概率论与数理统计第7章例题

第7章例题

1.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,,321X X X X 量的是B

3213

2161

3121.

.X X X B X X X A ++++

3213218

14121.2

12121.

X X X D X X X C ++++ 2.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,21X X X 量的是 D

2

1.X X A +213121.

X X B + 214141.X X C + 212

1

21.X X D + 3.样本()()，则，，来自总体2

21,...,σμ==X D X E X X X X n B

A. 的无偏估计是μi n

i X ∑=1

B. 的无偏估计是μX

C. ()的无偏估计是2

2

1σn i X i ≤≤ D. 的无偏估计是22

σX

4.设),(21X X 是来自任意总体X 的一个容量为2的样本，则在下列总体均值的无偏估计中，最有效的估计量是 D

A. 213132X X +

B. 2143

41X X +

C. 215352X X + D . )(21

21X X +

5.从总体中抽取样本,,X X 12下面总体均值μ的估计量中哪一个最有效D

A. 11X =μ

B. 22X =μ

C. 2134341X X +=μ

D. 2142

1

21X X +=μ 6.从总体中抽取样本32,1,

X X X 统计量 6

323211X X X ++=μ

,

4423212X X X ++=μ 3333213X X X ++=μ

中更为有效的是C

A. 1μ

B. 2μ

C. 3μ

D. 以上均不正确

7.设21,X X 是取自总体()2σμ，N 的样本，已知21175.025.0X X +=μ

和2125.05.0X X +=μ都是μ的无偏估计量，则________更有效

8.设X 1，X 2， X 3， X 4是来自均值为λ的指数分布总体的样本，其中λ未知，设有估计量

)(3

1

)(6143211X X X X T +++=

5)432(43212X X X X T +++= 4)(43213X X X X T +++=

（1）找出其中λ的无偏估计量；（2）证明3T 较为有效. 解(1)由于X i 服从均值为λ的指数分布，所以 λ=+++=)]()([31

)]()([61)(43211X E X E X E X E T E

λ2)](4)(3)(2)([51

)(43212=+++=X E X E X E X E T E

λ=+++=)]()()()([41

)(43213X E X E X E X E T E

即31,T T 是λ的无偏估计量

(2)由方差的性质知

243211185

)]()([91)]()([361)(λ=+++=X D X D X D X D T D

2432134

1

)]()()()([161)(λ=+++=X D X D X D X D T D

)()(31T D T D >，所以3T 较为有效。

9. 设总体X 的概率密度为(),

,0,

x e x x x λλϕλ-⎧>=⎨

≤⎩ 其中λ为未知参数，如果取得样本观测值为12,,

,n x x x ，求参数λ的

极大似然估计值 . 解

1

i n

x i L e λλ-==∏

1

ln ln n

i i L n x λλ==-∑

1

1n

i

i n

x

x

λ==

=

∑ 10. 设总体X 的概率密度为

()1,01;

,0,x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩

其它

其中θ>0，若取得样本观测值为n x x x ,,,21 ，求参数θ的极大似然估计值

解 1

1-=∏=θθi

n

i x L

∑=-+=n

i i x n L 1

ln )1(ln ln θθ ∑=-

=n

i i

x

n

1

ln θ

11.设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--θθ

θθx x e x f x ,0,2);()(2,其中0>θ为未知参

数.

如果取得样本观测值为n x x x ,,,21 ,求参数θ的最大似然估计值.

解:似然函数

⎪⎩

⎪⎨⎧>∑==--其他

0,2)(1

)

(2θθθi x n x e L n

i i , θ>i x 当, 时， 0)(>θL ,取对数 得

∑=--=n

i i x n L 1

)(22ln )(ln θθ

02d )

(ln d >=n L θ

θ,所以)(θL 单调增加. 由于i x <θ,即θ应该满足),,,min(21n x x x ≤θ

θ的最大似然估计值为),,,min(21n x x x ≤∧

θ .

12.设921,,,X X X 为正态总体)4.0,(~2μN X 的样本，样本均值的观测值5=x ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 A

))

9(3

4.05),9(34.05(.))

8(34.05),8(34.05(.)3

4

.05,34.05.()34

.05,34.05(.025.0025.0025.0025.005.005.0025.0025.0t t D t t C u u B u u A +-+-+-

+-

13.设2521,,,X X X 为正态总体)4.0,(~2μN X 的样本，样本均值的观测值

8=x ，则未知参的数μ置信度为0.90的置信区间为 B