理论力学-摩擦案例
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理论力学第五章摩擦(Y)
理论力学第五章摩擦(y)
目
CONTENCT
录
• 摩擦基本概念及分类 • 静摩擦 • 动摩擦 • 滚动摩擦 • 摩擦在工程中的应用与案例分析 • 总结与展望
01
摩擦基本概念及分类
摩擦定义与性质
摩擦定义
两个相互接触的物体在相对运动或相对运动趋势时，在接触面上 产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的现象。
动摩擦系数
动摩擦系数是描述动摩擦力与正压力之间 关系的物理量，用μ表示。动摩擦系数的大 小取决于接触面的材料、粗糙程度、温度、 湿度等因素。
VS
影响因素
影响动摩擦系数的因素包括接触面的材料 性质、表面粗糙度、温度、湿度、滑动速 度等。一般来说，表面越粗糙，动摩擦系 数越大；温度升高，动摩擦系数减小；湿 度增加，动摩擦系数也会减小。
02
静摩擦
静摩擦现象及条件
静摩擦现象
两个接触面在相对静止时，由于表面粗糙不 平，存在微小的凹凸部分相互啮合，使得一 个物体在另一个物体表面上滑动时需要克服 一定的阻力，这种阻力称为静摩擦力。
静摩擦条件
产生静摩擦必须满足以下条件：两物 体接触面粗糙不平；两物体间有正压 力；两物体间有相对运动趋势。
THANK YOU
感谢聆听
力的分解法
在某些情况下，可以将静摩擦力分解为两个分力，分别沿接触面的切向和法向方向。通过 求解这两个分力的大小和方向，可以确定静摩擦力的大小和方向。
力的合成法
当物体受到多个力的作用时，可以通过力的合成方法求解静摩擦力的大小和方向。首先， 将各个力按照平行四边形法则进行合成，得到合外力的大小和方向；然后，根据二力平衡 条件求解静摩擦力的大小和方向。
04
滚动摩擦
滚动摩擦现象及条件
目
CONTENCT
录
• 摩擦基本概念及分类 • 静摩擦 • 动摩擦 • 滚动摩擦 • 摩擦在工程中的应用与案例分析 • 总结与展望
01
摩擦基本概念及分类
摩擦定义与性质
摩擦定义
两个相互接触的物体在相对运动或相对运动趋势时，在接触面上 产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的现象。
动摩擦系数
动摩擦系数是描述动摩擦力与正压力之间 关系的物理量，用μ表示。动摩擦系数的大 小取决于接触面的材料、粗糙程度、温度、 湿度等因素。
VS
影响因素
影响动摩擦系数的因素包括接触面的材料 性质、表面粗糙度、温度、湿度、滑动速 度等。一般来说，表面越粗糙，动摩擦系 数越大；温度升高，动摩擦系数减小；湿 度增加，动摩擦系数也会减小。
02
静摩擦
静摩擦现象及条件
静摩擦现象
两个接触面在相对静止时，由于表面粗糙不 平，存在微小的凹凸部分相互啮合，使得一 个物体在另一个物体表面上滑动时需要克服 一定的阻力，这种阻力称为静摩擦力。
静摩擦条件
产生静摩擦必须满足以下条件：两物 体接触面粗糙不平；两物体间有正压 力；两物体间有相对运动趋势。
THANK YOU
感谢聆听
力的分解法
在某些情况下，可以将静摩擦力分解为两个分力，分别沿接触面的切向和法向方向。通过 求解这两个分力的大小和方向，可以确定静摩擦力的大小和方向。
力的合成法
当物体受到多个力的作用时，可以通过力的合成方法求解静摩擦力的大小和方向。首先， 将各个力按照平行四边形法则进行合成，得到合外力的大小和方向；然后，根据二力平衡 条件求解静摩擦力的大小和方向。
04
滚动摩擦
滚动摩擦现象及条件
理论力学第四章-摩擦解析
FNB
下面判断系统是否处于静平衡
脚端A 与B 的最大静摩擦力分别为 ：
y
C
FA fs A FNA 0.2 375 75 N
G
FB
f s B FNB
0.6 125
75 N
FSA A
FSA FSB 72.17 N
2d sin
Wr
f
cos
P
2d sin
Wr
f
cos
用摩擦角表示得:
Wr cos
d sin
P
Wr cos
d sin
[例]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 60o 。脚端A 与B和地面的摩擦因数分别为 fsA 0.2, fsB 0.6 。在折叠 梯的AC侧的中点处有一重为500N的重物。不计折叠梯的重量 ，问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。
y C G
A
B
x
(a)
处理此类问题时首先假定系
统为平衡。由于系统不一定处
于静摩擦的临界情况，可通过
