理论力学PPT课件第1章 力系的简化(2)
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理论力学课件
理论力学Theoretical Mechanics综合实验楼504 yliu5@要求•上课认真听讲，作笔记，积极思考•及时完成作业考核平时+研究性学习报告+期末绪论1．关于力学2．力学的发展简史3．力学的学科性质4．力学的研究方法5．力学的学科分类6．关于理论力学第1章静力学基本概念§1-1 刚体和力的概念§1-2 静力学公理§1-3 力的解析表示吊车梁的弯曲变形一般不超过跨度（A、B间距离）的1/500，水平方向变形更小。
因此，研究吊车梁的平衡规律时，变形是次要因素，可略去不计。
实际物体受力时，其内部各点间的相对距离都要发生改变，其结果是使物体的形状和尺寸改变，这种改变称为变形（deformation）。
物体变形很小时，变形对物体的运动和平衡的影响甚微，因而在研究力的作用效应时，可以忽略不计，这时的物体便可抽象为刚体(rigid body)。
如果变形体在某一力系作用下已处于平衡，则将此变形体刚化为刚体时，其平衡不变，这一论断称为刚化原理(rigidity principle)。
当研究航天器轨道问题时——质点当研究航天器姿态问题时——刚体、质点系、刚体系2．力的概念力（Force）是物体间相互的机械作用力对物体产生的效应一般可分为两个方面：一是物体运动状态的改变，另一个是物体形状的改变。
通常把前者称为力的运动效应（effect of motion），后者称为力的变形效应（effect of deformation）。
理论力学中把物体都视为刚体，因而只研究力的运动效应，即研究力使刚体的移动或转动状态发生改变这两方面的效应。
来表示，如图。
物体受力一般是通过物体间直接或间接接触进行的。
接触处多数情况下不是一个点，而是具有一定尺寸的面积。
因此无论是施力体还是受力体，其接触处所受的力都是作用在接触面积上的分布力（distributed force）。
当分布力作用面积很小时，为了分析计算方便起见，可以将分布力简化为作用于一点的合力，称为集中力（concentrated force）。
理论力学(大学)课件8.1 空间任意力系向一点的简化及结果分析
空间任意力系及重心的计算
c. 简化为合力偶
⑤ FR′= 0, MO≠0
一个合力偶 与简化中心无关。 d. 平衡
⑥ FR′= 0, MO= 0
平衡
平面任意力系简化的最后结果
只能是合力、合力偶、平衡三种情况，不可能出现力螺旋。
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋 由一个力和一个力偶组成的力系, 并且力垂直于力 偶的作用面。
MO O F'R
F'R O
右螺旋
F'R O
F'R O
MO
左螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
钻头钻孔时施加的力螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
å å å 方向 cos(FR¢ , i) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , j) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , k) =
Fiz FR¢
作用点: 一般令其作用于简化中心上
空间任意力系及重心的计算
空间力偶系的合力偶矩
å å MO = Mi = MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间任意力系及重心的计算
汇交力系的合力
FR¢ = å Fi = å Fxi + å Fy j + å Fzk
主矢
F1¢
M2
M1
FR¢ F2¢
Fn¢ M n
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
•
•
v Fn
=
X niv
•
+ Yn
vj
+
v Znk
z
Fn O x
Fi
F1 y
F2
∑ X1 + X 2 +L+ X n = X
∑ Y1 + Y2 + L + Yn = Y
∑ Z1 + Z2 + L + Zn = Z
v FV
=
(∑
X
)iv
+ (∑Y )vj
+ (∑ Z )kv
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
合力解析表达式Fv形R式= (−153.6iv −170.5 vj )N
合力的大小和方向
∑ ∑ FR = ( X )2 + ( Y )2 = 229.5N
θ
=
arctan
∑Y ∑X
= 47.98°
y
θO x
FR
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 2、汇交力系合成的几何法
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
理论力学课件
约束类型与实例
光滑圆柱铰链约束实例
第一章 静力学公理和物体的受力分析
§1–4 约束和约束反力
约束类型与实例
第一章
静力学公理和物体的受力分析
§1–4 约束和约束反力
约束类型与实例
光滑圆柱铰链约束实例
第一章 静力学公理和物体的受力分析
§1–4 约束和约束反力
约束类型与实例
光滑圆柱铰链约束实例
例如：研究飞机整体运动；机翼的强度或者刚度
第一章 静力学公理和物体的受力分析
§1–2
力
第一章
静力学公理和物体的受力分析 §1–2
力
§ 1–2
力
1.力的定义 力是物体相互间的机械作用，其作用结 果使物体的形状和运动状态发生改变。 外效应—改变物体运动状态的效应。 2. 力的效应 内效应—引起物体变形的效应。材料力学 大小 方向
