集合与函数概念-课件
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课件1集合与函数概念复习.ppt
就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数，
记作y= f (x)，x∈A.
其中,x叫做自变量, x的取值范围A叫做 , 与x的值对应的y值 叫做函数值, 函数值y的 集合叫做 .
知识梳理
（2）函数的三要素： ， ， 。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ， 。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分 别完全相同
（3）无序性：集合与它的元素的组成方式无关的。
知识梳理
2、集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素 出来，写在 内表示集合的方法。列举法表示集合的特点 是清晰、直观。常适用于集合中元素较少时。
（2）描述法：把集合中的元素的 描述出 来，写在 内表示集合的方法。一般形式 是｛x|p｝，其中竖线前面的x叫做此集合的 元素，p指出元素x所具有的公共属性。描述 法便于从整体把握一个集合，常适用于集合 中元素的公共属性较为明显时。
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,
如果按照某个对应关系f ,对于A中的
,
在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应,
那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个映
射。
知识梳理
6、函数的单调性 （1）对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量的值x1,x2当x1＜x2时，如果都有f(x1) ＜ f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是 函 数，这个区间D就叫做这个函数的 区 间；如果都有f(x1) ＞ f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是 函数，这个区间D就叫做这 个函数的 区间；
知识梳理
（2）交集的定义：一般地，由属于集合A 属于
集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的交集。
记作
。即A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝。
人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件
(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称； (2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称； (3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称； (4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称； (5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足 f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝ ＝xx2 的解为坐 标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}， 若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝ ＝xx2 的解为坐 标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}， 若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．
高中数学必修1 集合与函数概念 PPT课件 图文
a23a0 0a3
1 . 下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) , 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )
A .f(x )x ,g (x )( x)2
B .f(x)x,g(x)x2
C .f(x)x,g(x)3x3
D .f(x ) |x 2 1 |,g (x ) |x 1 |
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
（2）函数的三要素： ， ，
。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ，
。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方 面的训练 .
3x
f(2)4p25 p2 63
设 x1x21 则 x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 1
f(x1)f(x2)2 3(x1x 21 1x2x 22 1)23(x1
x2)
x1x2 1 x1x2
0
f(x1)f(x2)
即 函 数 f ( x ) 在 ( , 1 ) 上 是 增 函 数 .
问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑
《集合与函数》课件
《集合与函数》ppt课件
目录
• 集合 • 函数 • 函数的定义域和值域 • 函数的单调性 • 函数的奇偶性
01
集合
集合的基本概念
01
02
03
集合的定义
集合是由确定的、不同的 元素所组成的，这些元素 之间有明确的界限，并且 互不干扰。
元素与集合的关系
一个元素要么属于某个集 合，要么不属于该集合， 不存在部分属于或部分不 属于的情况。
集，记作A⊆B。
02
函数
函数的基本概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它描 述了两个集合之间的对应关系。 对于集合A中的每一个元素，按 照某种规则，总能在集合B中找
到唯一的元素与之对应。
函数的表示方法
函数可以通过解析式、表格、图 像等多种方式来表示。常用的表
示方法有解析式法和图象法。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如函 数的定义域和值域、函数的单调 性、函数的奇偶性等。这些性质 可以帮助我们更好地理解和应用
定义域和值域的求法
直接法
根据函数解析式的要求 ，直接求出函数的定义
域和值域。
图像法
通过观察函数图像的特 点，确定函数的定义域
和值域。
反推法
根据函数值域的要求， 反推出函数的定义域。
代数法
通过代数运算和不等式 求解，求出函数的定义
域和值域。
04
函数的单调性
单调性的定义
递增函数
对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$。
判断函数的性质
通过单调性判断函数的奇 偶性、周期性等。
解决实际问题
单调性在经济学、物理学 等领域有广泛应用，如分 析供求关系、研究物体运 动规律等。
目录