平衡方程求得这些未知的静摩
擦力。所得的结果必须与最大
y
静摩擦力进行比较，以确认上
C
述系统平衡的假定是否成立。
G
A
B
x
(a)
以整体为对象，受力如图
MA 0
bFNB
bG 4
0
FNB 0.25G 125 N
无润滑
有润滑
0.15
0.1～0.12
0.3
0.15
0.1～0.15
0.18
0.3～0.5
0.15
0.4～0.6
0.1
动摩擦系数
无润滑
有润滑
0.09
下面判断系统是否处于静平衡
脚端A 与B 的最大静摩擦力分别为 ：
y
C
FA fs A FNA 0.2 375 75 N
G
FB
f s B FNB
0.6 125
75 N
FSA A
FSA FSB 72.17 N
2d sin
Wr
f
cos
P
2d sin
Wr
f
cos
用摩擦角表示得:
Wr cos
d sin
P
Wr cos
d sin
[例]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 60o 。脚端A 与B和地面的摩擦因数分别为 fsA 0.2, fsB 0.6 。在折叠 梯的AC侧的中点处有一重为500N的重物。不计折叠梯的重量 ，问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。
y C G
A
B
x
(a)
处理此类问题时首先假定系
统为平衡。由于系统不一定处
于静摩擦的临界情况，可通过
平衡方程求得这些未知的静摩
擦力。所得的结果必须与最大
y
静摩擦力进行比较，以确认上
C
述系统平衡的假定是否成立。
G
A
B
x
(a)
以整体为对象，受力如图
MA 0
bFNB
bG 4
0
FNB 0.25G 125 N
无润滑
有润滑
0.15
0.1～0.12
0.3
0.15
0.1～0.15
0.18
0.3～0.5
0.15
0.4～0.6
0.1
动摩擦系数
无润滑
有润滑
0.09
理论力学第七章摩擦课件
>>摩擦力与摩擦角
当物体A保持静止并且临界状态为先滑动时，只要保证所有主动
外力的合力与公法线的夹角小于等于摩擦角m，则无论外力多大，
全约束反力总可以与其形成平衡，而不会滑动。这种现象称为自锁 现象。如果主动力合力的作用线位于摩擦锥以外，则无论力多小， 物体都不能保持平衡。
7.2 考虑摩擦时物体系统的平衡
F
F4
b cos h sin a cos
W 2
1m cos20 2m sin20 200 kN
1.8m cos30
2
104 .2kN
综合以上四个结果，可得系统保持平衡时，拉力F的取值范围为
40.2 kN F1 F F4 104 .2 kN
>> 考虑摩擦时物体系统的平衡
例7-4 等厚均质矩形体A和B，如图7.14 所示。A重20kN，A与铅垂墙间是光 滑的，A与B和B与水平固定面间的摩 擦系数均为fs。试求系统平衡时fs至 少应为多大？B的重量W2至少应为多 少？
(2) 当物体处于向上滑动的临界状态时，摩擦力方向与图（b）所示的 摩擦力方向相反。
F
F2
sin cos
f f
cos sin
W
sin 20 0.2 cos 20 200 kN cos30 0.2 sin 30
109 .7 kN
(3) 当物体处于绕O点翻倒的临界状态时，此时有：x=0
Fy 0 FNB W 0 (c)
求解可得：
FNB
W cos 2 s in
Fs
W cos 2 s in
>> 考虑摩擦时物体系统的平衡
（2）这属于平衡的临界状态。首先
求角度的最小值，此时梯子的受力
理论力学摩擦及习题课
代入S1' S1
解得: S3 10 kN, S4 10 kN
Fx 0
S5
S
' 2
0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D旳另一种方程可用来校核计算成果
Fy 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN,
恰与S3相等,计算精确无误。
10
二、截面法 I
I
[例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆旳内力。 解：①研究整体求支反力
Fx 0 X A 0
MB 0
Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
Fy 0 YA S5sin P0
S5 0
Fx 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
S
4
Pa h
11