体
第一章
静力学公理和物体的受力分析
§ 1 –1
刚
体
刚体——在外界的任何作用下形状和大小都始终保持 不变的物体。 或者在力的作用下，任意两点 间的距离保持不变的物体。 刚体是一种理想的力学模型。 刚体是实际物体和构件的抽象和简化。
一个物体能否视为刚体，不仅取决于变形的大
小，而且和问题本身的要求有关。
第一章 静力学公理和物体的受力分析
§1–4 约束和约束反力
约束类型与实例
光滑球铰链约束实例
第一章 静力学公理和物体的受力分析
（3）止推轴承
约束特点：
止推轴承比径向轴承多
一个轴向的位移限制．
有三个正交分力 F Ax , F Ay , F Az
第一章
约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦 ．
理论力学平面任意力系_1简化与平衡
第四章
平面任意力系
平面任意力系： 力系中各力的作用线在同一平面内任意分布
本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题
第一节 平面任意力系向一点的简化
一、力的平移定理 作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力 偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩
F
F
B d
A
F
B d
F
B
说明： 1）可解 2 个未知量
2）矩心位置可任意选择
[例2] 如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为 M 的力偶和集度为 q 的均 布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为 l ，试求 固定端 A 处的约束力。
q
A
M
F
FAx
B
q
A
M
F
a
l
MA
B
FAy
解： 1）选取梁 AB 为研究对象 2）受力分析
2. （一投影两矩式 ）
F 0 M F 0 M F 0
ix
A
i
B
i
其中，A、B 两点连线不垂直于 x 轴
3. （三矩式）
M F 0 M F 0 M F 0
A i B i C i
所受的力大小为 0.85 kN，是拉力。
[例5] 横梁 AB 用三根杆支撑，受图示载荷。已知 F = 10 kN， M = 50 kN· m，若不计构件自重，试求三杆 所受的力。
F
2m 3m
30
2m
3m
30
F
M
B
A
1
45
B
A
45
2
3
M
平面任意力系
平面任意力系： 力系中各力的作用线在同一平面内任意分布
本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题
第一节 平面任意力系向一点的简化
一、力的平移定理 作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力 偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩
F
F
B d
A
F
B d
F
B
说明： 1）可解 2 个未知量
2）矩心位置可任意选择
[例2] 如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为 M 的力偶和集度为 q 的均 布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为 l ，试求 固定端 A 处的约束力。
q
A
M
F
FAx
B
q
A
M
F
a
l
MA
B
FAy
解： 1）选取梁 AB 为研究对象 2）受力分析
2. （一投影两矩式 ）
F 0 M F 0 M F 0
ix
A
i
B
i
其中，A、B 两点连线不垂直于 x 轴
3. （三矩式）
M F 0 M F 0 M F 0
A i B i C i
所受的力大小为 0.85 kN，是拉力。
[例5] 横梁 AB 用三根杆支撑，受图示载荷。已知 F = 10 kN， M = 50 kN· m，若不计构件自重，试求三杆 所受的力。
F
2m 3m
30
2m
3m
30
F
M
B
A
1
45
B
A
45
2
3
M
ch2力矩、力偶、力系的简化
力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO (F )
= ( yFz - zFy )i + ( zFx - xFz ) j + ( xFy - yFx )k
= [ M O ( F )]x i + [ M O ( F )] y j + [ M O ( F )] y k
M x ( F ) = -zFy + yFz
F z = F ⋅ cos γ = F ⋅ sin θ
与平面情形类似
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
Fy F F x cosα = ,cos β = ,cosγ = z F F F
Fz Fy Fx
Fx = Fx , Fy = Fy , Fz = Fz
Fx = Fx i , Fy = Fy j,Fz = Fz k F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k
②投影法（解析法） 投影法（解析法） 建立坐标系如图所示， 建立坐标系如图所示， 三个力在坐标轴上的投影分 别为
F1 x = 0
F2 x = 4kN
F1 y = −3kN
F2 y = 0
F3 x = 5cos 30o = 4.33kN
F3 y = 5sin 30o = 2.5kN
合力F 合力 R 在坐标轴上的投影为
= [MO (F )]x i +[MO (F )]y j +[MO (F )]z k
