最新语文版中职数学基础模块下册10.9一元线性回归1课件PPT.ppt
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《一元线性回归》课件
模型评价
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
语文版(2021)中职数学拓展模块一《一元线性回归》课件
新知探究
设回归直线方程为 yˆ a bx
Q(a,b) [yi (a bxi )]2
Q可以定量地描述回归直线与n个观测点总的接近程度.要找 出一条直线，使得它在总的程度上最接近这n个观测点，就是要
找出使Q达到最小值的a，b的值，记作 aˆ，bˆ.
新知探究
当 aˆ，b为ˆ 下列值时，所得回归直线最好.
n
xi yi nxy
aˆ
y bˆx,bˆ
i 1 n
xi2 nx 2
i 1
其中，x
1 n
n i 1
xi ,
y
1 n
n i
.
典型例题
某种合成纤维的强度y与其拉伸倍数x有关，下表是10个纤维
例
样品的强度与相应的拉伸倍数的实测记录.根据这些数据寻找
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？ 2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读 教材章节10.2
作
业
书写 教材P345练习
思考 一元线性回归的生活案例
Thanks
典型例题
第二步: 作回归直线. 右键单击散点中的任意一个散点，在弹出的快捷菜单中选择
[添加趋势线]，界面弹出[添加趋势线]的选项界面.它有两张选项 卡，在[类型]菜单界面中，选中[线性];另一菜单界面是[选项]， 从中选择显示趋势线的数学公式.完成两菜单界面的设置后，单 击[确定]，散点中便会出现回归直线及它的数学表达式.
i1
i 1
bˆ
2731.8 10 4.99 44.6 306.6110 4.992
8.8,
aˆ 44.6 8.8 4.99 0.7.
于是，合成纤维的强度y与其拉伸倍数x的回归直线方程为
一元线性回归原理PPT课件
图1 化肥施用量与粮食产量的散点图
上述变量间关系的特点：
1. 变量间关系不能用函数关
系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时，变
量 y 的取值可能有几个
x
4. 各观测点分布在直线周围
问题
两个变量之间有着密切的关系，但它们之间密 切的程度并不能由一个变量唯一确定另一个变 量，即它们间的关系是一种非确定性的关系。 它们之间到底有什么样的关系呢?
2694148832 20 3023.916 42960.6825 95958928.85
bˆ0 y bˆ1x 42960.6825 4.217 3023.916 30208.913 bˆ1 Lxy / Lxx 95958928.85 / 22755409 4.217
bˆ0 y bˆ1x 42960.6825 4.217 3023.916 30208.913 bˆ1 Lxy / Lxx 95958928.85 / 22755409 4.217
动一个单位时， y 的平均变动值 .
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
例1中由20组数据，粮食产量与化肥施用量的关 系式
yˆ 30208.913 4.217x
是如何得到的？
解决方案
运用模型来拟合这些数据点。
y
观测值分解成两部分：
观测项 = 结构= 项 + +随机项
一元线性回归PPT演示课件
196.2
15.8
16.0
102.2
12.0
10.0
本年固定资产投资额 (亿元) 51.9 90.9 73.7 14.5 63.2 2.2 20.2 43.8 55.9 64.3 42.7 76.7 22.8 117.1 146.7 29.9 42.1 25.3 13.4 64.3 163.9 44.5 67.9 39.7 97.1
6. r 愈大，表示相关关系愈密切.
例 11.7
根据例11.6的样本数据，计算不良贷款、贷款余额、应收 贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数.
解：用Excel计算的相关系数矩阵如下.
三、相关系数的显著性检验
(一) r 的抽样分布
当样本数据来自正态总体，且 0 时，则
t r n 2 ~ t(n 2) 1 r2
时，yˆ ˆ0 .
二、参数的最小二乘估计
假定样本数据 (xi , yi ) , i 1,2,, n ，满足一元线性回归模 型, 根据(11.6)式则样本回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi , i 1,2,, n
(11.7)
最小二乘法是使因变量的观察值 yi 与估计值 yˆi 之间的离差平
i1 i1
n
n
n
n
n xi2 ( xi )2 n yi2 ( yi )2
i 1
i 1
i 1
i 1
( 11.1 ) ( 10.2 )
相关系数的取值范围及意义
1. r 的取值范围为[－1，1].