• 集合 • 函数 • 函数的定义域和值域 • 函数的单调性 • 函数的奇偶性
01
集合
集合的基本概念
01
02
03
集合的定义
集合是由确定的、不同的 元素所组成的，这些元素 之间有明确的界限，并且 互不干扰。
元素与集合的关系
一个元素要么属于某个集 合，要么不属于该集合， 不存在部分属于或部分不 属于的情况。
集，记作A⊆B。
02
函数
函数的基本概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它描 述了两个集合之间的对应关系。 对于集合A中的每一个元素，按 照某种规则，总能在集合B中找
到唯一的元素与之对应。
函数的表示方法
函数可以通过解析式、表格、图 像等多种方式来表示。常用的表
示方法有解析式法和图象法。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如函 数的定义域和值域、函数的单调 性、函数的奇偶性等。这些性质 可以帮助我们更好地理解和应用
定义域和值域的求法
直接法
根据函数解析式的要求 ，直接求出函数的定义
域和值域。
图像法
通过观察函数图像的特 点，确定函数的定义域
和值域。
反推法
根据函数值域的要求， 反推出函数的定义域。
代数法
通过代数运算和不等式 求解，求出函数的定义
域和值域。
04
函数的单调性
单调性的定义
递增函数
对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$。
判断函数的性质
通过单调性判断函数的奇 偶性、周期性等。
解决实际问题
单调性在经济学、物理学 等领域有广泛应用，如分 析供求关系、研究物体运 动规律等。
集合与函数PPT课件
其表达式为
o
(,0) t
2
2E t,
U(t)
2E (t
0,
),
t [0, ] 2
t ( ,] 2
t (,)
例2
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
故 D f :[3,1]
五、函数的特性
1．函数的有界性:
如何给出无界 的定义？
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
• 若lR,使得xA,都有x≥l,则称l为A的一个 下界.
集合与函数概念ppt 人教课标版
a A
练一练： 用符号“∈”或“ ”
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
填空： ∈ 3.14_______Q π_______Q ∈ 0_______N 0_______N+ ∈ (-0.5)0_______Z ∈ 2_______R
集合的表示方法
1、列举法：
无序 互异 } 将集合中的元素一一列举出来，并用花括号 { 括起来的方法叫做列举法
{x|a<x ≤ b} {x|x ≥ a} {x|x > a} {x|x ≤ a}
{x|x < a} R
（一）函数的有关概念 定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function), 记作y=f (x),x∈A。 定义域(domain):x的取值范围A叫做函数的定义域;
含n个元素的集合的所有子集的
个数是2n，所有真子集的个数是 2n-1，非空真子集数为2n-2.
1.1.3 集合的基本运算
定 义
一般地,由属于集合A或属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的并集, 记作 读作 A∪ B A并 B
A
B
即A∪B={x | x∈A,或x∈B}
A∪ B
例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝， 求A∪B.
注意易混符号
”：元素与集合之间是 ”与“ 属于关系；集合与集合之间是包含关 系如 1 N ,1 N , N R, Φ R,{1} {1，2，3} ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集 合，Φ是不含任何元素的集合. Φ {0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
01-第1讲集合与函数-PPT课件
x0I, 使得 | f ( x0 ) | > M 成立。
例10 讨论函数函数的有： 界y 性x2。
解 函数的定义 Df域 (为 , ： )。
因 M 0 ， 为 x 0 M 取 1 ( , ) ， 有 |f(x 0 )| (M 1 )2 M 1 M ，
y
。此时，称函数
xx0
f 在点 x0处有定义。
xA时的全体函数 ，值 称的 为集 f函 的 合 数 值 域，记 R(f为 )或f(A)，即
R(f){y| yf(x)，xA}。
2. 函数的表示法
解析法 表格法 图示法
自己看书！
3. 求函数定义域举例
数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。
例7 函数 f(x)|x|与g(x) x2是否相同？ 解 f(x) 与g(x) 的定义域均为实 R, 数域
又 x2|x|, 即f(x)与g(x)的对应关, 系相同 函f数 (x)与 g(x)相同。
5.函数的图形 在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集
{ (x ,y )|y f(x ),x D f}
我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。
否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。
3. 有界集
A≠Ф，若存在M >0, x∈A，均有|x|≤M，则称A为 有界集；
例10 讨论函数函数的有： 界y 性x2。
解 函数的定义 Df域 (为 , ： )。
因 M 0 ， 为 x 0 M 取 1 ( , ) ， 有 |f(x 0 )| (M 1 )2 M 1 M ，
y
。此时，称函数
xx0
f 在点 x0处有定义。
xA时的全体函数 ，值 称的 为集 f函 的 合 数 值 域，记 R(f为 )或f(A)，即
R(f){y| yf(x)，xA}。
2. 函数的表示法
解析法 表格法 图示法
自己看书！
3. 求函数定义域举例
数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。
例7 函数 f(x)|x|与g(x) x2是否相同？ 解 f(x) 与g(x) 的定义域均为实 R, 数域
又 x2|x|, 即f(x)与g(x)的对应关, 系相同 函f数 (x)与 g(x)相同。
5.函数的图形 在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集
{ (x ,y )|y f(x ),x D f}
我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。
否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。
3. 有界集
A≠Ф，若存在M >0, x∈A，均有|x|≤M，则称A为 有界集；
高中数学第一章集合与函数概念2.1函数的概念课件新人教A版必修
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x
(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是
(填序号).