力矩矢的合成
力对点之矩矢服从矢量合成法则。 力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产 矢量合成法则 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。 一个矩矢度量 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。
理论力学-高教出版-刘又文、彭献著-第1章
方位：沿公法线 FN 指向：压物体
G
G
示意图 1.5
A
FN
示意图 1.6
FAy
A
FAx
圆柱形铰链
中间铰链(见示意图 1.7)
示意图 1.7
10
方位：沿 x 轴 FAx
指向：待定
A
FAy 方位：沿 y 轴
固定铰支座(见示意图 1.8)
方位：沿 x 轴 FAx 指向：待定 FAy 方位：沿 y 轴
FAx
为什么？
C
D
F
A
EF B
(a)
CC FC
FC
C
C
D
FC'
EF D
EF
F
FC′
A
B
FA
FB
(b)
A
B
FA
FB
(c)
3
D
F A
EF B
D
F A
EF B
(d)
(e)
图 1.2
答：改变外力。因在不改变外力的前提下，力沿其作用线滑移只能在同一静
定刚体上。事实上，力 F 作用在 AC 部分时，BC 为二力杆，AC 为三力平衡构件，
网O
A
q
案 答
F
F 450
B 2F
后
课
C
图 1.3
答：对。对于静定结构，力在同一刚体上可以等效变换，此处力并未传到
AC 上，故是可行的，并可简化求解。
二力平衡条件： F1 = −F2 ，等值、反向、共线 (见示意图 1.2) 。
F2
F2
F1
F1
示意图 1. 2
4
4．曲杆 AB 自重不计，仅在 A、B 两点处受力的作用，若 A 点作用力 FA 沿 曲杆轴线的切线方向，如图 1.4 所示。试问曲杆能否平衡？
G
G
示意图 1.5
A
FN
示意图 1.6
FAy
A
FAx
圆柱形铰链
中间铰链(见示意图 1.7)
示意图 1.7
10
方位：沿 x 轴 FAx
指向：待定
A
FAy 方位：沿 y 轴
固定铰支座(见示意图 1.8)
方位：沿 x 轴 FAx 指向：待定 FAy 方位：沿 y 轴
FAx
为什么？
C
D
F
A
EF B
(a)
CC FC
FC
C
C
D
FC'
EF D
EF
F
FC′
A
B
FA
FB
(b)
A
B
FA
FB
(c)
3
D
F A
EF B
D
F A
EF B
(d)
(e)
图 1.2
答：改变外力。因在不改变外力的前提下，力沿其作用线滑移只能在同一静
定刚体上。事实上，力 F 作用在 AC 部分时，BC 为二力杆，AC 为三力平衡构件，
网O
A
q
案 答
F
F 450
B 2F
后
课
C
图 1.3
答：对。对于静定结构，力在同一刚体上可以等效变换，此处力并未传到
AC 上，故是可行的，并可简化求解。
二力平衡条件： F1 = −F2 ，等值、反向、共线 (见示意图 1.2) 。
F2
F2
F1
F1
示意图 1. 2
4
4．曲杆 AB 自重不计，仅在 A、B 两点处受力的作用，若 A 点作用力 FA 沿 曲杆轴线的切线方向，如图 1.4 所示。试问曲杆能否平衡？
理论力学知识点ppt课件
图 (a)
图 (b)
图 (c)
6
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
由此可见，对于刚体来说，作用其上力的三要素是：力的 大小、方向和作用线。此时，力是一个滑动矢量。
公理3 力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。合力 的作用点仍在该点，其大小和方向由这两个力为边构成的平行 四边形的对角线来确定。如图(a)所示。即
பைடு நூலகம்
FR=F1+F2
也可以由力的三角形来确定合力的大小和方向，如图 (b)(c )。
图(a)
图(b)
7
图(c)
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
推论 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任意两个力 的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点， 且三个力的作用线在同一平面内。
5
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
由此公理可以导出下列推论： 推论 力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体内 任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
证明：刚体上的点A处作用有力F，如图（a）所示。根 据公理2，可在力F的作用线上任取一点B，加上一对平衡 力F1和F2，使其 F=F2 = - F1 ，如图 (b)所示。再根据公 理2，去掉一对平衡力系F和 F1 ，这样只剩下力 F2 = F,如 图 (c )所示,即将力 F沿其作用线移到了点B。
根据力的定义，约束对其被约束物体的作用，实际上就 是力的作用，这种力称为约束力。它的大小是未知的，以后 可用平衡条件求出，但它的方向必与该约束对被约束的物体 所能阻止的位移方向相反。
11
静力学
理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力的可传递性
在刚体上作用三个相互平行的力，这三个力是等效的，即 它们可以互相替换而不改变刚体的运动状态。
04
CATALOGUE
刚体的转动
刚体的定轴转动
定义