2. r 1 ，称完全相关，既存在线性函数关系.
r ＝1，称完全正相关. r ＝－1，称完全负相关. 3. r ＝0，称零相关，既不存在线性相关关系. 4. r ＜0，称负相关. 5. r ＞0，称正相关.
最新一元线性回归方程PPT讲课教案精品课件
假定3：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i j )。 假定4： εi 服从正态分布，即εi N (0, 2 )。
前三个条件称为G-M条件
第六页，共28页。
§1.2 一元(yī yuán)线性回归模型的参 数估计
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares） OLS回归直线(zhíxiàn)的性质 OLSE的性质
i1
n
Lxy (Xi X) (Yi Y)
ˆ1
L xy L xx
i1
第十二页，共28页。
二、OLS回归直线(zhíxiàn) 的性质
（1）估计的回归直线 Yˆi ˆ0ˆ1Xi 过点 ( X , Y ) .
（2）
ei 0 ei X i 0
（3） Yi 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数 Yˆ Y .
x:人均生活费收入
第二页，共28页。
§1.1 模型(móxíng)的建立及其假定 条件
一、一元线性回归模型
例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y 的影响。建立如下理论回归 (huíguī)模型：
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释(jiěshì)变量；Xi——解释变量；
ε I ——随机误差项；
Y0t/2(n2)ˆ
1 n
(X0X)2 (Xi X)2
第二十六页，共28页。
3、控制(kòngzhì)问题
是预测(yùcè)的反问题
P (T 1YT 2)1
如何(rúhé)控制X？
第二十七页，共28页。
此课件下载可自行(zìxíng)编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
第二十八页，共28页。
前三个条件称为G-M条件
第六页，共28页。
§1.2 一元(yī yuán)线性回归模型的参 数估计
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares） OLS回归直线(zhíxiàn)的性质 OLSE的性质
i1
n
Lxy (Xi X) (Yi Y)
ˆ1
L xy L xx
i1
第十二页，共28页。
二、OLS回归直线(zhíxiàn) 的性质
（1）估计的回归直线 Yˆi ˆ0ˆ1Xi 过点 ( X , Y ) .
（2）
ei 0 ei X i 0
（3） Yi 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数 Yˆ Y .
x:人均生活费收入
第二页，共28页。
§1.1 模型(móxíng)的建立及其假定 条件
一、一元线性回归模型
例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y 的影响。建立如下理论回归 (huíguī)模型：
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释(jiěshì)变量；Xi——解释变量；
ε I ——随机误差项；
Y0t/2(n2)ˆ
1 n
(X0X)2 (Xi X)2
第二十六页，共28页。
3、控制(kòngzhì)问题
是预测(yùcè)的反问题
P (T 1YT 2)1
如何(rúhé)控制X？
第二十七页，共28页。
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第二十八页，共28页。
一元线性回归模型ppt课件
差e的原因.
例1.（多选）在如图所示的四个散点图，适合用一元线性回
归模型拟合其中两个变量的是( AC ).
例2．在一元线性回归模型中，下列关于Y＝bx＋a＋e的说法正确的是( C )
A．Y＝bx＋a＋e是一次函数
B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的
C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这
Y bx a e
(1)
2
E (e ) 0，D(e ) .
追问3.对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？
对于父亲身高为的某一名男大学生，他的身高 并不一定为
bxi+a ，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误
差项ei=yi -(+a).
