周期性与对称性

函数之周期性与对称性的理解

首先请大家辨析一下这几个等式关系:

2

)2()()62

)2()(5)

2()()4)2)()30

)2()(20

)2()(1=++=+-++-=+==++=+-+x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ）（）） 以上6个等式,其中1)、4)、5)就是在讲对称性,2)、3)、6)就是在讲述周期性。

在教学过程中,我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析,其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析:

“同周期、异对称”

1）、4)、5)中x 的系数相同,即为周期,2)、3)、6)中x 的系数相异,即为对称,这样我们就能迅速辨析哪些就是在讲周期,哪些就是对称。

那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又就是大家一个容易混淆的点。

一、下面先讲对称问题的理解,以1)为例:

0)2()(=+-+x f x f

我们要从本质上理解这个等式:令第一个括号里的1x x =,22x x =+-,则满足221=+x x ,即横坐标的与为2,那就意味着两个横坐标的中点为1=x 。同样的,令

1)(y x f =,2)2(y x f =+-,则满足021=+y y ,即这两个点的纵坐标与为零,那就意味着纵坐标互为相反数。那么如果现在我换种方式描述,我说两个点),(),(2211y x y x 与,满足221=+x x ,021=+y y ,那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1我们可以很直观的瞧出来这两个点关于(1,0)中心对称,这两个点都在y=f(x)上,从而整个

函数关于(1,0)中心对称。

同样的,我们分析4),2121,2y y x x ==+,在图像上表示对称关系如下:A 、B 两点关于x=1轴对

称,那么以后遇到对称性问题,我们只需在脑海里画两个点,这样函数的对称性就清晰了。

同理,我们来瞧一下6),221=+x x ,221=+y y ,在坐标系下表示两个点后,很容易理解这个函数关于(1,1)中心对称。

所以,我们0)97()99(0)2()(=--++=+-+x f x f x f x f 与都就是表示函数y=f(x)关于(1,0)中心对称,抓住核心本质,221=+x x ,021=+y y 。现在大家再回过头来瞧几个常见的对称性结论,就是不就是觉得清晰多了呢？

比如: 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时,函数()y f x =的图像关于直线

2

a b x +=对称; 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时,函数()y f x =的图像关于点(,)22

a b c +对称; 二、周期性

周期性的证明都就是“退一步海阔天空”3)这种类型很直观,周期为2,2)、6)属于同一种类型,都就是与定型,周期为4,具体证明大家自己尝试一下,常见的周期性模型也请大家自己去总结,这个一般的参考书上都有。重要的就是它的证明,请大家自己多思考。

三、周期性与对称性结合

真正让周期与对称结合起来的三个结论很重要,在这里加以阐述

1、 如果函数y=f(x)同时关于(a,0)、(b,0)中心对称,那么这个函数的最小正周期为a b T -=2 证明:函数关于(a,0)中心对称,则0)2()(=++-a x f x f ,同理0)b 2()(=++-x f x f ,两式相减,得)2()2(b x f a x f +=+,从而a b T -=2

下面请大家自行证明下面两个结论:

2. 如果函数y=f(x)同时关于x=a 、x=b 轴对称,那么这个函数的最小正周期为a b T -=2

3. 如果函数y=f(x)同时关于(a,0)中心对称,x=b 轴对称,那么这个函数的最小正周期为a b T -=4。

下面给两个练习让大家熟悉一下:

已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-,(3)()f x f x -=,则(2019)f =( )

A.3-

B.0

C.1

D.3

定义在R 上的奇函数)(x f ,对于R x ∈∀,都有)4

3()43

(x f x f -=+,且满足2)4(->f ,m

m f 3)2(-

=,则实数m 的取值范围就是 、 另外提供一个思考点: 对于函数y=f(x),如果满足)1()1(--=+x f x f ,那么函数f(x)关于y 轴对称

那么现在请问:)1(+=x f y 与函数关于什么对称呢)1(--=x f y ？两者有什么区别？