阐明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力
七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴、与取矩点旳选择无关。
28
八、例题分析 [例1] 已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于斜面；
求 SBD ？ 和支座反力？
解： 研究整体, 画受力图, 列方程
(可用二力平衡原了解释)
Fmax 2 φmax
Rmax
摩擦角旳概念被广泛旳使用: (1) 摩擦系数旳测定
(2) 螺旋千斤顶旳自锁条件
19
(3) 沙堆成型旳过程
自锁实例：
解得: S3 10 kN, S4 10 kN
Fx 0
S5
S
' 2
0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D旳另一种方程可用来校核计算成果
Fy 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN,
恰与S3相等,计算精确无误。
10
二、截面法 I
I
[例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆旳内力。 解：①研究整体求支反力
Fx 0 X A 0
MB 0
Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
Fy 0 YA S5sin P0
S5 0
Fx 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
S
4
Pa h
11
阐明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力
七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴、与取矩点旳选择无关。
28
八、例题分析 [例1] 已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于斜面；
求 SBD ？ 和支座反力？
解： 研究整体, 画受力图, 列方程
(可用二力平衡原了解释)
Fmax 2 φmax
Rmax
摩擦角旳概念被广泛旳使用: (1) 摩擦系数旳测定
(2) 螺旋千斤顶旳自锁条件
19
(3) 沙堆成型旳过程
自锁实例：
理论力学(大学)课件10.2 考虑摩擦的平衡问题(几何法)
2、考虑摩擦的平衡问题 (几何法)
摩擦角及滚动摩阻
利用摩擦角求解临界平衡问题
临界平衡问题中，摩擦力为最大静滑动摩擦力，此时全约束力与法线间的 夹角为摩擦角，利用全约束力以及摩擦角的几何关系，可以方便地求解这 类问题。我们将这种方法称之为几何法。
例1 凸轮挺杆机构滑道尺寸为d，宽度为b，挺杆与滑道间静滑动摩擦系数 为fs，不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 求：挺杆不被卡住之尺寸a 值.
Fmax1
1
NA
f
FNA
jf FBA
= P tan(q - jf )
FR1 q - jf
FR1 θ FNA
F
F1
摩擦角及滚动摩阻
设力F大于临界值F2时，楔块A向左运动 取楔块A为研究对象，取临界状态，画受力图 忽略楔块A的大小，三个汇交力平衡，画封闭的力三角形。
Fmax2
FBA jf
F2
FR2
θ
FNA
解：显然a越小越不容易被卡住，取刚好要卡住 还没有卡住的临界状态，分析挺杆受力。
将FNA和FAmax用全约束力FRA代替，它与法 线间的夹角为φf 。同理得到FRB。
FAmax A d FFNRAA
b FNBFRB
jf
jf
B
F
FBmax
由几何关系
b
=
(a极限
+
d 2
)
tan
jf
+
(a极限
-
d 2
) tanjf
M
= 2a极限 tan j f = 2a极限 f S
a极限a e
a极限
=
b 2 fS
故挺杆不被卡住时： a
<
摩擦角及滚动摩阻
利用摩擦角求解临界平衡问题
临界平衡问题中，摩擦力为最大静滑动摩擦力，此时全约束力与法线间的 夹角为摩擦角，利用全约束力以及摩擦角的几何关系，可以方便地求解这 类问题。我们将这种方法称之为几何法。
例1 凸轮挺杆机构滑道尺寸为d，宽度为b，挺杆与滑道间静滑动摩擦系数 为fs，不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 求：挺杆不被卡住之尺寸a 值.