解析 ①f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},g(x)的定义域为R, f(x)与g(x)的定义域不
同,不是相等函数;②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0},但f(x)= 1 与g(x)= x的对应
(a,b)
数轴表示
定义 符号
R (-∞,+∞)
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
{x|x<a} (-∞,a)
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( √ ) 2.区间不可能是空集. ( √ ) 3.任何两个集合之间都可以建立函数关系. ( ✕ ) 4.函数的定义域和值域一定是无限集合. ( ✕ ) 函数的定义域和值域也可能是有限集合,如f(x)=1(x∈{1,2}). 5.根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应值域中不同的y. ( ✕ ) 根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一确定的y与之对应. 6.在函数的定义中,集合B是函数的值域. ( ✕ ) 在函数的定义中,函数的值域是{f(x)|x∈A},它是集合B的子集.
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念
函数的有关概念
一般地,我们有:设A,B是① 非空的数集 ,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的② 任意 一个数x,在集合B中都有③ 唯一确定 的数f(x)和 它对应,那么就称④ f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数,记作⑤ y=f(x) , x∈A.其中,x叫做自变量,x的⑥ 取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应 的y值叫做函数值,函数值的集合⑦ {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.显然,值域是 集合B的子集.
高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的概念课件 新人教A必修1
❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．
人教版高中数学必修1全套课件
函数与方程
函数与方程的基本概念
包括函数定义、函数值、自变量、因 变量等概念的介绍。
函数的表示方法
解析法、列表法、图象法等表示方法 的特点和适用范围。
函数的性质
单调性、奇偶性、周期性等性质的定 义和判断方法。
方程与不等式的解法
一元一次方程、一元二次方程、分式 方程等方程和不等式的解法，以及函 数与方程的联系。
对数函数
对数函数的定义与性质
01
介绍对数函数的基本概念、性质，包括底数、对数的定义和运
算规则。
对数函数的图像与性质
02
通过图像展示对数函数的增减性、奇偶性、周期性等性质，帮
助学生直观理解函数特点。
对数函数的应用
03
列举对数函数在生活中的实际应用，如音量的分贝计算、地震
震级的计算等，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
数列的项与通项公式
数列中的每一个数称为数列的项；表示数列第n项的公式称为数列 的通项公式。
数列的表示方法
列表法、图象法和通项公式法。
等差数列和等比数列
等差数列的定义与性质
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列的定义与性质
从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
正切函数、余切函数的图象和性质 三角函数的最值问题
三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦 公式
半角公式及其应用
二倍角公式及其应用 积化和差与和差化积公式
解三角形及其应用举例
01
正弦定理及其应用
02
余弦定理及其应用
03
解三角形的常用方法：面积法、正弦定理 法、余弦定理法等
04
解三角形的实际应用举例：测量、航海、 地理等问题
集合与函数的概念 完整版课件
∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)<f(－2)<f(1)．故选 A.
)．
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析 对任意 x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有fxx22－ －fx1x1<0，
即 x2－x2 与 f(x2)－f(x1)异号，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又 f(x)是 R 上的偶函数，
＝23x1＋32x1－23x2＋32x2 ＝23(x1－x2)＋23x11－x12 ＝23(x1－x2)＋23·x2x－1x2x1 ＝23(x1－x2)·1－x11x2 ＝23(x1－x2)·x1xx12x－2 1.