刚体绕某一固定轴线旋转的转动称为定轴转动 。
描述参数
定轴转动的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到旋转轴的距离保持不变，刚体上各点的线速度大小相等，但 方向不同。
刚体的平面运动
描述参数
刚体的平动和绕某轴的转动。
定义
刚体的运动轨迹位于一个平面内，称为平面 运动。
运动特点
刚体上任意一点的速度方向与平面平行，刚 体上各点的速度大小相等。
刚体的定点运动
定义
刚体绕通过某固定点O的轴线旋转的转动称为定点转动。
描述参数
刚体的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到定点O的距离保持不变，刚体上各点的线速度 大小相等，但方向不同。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（N·m ）。
力矩的几何意义
表示方法
力矩的几何意义可以通过向量点积来 表示，即M=r×F，其中r表示从转动 轴到作用点的矢量，×表示向量点积 。
方向
力矩的方向与力臂的方向垂直，遵循 右手定则，即右手握拳，四指指向转 动方向，大拇指指向即为力矩的方向 。
力矩的物理意义
转动效果
力矩描述了力对物体转动的效应，它决定了物体转动 的角速度和角加速度。
转动平衡
在转动平衡状态下，合外力矩为零，即物体不发生转 动。
转动惯量
力矩和转动惯量共同决定了物体的转动效果，转动惯 量越大，物体对力矩的响应越慢。
02
CATALOGUE
在刚体上作用三个相互平行的力，这三个力是等效的，即 它们可以互相替换而不改变刚体的运动状态。
04
CATALOGUE
刚体的转动
刚体的定轴转动
定义
刚体绕某一固定轴线旋转的转动称为定轴转动 。
描述参数
定轴转动的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到旋转轴的距离保持不变，刚体上各点的线速度大小相等，但 方向不同。
刚体的平面运动
描述参数
刚体的平动和绕某轴的转动。
定义
刚体的运动轨迹位于一个平面内，称为平面 运动。
运动特点
刚体上任意一点的速度方向与平面平行，刚 体上各点的速度大小相等。
刚体的定点运动
定义
刚体绕通过某固定点O的轴线旋转的转动称为定点转动。
描述参数
刚体的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到定点O的距离保持不变，刚体上各点的线速度 大小相等，但方向不同。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（N·m ）。
力矩的几何意义
表示方法
力矩的几何意义可以通过向量点积来 表示，即M=r×F，其中r表示从转动 轴到作用点的矢量，×表示向量点积 。
方向
力矩的方向与力臂的方向垂直，遵循 右手定则，即右手握拳，四指指向转 动方向，大拇指指向即为力矩的方向 。
力矩的物理意义
转动效果
力矩描述了力对物体转动的效应，它决定了物体转动 的角速度和角加速度。
转动平衡
在转动平衡状态下，合外力矩为零，即物体不发生转 动。
转动惯量
力矩和转动惯量共同决定了物体的转动效果，转动惯 量越大，物体对力矩的响应越慢。
02
CATALOGUE
理论力学第1章 1-2
F F
刚体
F
变形体
P
P
P
P
• 不平行三力平衡
基本原理
作用在刚体上、作用线处于同一平面 内的三个互不平行力平衡的必要与充分 条件是：三力的作用线必须汇交于一点， 三力矢量按首尾相连的顺序构成一封闭 三角形，或称为力三角形封闭。
• 不平行三力平衡
作用在刚体上的三个力相 互平衡时,若其中两个力的 作用线相交于一点,则第三 个力的作用线必通过该点 (且在同一个平面内)
第一篇 静力学
主要内容： 研究刚体在力系作用下的 平衡规律
1. 物体的受力分析 2. 力系的简化 3. 刚体的平衡条件
第一章 静力学基础
§1-1 静力学基本概念
1. 质点与刚体 2. 力与力系 3. 力系平衡
基本概念
1.刚体的概念
刚体是指在力的作用下不变形的物体
F
B A
2.力与力系的概念
• 4.刚化原理
若变形体在某个力系作用下处于平衡 状态,则将此物体固化成刚体(刚化)时其 平衡不受影响.
§1-2 静力学基本原理
1. 二力平衡公理 2. 加减平衡力系原理 3. 作用与反作用定律 4. 刚化原理
• 1.二力平衡公理
基本原理
作用在刚体上的两个力平衡的 必要和充分条件是：两力等值 . 反向. 共线
F2 F2
F1
F1
二力构件：在两个力作用下 处于平衡的构件。
P
基本原理
B
FB
B
A
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
FC
• 2.加减平衡力系原理
基本原理
在作用于刚体的力系中，加上或减去任 意个平衡力系，不改变原力系对刚体的作 用效应。
刚体
F
变形体
P
P
P
P
• 不平行三力平衡
基本原理
作用在刚体上、作用线处于同一平面 内的三个互不平行力平衡的必要与充分 条件是：三力的作用线必须汇交于一点， 三力矢量按首尾相连的顺序构成一封闭 三角形，或称为力三角形封闭。
• 不平行三力平衡
作用在刚体上的三个力相 互平衡时,若其中两个力的 作用线相交于一点,则第三 个力的作用线必通过该点 (且在同一个平面内)
第一篇 静力学
主要内容： 研究刚体在力系作用下的 平衡规律
1. 物体的受力分析 2. 力系的简化 3. 刚体的平衡条件
第一章 静力学基础
§1-1 静力学基本概念
1. 质点与刚体 2. 力与力系 3. 力系平衡
基本概念
1.刚体的概念
刚体是指在力的作用下不变形的物体
F
B A
2.力与力系的概念
• 4.刚化原理
若变形体在某个力系作用下处于平衡 状态,则将此物体固化成刚体(刚化)时其 平衡不受影响.