Fmax1
1
NA
f
FNA
jf FBA
= P tan(q - jf )
FR1 q - jf
FR1 θ FNA
F
F1
摩擦角及滚动摩阻
设力F大于临界值F2时，楔块A向左运动 取楔块A为研究对象，取临界状态，画受力图 忽略楔块A的大小，三个汇交力平衡，画封闭的力三角形。
Fmax2
FBA jf
F2
FR2
θ
FNA
解：显然a越小越不容易被卡住，取刚好要卡住 还没有卡住的临界状态，分析挺杆受力。
将FNA和FAmax用全约束力FRA代替，它与法 线间的夹角为φf 。同理得到FRB。
FAmax A d FFNRAA
b FNBFRB
jf
jf
B
F
FBmax
由几何关系
b
=
(a极限
+
d 2
)
tan
jf
+
(a极限
-
d 2
) tanjf
M
= 2a极限 tan j f = 2a极限 f S
a极限a e
a极限
=
b 2 fS
故挺杆不被卡住时： a
<
同济大学理论力学摩擦实验报告
理论力学摩擦实验报告一、实验原理1、滑道倾角的调节滑道倾角可通过两种方式调节，即电机快速调整和手动慢速微调。
其中，电机快速调整由电机传递动力，经电机减速部分减速后输出，通过电磁离合器带动蜗杆转动，由此带动蜗轮传动，蜗轮轴输出使滑道转轴运动，实现滑道的倾角变化。
将电线插头插入交流220V，50HZ电源插座，按下实验装置操作面板上总电源开关、机动电源开关，转动滑道升降开关。
向左旋转滑道升起，倾角增大。
向右旋转滑道倾角减小，直至为零。
在使用手轮作慢速微调之前，需按下手动电源开关，向左旋转手轮滑道升起，倾角增大。
向右旋转手轮滑道倾角减小。
2、角度的显示通过角度传感器和显示仪表即时反映滑道倾角的变化值。
当转轴带动滑道转动时，角度传感器将测得数据传送到显示器，即可反映出滑道的倾斜角度，角度显示精度值为0.01度，大大提高测量精度，减少实验角度测量的误差。
该部分电源在总电源开通时开通。
在使用本实验装置前，须将工作台作水平调整，以免引起滑道倾角的累计误差。
3、计时通过光电门来实现。
二、实验装置MC50摩擦实验装置是由滑板倾角调整机构、角度显示机构和数字测时器三部分组成。
通过滑块在不同材质的滑道上运动，可以测定静、动摩擦系数及物体的加速度。
并可以进行在不同情况下物体滑动、翻倒的演示。
三、实验内容测定木材与铁轨之间的静、动摩擦系数，以及了解当滑块高度较大时，不同载荷下滑块翻倒和滑动的情况。
（1）改变滑板的倾角，测量不同材料之间的静摩擦系数。
（2）通过测量两点之间的平均加速度，测量不同材料之间的动摩擦系数。
（3）当滑块高度较高，加载不同载荷时，其在自重作用下，测定滑块向下翻倒和滑动的最大倾角以及滑块向上翻倒和滑动的最大倾角角。
四、实验步骤1、静摩擦系数实验(a) 调整好滑道倾角角度，使滑块放到滑道上不下滑为准；(b) 旋转手动微调按钮，将滑道的倾角慢慢调大，直到滑块达到将滑未滑时停止，记下此时滑道倾角，即摩擦角；(c) 将所测得的倾角代人静摩擦系数公式，即可得木块与铁之间的静摩擦系数。
理论力学第4章 摩擦
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
理论力学摩擦实验报告
理论力学摩擦实验实验报告姓名：***学号：*******时间：2012年10月11日星期四晚6:30——8:00摩擦现象在日常生活和工程中普遍存在，摩擦力的存在既有不利的方面，如阻碍物体运动，消耗能量，并磨损机件等；也能为人们所利用，如利用摩擦力传动和制动等。