相关程度较高.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
父亲身高/cm 174
170
173
169182172180172168
166
182
173
164
180
儿子身高/cm 176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
问题2.根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以
参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变
量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是随
一元线性回归模型及参数估计ppt课件
wiYi
20
2、无偏性：最小二乘参数估计量的均值等于 总体回归参数真值。
证： bˆ1 = kiYi = ki (b 0 + b1 X i + mi ) = b 0 ki + b1 ki X i + ki mi
由于
ki
=
xi xi2
=
0，
ki X i =
Xi
=
bˆ0 S X i
+
bˆ1S
X
2
i
6
解得：
bˆ0 bˆ1
= =
Y bˆ1 X
nSYi Xi SYiS Xi nS Xi2 (S Xi)2
由于 bˆ0 、bˆ1 的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为 最小二乘估计量(least-squares estimators)。
和b 1
的估计量；
二是求得随机误差项的分布参数，由于随机误差项
的均值已经被假定为0，所以所要求的分布参数只有
s2 m
方差
。
4
1、普通最小二乘法 （Ordinary Least Square, OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi），i=1,2,…n，假如 模型参数估计量已经求得，并且是最合理的参数估 计量，那么样本回归函数应该能够最好地拟合样本 数据，即样本回归线上的点与真实观测点的“总体 误差”应该尽可能地小。
2.用离差形式的数据xi，yi计 ei2
算简捷公式为
其中
ei2 = yi2 bˆ12 xi2
yi2 = (Yi Y )2 = Yi2 nY 2 xi2 = (Xi X )2 = Xi2 nX 2
《一元线性回归》ppt课件
做该样本的散点图 样本散点图近似于一条直线，这与 总体中表达的X和Y的关系是一致的。 画一条直线以尽能够地拟合该散点 图，由于样本取自总体，可用该线近 似地代表总体回归线。 该线称为样本回归线〔sample regression lines〕。
记样本回归线的函数方式为：
Y ˆif(X i)ˆ0ˆ1X i
计量经济学
Econometrics
第二章 一元线性回归模型
§ 2.1 回归分析概述 § 2.2 一元线性回归模型的参数估计 § 2.3 一元线性回归模型的统计检验 § 2.4 一元线性回归模型的运用：预测 § 2.5 实例：时间序列问题
§2.1 回归分析概述
一、回归分析的根本概念 二、总体回归函数 三、随机干扰项 四、样本回归函数
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
3500 1/6
2585
〔4〕描出散点图发现：随着收入X的添加，消费“平均地说〞也在添加， 且Y的条件均值均落在一条正斜率的直线上。这条线，我们称为总体回归 线〔population regression line，PRL〕
每 月 消 费 支 出 Y 〔元〕
3500 3000 2500 2000 1500 1000
A2：回归分析与因果关系
虽然回归分析通常用于研讨具有因果关系的变量之间的详细依赖关系， 但是回归关系式本身并不一定意味着因果关系
精品中职数学基础模块下册：10.5《一元线性回归》ppt课件(两份)
较大的．
10.5 一元线性回归 LOGO
动脑思考
探索新知
建立平面直角坐标系Oxy， x轴表示身高(单位:cm)， y轴表示体重(单位:kg).
上述样本中每位学生的身高与体重组成的有序数对，对应于平面上一个点， 这些点组成的图形叫做散点图.如图所示. 表面上散点图中的这些点杂乱无章， 但是大体上呈现出一种直线走向趋势〔这 是非常重要的，否则不能用一次函数来近 似〕.这启发我们，人的体重y与身高x大体 上有一次函数的关系，，即可以近似地有编号 身高x1 172
2 150
3 170
4 165
5 180
6 176
7
8
变量之间的这种非确 155 160 定性的相互依存的关系 叫做相关关系．它的特 60 47 85 70 75 80 点是，当一个变量或 50 65 体重y n 个变量的值确定后，另 一个变量的值虽然与它 学生的身高与体重之间存在着一定的关系，这种关系不像以前研究的函数 （或它们）有着密切的 关系，但却无法完全确 定． 关系那样，知道身高，就能确定体重的值．但是一般身高的人，体重还是比
i 1 i 1 i 1 n n n
ˆ b
n xi2 ( xi ) 2
i 1 i 1
n
n
,
n n 1 1 ˆ , 其中 x xi , y yi ˆ y bx a n i 1 n i 1
ˆ ˆ 叫做y关于x的回归方程，它的图形叫做回归直线. ˆ a ˆ bx 方程 y
试求销售额y关于广告费x的一元线性回归方程．
相关关系的定义？相关关系的特点？
变量之间的这种非确定性的相互依存的关系叫做 相关关系． 相关关系的特点是，当一个变量或n个变量的值 确定后，另一个变量的值虽然与它（或它们）有着密 切的关系，但却无法完全确定．
《一元线回归》课件
总结
本课程的收获和反思
总结本课程学习过程中的收获和个人反思。
后续学习与建议
提供后续学习一元线性回归模型的建议和推 荐资源。
参考文献
相关论文籍。
等式约束最小二乘法
探讨等式约束最小二乘法 在解决线性回归问题中的 优化效果。
经典案例分析
典型案例介绍
介绍一些经典的使用一元 线性回归模型解决的案例。
项目案例分析
详细分析一个实际项目中 运用一元线性回归模型解 决的问题和效果。
成果总结与展望
总结一元线性回归模型在 实际应用中的成果和展望 未来的发展方向。
本课程的目标和内容
明确本课程的学习目标，以及将覆盖的内容。
线性回归基础
线性回归的定义和公式
详细解释线性回归模型的定义和数学公式。
最小二乘法求解线性回归
介绍使用最小二乘法计算线性回归模型的参数。
回归系数和截距的意义和计算方法
解释回归系数和截距在线性回归中的意义和计算方法。
模型评估
模型拟合优度的评价 指标
讲解数据预处理的重要性以及常用的数据清 洗方法。
加载数据集
介绍如何加载数据集，为一元线性回归模型 训练做准备。
训练模型并预测结果
演示如何使用加载的数据集训练一元线性回 归模型，并进行预测。