§1-2 静力学基本原理
1. 二力平衡公理 2. 加减平衡力系原理 3. 作用与反作用定律 4. 刚化原理
• 1.二力平衡公理
基本原理
作用在刚体上的两个力平衡的 必要和充分条件是：两力等值 . 反向. 共线
F2 F2
F1
F1
二力构件：在两个力作用下 处于平衡的构件。
P
基本原理
B
FB
B
A
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
FC
• 2.加减平衡力系原理
基本原理
在作用于刚体的力系中，加上或减去任 意个平衡力系，不改变原力系对刚体的作 用效应。
最新1第一章力和力矩解析ppt课件
2020/11/27 理论力学教案
二力杆
10
AEG在自重不计的情况下可简化为两力体。
2020/11/27 11
理论力学教案
增减平衡力系公理
在已知力系上增加或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用。 推论：力的可传性原理
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
用一个简单力系等效替换一个复杂力系，称为力系的简化。
若力系与一个力等效，则称后者为该力系的合力。 平衡力系也可定义为简化结果为零的力系。
2020/11/27 6
理论力学教案
静力学的五个公理 （1）二力平衡公理； （2）增减平衡力系公理； （3）力的平行四边形公理； （4）作用与反作用公理； （5）刚化公理。
二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 |
方向相反、作用线共线， F1 = –F2
作用于同一个物体上。
2020/11/27 9
理论力学教案
对刚体来说，上面的条件是充要的。 对变形体来说，上面的条件只是必要条件。
二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
利用几何关系导出
F1
F1
F2
F
W
2sin
W
F2
代入 W10 N ,5， 算出 F57 .4N，
约为重力的6倍。
2020/11/27 17
理论力学教案
讨论1
人重150斤，绳的最大拉力为170斤，绳长
11米，不可伸长。人能不能用手攀绳到对面？
2020/11/27
10米
18
理论力学教案
平面力系的简化
cos
FRy FR
式中： ， ——分别是 与x轴和y轴的夹角
固定端（插入端）约束。
它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全 固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。
例
（a）
图 2-13
（b）
固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个 分布力系。如图所示
O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则 d | MO | / | FR |。
情况（3）证明 其中 O 为合力 FR 的作用点，
（a）
（b）
（c）
FR FR FR M (FR ，FR) MO
图 2-15
另外，由图2-15（b）及证明过程知
n
MO (FR ) FR d MO MO (Fi ) i 1
注意
固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。 从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动， 而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动； 从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样， 用一对正交分力表示约束力的主矢之外， 还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。
点A处的力F就由点B处的力 F F 及附加力偶等效代替了， 而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。
意义
在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。 在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。
例
攻螺纹用的铰杠丝锥
图 2-11 （a）
图 2-11 （b）
二、平面力系的简化 主矢与主矩
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，
(PPT幻灯片版)理论力学课件
F1
刚体
大小相等 | F1 | = | F2 | 方 向相反 F1 =－F2 (矢量) 且 在同一直线上。
F2
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的； ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件。
绳子
F2
平衡
F1
F2 不平衡
F1
F2
绳子
不平衡
F1
对多刚体不成立
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
中南大学土木建筑学院
57
[例] 画出下列各构件的受力图
D
F2
B
F1
A
FAy FBy FBx B
E
FAx
FCx
C
FCy F2
E
FB
FE
FD F3
G
F3 FC
G FCx
FBy
B
F1 二力构件
F1 二力杆
F2
F2
注意：二力构件是不计自重的。
公理3 加减平衡力系原理
在已知的任意力系上加上或减去任意一个平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。
理论力学
