2017年全国初中数学联赛(初三组)决赛试卷(四川版)及参考答案

2017年全国初中数学联赛（初三组）决赛试卷（四川版）

（考试时间：2017年3月26日上午 8:45—11:15）

姓名成绩

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、若q 是质数，且1+q 是完全平方数，就称q 为p 型质数，则p 型质数的个数（ ）

.A 0.B 1.C 2.D 无数个

2、已知k 为正实数，一次函数1+=kx y 与反比列函数x

k

y =的图像交于()1,1y x A 、()22,y x B 两点，若521=-x x ，则k 的值为（ ）

.A 1.B 2.C 3.D 2

3、已知CF BE AD ,,为锐角ABC ∆三边上的高，若26=AB ，

13

5

=BC EF ，则BE 的长度是（ ） .A 10.B 12.C 13.D 24

4、在梯形ABCD 中DC AB //，0

90=∠ABC ，E 是腰AD 的中点，若13=EC ,CD BC AB ++

262=，则=∠BCE （ ）

.A 030.B 045.C 060.D 075

5、若实数k 使得关于方程(

)(

)

08612

2

=---x kx x 恰有三个不同的实数根，则称k 为“好数”，则“好数”k 的个数（ ） .A 1.B 2.C 3.D 4

6、记正整数m 的各位数字之和为()m S ，比如()1071022017=+++=S 。现从,,3,2,1

2017,2016这2017个正整数中，

任意取出n 个不同的数，都能在这n 个数中找到8个不同的数21,a a ， 8,7,a a 使得()()()()8721a S a S a S a S ==== ，则正整数n 的最小值是（ ）

.A 185.B 187.C 189.D 191

二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）

7、若23-=x ，则⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++÷---11111222x x x x x 的值是 8、在平面直角坐标系中，点()0,0O 、()6,0A 、()2,3-B 、()9,2-C ，点P 为线段OA （含端点）上任意一点，则PC PB +的最小值是

9、有4只杯口朝上的茶杯，现在每次翻转3只，翻动的茶杯允许再翻，经过n 次翻动后，使得杯口全朝下，则正整数的最小值是（注：所谓一只茶杯的一次翻转是指将该茶杯的杯口朝上（下）翻为杯口朝下（上））

10、设B A ,为抛物线2x y =上的两点，该两点在y 轴的两侧，满足4=AB ，记A

O B ∆的面积为S ，

其中O 为坐标原点，则S 的最大值是

三、解答题（本大题满分20分）

11、设c b a ,,是任意三个互不相等的有理数，证明：()()()

2

221

11a c c b b a -+-+-是有理数。

四、简答题（本题满分25分）

12、如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转到正方形APQR ，连接CQ ，延长BP 交CQ 于点E 。 （1）求证：E 是线段CQ 的中点； （2）若BE CP ，求

PE

BP

的比值。

五、简答题（本题满分25分）

13、如图，以直角ABC ∆（其中0

90=∠C ）的三边CA 、CB 、AB 向外分别作正方形CADE ，BCFG ，ABHI ，记边CB 、CA 的长分别为a 、b ；凸六边形DEFGHI 的面积为S 。

问：是否存在正整数a 、b ，使得2016=S ？若存在，请求出所有的正整数a 、b ；若不存在，

请说明理由。