周期性与对称性
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
必修一(6)周期性和对称性
函数的周期性和对称性知识点：（和定对称，差定周期）若函数()f x 在定义域上恒有()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的对称轴为2a b x +=；若函数在定义域上恒有()()f x T f x +=则T 为()f x 的周期（一般我们都研究函数的最小正周期），nT 都是周期 1、一个图像的对称与周期性(1)若函数关于y 轴对称，则()f x =(-)f x (2)若函数关于原点对称，则()f x -=(-)f x （3）若函数关于x a =对称，则)()(x a f x a f -=+ （4）若函数关于点（a,b ）对称，则()()2f a x f a x b ++-= （5）函数)(x f y =满足)()(x f T x f -=+，则T x f 2)(的周期为 2、两个图像的对称性（1） )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
（2）)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
（3）)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
（4）)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于ay =对称。
（5）)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
(完整版)函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2b a x +=。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。
设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ (9) )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=4(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。
函数周期性对称性
一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。
2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。
3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。
4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。
（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。
（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。
（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。
（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。
（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。
二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT也是f(x)的周期。
2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。
（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。
（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。
（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
函数周期性对称性零点
函数周期性、对称性、零点一、函数的周期性：对于函数()y f x =，如果存在大于零的常数，使得x 取定义域内的任意值时都有()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，T 叫做周期。
最小正周期：如果()y f x =是以T 为周期的函数，那么()kT k Z ∈也是()y f x =的周期，因而，周期函数会有无数多个周期，如果这些周期中存在最小的值，那么这个最小的周期就叫做最小正周期。
例1：已知对于定义域内的任意一个x 都有()()2f x f x +=，切当[)1,1x ∈-时，有()2f x x =，求()2014f ，()2013.5f周期函数的判定以及性质：1. 如果对于定义域内的任意x ，()f x 满足()()f x T f x +=-，那么函数()f x 就是以2T 周期的函数。
2. 如果对于定义域内的任意x ，()f x 满足()()()f x a f x b a b +=+≠，那么函数就是以b a -为周期的函数。
二、函数的对称性：如果函数()f x 的定义域为M ，如果存在实数a ，使得对于任意的,a x a x M +-∈，都有()()f a x f a x +=-，那么()f x 是以x a =为对称轴的对称函数。
例2：已知二次函数()22f x x mx m =-++-满足()()11f x f x +=-，求函数()f x 的解析式。
函数对称性判定以及性质：1. 如果()f x 是以x a =为对称轴的对称函数，那么必有()()2f x f a x =-，同理如果函数()f x 满足()()2f x f a x =-，那么()f x 是以x a =为对称轴。
2. 如果函数满足()()f a x f b x +=-，那么函数()f x 一定是对称函数，对称轴为()()22a xb x a b x ++-+==。
例3：求证函数()y f x k =-关于x k =对称。
对称性与周期性
对称性与周期性对称性和周期性是自然界中广泛存在的重要概念。
它们不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理、化学、生物等领域也具有重要的意义。
本文将分析对称性和周期性的概念、特征以及在不同领域中的应用。
一、对称性的概念与特征对称性是指一个物体或系统在某种变换下保持不变的特性。
在数学中，对称性可以分为几何对称和代数对称两种形式。
几何对称是指物体或图形在某种变换下形状、大小、位置等方面保持不变。
常见的几何对称包括轴对称和中心对称。
轴对称是指物体或图形在某条轴线旋转180°后仍能保持不变，如正方形、圆形等。
中心对称是指物体或图形绕某个点旋转180°后仍能保持不变，如十字花纹等。
代数对称是指在某种运算下，一个式子的值在变量的交换下保持不变。
常见的代数对称包括加法对称、乘法对称以及函数的对称性等。
加法对称是指两个数相加的结果与加法顺序无关，乘法对称是指两个数相乘的结果与乘法顺序无关。
函数的对称性是指函数的图像关于某条线、点或面具有对称性，如奇函数和偶函数。
二、周期性的概念与特征周期性是指一个函数、物体或系统在一定条件下以规律性的方式重复出现的特性。
周期性在数学中通过函数来描述，而在物理、化学中则包括波动、振动等现象。
函数的周期性是指函数在某个区间内以规律性的方式重复出现。
常见的函数周期包括正弦函数、余弦函数等三角函数。
正弦函数和余弦函数在一定区间内以波浪形式周期性地重复出现，具有确定的振幅、周期和相位。
物体或系统的周期性表现为某种规律性的重复运动或变化。
例如，地球绕太阳公转、物体在弹簧振动、原子核放射性衰变等都具有周期性。
这些周期性现象可以用数学模型来描述，为实现一定的预测和应用提供了基础。
三、对称性与周期性的应用对称性和周期性在不同领域中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：1. 数学领域：对称性和周期性是数学中重要的研究对象。
对称性的研究涉及到群论、拓扑学等领域，而周期性则涉及到函数、级数等。
高中数学中的对称性与周期性