①当 x1<x2≤－1 时，x1－x2<0，x1x2>1， ∴x1x2－1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 所以函数 f(x)在(－∞，－1]上是增函数． ②当－1<x1<x2<0 时， x1－x2<0,0<x1x2<1， ∴x1x2－1<0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 所以函数 f(x)在(－1,0)上是减函数．
∴aa≤ ＋03， ≥2. ∴－1≤a≤0. (2)∵(∁RA)∪B＝R， ∴－1≤a≤0，而 a＋3∈[2,3]， ∴A⊆B，这与 A∩B＝∅矛盾．即这样的 a 不存在．
专题二 函数的概念 函数的概念考查主要是对函数三要素：定义域、值域、对应法 则的考查，其中定义域是研究函数任何问题的前提条件，而求 函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．
高中数学第一章集合与函数概念1.1集合的含义与表示课件新人教A版必修
综上可知,实数a的值为1 .
3
解题时忽视集合中元素的互异性,认为a=0也符合题意,导致解题错误.
跟踪训练1( )已知集合A中含有两个元素:a-3,2a-1,求a的取值范围. 思路点拨 根据集合中元素的互异性列出关系式,求出a的取值范围. 解析 由集合中元素的互异性知a-3≠2a-1,解得a≠-2,故实数a的取值范围是a≠-2.
用描述法表示集合时对代表元素的理解 用描述法表示集合时要含有代表元素和共同特征两个部分,识别描述法表示 的集合时,不仅要看共同特征(元素满足什么条件),还要看代表元素,代表元素不同,表 示的集合不同,例如{x|y=p(x)}表示数集,{(x,y)|y=p(x)}表示坐标平面内的点集.
用描述法表示下列集合: (1)小于10的所有非负整数的集合; (2)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合; (3)不等式2x+3>7的解集; (4)被3除余2的正整数组成的集合. 解析 答案不唯一. (1){x|0≤x<10,x∈Z}. (2){(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}. (3)解不等式2x+3>7,得x>2, 所以不等式2x+3>7的解集为{x|x>2}. (4){y|y=3n+2,n∈N}.
已知集合A中含有三个元素:a+1,3a,a2+1,若1∈A,求实数a的值.
解析 当a+1=1时,a=0,则3a=0,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当3a=1时,a= 1,则a+1= 4,a2+1=10 ,符合题意;
3
3
9
当a2+1=1时,a=0,则a+1=1,3a=0,不满足集合中元素的互异性,舍去.
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念课件
一
二
2.实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用区间表示?
提示:
定义 R
{x|x≥a}
符号 (-∞,+∞) [a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
3.判断正误:
(1)所有的数集都能用区间表示.(
(2)所有的区间都能用数集表示.(
答案:(1)× (2)√
{x|x≤a}
(-∞,a]
)
)
{x|x<a}
答案:①④
一
二
二、区间的概念及表示
1.阅读教材17页上半部分,关于区间的概念,请填写下表:
设a,b∈R,且a<b,规定如下:
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间
[a,b]
{x|a<x<b}
开区间
(a,b)
{x|a≤x<b}
半开半闭区间 [a,b)
{x|a<x≤b}
半开半闭区间 (a,b]
数轴表示
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
4- ≥ 0,
≤ 4,
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
即
≠ 1.
-1 ≠ 0,
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(+2)0
(1)y=
||-
2 -1
; (2)f(x)= -1 − 4-.