优化算法
梯度下降算法
介绍梯度下降算法在优化 线性回归模型中的应用。
正规方程法
解释使用正规方程法求解 线性回归模型的计算过程。
《一元线回归》PPT课件
一元线性回归PPT课件大纲，旨在介绍一元线性回归的基本概念、模型评估、 优化算法，以及经典案例分析。从理论到实践，帮助大家掌握这一重要数据 分析方法。
课程简介
语文版中职数学基础模块下册10.9《一元线性回归》ppt课件2
9.1.4相关系数的显著性检验
为什么要检验？检验什么？怎么检验？ 检验的依据： 如果X和Y都服从正态分布，在总体相关系 数 0 的假设下，与样本相关系数 r 有关的 t 统计量服从自由度为n-2的 t 分布：
t r n 2 1 r
0
2
4
6
8
10
● 从变量相关关系变化的方向看
正相关——变量同方向变化 同增同减 (A) 负相关——变量反方向变化
一增一减 (B)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
A
B
25 20 15
● 从变量相关的程度看
完全相关 不完全相关 不相关 (C)
10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度 (x3)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
子女身高 (y)与父亲身高(x)之间的关系
巴菲特：股市和经济不是每时每刻都紧密相联，但如 果经济在很长一段时间内都向好，那么股市也会在很 长一段时间内向好。如果经济不太好，那么股市也会 不太好。但是具体每一周，每一月的变化我就不是那 么在意，如果经济好，那么最后股市就会好。我并不 知道市场明年或接下来两年怎么样。我并不想被称作 是中国股市的专家，我不太了解中国股市。——2010 年年会接受《经济半小时》采访
散点图（用来判断变量间的关系形态）
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
第一元线性回归PPT实用课件
间没有任何关系 人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题
函数，记为 y = f (x)，其中 x 在【Prediction interval】下选中【Mean】和【Individual】(输出置信区间和预测区间) 称为自变量，y 称为因变量
3. 各观测点落在一条线上
x
相关关系
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？ 用散点图描述相关关系 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
变量之间的关系？
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
在【残差】分析选项中选择所需的选项
设有两个变量 一元线性回归模型
(基本假2定. )
x
和
y
，变量
y 随变量 x 一起变化，并完 散点图
(销售收入和广告费用的散点图) Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。
❖ 若P< ，拒绝H0
相关系数的显著性检验
(例题分析)
❖ 【例93】检验销售收入与广告费用之间的相关系数 是否显著 ( 0.05)
❖ 提出假设H0
；H1
0
❖ 计算检验的统计量
t 0.930620210.789 10.93026
❖ 3. 用Excel中的【TDIST】函数得双尾 P=2.743E09< 0.05，拒绝H0，销售收入与广告 费用之间的相关系数显著
函数，记为 y = f (x)，其中 x 在【Prediction interval】下选中【Mean】和【Individual】(输出置信区间和预测区间) 称为自变量，y 称为因变量
3. 各观测点落在一条线上
x
相关关系
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？ 用散点图描述相关关系 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
变量之间的关系？
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
在【残差】分析选项中选择所需的选项
设有两个变量 一元线性回归模型
(基本假2定. )
x
和
y
，变量
y 随变量 x 一起变化，并完 散点图
(销售收入和广告费用的散点图) Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。
❖ 若P< ，拒绝H0
相关系数的显著性检验
(例题分析)
❖ 【例93】检验销售收入与广告费用之间的相关系数 是否显著 ( 0.05)
❖ 提出假设H0
；H1
0
❖ 计算检验的统计量
t 0.930620210.789 10.93026
❖ 3. 用Excel中的【TDIST】函数得双尾 P=2.743E09< 0.05，拒绝H0，销售收入与广告 费用之间的相关系数显著
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（2）相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变 量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
总体相关系数，记为
（4）若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系
数，记为 r
样本相关系数 (计算公式)
• 样本相关系数的计算公式
协方差cov（x，y）
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
Var（x）Var（y）
或化简为 r
nxy x y
一元线性回归
1 变量间关系的度量 2 一元线性回归 3 利用回归方程进行预测 4 案例讨论及软件应用
1 变量间关系的度量
1.1 变量间的关系 1.2 相关关系的描述与测度 1.3 相关系数的显著性检验
1.1 变量间的关系
函数关系
（1）是确定的关系
（2）设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随
变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y
“回归” 一词的历史渊源
• “回归”一词最早由Francis Galton引入。 Galton发现，虽然父母的身高对子女的身高起到 决定性作用，但给定父母的身高后，他们儿女辈 的平均身高却趋向于或者“回归”到社会平均水 平。Galton的普遍回归定律（law of universal regression)。
