集合与函数概念-课件
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C U ( A B ) ( C U A )( C U B ) ; C U ( A B ) ( C U A )( C U B )
鸡肋：大纲版有，新课标作为思考
AA A ,A 等
不搞偏题、怪题
已知集合，A { x |( a 2 1 ) x 2 ( a 1 ) x 1 0 ,a R } 若A为空集，求满足条件a的集合； 若A为单元素集合，求满足条件a的集合； 若A中至多有一个元素，求满足条件a的集合；
集合
一、知识结构
含义与表示
集合
基本关系
基本运算
二、目标定位
集合语言是现代数学的基本语言。使 用集合语言，可以简洁、准确地表达数学 的一些内容。高中数学课程是将集合作为 一种语言来学习，学会使用最基本的集合 语言表示有关的数学对象，发展运用数学 语言进行交流的能力。
内容 集合 的含 义与 表示
习题1.1 B组：在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|y=x},
表示直线y=x，从这个角度看，集合D表示什么？集合C、
D有什么关系？
2xy1
D{(x,y)|x4y5}
不拓展运算公式
理由：定位语言，非集合论、非技巧 大纲3课时，新课标1课时
举例：不宜扩展： A A B ,A B A
A B A A B ; A B A A B
集合 间的 基本 关系
集合 的基 本运 算
两者 比较
标准与大纲比较
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素 理解集合的概念；
与集合的“属于”关系。
了解属于的意义；
② 能选择自然语言、图形语言、集合语言 掌握有关的术语和符
（列举法或描述法）描述不同的具体问题， 号，并会用它们正确
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/62021/3/6Marc h 6, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/6
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
在实际应用中理解函数
• 1.3函数的基本性质 习题1.3共9道有三道 应用题，其余各章节应用题占30%
• 函数应用独立成章
• 展现知识的形成与应用过程，即以“问题 情境—建立模型—解释、应用与拓展”的 模式，
求函数定义域、值域要控制难度。
思考：是原教材两个例题重组，为什么要重组？ 分析的第一句话起什么作用？ 这道题目对理解函数有那些帮助？ 求定义域、值域控制在什么难度？
注意分段函数的意义
1.3函数的基本性质（4课时）
• 本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入， 再归纳几何特征。
• 在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、 逻辑性，并要求规范书写。
些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
性的概念，掌握判
函 数
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 断一些简单函数单
法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。
调性的方法。
③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单 应用。
④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的 单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函 数，了解奇偶性的含义。
• 教学中要重视数形结合思想方法的培养。 • 要注意函数单调区间与定义域的关系, 奇偶函数定
义域的特征。 • 学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简
单函数的性质讨论。
重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。 难点:判断和证明单调性、奇偶性，求一些简单函数的最值。
案例：函数单调性
创设情景
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
从变量、对应、图形三方面理解函 数概念
函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 函数是联结两类对象的桥梁 ——对应关系 函数是“图形”——关系
三、整体分析
1、熟悉内容为主,结构顺序调整 2、突出产生背景,强调实际应用 3、加强研究函数性质方法的引导 4、借助信息技术理解函数 5、借助数学文化理解函数 (函数发展史)
熟悉内容为主,结构顺序调整
• 先函数，后映射 • 奇偶性提前（原来在三角函数中）
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
考察内容是集合还是方程？ 是否加深了对集合理解？ 对发展集合语言交流能力有多少帮助 4课时教学，能否达到这样深度？ 要用到多少次分类讨论 2006浙江高考几乎没有每涉及到分类讨论，给我们什 么启示？ 高一新生对高中学习方式是否适应，是否应给他们一个 下马威？
集合小结
• 知识内容同原先 • 目标定位有变迁 • 教材处理出新意 • 难度把握不要偏
探讨：有限课时与内容丰富
正确定位
集合语言——非集合论
把握尺度
不搞一步到位 不拓展运算公式 不搞偏题、怪题
不搞一步到位
• 集合作为语言，今后还须不断学习：
导数、线性规划、解析几何、一元二次不等式
• 点集“三步曲：题7——练习——区域、曲 线
题7：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集 合为L2，使用集合的运算表示l1、 l2的位置关系。
了解反函数的 概念及互为反函数 的函数图象间的关 系，会求一些简单 函数的反函数。
⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质
函数教学要求变化
删减: 反函数 增加：最值定义. 函数的奇偶性 降低：映射概念、复合函数
定义域、值域过于繁难的技巧化训练. 提高：函数概念、分段函数、函数的单调性、
用函数图象研究函数性质 函数模型的背景和应用 信息技术整合.
