多元复合函数的求导法则59136
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多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
[理学]9-4多元复合函数求导法则
![[理学]9-4多元复合函数求导法则](https://img.taocdn.com/s3/m/f654544ac381e53a580216fc700abb68a982ad0c.png)
f2(u, v)
f2,
表示 f 对第二个变量的偏导数.
等等.
其他情况
“连线相乘，分线相加”
u (x, y) z f (u,v, w) v (x, y)
三元套两元
w (x, y)
z f ((x, y), (x, y),(x, y)) z(x, y)
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
z f (u) u (x, y) 一元套多元 z f ((x, y)) z(x, y)
z ? x z ? y
一、链式法则 定理（多元函数与一元函数的复合）
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
t
例2 设
而 x sint, y (t)
其中 (t)可导，求 dz .
dt
解 dz z dx z dy z
dt x dt y dt
x
y
t
z dx z dy x dt y dt
推广
1.上定理的结论可推广到
中间变量多于两个的情况: z f ((t), (t),(t))
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
x y
解: 此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达
式未给出, 只能用链式法则求偏导.
引进中间变量( 引进几个中间变量? ) 记 u = x2 – y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得
z = f (u, v), u = x2 – y2, v = xy.
多元复合函数的求导法则
解: 如左图，有 z z x , z z x z dy s x s t x t y dt
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
注意防止记号的混淆.
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如, z f (x, y), y (x,t)
d(uv) vdu u d v
d(u v) du d v
d
u v
v
d
u v2
u
d
v
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量
和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z (x2 y2 )xy 的全微分和偏导数. 解: 设 u (x2 y2 ) v xy 则 z uv
x
dx
t
dt
x
dx
z
dz
f y
t
z
f z
dz
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例10. 已知 解: 由条件 又因为 所以
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求 两边求微分, 得
解: 解法一，dz z dx z dy
代入
dt x dt y dt
(2xy 3y4)et (x2 12xy3)cost
(2et sin t 3sin4 t)et (e2t 12et sin3 t)cost 解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin4 t， 所以
第四节 多元复合函数的求导法则
= 2u ⋅ cos x − e
x
x
= sin 2 x − e .
3
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 设 z = f ( u , v ) 具 有连续偏导数 , u = ϕ ( x , y ) , 可偏导, v = ψ ( x , y ) 可偏导, 则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )] 可偏导, 可偏导, 且有
dz ∂z duu dt ∂v dt ∂w dt
z
u v w
t
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
2
dz . 例1 设 z = u − v , u = sin x , v = e , 求 dx
2
x
dz ∂z du ∂z d v 解 = ⋅ + ⋅ dx ∂u dx ∂v d x
例10
xy
0
e
−t 3
d t ( x > 0, y > 0)
求
解
∂F ∂F . , ∂x ∂y
u −t 3
F
u
x y
令 u = xy , 则 F (u ) = ∫ e d t 0
∂F d F ∂u y 1 −( −u3 = = e =e ⋅ ∂x d u ∂x 2 xy 2
关于 u 的 一元函数
xy ) 3
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ = ⋅ + ⋅ , + ⋅ . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
链式法则如图示
u
x
z
v
y
5
类似地, 类似地, 设 z = f ( u , v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x, y) , w = ω( x, y) ,则复合函数 z = f [ϕ ( x, y ),ψ ( x, y ), ω ( x, y )] 的偏导数为
x
x
= sin 2 x − e .
3
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 设 z = f ( u , v ) 具 有连续偏导数 , u = ϕ ( x , y ) , 可偏导, v = ψ ( x , y ) 可偏导, 则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )] 可偏导, 可偏导, 且有
dz ∂z duu dt ∂v dt ∂w dt
z
u v w
t
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
2
dz . 例1 设 z = u − v , u = sin x , v = e , 求 dx
2
x
dz ∂z du ∂z d v 解 = ⋅ + ⋅ dx ∂u dx ∂v d x
例10
xy
0
e
−t 3
d t ( x > 0, y > 0)
求
解
∂F ∂F . , ∂x ∂y
u −t 3
F
u
x y
令 u = xy , 则 F (u ) = ∫ e d t 0
∂F d F ∂u y 1 −( −u3 = = e =e ⋅ ∂x d u ∂x 2 xy 2
关于 u 的 一元函数
xy ) 3
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ = ⋅ + ⋅ , + ⋅ . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
链式法则如图示
u
x
z
v
y
5
类似地, 类似地, 设 z = f ( u , v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x, y) , w = ω( x, y) ,则复合函数 z = f [ϕ ( x, y ),ψ ( x, y ), ω ( x, y )] 的偏导数为
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数的求导法则
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
eusin v x eucos v 1exy[x sin(xy)cos(xy)]
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
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uv
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例5 设uf(x y)具有连续的偏导数 把 ( u )2 ( u )2转换成
x y
极坐标系中的形式 解 uf(x y)f(cos sin)F( )
其中 xcosθ ysinθ x2 y 2 arctan y x
v et u (sin t) cos t etcos tetsin tcos t et(cos tsin t)cos t
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例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数
2w w 求 及 x xz
解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
而 zx sin y 求
2ze x
2
2
2
u u 和 x y
解 u f f z 2xex 解
2
y2 z2
y2 z2
2x sin y
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。
设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。
我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。
然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。
将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。
假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。
微积分-多元函数部分(多元复合函数的求导法则、方向导数与梯度)
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
P
当f 不为零时，
都可定出一个向量f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf
( x,
y)
f x
i
f y
j.