散点图
(例题分析)
不良贷款
不良贷款
散点图
(例题分析)
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14 12 10
8 6 4 2 0
0
10
20
30
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30
累计应收贷款
相散关点关系图的描述与测度
(scatter diagram)
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
散点图
(例题分析)
• 【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业 务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固 定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额 平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给 银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形 成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分 析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所 属的25家分行2002年的有关业务数据
相关关系
(correlation)
（1）变量间关系不能用函数关系 精确表达
（2）一个变量的取值不能由另一 y
个变量唯一确定，但当一个 或若干个变量X取一定值时， 与之相对应的另一个变量Y的 值虽然不确定，但却按某种
规律在一定范围内变化。
（3）当变量 x 取某个值时，变
量 y 的取值可能有几个
不密切 下面图形说明上述关系：
相关系数
(取值及其意义)
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
r
负相关程度增加 正相关程度增加
相关关系
• 1、X和Y是地位相互对称的随机变量，所以有 r(X,Y)=r(Y,X).
• 2、相关系数只反映变量间的线性相关程度，不能说明非线 性相关关系。
• Galton的朋友Karl Pearson通过收集一些家庭的 1000多名成员的父子身高数据，证明儿子确实 “回归到中等（regression to mediocrity)”
回归分析与相关分析的区别
（1）相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位； 回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的 地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
• 3、相关系数只能反映变量间线性相关的程度，并不能确定 变量的因果关系，也不能说明这种相关关系具体接近于哪 条直线。
相关系数矩阵
(例题分析)
2 一元线性回归
2.1 一元线性回归模型 2.2 参数的最小二乘估计 2.3 回归直线的拟合优度 2.4 显著性检验
什么是回归分析？
(Regression)
y
依确定的关系取相应的值，则称
y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其 中 x 称为自变量，y 称为因变量
（3）各观测点落在一条曲线上
x
函数关系
(几个例子)
函数关系的例子
某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表 示为 y = px (p 为单价)
圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14 12 10
8 6 4 2 0
0
50
100
150
200
固定资产投资额
不良贷款与固定资产投资额的散点图
相关关系的描述与测度
相关系数
(correlation coefficient)
（1）对变量之间关系密切程度的度量 （2）对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单
相关系数 （3）若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为
n x2 x2 n y2 y2
相关系数
(取值及其意义)
1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关
• r =1，为完全正相关 • r =-1，为完全负正相关 3. r = 0，不存在线性 相关关系 4. -1r<0，为负相关 5. 0<r1，为正相关 6. |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越
x
（4）各观测点分布在直线（或曲
线）周围
相关关系
(几个例子)
相关关系的例子
父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系
大气臭氧含量y与温度x之间的关系
商品销售额y与广告费支出x之间的关系
等等
相关关系
(类型)
相关关系
变量的数量
表现形式
变化的方向
简单相关 多重相关 线性相关 非线性相关 正相关 负相关
（1）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关 系式(数学分析与统计分析)
（2）对这些关系式的可信程度进行各种统计检验 （在经济意义的基础上），并从影响某一特定变 量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些 不显著
（3）利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出 这种预测或控制的精确程度
总体相关系数，记为
（4）若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系
数，记为 r
样本相关系数 (计算公式)
• 样本相关系数的计算公式
协方差cov（x，y）
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
Var（x）Var（y）
或化简为 r
nxy x y
一元线性回归
1 变量间关系的度量 2 一元线性回归 3 利用回归方程进行预测 4 案例讨论及软件应用
1 变量间关系的度量
