理论力学-摩擦案例

同理，圆柱 O有向上滚动趋势时
得
fs
R
圆柱匀速纯滚时，
fs
.
R
fs
R
例4-10
已知： 拖车总重 P ,车轮半径 R,， , 其他尺寸如图；
求：拉动拖车最小牵引力 F（ F平行于斜坡）.
a
F
b
h
P
A
H
B
解： 取整体
Fx 0
Fy 0
F FAs FBs P sin 0 FAN FBN P cosθ 0
系统平衡时 P(R sin cos ) M B P(R sin cos )
（2）设圆柱 O有向下滚动趋势.
M C 0 Fs R M max 0 Fy 0 FN P cos 0
又 M max FN
Fs
R
P cos
只滚不滑时， 应有 Fs fs FN fs P cosθ 则
在水平路上行驶（ ）0， 4.4mm
Fm in
P
R
4.4 40 0.4kN 440
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
牵引力为总重的1％。
1443N
最大拉力为 1443N
例4-6 已知：M A 40N m , fs 0.3 , 各构件自重不计，
尺寸如图； 求：保持系统平衡的力偶矩 M.C
解： 设 M C 时M C，1 系统即将逆时针方向转动
画两杆受力图.
FN 1 '
FS1 '
D
B
MA
B
A FS1
FN1
MC
C
M A 0
FN1 AB M A 0
F
解： （1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 Fs F cos 0
Fy 0 FN P F sin 0
M A 0
hF
cos
P
a 2
FNd
0
而 Fmax fs FN 1800N
Fs 866 N FN 4500 N
d 0.171m
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1
Fx 0 Fs F1 cos 0 Fy 0 FN P F1 sin 0
又 Fs Fmax fs FN
F1
cos
fs P
fs sin
1876N
设木箱有翻动趋势时拉力为 F2
M A 0
F cos h P a 0
2
2
F2
Pa
2h cos
M C 0 M C1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0
又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1
MC1 70.39N m 设 M C M时C，2 系统有顺时针方向转动趋势
画两杆受力图.
M A 0
FN2 AB M A 0
D
MA
FS 2 B
O
Fm in
D
FND
当fs 0.3时，FD 40N FDmax , D 处无滑动
Fmin 26.6N
当fs 0.15时，FD 40N > FDmax , D 处有滑动
(2) D处摩擦力达最大值，取杆与轮.
M A 0
FNC
l 2
FB
l
0
FNC
FC
FB
FNC 100 N 不变
C
FAy
但 FC FC max fC FNC
Fy 0 FND P FNC 'cos 60 FC 'sin 60 0
FN' C FNC 100N
FNC '
FD FC 40 N Fmin 26.6N FND 184.6N
FC '
当fs 0.3时，FDmax fsFND 55.39N
FD
当fs 0.15时，FDmax fsFND 27.59N
(1) 先设 C处摩擦力达最大值，取杆与轮.
B
M A 0
FNC
l 2
FB
l
0
FNC
FC
FB
FNC 100N
C
FAy
FC FC max fC FNC 40 N
A
FAx
M O 0 FC r FD r 0
Fx 0 FNC sin 60o FC cos 60o Fmin FD 0
A
FAx
对轮 M O 0 FC r FD r 0
Fx 0 FNC sin 60o FC cos 60o Fmin FD 0
Fy 0
FND P FNC cos 60o FC sin 60o 0
FD f D FND
FNC '
当 fD 0时.15， 解得 FND 172 .4N
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
Fx 0
FNA FNB 0
Fy 0 FA FB F 0
M A 0
F
(a
d 2
)
FB d
FNBb
0
FA fs FNA
FB fs FNB
a b 2 fs
挺杆不被卡住时 a b
2 fs
用几何法求解
解：
b
(a极限
d 2
)
tan
(a极限
d 2
)
FNA
设力 F大于 F时2 ， 楔块 A向左运动 取楔块 A分析，画受力图
F2 FNA tan(θ ) P tan(θ )
P tan( ) F P tan( )
FR2 F1
FNA
FNA FR 2
F1
例4-8
已知：均质轮重 P 100N , 杆无重， r ,l , 60o 时，
而 Fmax fs FN 299.8N
F
FS
物块处于非静止状态．
Fd fd FN 269 .8N , 向上．
FN
P
例4-2
已知： P , , fs .