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12
推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
点，而不改变该力对刚体的作用效应。
A F B 等效 A F F B F 等效 A F F B F
理论力学
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46
理论力学
中南大学土木建筑学院
47
（3）止推轴承（圆锥轴承）
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正
理论力学第1章-力系的简化
第一篇 静力学
几何静力学: 刚体: 力: 力系: 等效力系: 平衡力系: 平衡条件: 基本任务:
用矢量方法研究物体的平衡规律。 不变形的物体、任意两点距离保持不变 相互作用、产生外或内效应、三要素（矢量） 平面 (一般、平行 、汇交) 一组力： 空间 具有相同的外效应（力系的等效、简化） 作用在平衡物体上的力系、与零力系等效 平衡力系满足的条件 力系的简化与力系的平衡
合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。 (2)对轴 上式在任意轴投影 M x (FR ) M x (Fi ) 上述证明是对汇交力系完成的，但是合力矩定理 适用于合力存在的任意力系！
1.2.3 力偶 1.力偶的概念 1)实例:
F
F
2)定义: 两个等值、反向的平行力，记为 ( F , F )
a
z
M
n
a
o
a
y
x
3 Mx My Mz M 3
1.2.3 力偶 3.合力偶矩定理 1)对点:
z
z
M1
Mn
M
M2
Mn
M1 M2
o
M n-1
x y
o
M n-1
x
M3
M3
y
M Mi
合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
1.2.3 力偶 2)对轴:
上式投影
M x M ix M y M iy M z M iz
1.1 静力学公理 推论1 (力对刚体的可传性）
B A
加
F
B
F
减
B
F
A
A
F F 力对刚体为滑移矢量。作用点
作用线
适用:
同一刚体
1.如图，力F滑移，改变哪些受力与变形?
几何静力学: 刚体: 力: 力系: 等效力系: 平衡力系: 平衡条件: 基本任务:
用矢量方法研究物体的平衡规律。 不变形的物体、任意两点距离保持不变 相互作用、产生外或内效应、三要素（矢量） 平面 (一般、平行 、汇交) 一组力： 空间 具有相同的外效应（力系的等效、简化） 作用在平衡物体上的力系、与零力系等效 平衡力系满足的条件 力系的简化与力系的平衡
合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。 (2)对轴 上式在任意轴投影 M x (FR ) M x (Fi ) 上述证明是对汇交力系完成的，但是合力矩定理 适用于合力存在的任意力系！
1.2.3 力偶 1.力偶的概念 1)实例:
F
F
2)定义: 两个等值、反向的平行力，记为 ( F , F )
a
z
M
n
a
o
a
y
x
3 Mx My Mz M 3
1.2.3 力偶 3.合力偶矩定理 1)对点:
z
z
M1
Mn
M
M2
Mn
M1 M2
o
M n-1
x y
o
M n-1
x
M3
M3
y
M Mi
合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
1.2.3 力偶 2)对轴:
上式投影
M x M ix M y M iy M z M iz
1.1 静力学公理 推论1 (力对刚体的可传性）
B A
加
F
B
F
减
B
F
A
A
F F 力对刚体为滑移矢量。作用点
作用线
适用:
同一刚体
1.如图，力F滑移，改变哪些受力与变形?
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M O(F R) M O(F i)
相应地对轴有
M x(F R) M x(F i)
这就是合力矩定理.
用途: 简化计算
24.11.2020
.
26
四. 力偶及力偶矩
F
1 力偶的概念 F
定义：两个等值、反向的平行力，记为 (F , F )
M
M
2 力偶矩矢
A
F
F h
B
rA
rB
O
M 0 (F ,F ') r B F rA F '而 rA A B rB ,F F '
适应: 汇交力系、任何物体（刚体、变形体）
24.11.2020
.
6
2. 二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条 件是：这两个力大小相等 | F1 | = | F2 |;
方向相反、作用线共线，
F1 = - F2
作用于同一个物体上。
用途：最基本平衡条件 适应：同一刚体
[例](见教材P8)
F
ξ
•投影是一个代数量
e •投影的大小:几何上就是过矢
量的始末两端分别向投影轴 O
F
引垂线所截得的线段长。
•沿ξ轴的力可表示为 F F e
24.11.2020
.
14
二.力在直角坐标轴上的投影 1. 一次投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
F Fx2Fy2Fz2
c o s F x,c o s F y,c o s F z.
力的单位： 国际单位制：
F
牛顿(N) ;千牛顿(kN)
集中力与分布力
工程中常用载荷集度表示分布力ห้องสมุดไป่ตู้强弱程度,
用q 表示. 单位有: kN/m3 ,kN/m2,kN/m (三种)。
24.11.2020
.
3
力系及其分类: 力系—作用在物体上的一群力. 空间力系、平面力系 汇交力系、平行力系、一般力系
等效力系—作用效果相同的力系 平衡力系—作用在平衡物体上的全部力 二. 刚体的概念 三. 平衡的概念
MzFxFyyFx
24.11.2020
.
