第一讲----巧数图形

第一讲巧数图形
小朋友们，我们数学课上学习了四边形，你还记得他们的特点吗你们是不是做过下面的这种题：
图中共有（）个平行四边形
这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗有没有什么巧妙的办法呢现在让我们一起看一下吧。

一、数线段
例1数出右图中共有多少条线段。

方法一：找规律数线段。

共有3＋2＋1＝6(条)。

方法二：分类数线段。

共有3＋2＋1＝6(条)。

例2．数出右面图中共有多少条线段
解析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以
我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一
部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四
部分算得结果加起来．
第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段．
第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段．
第三部分是FG一条线段．
第四部分是JK一条线段． 10＋10＋1＋1＝22(条)
例3．一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条
分析：一条线段上有10个点，那么我们先把线段画出来
因此，共有线段：9＋8＋…＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(条)
总结：1、找规律数线段：一般地，如果线段上有几个点(其中n是大于或等于2的自然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：
(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2；
2、分类数线段
练习：下列图形中各有多少条线段
（3）
二、数角
例4．右面图形中有几个角
分析方法和数线段相同
练习
（）个角（）个角
三、数三角形
例5．数出下面图中共有多少个三角形
方法一数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．
方法二我们可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形．
底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．
底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．
底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．
所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．
方法三我们把图中△ABC、△ACD、△ADE看作基本三角形：
由1个基本三角形构成的三角形有△ABC、△ACD、△ADE；
由2个基本三角形构成的三角形有△ABD、△ACE；
由3个基本三角形构成的三角形有△ABE。

所以3＋2＋1＝6（个）
例6．数一数图中共有多少个三角形
思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．
在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形，
在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形；
在△BDC中，一共有5个三角形．所以 15＋15＋5＝35(个)
例7．图中共有多少个不同的三角形
思路分析：可以用上一题的方法，也可以有另外的思路:
横着看，有3个基本三角形，所以1+2+3=6
竖着看，有两行，所以三角形个数为6×2=12个
例8．数出下图中共有多少个三角形
思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把
图中最小的一个三角形看作基本图形．
由一个基本三角形构成的三角形共有8个；
由两个基本三角形构成的三角形共有4个；
由四个基本三角形构成的三角形共有4个．因此：8＋4＋4＝16(个)
例9．数出下面图形中共有多少个三角形
解析：分类数三角形
由一个基本三角形构成的三角形共有9个；
由四个基本三角形构成的三角形共有3个；
由九个基本三角形构成的三角形只有1个．
因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形．
例10．数出下图中共有多少个三角形
思路分析：分类编号
由一块形成的三角形有4个；
由两块拼成的三角形有5个，分别是①＋②①＋③③＋④②＋④⑤＋⑥；由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥；
由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④；
没有由五块拼成的三角形；
由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形．
所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．
总结：1、找规律数三角形 2、纵横数三角形 3、分类数三角形
练习：下列图形中各有多少个三角形
（）个三角形（）个三角形（）个三角形
（）个三角形（）个三角形（）个三角形
四、数四边形
例11．数出各图中正方形的个数．
解析：(1)中最基本的正方形有9个 (9＝3×3)；
由4个基本正方形组成的正方形有4个(4＝2×2)；
由9个基本正方形组成的正方形有1个(1＝1×1)
所以共有正方形9＋4＋1＝14(个)．
(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；
边长为2的正方形有9个，即9＝3×3；
边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；
边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．
所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个)．
例12．图中共有多少个正方形
解析：将正方形分类，
由两块小三角形构成的正方形有4个；
由四块小三角形构成的正方形有4个；
由八块小三角形构成的正方形有1个；
由十六块小三角形构成的正方形有1个．
由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．
所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形．
例13．数出图中共有多少个正方形
方法一：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：
第1类：边长为1的正方形有24个；
第2类：边长为2的正方形有13个；
第3类：边长为3的正方形有4个；
第4类：边长为4的正方形有1个．
所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形．
方法二：如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．
所以，图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形．
例14：在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个
解析：按包含的小块分类计数。

包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；
包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；
包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；
包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；
包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；
包含15小块的有2个。

所以共有1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。

例题15 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四
个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个
分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图
中可以看出：
（1）最小的正方形有6个；
（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；
（3）中间还可围成2个正方形。

所以共有6＋2＋2=10个。

例16．下面两幅图中各有多少个长方形
思路分析：(1)找规律数长方形。

所以，图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个)．
(2)纵横数长方形
横着看有三排，3+2+1=6
竖着看有两行，1+2=3.
所以，图中共有长方形6×3＝18(个)．
例17．下图中共有多少个长方形
思路分析：分类数长方形
我们可以先将大长方形中的5小块编上号：
这5块都是符合要求的长方形．
由两小块拼成的长方形，共有4个，即①＋②，②＋③，③＋④，④＋⑤；由三小块拼成的长方形，共有2个，即①＋③＋④，③＋④＋⑤；
没有由四小块拼成的长方形；
由5小块拼成的长方形只有最大的一个．
所以，图中共有5＋4＋2＋1＝12(个)长方形．
例18
练习
1，数一数
（）个正方形（）个长方形（）个平行四边形2.下列图形中各有多少个长方形
3.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个。