第一篇 第五章 渗流力学基础

188 第五章 渗流力学基础

第一节 油气层渗流的达西定律

油气层渗流的基本规律是达西定律。1856年法国水利工程师达西在研究城市供水问题时，欲测得获得一定的流量需要消耗的能量，于是达西运用填满砂的管子做实验，得到了水流速与管截面积、入口与出口压头之间的关系式，后人为纪念他，将这一定律称达西定律。

一、达西实验及结果

达西实验装置如图1—ll 所示，液体经过进水管a 进入模型主体。再透过砂层，经节流阀门流入量杯。节流阀可以控制流速，量杯D 测取流量Q 。测压管可以分别测出过水断面1-1，2-2上的压力p 1、p 2。稳压管b 可以使模型内液面稳定在b 管的位置上。显然，节流阀开度不同时，将得到不同的流量和不同的测压管高度。

实验结果发现：流量大小与管于截面积A ；入口及出口压力差p 2-p 1成正比，与填满砂粒的管子长度△L 成反比，将上述关系写成等式，需加上比例系数K 。即：

L

p p KA

Q ∆-=1

2 (1—6) 式中 K ——渗透率，它表征多孔介质和液体的渗透

能力。

二、达西定律的导出

(一)由管路水力学导出达西定律

由普通水力学可知，任意过水断面上的总能量表示成下列形式：

g

v p

Z H 22

++=γ （1-7）

式中 H-——总水头；

Z ——位置水头；

γ

p

---压力水头； g

v 22

---流速水头。

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由于渗流速度v 很小，可以忽略g

v 22

项，于是总水头可表示为：

γ

p

H =

+Z （1-8）

断面1—1，2—2上的水头差可表为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=-=∆H γγ22112

1p Z p Z H H （1-9）

达西通过实验发现：通过砂层的流量Q 与水头损失△H 成正比，与渗流面积A 成正比，与渗流段长度△L 成反比。即：

L

H

A

Q ∆∆∞= （1-10）

欲将(1—10)写成等式需加一比例常数，于是我们得到：

L

H

A

K Q i ∆∆= （1-11） 式中 K i -——比例常数，称为渗流系数，它与流体及砂层的性质有关。

由(1—11)式可得： i K Q i

⋅= （1-12）

式中 I=

L

H

∆∆，水力坡度。 (1—11)与(1—12)式都是达西定律的数学表达式。由于流量与水头差是一次方关系，所以达西定律又称为线性渗滤定律。

进一步实验发现：渗滤系数K i 与流体的重率γ成正比，与粘度μ成反比。即：

μ

γ∞i K （1-13）

写成等式之后加一比例系数：

μ

γ

K K =

（1-14）

比例系数K 与砂层的性质有关，与流体的性质无关，称为渗透率。它表示砂层允许流体通过的能力。

将(1—14)式代入(1—11)式得到：L

H

A

K Q ∆∆=μ

γ

（1-15）

或写成：

L

H

K v ∆∆=

μγ （1-16）

上式中：

190 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+

=∆γγγγ2211p Z p Z H

()()2211p Z p Z +-+=γγ **-=21p p

*∆=P （1-17）

(1—17)式中，用p *

表示所对应的折算压力P zs ，符号代换是为了书写方便，其实符号p *

、P zs 都大家习惯用的。

将<1—17)代入(1—16)式得L

p K v ∆*

∆=

μ （1-18）

如果实验装置是水平放置的，那么Z1—Z2=0，P 1*

—P 2*

=p 1—p 2，即折算压力差等于实测压力差。达西定律可表为：

l

p

K v ∆∆=

μ （1-19） 达西定律也可采用微分形式：

dL

dp

K v μ=

（1-20） 当取L 的正方向为v 的正方向时，由于压力沿流程L 而下降，即dL

dp

为负值，因此，必须在上式中增加一负号才能使速度v 为正值。

(二)运用力学分析导出达西定律 下面对达西定律进行力学分析。

如图1—12所示，自地层中取出微小岩石段，设其长度为△L ，截面积为A ，选O —0作为基准线。当液流以等渗流速度流出，并且渗流速度较小时，作用于△L 岩石段的渗流力共有以下几个：

①作用于△L 渗流段两端面上的外界总压力： 断面1—l ，11Ap p φ= 11p A p φ= 断面2—2

22Ap p φ=

式中 φ——岩石段的孔隙度。

②作用于液体周界上总的摩擦力μp ，其作用方向与流速方向相反，在层流时用牛顿内摩

擦定律它表示成：

L A a p ∆=μμμ1 (1-21)

式中

1a ——取决于岩石孔隙结构几何特性的系数，具有[2

-L ]因次；

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v ——渗流速度； A ——截面积；

μ ——流体粘度。

③流体本身的重力。在流动轴的分量为：

()212sin Z Z A L A p -=∆=φγθφγ (1-22)

由于流速很小，不考虑惯性力，此时力的平衡关系应是：

μP P P P =+-321 (1-23)

将各种力的表达式分别代人上式中：

()()L Av a Z Z A p p p A ∆=-++-μγφ121321

考虑到;;1Z p p A q v γ+==-且令1

a K φ

=，上式整理后得：

L

p K L p p K v ∆∆=∆⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=---μμ21

若岩石段是水平的即，,p p =-

考虑到速度方向和压力梯度方向相反，将上式写成微分形

式，同样得到： dL

dp

K v μ-

= （1-24） 这就表明，达西定律是不考虑惯性阻力运动方程，且1

a K φ

=

，说明渗透率K 是只与孔隙

几何形状及大小有关的参数，因此，它是岩石本身的特性，与通过的流体无关。