23
24.11.2020
.
24
力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[MO(F)]zMz(F) [MO(F)]xMx(F) [MO(F)]yMy(F)
两例:
24.11.2020
.
25
3.合力矩定理
对于汇交力系,设矩心到汇交点的距离为r,对点有
M O ( F R ) r F R r F i r F i M O ( F i )
18
三. 力矩
24.11.2020
.
19
1. 力对点之矩(矢量)
MO(F)rF
力对点的矩等于矩心到该力作用点 的矢径与该力的矢量积。
24.11.2020
.
20
rxiyjzk
FFxiFyjFzk
i jk MO(F) rF x y z
Fx Fy Fz
( y F z z F y ) i ( z F x x F z ) j ( x F y y F x ) k
F
F
F
[投影与分量的矢量表示]
24.11.2020
.
15
2. 二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到 xoy 平面上， 然后再投影到x、y轴上，即:
F xF xy co sF co cso s
F yF xy sin F co ssin
Fz Fsin
FFxiFyjFzk
24.11.2020
.
16
静力学篇
几何静力学 —用矢量方法研究物体的平衡规律 研究内容 —力系的简化（理论基础）
—力系的平衡
公理化理论体系
分析静力学(虚功原理)
24.11.2020
.
1
第1章 力系的简化
24.11.2020
.
2
§1.1 静力学基本概念与公理
一、力的概念 定义：力是物体之间的相互机械作用。
力的效应: 运动效应(外效应);变形效应(内效应)。 力的三要素：大小，方向，作用点
[ M o ( F ) ] x i [ M o ( F ) ] y j [ M o ( F ) ] z k
24.11.2020
.
21
24.11.2020
.
22
[M o(F)]zxFyyFx
2.力对轴之矩(代数量)
M z(F ) M z(F x y) (rx y F x y)k
rxy xi yj Fxy FxiFyj
24.11.2020
.
7
二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
二力杆
对刚体来说，上面的条件是必要且充分的; 对变形体来说，上面的条件只是必要而非充分的。
24.11.2020
.
8
3. 加减平衡力系公理
在已知力系中添加或除去任一平衡力系，并不改 变原力系对刚体的作用。
用途：力系等效替换与简化 适应：同一刚体
24.11.2020
.
17
3. 合力投影定理
对于汇交力系,前述有 FR Fi
Fi FixiFjyjFjzk
F RFRxiFRyjFRzk
F R xF ix ,F R yF iy ,F R zF iz
称为合力投影定理,用此可求得合力大小和方向.
[合力大小和方向的表达式]
24.11.2020
.
24.11.2020
.
12
5. 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形 体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
刚体平衡条件对变形体是必要而非充分。 用途：提供用刚体模型研究变形体平衡的依据。
24.11.2020
.
13
§1.2 力的投影、力矩与力偶
一. 力在任意轴上的投影
F FcosFe
24.11.2020
.
4
1.力的平行四边形公理
合力可由力的平行四边形来作，也可用力的三
角形来作。 FR F1 F2
合力的大小和方向分别是
FR F 12F222F 1F2cos
F1
FR
sin sin(180)
24.11.2020
.
5
可推广到一般(汇交力系):
力的多边形法则：
FR Fi
用途: 力系简化的基础(规则)
[不适用两例](见教材P9)
24.11.2020
.
9
推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内
的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。
[不适用两例](同前)
24.11.2020
.
10
推论2: 三力平衡汇交定理
刚体在三力作用下平衡，如果其中二力作用线 相交，则第三力必位于前 二力所构成的平面上，且 作用线经过前二力的交点。即
F2
如果三力中有二力相交， 则三力共面汇点。
[思考、推广与反例](见教材P11)
O
F1
F3
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.
11
4. 作用力和反作用力公理
两物体之间的作用力与反作用力同时 存在，且大小相等、方向相反、沿同一作 用线, 分别作用于不同的物体上。
吊灯
用途：物系受力分析基础 适应：一切物体、静力与动力分析
相应地对轴有
M x(F R) M x(F i)
这就是合力矩定理.
用途: 简化计算
24.11.2020
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四. 力偶及力偶矩
F
1 力偶的概念 F
定义：两个等值、反向的平行力，记为 (F , F )
M
M
2 力偶矩矢
A
F
F h
B
rA
rB
O
M 0 (F ,F ') r B F rA F '而 rA A B rB ,F F '
适应: 汇交力系、任何物体（刚体、变形体）
24.11.2020
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6
2. 二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条 件是：这两个力大小相等 | F1 | = | F2 |;
方向相反、作用线共线，
F1 = - F2
作用于同一个物体上。
用途：最基本平衡条件 适应：同一刚体
[例](见教材P8)
F
ξ
•投影是一个代数量
e •投影的大小:几何上就是过矢
量的始末两端分别向投影轴 O
F
引垂线所截得的线段长。
•沿ξ轴的力可表示为 F F e
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二.力在直角坐标轴上的投影 1. 一次投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
F Fx2Fy2Fz2
c o s F x,c o s F y,c o s F z.