设e
cosi
sin
j 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
f cos f sin .
x
y
20
例 1 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）
沿与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
求 z . x
z
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
但z f (0 x,0) f (0,0) lim (x)2 lim x 不存在
x
x
x0 x
x0 x
类似:
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
7.4(1)_多元复合函数的求导法则
f 2 xyf 22 xf12 .
17
多元复合函数的求导法则
设z f (2 x y) g( x, xy),其中f (t )二阶可导 , 2z g( u, v )有连续二阶导数 , 求 . xy 解 设t 2 x y, u x , v xy z y f t 2 g u 1 gv x 2z 2 f t ( 1) [ g uu 0 g uv x ] gv xy x gvu 0] y[ gvv
解
令 u x y z, 记
f ( u , v ) f1 , u
v xyz;
2 f ( u, v ) f12 , uv
. f 22
同理有 f 2,
, f11
w f u f v f1 yzf 2; x u x v x
多元复合函数的求导法则
第 7章
多元函数微分法 及其应用
z
M
z f ( x, y )
y
O
y
P D
x
x
多元复合函数的求导法则
7.4 多元复合函数的求导法则
复合函数的求导法则
一阶全微分形式不变性
小结 思考题
多元函数微分法及其应用
2
多元复合函数的求导法则
一、复合函数求导法(链导法)
复合函数求导法的思路
u u( x x ) u( x ), v v ( x x ) v ( x )
由于已知u(x, y), v(x, y)对x, y的偏导数存在, 因此
当x 0时, 有u 0, v 0, 从而 0, 且
z f u f v lim lim lim , x 0 x u x 0 x v x 0 x
17
多元复合函数的求导法则
设z f (2 x y) g( x, xy),其中f (t )二阶可导 , 2z g( u, v )有连续二阶导数 , 求 . xy 解 设t 2 x y, u x , v xy z y f t 2 g u 1 gv x 2z 2 f t ( 1) [ g uu 0 g uv x ] gv xy x gvu 0] y[ gvv
解
令 u x y z, 记
f ( u , v ) f1 , u
v xyz;
2 f ( u, v ) f12 , uv
. f 22
同理有 f 2,
, f11
w f u f v f1 yzf 2; x u x v x
多元复合函数的求导法则
第 7章
多元函数微分法 及其应用
z
M
z f ( x, y )
y
O
y
P D
x
x
多元复合函数的求导法则
7.4 多元复合函数的求导法则
复合函数的求导法则
一阶全微分形式不变性
小结 思考题
多元函数微分法及其应用
2
多元复合函数的求导法则
一、复合函数求导法(链导法)
复合函数求导法的思路
u u( x x ) u( x ), v v ( x x ) v ( x )
由于已知u(x, y), v(x, y)对x, y的偏导数存在, 因此
当x 0时, 有u 0, v 0, 从而 0, 且
z f u f v lim lim lim , x 0 x u x 0 x v x 0 x
多元复合函数及其求导法则
（10-1）
1.1 多元复合函数的求导法则
证明 因为 z f (u ，v) 具有连续的偏导数，所以它是可微的，即有
dz z du z dv ． u v
又因为 u (t) 及 v (t) 都可导，因而可微，即有
以此代入 dz 的表达式中得
du du dt ， dv dv dt ，
dt
dt
1.1 多元复合函数的求导法则
例 4 设 u f (x ，y ，z) ex2 y2 z2 ， z x2 sin y ，求 u 和 u ． x y
解 u f f z 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y 2x(1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y ， x x z x
dz
z u
du dt
dt
z v
dv dt
dt
z u
du dt
z v
dv dt
dt
，
从而
dz z du z dv ． dt u dt v dt
1.1 多元复合函数的求导法则
推广 设 z f (u ，v ，w) ，u (t) ，v (t) ，w (t) ，则 z f [(t) ， (t) ，(t)] 对 t
6x(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 4(3x2 y2 )4x2 y ln(3x2 y2 ) ， z z u z v v uv1 2y uv ln u 2 y u y v y
2 y(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 2(3x2 y2 )4x2y ln(3x2 y2 ) ．
解 本例中的变量有函数 z ，中间变量u ，v ，自变量 x，y ，根据链式法则式（10-3），有 z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y eu (x sin v cos v) exy[x sin(x y) cos(x y)]．
多元复合函数的求导法则
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
2019年9月7日星期六
(共18页)
9
例 4. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
x 求 z , 2z , 2z .
y y2 xy
….分析:
2z 2z xy yx
x
(
x4
f1
x2
f2)
4x3
f1
x4[
f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f22(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4 yf11
yf
22
.
