多元复合函数的求导法则59136

当然，
我们会求它的
但是，
若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，
那么，它们的复合函数也是抽象函数， 又怎么求？
它的偏导数
这是一个新问题，
要求出这样一个函数的偏导数，
还需要新的公式。
这就是下面要研究的多元函数
的求导法则（或链锁法则）。
按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形
z v
v t
1
u t
2
v t
令 t 0, 取极限，得
lim
t 0
z t
lim
t 0
[ z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v ] t
u (t), v (t)在点t可导
按定义得 :
lim u du t0 t dt
，
lim v t0 t
dv dt
u (t), v (t)在点t连续, 即
在点 t 的导数存在，
且有
z f [(t), (t),(t)]
dz z du z dv z dw （2） dt u dt v dt w dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 如果函数
u 及 (x, y) 在点v(x,y)具(有x对, xy及) 对y的偏导数，函
数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数
第四节 多元复合函数的求导法则
一、 链锁法则 二、 全微分的形式不变性
一、链锁法则
引入： z f (u, v), u (x, y), v (x, y)
复合函数 z f [(x, y), (x, y)]
问：
怎样求它的偏导数？
若上面三个函数都是具体函数，
那么， 它们的
复合函数也是具体函数， 偏导数。
例如上面的(3) z f (u, x, y), u (x, y)
可写为:
z x
f u
u x
+
f 1
= z du z dv u dt v dt
按定义得 : z f [(t), (t)]在点t可导,且其导数
dz = z du z dv dt u dt v dt
注
如果函数
u (t), v 都(t在),点wt 可导(，t函) 数z=f(u,v,w)在对
应点(u,v,w) 具有连续偏导数，则复合函数
(3) z f (u, x, y), u (x, y)
对
自 变 量
z x
z u
u x
+
z
x 1
+
z
y 0
x
的
偏
导 数
=
z u
z
+
u x x
对中间变量 x的偏导数
相同,
但所表示的意思不同!
必须加以区别!
为了避免混淆,
一般地,
将对中间变量的偏导数记为 将对自变量的偏导数记为
f , f , f , f x y u v z , z , z , z x y s t
在点(x,y)的两个偏导数存在，且有
z f [(x, y), (x, y)]
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
（3） （4）
z f (u, v), u (x, y), v ( x , y)
已知 u (x, y), v (x, y) 在点(x,y)具有对x及
同理，将 x 取定为常数，
则可得（4）式.
为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可 清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公
式(3)、(4)的示意图如下：
u z
v
x z z u z v
x u x v x
y z z u z v y u y v y
z z u + z v x u x v x
=
z u
u x
+
z v 0
z u
=
u x
z z u + z dv y u y v dy
(2) z f (u, v,t), u (t), v (t)
dz z du dt u dt
+ z dv v dt
+ z 1
t
= z du + z dv + z u dt v dt t
定理1 设函数 u 及 (t) 都v在点t可(导t)，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)
具有连续偏导数，则复合函数
在点t可导 ，且有
z f [(t), (t)]
dz z du z dv (1) dt u dt v dt
证：给 t 一个增量t 0，这时 u (t), v (t)
的对应增量为 u , v,
t 0时，有u 0,v 0, 即 (u, v) (0,0)
lim
t 0
1
lim
(u, v)
1
(0,0)
0
lim 2
t 0
lim
(u, v)
2
(0,0)
0
lim
t 0
z t
lim [ z t0 u
u t
z v
v t
1
u t
2源自文库
v ] t
= z du z dv 0 du 0 dv u dt v dt dt dt
对y的偏导数，
函数 z=f (u,v) 在对应点 (u , v) 具有
连续偏导数， 得复合函数 z f [ (x , y), (x , y)]
现在，将 y 取定为常数，
则由定理1得
z f [(x , y), (x , y)]
z z u + z v x u x v x
此即（3）式.
对 x 的偏导数存在，且有
由此，函数z=f(u,v)相应地
获得增量 z
函数z f (u,v)在点(u,v)具有连续的偏导数
由第三节定理2 的证明过程，我们可得到
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
其中， 当(u, v) (0,0)时,1 0
当(u, v) (0,0)时,2 0
将上式两边同时除以 ，t 得
z t
z u
u t
求下列函数的复合函数的导数或偏导数
(1) z f (u, v), u (x, y), v ( y) (2) z f (u, v,t), u (t), v (t) (3) z f (u, x, y), u (x, y)
解 (1) z f (u, v), u (x, y), v ( y)
注 设 数，u函数z=(f(xu,,v,yw))、在对v应点(u(,vx,w,)y有)连及都续w在偏点导(数x,y，() 则具x复,有y合对)函x及数对y的偏导
z f [(x, y), (x, y),(x, y)]
在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：
z z u z v z w （5） x u x v x w x z z u z v z w （6） y u y v y w y