1.1 变量间的关系 1.2 相关关系的描述与测度 1.3 相关系数的显著性检验
1.1 变量间的关系
函数关系
（1）是确定的关系
（2）设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随
变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y
“回归” 一词的历史渊源
• “回归”一词最早由Francis Galton引入。 Galton发现，虽然父母的身高对子女的身高起到 决定性作用，但给定父母的身高后，他们儿女辈 的平均身高却趋向于或者“回归”到社会平均水 平。Galton的普遍回归定律（law of universal regression)。
散点图
(例题分析)
不良贷款
不良贷款
散点图
(例题分析)
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14 12 10
8 6 4 2 0
0
10
20
30
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30
累计应收贷款
相散关点关系图的描述与测度
(scatter diagram)
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
散点图
(例题分析)
• 【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业 务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固 定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额 平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给 银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形 成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分 析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所 属的25家分行2002年的有关业务数据
相关关系
(correlation)
（1）变量间关系不能用函数关系 精确表达
（2）一个变量的取值不能由另一 y
个变量唯一确定，但当一个 或若干个变量X取一定值时， 与之相对应的另一个变量Y的 值虽然不确定，但却按某种
规律在一定范围内变化。
（3）当变量 x 取某个值时，变
量 y 的取值可能有几个
不密切 下面图形说明上述关系：
相关系数
(取值及其意义)
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
r
负相关程度增加 正相关程度增加
相关关系
• 1、X和Y是地位相互对称的随机变量，所以有 r(X,Y)=r(Y,X).
• 2、相关系数只反映变量间的线性相关程度，不能说明非线 性相关关系。
• Galton的朋友Karl Pearson通过收集一些家庭的 1000多名成员的父子身高数据，证明儿子确实 “回归到中等（regression to mediocrity)”
回归分析与相关分析的区别
（1）相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位； 回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的 地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
• 3、相关系数只能反映变量间线性相关的程度，并不能确定 变量的因果关系，也不能说明这种相关关系具体接近于哪 条直线。
相关系数矩阵
(例题分析)
2 一元线性回归
2.1 一元线性回归模型 2.2 参数的最小二乘估计 2.3 回归直线的拟合优度 2.4 显著性检验
什么是回归分析？
(Regression)
y
依确定的关系取相应的值，则称
y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其 中 x 称为自变量，y 称为因变量
（3）各观测点落在一条曲线上
x
函数关系
(几个例子)
函数关系的例子
某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表 示为 y = px (p 为单价)
圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14 12 10
8 6 4 2 0
0
50
100
150
200
固定资产投资额
不良贷款与固定资产投资额的散点图
相关关系的描述与测度
相关系数
(correlation coefficient)
（1）对变量之间关系密切程度的度量 （2）对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单
相关系数 （3）若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为
n x2 x2 n y2 y2
相关系数
(取值及其意义)
1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关
• r =1，为完全正相关 • r =-1，为完全负正相关 3. r = 0，不存在线性 相关关系 4. -1r<0，为负相关 5. 0<r1，为正相关 6. |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越
x
（4）各观测点分布在直线（或曲
线）周围
相关关系
(几个例子)
相关关系的例子
父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系
大气臭氧含量y与温度x之间的关系
商品销售额y与广告费支出x之间的关系
等等
相关关系
(类型)
相关关系
变量的数量
表现形式
变化的方向
简单相关 多重相关 线性相关 非线性相关 正相关 负相关
（1）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关 系式(数学分析与统计分析)
（2）对这些关系式的可信程度进行各种统计检验 （在经济意义的基础上），并从影响某一特定变 量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些 不显著
（3）利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出 这种预测或控制的精确程度