2019年9月7日星期六
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15
4: 设函数
在点
f f (1,1) 1,
2,
x (1,1)
(x) f (x, f ( x, x)),求
处可微 , 且
f 3, y (1,1)
(2001考研)
分析: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
2019年9月7日星期六
(共18页)
§8.4 多元复合函数的求导法则
设u ( x , y ), v ( x , y )在( x , y )有二阶连续偏导, z f ( u, v )在( u, v )有二阶连续偏导, 则复合函数z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在( x , y )有二阶连续偏导.
求导过程须注意:
u
x
y
z z du dv . v u
无论u, v是自变量还是中间变量 都有 ,
z z dz du dv u v
这就是一阶全微分形式不变性.
例11.设z f ( x y, xy), 求dz.
Solution1. dz
df ( x y, xy)
f1d ( x y) f2d ( xy)
f ( u, v ) f1 f1 , u
f (u, v) f 2 f 2 , v
f (u, v) f11 f11 uu
2
f (u, v) f12 f12 uv
2
f ( u, v ) f21 f21 vu
2
f (u, v) f 22 f 22 vv
y 例10.z f (u, v), f有连续的二阶偏导数，u x y, v , x 2 2
2
z z 求 2, . x xy y 2 Solution. z ( x, y ) f ( x y, ) x
y z 2 xyf 1 f 2 x x
2y 4y x y 2 2 z 2 yf1 3 f 2 4 x y f11 f12 2 f 22 xx x x x 1 y 3 z 2 xf1 2 f 2 2 x yf11 yf12 3 f 22 xy x x
高等数学-电子课件04第九章 第4节多元复合函数求导法则
u y v y
z (udxudy) z ( vdx v dy)
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
15
例 6. zeusiv,n ux,v yxy,求 z, z.
解: dzd(eu sinv )
第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 yf(u),u(x)
求导法则 d y d y du
dx du dx
微分法则 d y f(u )d u f(u )(x )dx
推广 （1）多元复合函数求导的链式法则 （2）多元复合函数的全微分
2
一. 复合函数求导的链式法则
定理 如果函数 u(t),v(t)都在点 t可导,函数
x2z2 y2z2 (x2y2)(fuufvv)
14
二. 复合函数的全微分
设函数 z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) 都可微,
则复合函数 zf((x,y),(x,y))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dx (zuzv)dy
u x v x
f
uv
x yxy
z x
2xf x2 [uf uxfvxv]
2x f x2f1(xy2)x2f2y
12
x
2x f yf1x2yf2
f1( f2)
uy
vx
2z xy
y
2x y(f) y(yf1)x2 y(yf2 )
2x[f uf v] u y v y
f1y[ fu1 u yfv1 yv]
多元函数的微分学多元复合函数求导法则
f1
?
?f
(u, v ) ?u
f 11
?
?2
f (u,v) ?u2
f2
?
?f
(u,v) ?v
f 12
?
? 2 f (u,v) ?v?u
等等。
例6 已知 u ? u( x , y)为可微函数，
试求
?? ?
?u ?x
2
? ? ?
?
????
?u ?y
2
? ?? ?
在极坐标下的表达式。
3、一阶全微分的形式不变性
即
dy df du ??
链式规则
dx du dx
f ( x , y) ? (2 x ? y) x ? 2 y ? cos( x ? 2 y) ? 1 ln( 2 x ? y)
若令u ? 2 x ? y, v ? x ? 2 y, 则函数可以简化为 f (u, v ) ? uv ? cos v ? 1, ln u
第三节 多元复合函数的求导法则
问题： 设f ( x , y) ? (2 x ? y) x ? 2 y ? cos( x ? 2 y) ? 1 ln( 2 x ? y)
如何求 ?f 及 ?f ？ ?x ?y
回忆： 若 f ( x ) ? e sin x , 求 df . dx
方法：利用一元复合函数的 链式规则。
问题是到底如何求解 ?f ，?f ？ ?x ?y
2、多元复合函数求导法则
下面以二元函数的复合函数为例进行讨论
设 z ? f ( x , y), ( x , y ) ? D f ? R 2为二元函数，
x ? x(u, v), y ? y(u, v)是两个定义在 D ? R 2上的
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同理，将 x 取定为常数，
则可得（4）式.