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集合与函数概念
内容与课时（13课时）
1.1.1 集合的含义与表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算
小结与复习 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约1课时 约1课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
加强对函数性质研究方法的引导
研究方面： 函数增与减（单调性） 函数最大值、最小值 函数（图象）对称性（奇偶性） 函数的零点 函数值的循环往复（周期性） 函数增长（减少）的快与慢
研究方法 观察图像 猜想性质 推理证明
借助计算机计算器理解函数
• 计算机器不仅仅是 为了方便计算
• 通过绘图、列表、 变换增进对函数的 理解
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
释疑应用
例1 根据图象说出函数的 单调区间，以及在每一单 调区间上，它是增函数还 是减函数？
函数总结
• 熟悉内容为主 • 结构顺序调整 • 目标要求有变 • 教学方式求新
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
C U ( A B ) ( C U A )( C U B ) ; C U ( A B ) ( C U A )( C U B )
鸡肋：大纲版有，新课标作为思考
AA A ,A 等
不搞偏题、怪题
已知集合，A { x |( a 2 1 ) x 2 ( a 1 ) x 1 0 ,a R } 若A为空集，求满足条件a的集合； 若A为单元素集合，求满足条件a的集合； 若A中至多有一个元素，求满足条件a的集合；
二、大纲与课标比较
内
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
容
① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间 了解映射的概念，
的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集 在此基础上加深对
合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画 函数概念的理解。
函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一 了解函数单调
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
从变量、对应、图形三方面理解函 数概念
函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 函数是联结两类对象的桥梁 ——对应关系 函数是“图形”——关系
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
在实际应用中理解函数
• 1.3函数的基本性质 习题1.3共9道有三道 应用题，其余各章节应用题占30%
• 函数应用独立成章
• 展现知识的形成与应用过程，即以“问题 情境—建立模型—解释、应用与拓展”的 模式，
探讨：有把握尺度
不搞一步到位 不拓展运算公式 不搞偏题、怪题
不搞一步到位
• 集合作为语言，今后还须不断学习：
导数、线性规划、解析几何、一元二次不等式
• 点集“三步曲：题7——练习——区域、曲 线
题7：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集 合为L2，使用集合的运算表示l1、 l2的位置关系。
了解反函数的 概念及互为反函数 的函数图象间的关 系，会求一些简单 函数的反函数。
⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质
函数教学要求变化
删减: 反函数 增加：最值定义. 函数的奇偶性 降低：映射概念、复合函数
定义域、值域过于繁难的技巧化训练. 提高：函数概念、分段函数、函数的单调性、
用函数图象研究函数性质 函数模型的背景和应用 信息技术整合.
1.2函数及其表示（4课时）
函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮 助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系 生活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般 定义。
要注意构成函数的要素和相同函数的含义 注意函数三种表示法的联系、区别与适用性， 注意分段函数的意义 在求函数定义域、值域时，要控制难度。
• 促进学生探究性学 习方式的形成
借助函数发展史理解函
拓展数学视野 开发数学人文价值 促进对教材内容的理解
背景
变量说 对应说 表示
四、分节详解
1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
考察内容是集合还是方程？ 是否加深了对集合理解？ 对发展集合语言交流能力有多少帮助 4课时教学，能否达到这样深度？ 要用到多少次分类讨论 2006浙江高考几乎没有每涉及到分类讨论，给我们什 么启示？ 高一新生对高中学习方式是否适应，是否应给他们一个 下马威？
集合小结
• 知识内容同原先 • 目标定位有变迁 • 教材处理出新意 • 难度把握不要偏
些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
性的概念，掌握判
函 数
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 断一些简单函数单
法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。
调性的方法。
③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单 应用。
④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的 单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函 数，了解奇偶性的含义。
求函数定义域、值域要控制难度。
思考：是原教材两个例题重组，为什么要重组？ 分析的第一句话起什么作用？ 这道题目对理解函数有那些帮助？ 求定义域、值域控制在什么难度？
注意分段函数的意义
1.3函数的基本性质（4课时）
• 本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入， 再归纳几何特征。
• 在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、 逻辑性，并要求规范书写。
三、整体分析
1、熟悉内容为主,结构顺序调整 2、突出产生背景,强调实际应用 3、加强研究函数性质方法的引导 4、借助信息技术理解函数 5、借助数学文化理解函数 (函数发展史)
熟悉内容为主,结构顺序调整
• 先函数，后映射 • 奇偶性提前（原来在三角函数中）
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了 相应函数的哪些变化规律：