高中数学中的对称性与周期性
高中数学中的对称性与周期性是数学中重要的两个概念。
它们分别是在数学表达式、函数图像和几何图形等领域中出现，因此很容易与数学知识联系起来。
对称性指的是某一体系存在的对称特性。
在数学表达式中，可以看到例如y=x^2，具有左右对称特性，当x变化时，y也会变化，但变化的方式总是满足对称性。
再加上多元函数，如y=x^2 + y^2 ，可以看出当x变换的时候，它的对称性仍然可以在其函数图像中表现出来。
周期性是指函数值或图形沿某个方向上的重复出现。
如果将一个周期函数的曲线图画出来，底部总是在一条水平线上重复出现，这就是函数具有周期性的表现。
如sin函数，就是在x轴上周期性重复出现的函数，它可以将x轴划分成若干份，每份的范围就是它的一个有限的周期。
同样，圆、椭圆等图形也具有周期性，同态图形中存在着多种周期性特性。
在解决实际问题时，对称性及其周期性的掌握有助于快速进行求解。
如在求解多项式函数的最大值时，可以考虑多项式的对称性，以及有限范围给出的周期性，从而找出最大值点，可以节约大量的计算时间，使求解过程变得简单快速。
函数与函数的对称性与周期性
函数与函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。
而函数的对称性和周期性是函数研究中的两个重要性质。
它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多实际的例子。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定的变换下保持不变。
常见的对称性有奇偶性、轴对称性和中心对称性。
首先，奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值不变。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
例如，常见的二次函数y = x²就是一个典型的偶函数，而正弦函数sin(x)则是一个典型的奇函数。
奇偶函数通过其特定的对称性带来了许多在数学和物理领域中的应用。
其次，轴对称性是指函数相对于某一条直线对称。
这条直线称为对称轴。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则对称轴为y轴；而如果函数f(x)满足f(x) = f(-x)，则对称轴为x轴。
例如，二次函数y = x²是以y轴为对称轴的轴对称函数。
最后，中心对称性是指函数相对于一个点对称。
这个点称为中心。
如果函数f(-x) = -f(x)，则中心对称。
例如，正弦函数sin(x)就是以原点为中心的中心对称函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定距离上具有相同的性质或数值。
一个函数f(x)是周期函数，如果存在一个正数T使得对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)。
这个最小的正周期T被称为函数的周期。
常见的周期函数有三角函数（如正弦函数、余弦函数）和指数函数。
以正弦函数为例，它的周期是2π。
即对于任意自变量x，有sin(x+2π)= sin(x)。
而指数函数f(x) = eˣ的周期是无穷大，即对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，其中T可以是任意实数。
周期函数在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。
例如，交流电的电流和电压可以被建模为周期函数，这是交流电工程中的一个重要应用。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
完整版)函数的周期性与对称性总结
完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。
2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。
如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。
2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。
3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。
4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。
5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。
6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。
7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。
8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。
(完整版)函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。
又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。
从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。
命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
函数周期性与对称性
方法点拨
结论 1: f ( x a) f ( x b)型: f (x) 的周期为| b a | .
例 1:定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (x 6) f (x) .当 3 x 1 时, f (x) (x 2)2 ,
当 1 x 3时, f (x) x ,则 f (1) f (2) f (2018) ( ) .
推论 2:函数 y f (x) 与 y f (2a x) 图像关于直线 x a 对称.
推论 3:函数 y f (x) 与 y f (2a x) 图像关于直线 x a 对称.
2.函数
y
f
(a x) 与 y
f
(b
x)
图像关于点
b
2
a
,
0
对称.
推论 1:函数 y f (a x) 与 y f (a x) 图像关于点(0, 0) 对称.
a( ).
A. 1 B. 1
C. 2
D. 4
考点探究
函数对称性和周期性
1. 两线对称型:函数 f (x) 关于直线 x a, x b 对称,则 f (x) 的周期为| 2b 2a | .
【证明】
2. 一线一点对称型:函数 f (x) 关于直线 x a 及点(b, 0) 对称,则 f (x) 的周期为 | 4b 4a | .
考点探究
结论 3: f (x a) 1 型: f (x) 的周期为2a . f (x)
例 3:知定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (x 4) f (x) 1 ,若 f (0) 2016 ,则 f (2016) ________.
考点探究
结论 4: f (x a) 1 型: f (x) 的固期为2a . f (x)
第七讲函数之周期性与对称性
第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
函数的对称性与周期性
在区间[ , ] 上零点的个数为_________.
(2).已知函数 y f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且 x [0,2] 时, f (x) (x 1)2 ,若令函数
g(x) f (x) log5 | x 1| ,则函数 y g(x) 的左右零点之和为(
)
i 1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
例
5. 已 知 函 数
f
(x)
| |
x 2 |, x 0 log2 x |, x 0
，
若
关
于
x
的方程
f (x) a
有四个不同的解
x1, x2 , x3, x4 且 x1 x2 x3 x4 ,求 x1x2 x3x4 的取值范围.