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了 相应函数的哪些变化规律：
y
1
-1
1x
-1
y
1
-1
1
x
-1
y
1
-1
1
x
-1
建立模型
y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何 用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
y
1
-1
1x
-1
定义增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自 变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么 就说f(x)在区间D上是增函数．
交集、并集的概念；
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含 义，会求给定子集的补集。
③ 能使用Venn图表达集合的关系及运算， 体会直观图示对理解抽象概念的作用。
《大纲》:对概念，关注意义的了解、理解，掌握方法； 《标准》：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、
三、教材处理集合特点
补集放在集合运算——集合语言体系 不强调集合知识的完整性——非集合论 强调使用Venn图——三种语言
函数
一、目标定位
1、课标：“函数（的思想方法）将贯穿高中 数学课程的始终”
2、克莱因：“函数概念，应该成为数学教育 的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教 材集中在它周围，进行充分地综合。”
3、 教师：“学好了函数就可以对付高考”
高中：从不同角度认识函数概念（变量、影射、关系－图形、 模型），用函数认识方程、不等式、数列、线性规划、算法、 概率等，建立一批函数模型（基本初等函数、分段函数等）， 掌握用运算、导数等研究函数的变化，等等。
集合与函数概念
内容与课时（13课时）
1.1.1 集合的含义与表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算
小结与复习 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约1课时 约1课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021 10:02:26 AM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/62021/3/62021/3/6M ar-216- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/62021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
感受集合语言的意义和作用。
表示一些简单的集合。
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识 了 解 包 含 、 相 等 关
别给定集合的子集。
系的意义；
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 了 解 空 集 和 全 集 的
意义；
Байду номын сангаас
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会 理解子集、补集、
求两个简单集合的并集与交集。
1.2函数及其表示（4课时）
函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮 助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系 生活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般 定义。
要注意构成函数的要素和相同函数的含义 注意函数三种表示法的联系、区别与适用性， 注意分段函数的意义 在求函数定义域、值域时，要控制难度。
二、大纲与课标比较
内
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
容
① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间 了解映射的概念，
的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集 在此基础上加深对
合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画 函数概念的理解。
函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一 了解函数单调
• 促进学生探究性学 习方式的形成
借助函数发展史理解函
拓展数学视野 开发数学人文价值 促进对教材内容的理解
背景
变量说 对应说 表示
四、分节详解
1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
加强对函数性质研究方法的引导
研究方面： 函数增与减（单调性） 函数最大值、最小值 函数（图象）对称性（奇偶性） 函数的零点 函数值的循环往复（周期性） 函数增长（减少）的快与慢
研究方法 观察图像 猜想性质 推理证明
借助计算机计算器理解函数
• 计算机器不仅仅是 为了方便计算
• 通过绘图、列表、 变换增进对函数的 理解
释疑应用
例1 根据图象说出函数的 单调区间，以及在每一单 调区间上，它是增函数还 是减函数？
函数总结
• 熟悉内容为主 • 结构顺序调整 • 目标要求有变 • 教学方式求新
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
鸡肋：大纲版有，新课标作为思考
AA A ,A 等
不搞偏题、怪题
已知集合，A { x |( a 2 1 ) x 2 ( a 1 ) x 1 0 ,a R } 若A为空集，求满足条件a的集合； 若A为单元素集合，求满足条件a的集合； 若A中至多有一个元素，求满足条件a的集合；
集合
一、知识结构
含义与表示
集合
基本关系
基本运算
二、目标定位
集合语言是现代数学的基本语言。使 用集合语言，可以简洁、准确地表达数学 的一些内容。高中数学课程是将集合作为 一种语言来学习，学会使用最基本的集合 语言表示有关的数学对象，发展运用数学 语言进行交流的能力。
内容 集合 的含 义与 表示
习题1.1 B组：在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|y=x},
表示直线y=x，从这个角度看，集合D表示什么？集合C、
D有什么关系？
2xy1
D{(x,y)|x4y5}
不拓展运算公式
理由：定位语言，非集合论、非技巧 大纲3课时，新课标1课时
举例：不宜扩展： A A B ,A B A
A B A A B ; A B A A B
集合 间的 基本 关系
集合 的基 本运 算
两者 比较
标准与大纲比较
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素 理解集合的概念；
与集合的“属于”关系。
了解属于的意义；
② 能选择自然语言、图形语言、集合语言 掌握有关的术语和符
（列举法或描述法）描述不同的具体问题， 号，并会用它们正确
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/62021/3/6Marc h 6, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/6
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
在实际应用中理解函数
• 1.3函数的基本性质 习题1.3共9道有三道 应用题，其余各章节应用题占30%
• 函数应用独立成章
• 展现知识的形成与应用过程，即以“问题 情境—建立模型—解释、应用与拓展”的 模式，
求函数定义域、值域要控制难度。
思考：是原教材两个例题重组，为什么要重组？ 分析的第一句话起什么作用？ 这道题目对理解函数有那些帮助？ 求定义域、值域控制在什么难度？
注意分段函数的意义
1.3函数的基本性质（4课时）
• 本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入， 再归纳几何特征。
• 在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、 逻辑性，并要求规范书写。
些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
性的概念，掌握判
函 数
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 断一些简单函数单
法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。
调性的方法。
③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单 应用。