y
1
-1
1x
-1
y
1
-1
1
x
-1
y
1
-1
1
x
-1
建立模型
y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何 用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
y
1
-1
1x
-1
定义增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自 变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么 就说f(x)在区间D上是增函数．
函数
一、目标定位
1、课标：“函数（的思想方法）将贯穿高中 数学课程的始终”
2、克莱因：“函数概念，应该成为数学教育 的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教 材集中在它周围，进行充分地综合。”
3、 教师：“学好了函数就可以对付高考”
高中：从不同角度认识函数概念（变量、影射、关系－图形、 模型），用函数认识方程、不等式、数列、线性规划、算法、 概率等，建立一批函数模型（基本初等函数、分段函数等）， 掌握用运算、导数等研究函数的变化，等等。
• 教学中要重视数形结合思想方法的培养。 • 要注意函数单调区间与定义域的关系, 奇偶函数定
义域的特征。 • 学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简
单函数的性质讨论。
重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。 难点:判断和证明单调性、奇偶性，求一些简单函数的最值。
案例：函数单调性
创设情景
集合 间的 基本 关系
集合 的基 本运 算
两者 比较
标准与大纲比较
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素 理解集合的概念；
与集合的“属于”关系。
了解属于的意义；
② 能选择自然语言、图形语言、集合语言 掌握有关的术语和符
（列举法或描述法）描述不同的具体问题， 号，并会用它们正确
习题1.1 B组：在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|y=x},
表示直线y=x，从这个角度看，集合D表示什么？集合C、
D有什么关系？
2xy1
D{(x,y)|x4y5}
不拓展运算公式
理由：定位语言，非集合论、非技巧 大纲3课时，新课标1课时
举例：不宜扩展： A A B ,A B A
A B A A B ; A B A A B
感受集合语言的意义和作用。
表示一些简单的集合。
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识 了 解 包 含 、 相 等 关
别给定集合的子集。
系的意义；
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 了 解 空 集 和 全 集 的
意义；
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会 理解子集、补集、
求两个简单集合的并集与交集。
内容与课时（13课时）
1.1.1 集合的含义与表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算
小结与复习 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约1课时 约1课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
加强对函数性质研究方法的引导
研究方面： 函数增与减（单调性） 函数最大值、最小值 函数（图象）对称性（奇偶性） 函数的零点 函数值的循环往复（周期性） 函数增长（减少）的快与慢
研究方法 观察图像 猜想性质 推理证明
借助计算机计算器理解函数
• 计算机器不仅仅是 为了方便计算
• 通过绘图、列表、 变换增进对函数的 理解
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
释疑应用
例1 根据图象说出函数的 单调区间，以及在每一单 调区间上，它是增函数还 是减函数？
函数总结
• 熟悉内容为主 • 结构顺序调整 • 目标要求有变 • 教学方式求新
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
C U ( A B ) ( C U A )( C U B ) ; C U ( A B ) ( C U A )( C U B )
鸡肋：大纲版有，新课标作为思考
AA A ,A 等
不搞偏题、怪题
已知集合，A { x |( a 2 1 ) x 2 ( a 1 ) x 1 0 ,a R } 若A为空集，求满足条件a的集合； 若A为单元素集合，求满足条件a的集合； 若A中至多有一个元素，求满足条件a的集合；
二、大纲与课标比较
内
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
容
① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间 了解映射的概念，
的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集 在此基础上加深对
合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画 函数概念的理解。
函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一 了解函数单调
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
从变量、对应、图形三方面理解函 数概念
函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 函数是联结两类对象的桥梁 ——对应关系 函数是“图形”——关系
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
在实际应用中理解函数
• 1.3函数的基本性质 习题1.3共9道有三道 应用题，其余各章节应用题占30%
• 函数应用独立成章
• 展现知识的形成与应用过程，即以“问题 情境—建立模型—解释、应用与拓展”的 模式，
探讨：有把握尺度
不搞一步到位 不拓展运算公式 不搞偏题、怪题
不搞一步到位
• 集合作为语言，今后还须不断学习：
导数、线性规划、解析几何、一元二次不等式
• 点集“三步曲：题7——练习——区域、曲 线
题7：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集 合为L2，使用集合的运算表示l1、 l2的位置关系。
了解反函数的 概念及互为反函数 的函数图象间的关 系，会求一些简单 函数的反函数。
⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质
函数教学要求变化
删减: 反函数 增加：最值定义. 函数的奇偶性 降低：映射概念、复合函数
定义域、值域过于繁难的技巧化训练. 提高：函数概念、分段函数、函数的单调性、
用函数图象研究函数性质 函数模型的背景和应用 信息技术整合.