力的单位： 国际单位制：
F
牛顿(N) ;千牛顿(kN)
集中力与分布力
工程中常用载荷集度表示分布力ห้องสมุดไป่ตู้强弱程度,
用q 表示. 单位有: kN/m3 ,kN/m2,kN/m (三种)。
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力系及其分类: 力系—作用在物体上的一群力. 空间力系、平面力系 汇交力系、平行力系、一般力系
等效力系—作用效果相同的力系 平衡力系—作用在平衡物体上的全部力 二. 刚体的概念 三. 平衡的概念
MzFxFyyFx
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力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[MO(F)]zMz(F) [MO(F)]xMx(F) [MO(F)]yMy(F)
两例:
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3.合力矩定理
对于汇交力系,设矩心到汇交点的距离为r,对点有
M O ( F R ) r F R r F i r F i M O ( F i )
18
三. 力矩
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1. 力对点之矩(矢量)
MO(F)rF
力对点的矩等于矩心到该力作用点 的矢径与该力的矢量积。
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rxiyjzk
FFxiFyjFzk
i jk MO(F) rF x y z
Fx Fy Fz
( y F z z F y ) i ( z F x x F z ) j ( x F y y F x ) k
F
F
F
[投影与分量的矢量表示]
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2. 二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到 xoy 平面上， 然后再投影到x、y轴上，即:
F xF xy co sF co cso s
F yF xy sin F co ssin
Fz Fsin
FFxiFyjFzk
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静力学篇
几何静力学 —用矢量方法研究物体的平衡规律 研究内容 —力系的简化（理论基础）
—力系的平衡
公理化理论体系
分析静力学(虚功原理)
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第1章 力系的简化
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2
§1.1 静力学基本概念与公理
一、力的概念 定义：力是物体之间的相互机械作用。
力的效应: 运动效应(外效应);变形效应(内效应)。 力的三要素：大小，方向，作用点
[ M o ( F ) ] x i [ M o ( F ) ] y j [ M o ( F ) ] z k
24.11.2020
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21
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[M o(F)]zxFyyFx
2.力对轴之矩(代数量)
M z(F ) M z(F x y) (rx y F x y)k
rxy xi yj Fxy FxiFyj
24.11.2020
.
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二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
二力杆
对刚体来说，上面的条件是必要且充分的; 对变形体来说，上面的条件只是必要而非充分的。
24.11.2020
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8
3. 加减平衡力系公理
在已知力系中添加或除去任一平衡力系，并不改 变原力系对刚体的作用。
用途：力系等效替换与简化 适应：同一刚体
24.11.2020
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3. 合力投影定理
对于汇交力系,前述有 FR Fi
Fi FixiFjyjFjzk
F RFRxiFRyjFRzk
F R xF ix ,F R yF iy ,F R zF iz
称为合力投影定理,用此可求得合力大小和方向.
[合力大小和方向的表达式]
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5. 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形 体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
刚体平衡条件对变形体是必要而非充分。 用途：提供用刚体模型研究变形体平衡的依据。
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§1.2 力的投影、力矩与力偶
一. 力在任意轴上的投影
F FcosFe
24.11.2020
.
4
1.力的平行四边形公理
合力可由力的平行四边形来作，也可用力的三
角形来作。 FR F1 F2
合力的大小和方向分别是
FR F 12F222F 1F2cos
F1
FR
sin sin(180)
24.11.2020
.
5
可推广到一般(汇交力系):
力的多边形法则：
FR Fi
用途: 力系简化的基础(规则)
[不适用两例](见教材P9)
24.11.2020
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推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内
的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。
[不适用两例](同前)
24.11.2020
.
10
推论2: 三力平衡汇交定理
刚体在三力作用下平衡，如果其中二力作用线 相交，则第三力必位于前 二力所构成的平面上，且 作用线经过前二力的交点。即
F2
如果三力中有二力相交， 则三力共面汇点。
[思考、推广与反例](见教材P11)
O
F1
F3
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4. 作用力和反作用力公理
两物体之间的作用力与反作用力同时 存在，且大小相等、方向相反、沿同一作 用线, 分别作用于不同的物体上。
吊灯
用途：物系受力分析基础 适应：一切物体、静力与动力分析