被除数除数商和余数的关系
第7讲-除数与余数
两个整数：b a （除数不等于0），如果商是整数，没有余数，就称“a 能被b 整除”，a 就是b 的倍数。
数的整除一般有两个性质：1.如果甲、乙两个整数都能被丙整除，那么甲、乙的和与差也能被丙整除；2.几个整数相乘，如果其中一个数能被某个整数整除，那么他们的积也能被这个整数整除。
在做除法与余数这类题目时，要注意被除数、除数、商和余数的关系，即被除数=除数×商+余数，除数=（被除数-余数）÷商，还要注意除数不等于0，余数要比除数小。
此外除法有商不变性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（“0”除外），商不变。
但余数有变化，余数将扩大或缩小相同的倍数。
【习题1】根据要求填空（1）（）÷4=3 (2)（2）（ ）÷5=3 (4)【难度】★【答案】（1）被除数=4×3+2=14；（2）被除数=3×5+4=19.【习题2】根据要求填空。
（1）23÷（ ）=3 (2)（2）21÷（ ）=2 (3)（3）22÷（ ）=3 (4)【难度】★【答案】（1）7；（2）9；（3）6.【习题3】小海带领7个小朋友一起去擦27块玻璃，先平均分，每个小朋友擦若干块，剩下的不够分，就由小海再擦剩下的玻璃，那么小海一共需要擦多少块玻璃才能完成任务？【难度】★★【答案】6块。
27÷（7+1）=3……3,课前热身除数与余数 内容分析例题解析、随堂检测【例1】根据要求在（）里填上合适的数。
（1）下面（）里最小能填几。
（）÷（）=5......4 （）÷（）=4 (9)（2）下面（）里最大能填几。
（）÷4=5……（）（）÷9=4……（）【难度】★★【答案】（1）29,5；,49,10；（2）23,3；44,8.【解析】解：（1）余数一定比除数小，所以除数最小为5，被除数=5×5+4=29；余数一定比除数小，所以除数最小为10，被除数=4×10+9=49；（2）余数一定比除数小，所以余数最大为3，被除数=4×5+3=23；余数一定比除数小，所以余数最大为8，被除数=4×9+8=44；【总结】注意除数不等于0，余数要比除数小。
余数与同余解析
六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
趣味余数教学讲义
趣味余数教学讲义一、课题名称：趣味余数二、教学目标：进一步理解被除数、除数、商和余数之间的关系，能利用被除数、除数、商和余数之间的关系解决问题。
三、教学重点：解决趣味余数的数学问题。
难点：理解被除数、除数、商和余数之间的关系。
四、教学过程：【专题引导】解答此类问题时，要牢记两点：1.被除数、除数、商、余数之间的关系是：被除数=商×除数＋余数，除数=（被除数—余数）÷商；2、在有余数的除法里，余数必须比除数少。
【典型例题】【例1】下面算式中的两个括号内分别填什么数，才能使余数最大？（）÷20＝18……（）【试一试】（）÷31＝6……a，括号里最大填（），最小填（）。
【例2】小丽在计算除法时，把被除数458个位上的8错写成0，结果得到的商是9，那么正确的商和余数各是多少？【试一试】小马虎在计算一道除法题时，把除数54错看成了45，结果得到的商是7，余数是12.正确的商余数各是多少？【例3】有一堆串珠，按照“三黑两白”的顺序排列（如图），第17颗是什么颜色？第89颗呢？◆◆◆○○◆◆◆○○◆◆◆○○【试一试】有一列数，4，5,9,2,4,5,9,2,4,5,9,2，…，第122个数是多少？第241个数呢？【例4】两数相除，商为20，余数为6，被除数、除数、商及余数的和是242，求被除数是多少？【试一试】在一道除法算式中，被除数、除数、商三个数的和是311，商是5，你能算出被除数和除数分别是多少吗？五、作业设计每周快乐练家长签名：1、（）÷（）＝12……20中，要使被除数最小，则除数应该是（），被除数应该是（）。
2、小马虎在计算一道除法题时，把除数30末尾的0漏掉了，结果得到的商是80，正确的商是多少？3、有一本科技书，第1,2,3,4页是文字，第5,6页是插图，第7,8,9,10页是文字，第11,12页是插图……一直按这样的规律排列下去。
那么：（1）第108页文字还是插图？（2）如果这本书共有268页，其中文字、插图各有多少页？4、两数相除商是6，被除数、除数、商的和是300，被除数、除数各是多少？。
小学数学除法知识点总结
小学数学除法知识点总结一、除法的概念除法是数学中的一种基本运算，是指用一个数除以另一个数，求得商的过程。
在日常生活和数学问题中，我们可以通过除法运算来解决实际问题，比如分配物品、计算平均数、求商数等。
二、除法的符号和名称1. 除法的符号：÷2. 除法中的各个数的名称：- 除数：被除数被除数t- 被除数：被除的数，即需要被分成若干等份的被除数。
在除号的左边。
- 商：商就是算式除法中等号右边的数。
商指的是算式的结果。
- 余数：有的式子计算的结果是有余数的。
三、除法的基本概念1. 商、余数关系：当除数能被被除数整除时，商就是除法的结果，余数为0。
如果不能整除，商是整数部分，余数是不够整除的部分。
2. 除法的性质：- 相同数除以相同数等于1- 0除以任何一个数都等于0- 除数、被除数等两数互相除，不改变两数的比例四、除法的运算步骤1. 确定被除数和除数2. 求商数3. 检查余数是否为04. 验证算式是否正确五、整除和不整除1. 整除：如果一个数能够整除另一个数，那么该数就是被除数的倍数。
例如：4能整除16，因为16÷4=4，且余数为0，所以4是16的倍数。
2. 不整除：如果一个数不能整除另一个数，那么它就不是被除数的倍数，余数不为0。