为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可 清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公
式(3)、(4)的示意图如下：
u z
v
x z z u z v
x u x v x
y z z u z v y u y v y
(3) z f (u, x, y), u (x, y)
对
自 变 量
z x
z u
u x
+
z
x 1
+
z
y 0
x
的
偏
导 数
=
z u
z
+
u x x
对中间变量 x的偏导数
相同,
但所表示的意思不同!
必须加以区别!
为了避免混淆,
一般地,
将对中间变量的偏导数记为 将对自变量的偏导数记为
f , f , f , f x y u v z , z , z , z x y s t
例如上面的(3) z f (u, x, y), u (x, y)
可写为:
z x
f u
u x
+
f 1
在点 t 的导数存在，
且有
z f [(t), (t),(t)]
dz z du z dv z dw （2） dt u dt v dt w dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 如果函数
u 及 (x, y) 在点v(x,y)具(有x对, xy及) 对y的偏导数，函
数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数
= z du z dv u dt v dt
按定义得 : z f [(t), (t)]在点t可导,且其导数
dz = z du z dv dt u dt v dt
注
如果函数
u (t), v 都(t在),点wt 可导(，t函) 数z=f(u,v,w)在对
应点(u,v,w) 具有连续偏导数，则复合函数
z v
v t
1
u t
2
v t
令 t 0, 取极限，得
lim
t 0
z t
lim
t 0
[ z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v ] t
u (t), v (t)在点t可导
按定义得 :
lim u du t0 t dt
，
lim v t0 t
dv dt
u (t), v (t)在点t连续, 即
求下列函数的复合函数的导数或偏导数
(1) z f (u, v), u (x, y), v ( y) (2) z f (u, v,t), u (t), v (t) (3) z f (u, x, y), u (x, y)
解 (1) z f (u, v), u (x, y), v ( y)
t 0时，有u 0,v 0, 即 (u, v) (0,0)
lim
t 0
1
lim
(u, v)
1
(0,0)
0
lim 2
t 0
lim
(u, v)
2
(0,0)
0
lim
t 0
z t
lim [ z t0 u
u t
z v
v t
1
u t
2
v ] t
= z du z dv 0 du 0 dv u dt v dt dt dt
定理1 设函数 u 及 (t) 都v在点t可(导t)，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)
具有连续偏导数，则复合函数
在点t可导 ，且有
z f [(t), (t)]
dz z du z dv (1) dt u dt v dt
证：给 t 一个增量t 0，这时 u (t), v (t)
的对应增量为 u , v,
注 设 数，u函数z=(f(xu,,v,yw))、在对v应点(u(,vx,w,)y有)连及都续w在偏点导(数x,y，() 则具x复,有y合对)函x及数对y的偏导
z f [(x, y), (x, y),(x, y)]
在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：
z z u z v z w （5） x u x v x w x z z u z v z w （6） y u y v y w y
z z u + z v x u x v x
=
z u
u x
+
z v 0
z u
=
u x
z z u + z dv y u y v dy
(2) z f (u, v,t), u (t), v (t)
dz z du dt u dt
+ z dv v dt
+ z 1
t
= z du + z dv + z u dt v dt t
对y的偏导数，
函数 z=f (u,v) 在对应点 (u , v) 具有
连续偏导数， 得复合函数 z f [ (x , y), (x , y)]
现在，将 y 取定为常数，
则由定理1得
z f [(x , y), (x , y)]
z z u + z v x u x v x
此即（3）式.
对 x 的偏导数存在，且有
第四节 多元复合函数的求导法则
一、 链锁法则 二、 全微分的形式不变性
一、链锁法则
引入： z f (u, v), u (x, y), v (x, y)
复合函数 z f [(x, y), (x, y)]
问：
怎样求它的偏导数？
若上面三个函数都是具体函数，
那么， 它们的
复合函数也是具体函数， 偏导数。
由此，函数z=f(u,v)相应地
获得增量 z
函数z f (u,v)在点(u,v)具有连续的偏导数
由第三节定理2 的证明过程，我们可得到
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
其中， 当(u, v) (0,0)时,1 0
当(u, v) (0,0)时,2 0
将上式两边同时除以 ，t 得
z t
z u
u t
在点(x,y)的两个偏导数存在，且有
z f [(x, y), (x, y)]
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
（3） （4）
z f (u, v), u (x, y), v ( x , y)
已知 u (x, y), v (x, y) 在点(x,y)具有对x及
当然，
我们会求它的
但是，
若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，
那么，它们的复合函数也是抽象函数， 又怎么求？
它的偏导数
这是一个新问题，
要求出这样一个函数的偏导数，
还需要新的公式。
这就是下面要研究的多元函数
的求导法则（或链锁法则）。
按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形