④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的 单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函 数，了解奇偶性的含义。
• 教学中要重视数形结合思想方法的培养。 • 要注意函数单调区间与定义域的关系, 奇偶函数定
义域的特征。 • 学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简
单函数的性质讨论。
重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。 难点:判断和证明单调性、奇偶性，求一些简单函数的最值。
案例：函数单调性
创设情景
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
• 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰
富的函数例证 抽象概念的学习要从具 体例证开始 理解抽象概念需要具体 例证的支持
从变量、对应、图形三方面理解函 数概念
函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 函数是联结两类对象的桥梁 ——对应关系 函数是“图形”——关系
三、整体分析
1、熟悉内容为主,结构顺序调整 2、突出产生背景,强调实际应用 3、加强研究函数性质方法的引导 4、借助信息技术理解函数 5、借助数学文化理解函数 (函数发展史)
熟悉内容为主,结构顺序调整
• 先函数，后映射 • 奇偶性提前（原来在三角函数中）
以丰富的实例引出函数概念
• 加强背景，体现“函 数模型”思想
考察内容是集合还是方程？ 是否加深了对集合理解？ 对发展集合语言交流能力有多少帮助 4课时教学，能否达到这样深度？ 要用到多少次分类讨论 2006浙江高考几乎没有每涉及到分类讨论，给我们什 么启示？ 高一新生对高中学习方式是否适应，是否应给他们一个 下马威？
集合小结
• 知识内容同原先 • 目标定位有变迁 • 教材处理出新意 • 难度把握不要偏
探讨：有限课时与内容丰富
正确定位
集合语言——非集合论
把握尺度
不搞一步到位 不拓展运算公式 不搞偏题、怪题
不搞一步到位
• 集合作为语言，今后还须不断学习：
导数、线性规划、解析几何、一元二次不等式
• 点集“三步曲：题7——练习——区域、曲 线
题7：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集 合为L2，使用集合的运算表示l1、 l2的位置关系。
了解反函数的 概念及互为反函数 的函数图象间的关 系，会求一些简单 函数的反函数。
⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质
函数教学要求变化
删减: 反函数 增加：最值定义. 函数的奇偶性 降低：映射概念、复合函数
定义域、值域过于繁难的技巧化训练. 提高：函数概念、分段函数、函数的单调性、
用函数图象研究函数性质 函数模型的背景和应用 信息技术整合.
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了 相应函数的哪些变化规律：
y
1
-1
1x
-1
y
1
-1
1
x
-1
y
1
-1
1
x
-1
建立模型
y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何 用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
y
1
-1
1x
-1
定义增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自 变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么 就说f(x)在区间D上是增函数．
交集、并集的概念；
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含 义，会求给定子集的补集。
③ 能使用Venn图表达集合的关系及运算， 体会直观图示对理解抽象概念的作用。
《大纲》:对概念，关注意义的了解、理解，掌握方法； 《标准》：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、
三、教材处理集合特点
补集放在集合运算——集合语言体系 不强调集合知识的完整性——非集合论 强调使用Venn图——三种语言
函数
一、目标定位
1、课标：“函数（的思想方法）将贯穿高中 数学课程的始终”
2、克莱因：“函数概念，应该成为数学教育 的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教 材集中在它周围，进行充分地综合。”
3、 教师：“学好了函数就可以对付高考”
高中：从不同角度认识函数概念（变量、影射、关系－图形、 模型），用函数认识方程、不等式、数列、线性规划、算法、 概率等，建立一批函数模型（基本初等函数、分段函数等）， 掌握用运算、导数等研究函数的变化，等等。
集合与函数概念
内容与课时（13课时）
1.1.1 集合的含义与表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算
小结与复习 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约1课时 约1课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021 10:02:26 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/62021/3/62021/3/6M ar-216- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/62021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
感受集合语言的意义和作用。
表示一些简单的集合。
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识 了 解 包 含 、 相 等 关
别给定集合的子集。
系的意义；
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 了 解 空 集 和 全 集 的
意义；
Байду номын сангаас
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会 理解子集、补集、
求两个简单集合的并集与交集。
1.2函数及其表示（4课时）
函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮 助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系 生活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般 定义。
要注意构成函数的要素和相同函数的含义 注意函数三种表示法的联系、区别与适用性， 注意分段函数的意义 在求函数定义域、值域时，要控制难度。
二、大纲与课标比较
内
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
容
① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间 了解映射的概念，
的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集 在此基础上加深对
合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画 函数概念的理解。
函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一 了解函数单调
• 促进学生探究性学 习方式的形成
借助函数发展史理解函
拓展数学视野 开发数学人文价值 促进对教材内容的理解
背景
变量说 对应说 表示
四、分节详解
1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3.1 单调性与最大（小）值 1.3.2 奇偶性
小结与复习
约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
加强对函数性质研究方法的引导
研究方面： 函数增与减（单调性） 函数最大值、最小值 函数（图象）对称性（奇偶性） 函数的零点 函数值的循环往复（周期性） 函数增长（减少）的快与慢
研究方法 观察图像 猜想性质 推理证明
借助计算机计算器理解函数
• 计算机器不仅仅是 为了方便计算
• 通过绘图、列表、 变换增进对函数的 理解
释疑应用
例1 根据图象说出函数的 单调区间，以及在每一单 调区间上，它是增函数还 是减函数？
函数总结
• 熟悉内容为主 • 结构顺序调整 • 目标要求有变 • 教学方式求新
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021