六、小学除法的练习方法1. 列竖式：列竖式是小学生进行除法运算的基本方法，这种方法可以清晰地显示出除数、被除数、商和余数之间的关系。
2. 布置实际问题：通过布置实际问题来练习除法，可以让学生在实际生活中感受到除法的应用。
3. 考试练习：经常进行试题练习，可以帮助学生巩固所学的除法知识。
七、小学除法的注意事项1. 除数不能为0：0不能作为除数，因为任何数除以0都是无意义的。
0除以任何数，都等于0。
2. 零除任何数都为0：0除以任何数都等于0，这是因为被除数是0。
3. 商一定小于被除数：在小学除法中，商代表着等份的数，所以商一定小于被除数。
八、小学除法的应用案例1. 整除应用：某班有40名学生，老师根据学生人数给每个学生发放学习用品，如果每5个学生一组，老师需要准备多少个学习用品？解题方法：40 ÷ 5 = 8，所以老师需要准备8组学习用品。
乘除法的关系和运算律
知识要点一、乘除法各部分之间的关系：1乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数2除法各部分之间的关系：没有余数的除法：有余数的除法：被除数=商×除数被除数=商×除数+余数除数=被除数÷商除数=被除数-余数÷商商=被除数÷除数商=被除数-余数÷除数3乘、除法之间的关系：除法是乘法的逆运算注意：0不能作除数.4整除：a÷bb≠0＝c 则a能被b整除,b能整除a.二乘法运算律1、乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变.这个规律叫做乘法交换律.用字母表示为：a·b=b·a2、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘再乘第三个数,或先将后两个数相乘再乘第一个数,它们的积不变.这个规律叫做乘法结合律.用字母表示为：a·b·c=a·b·c3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘,可以把这两个加数分别与这个数相乘,再把积相加.这个规律叫做乘法分配律.用字母表示为：a+b·c=a·c+b·c a·c+b·c=a+b·c乘法分配律的拓展：两个数的差与一个数相乘,可以用这个数分别去乘相减的两个数,再把积相减.用字母表示为： a-b·c=a·c-b·c a·c-b·c=a-b·c三减法简便运算：1、一个数连续减去两个数,可以用这个数减去这两个数的和.用字母表示：a－b－c＝a－b＋c2、一个数连续减去两个数,可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数.用字母表示：a－b－c＝a—c－b四除法简便运算：1、一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数的积.用字母表示：a÷b÷c＝a÷b×c2、一个数连续除以两个数,可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数.用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b五积的变化规律①一个因数缩小扩大几倍,另一个因数扩大缩小相同的倍数,积不变.②一个因数缩小或扩大几倍,另一个因数不变,积也随着缩小或扩大几倍.③一个因数扩大m倍,另一个因数扩大n,积扩大m×n倍；一个因数缩小m倍,另一个因数缩小n,积缩小m×n倍；一个因数扩大缩小m倍,另一个因数缩小扩大n倍,积扩大或缩小m÷n倍.六解决问题：1、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间2、工程问题工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率3、最多、最少问题人数最少多买贵的,人数最少多买便宜的.4、购物、旅游合算问题先计算后比较.例题精选一、常见乘法计算：25×4＝100125×8＝1000二、加法交换律简算例子：三、加法结合律简算例子：50+98+50488+40+60＝50+50+98＝488+40+60＝100+98＝488+100＝198＝588四、乘法交换律简算例子：五、乘法结合律简算例子：25×56×4 99×125×8＝25×4×56＝99×125×8＝100×56＝99×1000＝5600＝99000六、含有加法交换律与结合律的简便计算：65+28+35+72＝65+35+28+72＝100+100＝200七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：25×125×4×8＝25×4×125×8＝100×1000＝100000八、乘法分配律简算例子：一、分解式二、合并式25×40+4 135×12—135×2＝25×40+25×4＝135×12—2＝1000+100＝135×10＝1100＝1350三、特殊1四、特殊299×256+256 45×102＝99×256+256×1＝45×100+2＝256×99+1 ＝45×100+45×2＝256×100 =4500+90＝25600 =4590五、特殊3六、特殊499×26 35×8+35×6—4×35＝100—1×26＝35×8+6—4＝100×26—1×26＝35×10＝2600—26＝350＝2574九、连续减法简便运算例子：528—65—35528—89—128528—150+128=528—65+35 =528—128—89=528—128—150=528—100 =400—89 =400—150=428 =311 =250十、连续除法简便运算例子：3200÷25÷4=3200÷25×4=3200÷100=32十三、其它简便运算例子：256—58+44 250÷8×4=256+44—58 =250×4÷8=300—58 =1000÷8=242 =125专项训练一、积的变化规律练习题1、先用积的变化规律填空,再用笔算或计算器验算.26×48＝124817×12＝20426×24＝ 17×24＝26×12＝ 17×36＝2、请学生完成下列计算,并在组内述说自己发现的规律.18×24＝105×45＝18÷2×24×2＝105×3×45÷3＝18×2×24÷2＝105÷5×45×5＝3、在○中填上运算符号,在□中填上数.24×75＝180036×104＝374424○6×75×6＝180036×4×104○4＝374424○3×75○□＝180036○□×104○□＝37444、一个长方形的面积是256平方厘米,如果长缩小4倍,宽扩大4倍,这个长方形就变成了正方形,这个正方形的面积是多少它的边长是多少二、乘法的运算律一在□里填上合适的数,在里填上运算定律.135＋□＝467＋□运用了29×□×8＝29 ×125×□运用了25×67×4＝25×□×67 运用了125×400＋□＝125×400＋125×8运用了72 + 57 + 43 = 72 + 57 + 43 运用了二判断,对的打“√”,错的打“×”用手势表示,并说明理由.⑴4×15＝15×4 ……………………⑵28×5×15＝28×5＋15……⑶43×27＝27+43………………⑷101×63＝100×63＋63……………⑸98×15＝100×15＋2×15…………三用简便方法计算.⑴ 35+63+27 ⑵103-3×15⑶ 25×44 ⑷ 14×32+69×14四体味生活中的数学--购物.王阿姨是开商店的,今天她准备到好多多超市批发下列清单中的商品,她带了3000元,如果要购买这些商品,钱够用吗请你帮王阿姨算一算,看谁的方法最巧妙.商品单价元数量德芙巧克力4336包洗衣粉3615箱绿盛牛肉干1736包洗发露2536瓶解决问题1师徒两人合作加工520个零件,师傅每小时加工30个,徒弟每小时加工20个,几小时以后还有70个零件没有加工2甲、乙两队合挖一条水渠,甲队从东往西挖,每天挖75米；乙队从西往东挖,每天比甲队少挖5米,两队合作8天挖好,这条水渠一共长多少米3 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行,8小时两船还相距22千米.已知乙船每小时行42千米,甲船每小时行多少千米4一辆汽车和一辆自行车从相距千米的甲、乙两地同时出发,相向而行,3小时后两车相遇.已知汽车每小时比自行车多行千米,求汽车、自行车的速度各是多少5两地相距270千米,甲、乙两列火车同时从两地相对开出,经过4小时相遇.已知甲车的速度是乙车的倍,求甲、乙两列火车每小时各行多少千米6甲、乙两城相距680千米,从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米,2小时后,快车从乙城开往甲城,每小时行80千米,快车开出几小时后两车相遇7甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行,甲车每小时行45千米,途中因汽车故障甲车停了1小时,5小时后两车相遇.乙车每小时行多少千米8A、B两地相距3300米,甲、乙两人同时从两地相对而行,甲每分钟走82米,乙每分钟走83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟才可以相遇9甲、乙两列汽车同时从两地出发,相向而行.已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行32千米,相遇时甲车比乙车多行52千米.求甲乙两地相距多少千米10姐妹俩同时从家里到少年宫,路程全长770米.妹妹步行每分钟行60米,姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回,途中与妹妹相遇.这时妹妹走了几分钟2001年上海市金山区升级考试卷11小明和小华从甲、乙两地同时出发,相向而行.小明步行每分钟走60米,小华骑自行车每分钟行190米,几分钟后两人在距中点650米处相遇 2002年上海市金山区升级考试卷12A、B两地相距300千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行.各自达到目的地后又立即返回,经过8小时后它们第二此相遇.已知甲车每小时行45去,千米,乙车每小时行多少千米甲乙两人分别同时从A、B两地相向而行,相遇时距A地120米,相遇后,他们继续前进,到达目的地后立即返回,在距A地150米再次相遇,求A、B两地之间的距离.问题补充：甲乙都是匀速前进,请用四年级的方法来做,不要方程.四年级的方法如下：乙从第一次相遇到第二次相遇一共走了270在2个全路程内,平均每个全程走135因为是匀速运动,所以第一个全程应该也走了135,所以距离就等于135+120＝255相遇问题练习一1、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步,两人朝相反的方向跑,第一次和第二次相隔40秒,已知甲每秒跑6米,乙每秒跑多少米2、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行,公共汽车汽车每小时行40千米,小汽车每小时行52千米.