(减)，则 y f (x) 在 (a kT , b kT ), (k Z ) 上单调增(减).
例 10.(1). 函 数 y f (x) 满 足 f (x) f (4 x) ， 当 x [0,4)时，f (x) x2 1 ， 求
f (2014) _______.
g(x)
f
(x) ，当
x a 时，g(x) g(2a x) ，若关于 x 的方程 g(x) x a 0 有且仅有一个实数根，则 a
的取值范围为( )
A. (,0] (2,) C. (,1] (2,)
B. (,0] (9 ,) 4
D. (,1] (9 ,) 4
一 般 地 , 若 函 数 y f (x) 满 足 f (a x) f (b x) c , 则 函 数 的 图 象 关 于 点 ( a b , c ) 对称.
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函数之周期性与对称性的理解
首先请大家辨析一下这几个等式关系:
2
)2()()62
)2()(5)
2()()4)2)()30
)2()(20
)2()(1=++=+-++-=+==++=+-+x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ）（）） 以上6个等式,其中1)、4)、5)就是在讲对称性,2)、3)、6)就是在讲述周期性。
在教学过程中,我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析,其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析:
“同周期、异对称”
1）、4)、5)中x 的系数相同,即为周期,2)、3)、6)中x 的系数相异,即为对称,这样我们就能迅速辨析哪些就是在讲周期,哪些就是对称。
那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又就是大家一个容易混淆的点。
一、下面先讲对称问题的理解,以1)为例:
0)2()(=+-+x f x f
我们要从本质上理解这个等式:令第一个括号里的1x x =,22x x =+-,则满足221=+x x ,即横坐标的与为2,那就意味着两个横坐标的中点为1=x 。
同样的,令
1)(y x f =,2)2(y x f =+-,则满足021=+y y ,即这两个点的纵坐标与为零,那就意味着纵坐标互为相反数。
那么如果现在我换种方式描述,我说两个点),(),(2211y x y x 与,满足221=+x x ,021=+y y ,那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。
由图1我们可以很直观的瞧出来这两个点关于(1,0)中心对称,这两个点都在y=f(x)上,从而整个
函数关于(1,0)中心对称。
同样的,我们分析4),2121,2y y x x ==+,在图像上表示对称关系如下:A 、B 两点关于x=1轴对
称,那么以后遇到对称性问题,我们只需在脑海里画两个点,这样函数的对称性就清晰了。
同理,我们来瞧一下6),221=+x x ,221=+y y ,在坐标系下表示两个点后,很容易理解这个函数关于(1,1)中心对称。
所以,我们0)97()99(0)2()(=--++=+-+x f x f x f x f 与都就是表示函数y=f(x)关于(1,0)中心对称,抓住核心本质,221=+x x ,021=+y y 。
现在大家再回过头来瞧几个常见的对称性结论,就是不就是觉得清晰多了呢？
比如: 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时,函数()y f x =的图像关于直线
2
a b x +=对称; 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时,函数()y f x =的图像关于点(,)22
a b c +对称; 二、周期性
周期性的证明都就是“退一步海阔天空”3)这种类型很直观,周期为2,2)、6)属于同一种类型,都就是与定型,周期为4,具体证明大家自己尝试一下,常见的周期性模型也请大家自己去总结,这个一般的参考书上都有。
重要的就是它的证明,请大家自己多思考。
三、周期性与对称性结合
真正让周期与对称结合起来的三个结论很重要,在这里加以阐述
1、 如果函数y=f(x)同时关于(a,0)、(b,0)中心对称,那么这个函数的最小正周期为a b T -=2 证明:函数关于(a,0)中心对称,则0)2()(=++-a x f x f ,同理0)b 2()(=++-x f x f ,两式相减,得)2()2(b x f a x f +=+,从而a b T -=2
下面请大家自行证明下面两个结论:
2. 如果函数y=f(x)同时关于x=a 、x=b 轴对称,那么这个函数的最小正周期为a b T -=2
3. 如果函数y=f(x)同时关于(a,0)中心对称,x=b 轴对称,那么这个函数的最小正周期为a b T -=4。
下面给两个练习让大家熟悉一下:
已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-,(3)()f x f x -=,则(2019)f =( )
A.3-
B.0
C.1
D.3
定义在R 上的奇函数)(x f ,对于R x ∈∀,都有)4
3()43
(x f x f -=+,且满足2)4(->f ,m
m f 3)2(-
=,则实数m 的取值范围就是 、 另外提供一个思考点: 对于函数y=f(x),如果满足)1()1(--=+x f x f ,那么函数f(x)关于y 轴对称
那么现在请问:)1(+=x f y 与函数关于什么对称呢)1(--=x f y ？两者有什么区别？。