1.2函数及其表示（4课时）
函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮 助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系 生活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般 定义。
要注意构成函数的要素和相同函数的含义 注意函数三种表示法的联系、区别与适用性， 注意分段函数的意义 在求函数定义域、值域时，要控制难度。
• 促进学生探究性学 习方式的形成
借助函数发展史理解函
拓展数学视野 开发数学人文价值 促进对教材内容的理解
背景
变量说 对应说 表示
四、分节详解
1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
考察内容是集合还是方程？ 是否加深了对集合理解？ 对发展集合语言交流能力有多少帮助 4课时教学，能否达到这样深度？ 要用到多少次分类讨论 2006浙江高考几乎没有每涉及到分类讨论，给我们什 么启示？ 高一新生对高中学习方式是否适应，是否应给他们一个 下马威？
集合小结
• 知识内容同原先 • 目标定位有变迁 • 教材处理出新意 • 难度把握不要偏
些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
性的概念，掌握判
函 数
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 断一些简单函数单
法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。
调性的方法。
③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单 应用。
④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的 单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函 数，了解奇偶性的含义。
求函数定义域、值域要控制难度。
思考：是原教材两个例题重组，为什么要重组？ 分析的第一句话起什么作用？ 这道题目对理解函数有那些帮助？ 求定义域、值域控制在什么难度？
注意分段函数的意义
1.3函数的基本性质（4课时）
• 本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入， 再归纳几何特征。
• 在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、 逻辑性，并要求规范书写。
三、整体分析
1、熟悉内容为主,结构顺序调整 2、突出产生背景,强调实际应用 3、加强研究函数性质方法的引导 4、借助信息技术理解函数 5、借助数学文化理解函数 (函数发展史)
熟悉内容为主,结构顺序调整
• 先函数，后映射 • 奇偶性提前（原来在三角函数中）
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了 相应函数的哪些变化规律：
y
1
-1
1x
-1
y
1
-1
1
x
-1
y
1
-1
1
x
-1
建立模型
y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何 用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
y
1
-1
1x
-1
定义增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自 变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么 就说f(x)在区间D上是增函数．
函数
一、目标定位
1、课标：“函数（的思想方法）将贯穿高中 数学课程的始终”
2、克莱因：“函数概念，应该成为数学教育 的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教 材集中在它周围，进行充分地综合。”
3、 教师：“学好了函数就可以对付高考”
高中：从不同角度认识函数概念（变量、影射、关系－图形、 模型），用函数认识方程、不等式、数列、线性规划、算法、 概率等，建立一批函数模型（基本初等函数、分段函数等）， 掌握用运算、导数等研究函数的变化，等等。
• 教学中要重视数形结合思想方法的培养。 • 要注意函数单调区间与定义域的关系, 奇偶函数定
义域的特征。 • 学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简
单函数的性质讨论。
重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。 难点:判断和证明单调性、奇偶性，求一些简单函数的最值。
案例：函数单调性
创设情景
集合 间的 基本 关系
集合 的基 本运 算
两者 比较
标准与大纲比较
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素 理解集合的概念；
与集合的“属于”关系。
了解属于的意义；
② 能选择自然语言、图形语言、集合语言 掌握有关的术语和符
（列举法或描述法）描述不同的具体问题， 号，并会用它们正确
习题1.1 B组：在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|y=x},
表示直线y=x，从这个角度看，集合D表示什么？集合C、
D有什么关系？
2xy1
D{(x,y)|x4y5}
不拓展运算公式
理由：定位语言，非集合论、非技巧 大纲3课时，新课标1课时
举例：不宜扩展： A A B ,A B A
A B A A B ; A B A A B
感受集合语言的意义和作用。
表示一些简单的集合。
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识 了 解 包 含 、 相 等 关
别给定集合的子集。
系的意义；
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 了 解 空 集 和 全 集 的
意义；
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会 理解子集、补集、
求两个简单集合的并集与交集。