几小时后两车第一次相距69米.几小时后又相距69米3、一列客车和一列货车同时同地反向而行,货车比客车每小时快6千米,3小时后相距342千米,求两车的速度.4、某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒.问,该列车与另一列长320米时速千米的列车错车而过需要几秒5、一列火车长150米,每秒行20米,全车通过一座长450米长的大桥,需要多长时间6、甲乙两人绕周长1200米的环形广场冲走,已知甲每分走125米,乙的速度是甲的倍,现在甲在乙的后面400米,追上甲需要多长时间7、小明以每分50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明.求小强骑自行车的速度8、一架飞机从甲空港飞往乙空港,原计划每分飞行9千米,现在按每分12千米的速度飞行,结果提前半小时到达,甲乙两地相距多少千米9、甲乙两人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒,则甲4秒可追上乙.问甲乙两人的速度10、甲乙两车同时从A地开往B地,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,途中甲车因故障修车用了3小时,结果甲车比乙车迟到1小时.AB两地相距多少相遇问题练习二1、甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米,甲车先开出2小时后,乙车才开出.乙车行几小时后与甲车相遇2、一列火车于下午4时30分从甲站开出,每小时行120千米,经过1小时后,另一列火车以同样的速度从乙站开出,晚上9时30分两车相遇.甲乙两站铁路长多少千米3、快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出,已知快车每小时行60千米,慢车每小时行52千米,经过几小时后快车经过中点32千米处与慢车相遇.甲、乙两地的路程是多少千米4、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,两车在距中点15千米处相遇.A、B两地相距多少千米5、甲乙相距640千米,两辆汽车同时从甲地开往乙地,第一辆汽车每小时行46千米,第二辆汽车每小时行34千米,第一辆汽车到达乙地后立即返回,两辆汽车从开出到相遇共与偶用了几小时6、哥哥和妹妹同时从甲到相距540米远的学校上学,哥哥每分钟走60米,妹妹每分钟走48米,哥哥到达学校后发现忘了拿铅笔,立即返回家去取,在途中遇到妹妹.从开始上学到两人再相遇共有多少分钟7、甲乙两队学生从相距2700米的两地同时出发,相向而行,一个同学骑自行车以每分钟150的速度在两队之间不停地往返联络,甲队每分钟行25米,乙队每分钟行20米,两队相遇时,骑自行车的同学共行了多少米8、AB两人同时从相距3000米的家里相向而行,A每分钟行70米,B每分钟行80米,一只大狗与他同时出发,每分钟行100米,狗与B相遇后立即掉头向A跑去,遇到A后又向B跑去,直到AB两人相遇.这只狗一共跑了多少米单元测试一、填空.16分1、÷125＝8×150＝90048×＝2402、一个因数＝÷ ,被除数＝×除数= ÷ ,除法是乘法的 .3、在一个乘法算式中积是280,一个因数缩小5倍,另一个数扩大10倍,积是 .4、根据34×12＝408写出两个除法、 .5、甲数除以乙数,商是54,余数是700,如果乙数是900,甲数是 .6、2×5×6×2×5×5×2积的末尾有个零.7、2846÷6＝441表示：能被整除,还可以表示：能整除 .8、480÷6×＝2026×÷8＝208二、根据运算定律在下面□里填上适当的数.14分15×16＝16× 25×7×4＝××760×25×＝60××8125××＝125×9×1443+25×2＝× + ×8×47+8×53＝× +17×18+＝17× +17×15三、下面哪个算式是正确的,正确打“√”,错误的打“×”.8分126×15+24＝26×15+24225×40+4＝25×40+25×4375×27+25×27＝75+25×27425×32＝25×4×8540+2×25＝40+2×256102×28＝100×28+2×28762×99＝62×100-1835×14＝35×2×7四、怎样算简便就怎样算.18分16400÷400 15×4×25×6 95×102282×5+18×5 2870÷35 420÷28五、选择.6分1、把符合要求的算式序号填在括号里.①27×9＝9×27②30+A+40＝30+40+A ③40+10+50＝40+10+50④25×11＝11×25⑤104×18＝100×18+4×18⑥94×99+94＝94×100⑦13×5×8＝13×5×8⑧242+M＝M+242A、应用加法交换律的算式有B、应用乘法交换律的算式有C、应用乘法结合律的算式有D、应用加法结合律的算式有E、应用乘法分配律的算式有2、400减去24的差,除以13与12的和,最后求出的是 .和差积商3、457×99的简便算法是 .457×99-1 457×100+457 457×100-4574、如果a×b=0,那么 .A、a一定是0B、b一定是0C、a和b都是0D、ab至少有一个是05、a+b×c=a×c+b×c,这叫做 .乘法交换律乘法结合律乘法分配律六、找朋友.