 2 , C1 , e 3 e 6 解得 1 5 C 1 1 , 2 C1 2C 2 , 2 e e 6
所以原方程满足初始条件的特解为
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
3
2
例3
设二阶非齐次线性方程的三个特解为
求其通解
y1 x , y2 x sin x , y3 x cos x
解
由解的结构知非齐方程的任二解之差是 相应齐方程的解
故
y2 y1 sin x
y3 y1 cos x
且线性无关
是齐方程的两个解
齐通解
非齐通解
Y c1 cos x c2 sin x
非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
若f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )则y y1 y2
若y y1 jy2是f ( x ) f1 ( x ) jf 2 ( x )的特解 则y1 , y2分别是f1 ( x ), f 2 ( x )的特解
3、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
3 2 x 则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx]e , * 3 2 x ( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e , *
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
1 代入 y 4 y cos 2 x，得 2
1 4d cos 2 x 4c sin 2 x cos 2 x , 2 1 4d ， c 0， 1 2 * 由 y2 x sin 2 x; 即 1 8 d ， 4c 0， 8
故原方程的通解为
1 1 y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x . 8 8
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
( 3)
特点 解法
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
令 y P ( x ),
dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
2、线性微分方程解的结构
（1 ） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1) 形如
测 验 题
一、选择题: 1 、 一阶线性非齐次微分方程 y P ( x ) y Q ( x ) 的通 解是( ). P ( x ) dx P ( x ) dx [ Q ( x )e dx C ] ； (A) y e (B) y e (C) y e
P ( x ) dx P ( x ) dx
1 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ，对应 x 的齐次方程有一特解为 x 2，试求：
例6
（１） p( x ), f ( x ) 的表达式； （２） 此方程的通解.
解 （１） 由题设可得：
2 p( x )2 x 0, 解此方程组，得 2 1 p( x )( 2 ) f ( x ), 3 x x
高阶微分方程
习题课
一、主要内容
高阶方程
可降阶方程
线性方程解的结构
待 定 系 数 法
二阶常系数线性 方程解的结构
特 征 根 法
特征方程的根 及其对应项
f(x)的形式及其 特解形式
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
作变换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程
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(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时
L
[e x 2 xf ( x ) f ( x )] ydx f ( x )dy
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
齐通解
y (c1 c2 x )e
x
1时
1 2 x y xe 2
*
2
x x f ( x ) (c1 c2 x )e 2 1 x 1时 y* e ( 1)2
3 2 x x 原方程的一个特解为 y* e x e x , 6 2 3 2 x x x x x y ( C C x ) e e e . 故原方程的通解为 1 2 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 3 x x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6
例2
求特解 y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
解
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x )e x .
* 2 x y x ( ax b ) e , 设原方程的特解为
2
r1 x
r2 x
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根 ,
设 y x k e x Qm ( x ) ,
( 2)
f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型