求： 使物块静止，水平推力 F的大小．
F
P
解： 使物块有上滑趋势时，推力为F1 画物块受力图
Fx 0
F1 cos P sin Fmax 0
Fy 0
F1 sin P cos FN 0
Fmax fs FN
F1
sin θ cosθ
fs cosθ fs sin θ
P
设物块有下滑趋势时，推力为 F1 画物块受力图
Fx 0 Fy 0
F1 cosθ P sin θ Fmax' 0 F1 sin θ P cosθ FN ' 0
Fy 0 FN P cosθ 0
又 M max FN
FT1
P(sin θ
R
cosθ)
设圆柱 O有向上滚动趋势，取圆柱 O
M A 0
P sin θ R FT2 R M max 0
Fy 0 FN P cosθ 0
又 M max FN
FTmax
P(sin
R
cos )
Fs fs FN1 fs P cos
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与 tan fs ,
P sin fs cos F P sin fs cos
cos fs sin
cos fs sin
例4-3 已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之 a值.
且 Fs fs FN
rFT RFs 0 Fa FNb Fsc 0
而 解得
FT P, Fs Fs F rP(b fsc) fs Ra
例4-5
已知：均质木箱重 P 5kN , fs 0.4 , h 2a 2m , 30o ；
求：（1）当D处拉力 F 1k时N，木箱是否平衡? （2）能保持木箱平衡的最大拉力.
（1） （2）
MB 0
FAN (a b) Fh P cos b P sin H M A M B 0
M A FAN （4）
a
b
M B FBN （5）
h
（3）
F
能否用 FAs f，s FAN
FBs fs FBN 作为补充方程?
P
A MA
H
B FAS
FBS
MB
FAN
FBN
取前、后轮
M O1 0
M A FAs R 0
（6）
M O2 0
M B FBs R 0
（7）
FAS
七个方程联立解得
Fm in
P(sin
R
cos
)
FAN
若 ，90o 若 ，0o
则 则
Fm in Fm in
， P
，
R
P
意味什么？ 意味什么？
FBS
FBN
若拖车总重量 P 40，kN 车轮半径 R 440，mm
第四章 摩 擦
例4-1 已知：P 1500N , fs 0.2 , fd 0.18 , F 400N 。 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
F
P
解： 取物块，画受力图，设物块平衡
Fx 0 F cos30 Psin 30 Fs 0 Fy 0 F sin 30 P cos30 FN 0 Fs 403.6N(向上) FN 1499N
Fmax' fs FN '
F1
sin cos
fs cos fs sin
P
sin fs cos P F sin fs cos P
cos fs sin
cos fs sin
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
A
FN 2
M C 0 MC2 FN2 l sin 60o Fs2 l cos60o 0
又 Fs2 Fs2 fs FN2 fs FN2
MC2 49.61N m
FN 2 '
系统平衡时
FS 2 '
B
49.61N m MC 70.39 N m M C
C
例4-7
已知：力 P，角 ，不计自重的 A块, 间B 的
tan
2a极限 tan 2a极限 fs
b a极限 2 fs a b
2 fs
例4-4 已知：物块重 P,鼓轮重心位于 O处1 ，闸杆重量不
计， ，fs 各尺寸如图所示.
求： 制动鼓轮所需铅直力 F.
解： 分别取闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮， M O1 0 对闸杆， M O 0
AC CB l ; FB 50 N , fC 0.4 （杆，轮间） 2
求：若要维持系统平衡
（1） fD (0轮.3 ，地面间）， 轮心 O处水平推力 Fmin
（2）fD 0.（15 轮，地面间）， B
轮心O处水平推力 F.min
FB
C
O
Fm in
A
D
解： F 小于某值，轮将向右滚动.
C , D 两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动.
FD F C fD FND 25.86N
FC '
C 处无滑动 Fmin 47.81N .
FD
O
Fm in
D
FND
例4-9
已知：P , R , , ；
求：（1）使系统平衡时，力偶矩 M B； （2）圆柱 O匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的 最小值.
解： （1）设圆柱O有向下滚动趋势，取圆柱 O
M A 0 P sin θ R FT1 R M max 0
静摩擦因数为 fs， 其它接触处光滑； 求：使系统保持平衡的力 F的值.
解： 取整体分析，画受力图
Fy 0 FNA P 0
FNB
FNA P
设力 F小于 F时1 ，
楔块 A向右运动
取楔块 A分析 ，画受力图
F1 FNA tan( ) P tan( )
FNA
FR1
F1
P
F
FNA
FR1 F1