把得数相等的算式连接起来4分102×98+102 102×98+98 102×98+2×98 98×100-2×98102-2×98100×98+3×98104×9899×102七、在能整除的算式后面的里,画“√”4分9÷5 24÷2 7÷2 18÷3 85÷1336÷9 120÷4 36÷6 180÷1 30÷80÷8 90÷5 43÷6 21÷4 76÷6八、列式计算.5分1、一个数乘以2,再除以90,然后加上19,最后减去10,结果是10,这个数是多少2、一个数分别与4和9相乘,所得的积的和是2782,这个数是多少九、解决问题.25分1、一共有两个书架,每个书架有4层,共放有248本书,平均每个书架每层放多少本2、某学校有5位老师带领88名学生参观科技馆,现有1200元钱,够不够信息：杨人票每张24元,儿童票每张12元.3、两人同时从相距6400米的两地相向而行.一个人骑摩托车每分钟行600米,另一个人骑自行车每分钟行200米,经过几分钟两人相遇4、码头货物场有100吨煤需要运走.已知大卡车一次装8吨,小卡车一次装4吨.问：怎样运走这些煤是最经济的5、4千克苹果和7千克香蕉的竞价相等.1千克苹果比1千克香蕉贵3元.苹果和香蕉单价各是多少。
余数与被除数的关系
余数与被除数的关系
吴凯 2013-11-06
在有余数的除法里，余数比除数小，那么，余数与被除数之间的关系又是怎样的呢？
被除数÷除数＝商……余数，其中被除数、除数、商均为正整数，余数为非负整数，且被除数≥除数＞余数≥0（当余数为0时表示除尽）。
则有：除数×商＋余数＝被除数，
又因为：余数＜除数，且商为正整数，
所以：余数＜除数≤除数×商，
即有：余数＜除数×商，
余数＋余数＜除数×商＋余数＝被除数，
2×余数＜被除数， 余数＜
12
×被除数， 综合为：余数＜12×被除数，被除数＞2×余数。
推论1，对于给定余数，当商为1（即被除数＝除数＋余数）且除数仅比余数大1时有最小的被除数，即有，被除数（最小）＝2×余数＋1。
推论2，对于给定被除数，当商为1（即被除数＝除数＋余数）时，余数可能最大。
（1）当被除数是奇数时，能分解成一个奇数与一个偶数，这时除数仅比余数大
1，这说明被除数＝2×余数＋1，余数（最大）＝2
被除数-1。
（2）当被除数是偶数时，能分解成一个奇数与一个奇数或者一个偶数与一个偶数，这时除数仅比余数大2，这说明被除数＝2×余数＋2，余数（最大）＝2
被除数-2。
推论整理为：2122⎛⎫ ⎪⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭给定余数，被除数（最小）＝余数＋被除数-1给定被除数（奇数），余数（最大）＝被除数-2给定被除数（偶数），余数（最大）＝。
除法的相关性质
除法的相关性质除法是数学中的基本运算之一，用于将一个数（被除数）分成若干等份。
在我们日常生活和学习中，除法的相关性质有很重要的应用。
本文将详细介绍除法的几个相关性质，包括除法的定义、除法的基本性质、倍数与余数的关系、商的性质以及除法的应用。
1. 除法的定义除法是将一个数（被除数）分为若干等份的运算，其中除数表示每份的数量，商表示总共的份数。
除法的定义可以用公式表示为：被除数 ÷除数 = 商2. 除法的基本性质除法具有以下几个基本性质：- 除数不为零：除法中，除数不能为零，因为零不能作为除数。
如果除数为零，那么除法是没有意义的。
- 商和余数的关系：在除法中，商和余数是两个关联的概念。
余数是指除法中，被除数无法整除除数时所剩下的数。
如果余数为零，则说明被除数正好可以整除除数，即整除关系成立。
3. 倍数与余数的关系在除法运算中，有一个重要的关系是倍数与余数之间的联系。
一个数若是另一个数的倍数，那么这两个数的除法运算将没有余数。
例如，当15除以3时，余数为0，即15是3的倍数。
4. 商的性质商在除法中也有一些重要性质：- 商的取值范围：商可以是正数、负数或零，取决于被除数和除数的符号。
- 商的大小关系：当被除数和除数的符号相同（均为正或均为负）时，商为正数；当被除数和除数的符号不同（一个为正，一个为负）时，商为负数。
5. 除法的应用除法在日常生活中有广泛的应用，例如：- 分配问题：将一定数量的物品平均分配给若干人，就需要进行除法运算来确定每个人可以获得的数量。
- 比率计算：比率是两个数之间的除法关系，常用于表示比较或比例。
例如，考试中得分的比率可以描述为正确题数与总题数的商。
总结：除法作为数学中的基本运算之一，具有重要的性质和应用。
通过对除法的定义、基本性质、倍数与余数的关系、商的性质以及除法的应用的介绍，我们更加深入地理解了除法运算的相关概念和应用场景。
在日常生活中，我们可以运用除法的知识来解决各种实际问题，提高数学思维和解决问题的能力。
小学四年级数学试题除法的余数与商的求解
小学四年级数学试题除法的余数与商的求解除法是数学中的一种基本运算，用于计算两个数的商和余数。
在小学四年级的数学学习中，除法的余数与商的求解是一个重要的知识点。
本文将介绍除法的概念、求商和求余数的方法，并提供一些实例来帮助理解。
一、除法的概念除法是将一个数分成若干份相等的部分的运算。
其中，被除数是待分的数，除数是等分的份数，商是每一份的大小，余数是等分之后剩下的数。
除法的运算关系可以表示为：被除数 = 商 ×除数 + 余数。
二、求商的方法1.朗读法：将被除数循环朗读除数的倍数，直到被除数小于除数。
朗读的次数即为商的值。
2.列竖式法：将被除数和除数在竖直方向上排列，并逐位进行计算。
从左到右，依次计算每一位的商，并将计算结果写在上方。
如果某位的被除数小于除数，则向右进位，继续计算下一位的商。
3.估算法：通过对被除数和除数的估算，得到一个近似的商的值。
根据实际情况可以进行适当的调整。
三、求余数的方法1.列竖式法：除法运算的最后得到的余数即为所求的余数。
2.减法法：通过多次减去除数，直到被减数小于除数。
最后所剩下的数即为所求的余数。
3.利用整除性质：如果除数可以整除被除数，那么余数就是0。
四、实例演算假设被除数为36，除数为5，则可以使用列竖式法进行求解。
```7 ← 商----5) 36 ← 被除数- 35---1 ← 余数```根据列竖式法的计算，得到商为7，余数为1。
即36除以5的商为7，余数为1。
五、小结本文介绍了小学四年级数学试题中关于除法的余数与商的求解方法。
除法是数学中的基本运算之一，通过对被除数和除数的计算，可以得到商和余数。
我们可以使用朗读法、列竖式法和估算法等方法来求解商，使用列竖式法、减法法和整除性质来求解余数。
通过实例的演算，可以加深对除法的理解和应用。
掌握这些方法，能够更好地解决小学数学试题中的除法问题。
注意：本文所述的方法适用于小学四年级的数学试题，对于更复杂的除法问题，可能需要其他解题方法。
除法运算知识点总结
除法运算知识点总结除法是数学中常见的运算方式，用于将一个数分为若干个数相等的部分。
在学习和运用除法运算的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将对这些知识进行总结和整理，以便读者更好地理解和运用除法运算。
一、除法的定义和基本性质除法是一种数学运算，用于将一个数分为若干个数相等的部分。
在除法中，被除数(a)除以除数(b)得到商(q)和余数(r)。
其中，被除数是需要被分割的数，除数是用于分割的数，商是相等的部分的个数，余数是分割后剩余的部分。
除法具有以下基本性质：1. 任何数除以1都等于它本身。
2. 任何数除以0是没有定义的，因为0不能作为除数。
3. 任何数除以自身等于1。
4. 商和余数有以下关系：被除数 = 除数 ×商 + 余数。
二、整数的除法在整数的除法中，商和余数都必须是整数，具体计算方法如下：1. 当被除数能够整除除数时，商为被除数除以除数的结果，余数为0。
2. 当被除数不能够整除除数时，商为被除数除以除数的整数部分，余数为被除数除以除数的余数部分。
例如，对于除法运算12 ÷ 4：12 除以 4 的商为 3，余数为 0。
而对于除法运算11 ÷ 4：11 除以 4 的商为 2，余数为 3。
三、小数的除法在小数的除法中，商和余数可以是小数，具体计算方法如下：1. 将除数和被除数按照小数点对齐。
2. 从左到右依次进行除法运算，将商的小数点直接写在商的结果中，将余数的小数点保持与被除数一致。
3. 如果余数为0或者出现循环小数，可以在一定的精度范围内进行近似表示。
例如，对于除法运算1.5 ÷ 0.6：首先将1.5和0.6按照小数点进行对齐：1.5÷ 0.6计算得到的商为2.5，余数为0.3。
四、除法的应用除法运算在日常生活和实际应用中有着广泛的应用。
以下为除法运算的几个常见应用场景：1. 货币的兑换：将一种货币兑换为另一种货币时，需要进行除法运算以确定比率。
小学除法口诀
在除法算式中，除号后面的数叫做除数；除数不能为0，否则没有意义。
被除数÷除数=商被除数÷商=除数除数×商=被除数除数=(被除数-余数)/商商=(被除数-余数)/除数被除数扩大或缩小n倍，商也相应的扩大或缩小n倍。
除数扩大或缩小n倍，商相应的缩小或扩大n倍。
被除数（0除外）除以大于1的数时，商小于被除数。
被除数（0除外）除以小于1的数时，商大于被除数。
除法口诀表：算术方面1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×5。
6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
0除以任何不是0的数都得0。
7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有χ的算式并计算。
10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
除数和被除数知识点总结
除数和被除数知识点总结
1. 除数和被除数的定义
除数是在除法运算中用来除去被除数的数，被除数是需要被除去的数。
2. 除数和被除数的关系
除数和被除数是除法运算中密切相关的两个数。
除数除以被除数等于商，商与被除数的乘积等于除数。
3. 除数和被除数的特点
- 除数可以是任何实数，包括正数、负数和小数。
- 被除数可以是任何实数，包括正数、负数和小数。
- 除数和被除数不能为零，否则会导致除法运算无意义或出现除以零的错误。
4. 除数和被除数的意义与应用
- 除数和被除数在生活中和数学领域都有广泛的应用。
在生活中，我们经常使用除法来平均分配物品或计算比例。
- 在数学领域，除法是数的运算之一，也是解决实际问题的重
要工具。
5. 除数和被除数的常见概念
- 商：除法运算结果中不带余数的整数部分叫做商。
- 余数：商与被除数的乘积减去除数所得的差叫做余数。
6. 除数和被除数的计算方法
- 当除数与被除数都是整数时，可以使用长除法或手算方法进
行计算。
- 当除数或被除数有小数时，可以使用计算器或电子设备进行
计算。
7. 除数和被除数的注意事项
- 在进行除法运算时，需要注意除数和被除数的符号，符号相
同的两个数进行除法运算结果为正数，符号不同的两个数进行除法
运算结果为负数。
- 在除法运算中，除数和被除数的值越大，商和余数的值越小；除数和被除数的值越小，商和余数的值越大。
以上是除数和被除数的知识点总结，希望对您有帮助！。
余数与同余解析
余数与同余解析六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
带余数的除法
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
习题：1、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是( )．分析：把这三个数分别去掉各自的余数，能被要求的数整除，然后把这三个数分解质因数，那么求出剩下的三个数的最大公因数就是要求的数，据此解答．解：150-6=144=2×2×2×2×3×3，250-10=240=2×2×2×2×3×5，350-14=336=2×2×2×2×3×7，那么144、240、336的最大公因数就是：2×2×2×2×3=48，所以这个数最大是48．2、一批图书，数量在20到30本之间，平均分给7个同学，结果剩余的图书每比个人分到的书多2本，那么这批图书有多少本？3、余数相同求除数有一个不等于1的整数，用它去除967、1000、2001，得到的余数相同，这个整数是多少？如果用一个整数分别去除几个整数，所得到的余数相同，那么这个数一定能整除这几个数两两的差，即所求整数能整除967、1000、2001两两的差。
数量关系：典型例题教你巧解行测余数问题
典型例题教你巧解行测余数问题在公务员考试的数量关系模块中，考生经常会遇到余数相关的问题，很多考生对此类题目感觉无从下手，华图教研中心的老师针对最常见的几类题目给予分析，让余数问题不再是困扰您的难题。
一、余数关系式和恒等式的应用余数的关系式和恒等式比较简单，但余数的范围（0≤余数＜除数）需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。
余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数【例1】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？（）A.12B.41C.67D.71解析：余数是11，因此，根据余数的范围（0≤余数＜除数），我们能够确定除数＞11。
除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，选D。
【例2】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
那么，这四个自然数的和是？A. 216B. 108C. 314D. 348解析：利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。
由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。
由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。
二、同余问题这类问题在考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。
【例3】一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，请问这个数如何表示？解析：设这个数为A，则A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法
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[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法特殊的剩余定理：核心基础公式：被除数=除数*商+余数同余问题核心口诀：“余同取余。
和同加和，差同减差，公倍数作周期”①余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，则取1，公倍数作周期，则表示为：60N+1②和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，则取7，公倍数做周期：则表示为60N+7③差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，则取3，公倍数做周期：则表示为60N-3例题1：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？A、4B、5C、6D、7（当然可以用特殊值法）因为3+2=4+1=5所以取12+5=1717/12=1 余5剩余定理的一般情况：一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。
卡卡西解析：--------------------------------一个数除以7余3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有5b+2 8d+67a+3=5b+27a+1=5ba=2 b=3 最小公倍数3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d（因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑）3c+3=8dC=735*7+17=262 262+280N一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？分析：根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。
----------------------------------解：300-262=38262-205=57（28，57）=1912 ＋22 ＋32 ＋……＋20012＋20022除以7的余数是_____。
-----------------------方法一：根据公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：÷7＝0…1，÷7＝0…4，÷7＝1…2，÷7＝2…2，÷7＝3…4，÷7＝5…1，÷7＝7（余数为0），，÷7与÷7余数相同，同样地，÷7与÷7余数相同，…….所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余数，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余数为0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余数为0今天星期一，1998的1986次方天后星期几？----------------------------------1998的1986次=（265*7+3）1986次=3的1986次3^0 整除7的余数是 13^1 整除7的余数是 33^2 整除7的余数是 23^3 整除7的余数是 63^4 整除7的余数是 43^5 整除7的余数是 53^6 整除7的余数是 1由此可见，6次一循环所以：3的1986（1986/6=331，余数为0）次除7的余数为3^0/7=11+1=2。
三年级被除数差和被除数和
三年级被除数差和被除数和被除数、除数、商和余数是数学中经常运用的概念。
在数学中，我们经常使用一个数去除另一个数，被除数就是被我们除的数，除数就是我们用来除的数，商是整除的结果，而余数则是不能整除时剩下的部分。
今天，我们将学习和探讨三个数之间的关系：被除数、除数和商之间的差和被除数、除数和商之间的和。
首先来看被除数、除数和商之间的差。
被除数减去除数的乘积所得的结果就是商。
例如，如果被除数是12，除数是3，那么商就是4。
那么被除数减去除数的乘积，即12减去3乘以4的结果是多少呢？答案是12减去3乘以4等于0。
所以，在这个例子中，被除数、除数和商之间的差是0。
那么被除数、除数和商之间的和是什么呢？被除数加上除数的乘积所得的结果就是商。
以前面的例子为例，被除数是12，除数是3，商是4。
那么被除数加上除数的乘积，即12加上3乘以4的结果是多少呢？答案是12加上3乘以4等于24。
所以，在这个例子中，被除数、除数和商之间的和是24。
现在，我们来探讨一些具体的例子，以便更好地理解被除数、除数和商之间的差和和的关系。
例子1：被除数是15，除数是5。
商是多少？这个例子中，被除数减去除数的乘积等于多少？被除数加上除数的乘积等于多少？答案是商是3，被除数减去除数的乘积是0，被除数加上除数的乘积是15加上5乘以3等于30。
例子2：被除数是10，除数是2。
商是多少？这个例子中，被除数减去除数的乘积等于多少？被除数加上除数的乘积等于多少？答案是商是5，被除数减去除数的乘积是0，被除数加上除数的乘积是10加上2乘以5等于20。
例子3：被除数是18，除数是6。
商是多少？这个例子中，被除数减去除数的乘积等于多少？被除数加上除数的乘积等于多少？答案是商是3，被除数减去除数的乘积是0，被除数加上除数的乘积是18加上6乘以3等于36。
通过以上几个例子，我们可以看到被除数、除数和商之间的差和和的关系。
在这些例子中，被除数减去除数的乘积始终等于0，被除数加上除数的乘积始终等于被除数的两倍。
除法的算式和计算方法
除法的算式和计算方法除法是初中数学中的一个重要知识点，它是数学四则运算中的一种基本运算方法。
本文将介绍除法的算式和计算方法，以及一些常见的相关概念和技巧。
一、除法算式的组成除法算式由除数、被除数、商和余数四个部分组成。
其中，除数是指要除以的数，被除数是指被除的数，商是指除法的结果，余数是指不能整除时剩下的数。
除法算式的一般形式为：“被除数 ÷除数 = 商...余数”。
例如，16 ÷ 3 = 5...1，将16除以3得商为5，余数为1。
二、整除和非整除的情况在除法中，有两种情况：一是能够整除，二是不能整除。
1. 整除的情况：如果能够整除，即余数为0，则称为整除。
例如，12 ÷ 3 = 4，12可以整除以3，得到商为4，余数为0。
2. 非整除的情况：如果不能整除，即余数不为0，则称为非整除。
例如，16 ÷ 3 = 5...1，16不能整除以3，得到商为5，余数为1。
三、除法的计算方法除法的计算方法主要有两种，一种是手算方法，另一种是借助计算器的方法。
1. 手算方法手算方法是指在不借助计算工具的情况下，通过列竖式的方式进行计算。
下面以一个具体的例子进行说明：例：计算62 ÷ 5。
首先将62写在除号的上方，将5写在除号的下方，然后进行计算。
5 | 62- 0 （首位0不能被5整除）- 55--70 （减去一次5，商为1，余数为7）- 70--所以，62 ÷ 5 = 12...2，得到商为12，余数为2。
2. 计算器方法借助计算器进行除法计算可以更快捷和准确。
在计算器上输入被除数和除数，按下除号按钮，即可得到商和余数。
这种方法适用于大数的除法计算，尤其是十进制小数的除法运算。
四、除数和被除数之间的关系在除法运算中，除数和被除数之间存在着一定的关系，即“除数 ×商 + 余数 = 被除数”。
例如，16 ÷ 3 = 5...1，可以通过计算5 × 3 + 1 = 16来验证除数和被除数之间的关系。