所以研究摩擦力的性质就显得尤为重要，我们知道摩擦力与接触面的正压力成正比，这个系数就是摩擦因数，而且在滑动摩擦和静摩擦两种情况下的值不相同。
由于多数情况下，正压力、摩擦力、物体所受拉力三力不汇交，于是就有物体先滑动还是先翻到的差别。
所以我们本学期就在理论力学的学习过程中，加入的对摩擦性质的研究实验。
我们在10月11日晚上对静摩擦因数、动摩擦因数和物块的滑动和翻到等三项进行了研究。
一、实验目的1. 测量木与铁之间的静摩擦因数ƒs。
2. 测量木与铁之间的静摩擦因数ƒd。
3. 分别测量并验证木滑块在一定倾角的铁质滑道在上保持平衡时所加力的范围。
二、原理摘要1. 静摩擦因数的推导当滑道倾角为ϕ时，若物块恰好不滑下，则此时∑F x = 0：mg sinϕ -ƒ = 0∑F y = 0：N - mg cosϕ = 0又因为ƒ = Nƒs得ƒs = tanϕ2. 动摩擦因数的推导x方向：mg sinϕ = ƒ + may方向：N = mg cosϕ且ƒ = Nƒd解出动摩擦因数的计算公式为：ƒd = tanϕ−agcosϕ3. 物块在斜坡上的受力分析（1）上翻情况：以滑块的右下角为矩心,由于此时支持反力和摩擦力通过矩心，可列出物块的力矩平衡方= Fℎ程：P sinθℎ2得F =sinθP2（2）下滑情况：将物块所受的力分解到x和y两个方向。
∑F x = 0：P sinθ= F+ƒ∑F y = 0：mg cosθ=NN又因为摩擦定律：ƒ=ƒs三、仪器和装置1. MC50摩擦实验装置（包含光电门和加速度显示屏）2. 滑动摩擦小车（包括遮光板）3. 定滑轮4. 实验物块（用于翻到和滑动实验）5. 砝码托盘和砝码四、内容步骤1. 静摩擦因数的测量滑块木质的一面接触铁质滑道，缓慢增大滑道的倾角，先用自动增大按钮快速增大角度，然后用手动旋钮调节滑道的倾角，当滑块恰好不滑下时，记下此时滑道的倾角。
理论力学--8摩擦
10
例4: 重W的方块放在水平面上, 并有一水平力P作用 . 设方块底 面的长度为b,P与底面的距离为
W
P a , 接触面间的摩擦系数为 f , 问 当 P逐渐增大时,方块先行滑动 还是先行翻倒. b a
11
假定方块处于滑动临界平衡状 态画受力图.
W
∑Fy = 0 ∑Fx = 0
N-W=0
a
P
P - Fm = 0
21
总 结
1.滑动摩擦：两个物体接触面作相对滑动或具有相对 滑动摩擦： 滑动摩擦 滑动趋势时的摩擦。 滑动趋势时的摩擦。 2.滑动摩擦力：当两个相互接触的物体有相对滑 滑动摩擦力： 滑动摩擦力 动或有相对滑动趋势时， 动或有相对滑动趋势时，彼此间存在着阻碍滑动 的机械作用，这种机械作用称为滑动摩擦力。 的机械作用，这种机械作用称为滑动摩擦力。 3.静摩擦定律：最大静摩擦力 Ffmax 的大小与接触面上 静摩擦定律： 静摩擦定律 法向反力FN 的大小成正比。 法向反力 的大小成正比。
∑Fx = 0
Fmax -Ffmax + Fmax cos α - Gsin α =0 (1)
α
α
Ffmax FN G
∑Fy= 0
FN - Fmax sin α - Gcos α =0 Ffmax = fs FN (2)
(3) (4)
F
α fs =tg ϕm
28
y x G
y x Fmax G
α
Fmin
B
xmin
RB C (ϕm)B D ϕ
F
E
RA
(ϕm)A ϕ A
W θ
8
x
∠BAC = 90° - θ - (ϕm)A ° ϕ ∠BCA = ∠CFA + (ϕm)A ϕ = 90° - (ϕm)B + (ϕm)A ° ϕ ϕ
例4: 重W的方块放在水平面上, 并有一水平力P作用 . 设方块底 面的长度为b,P与底面的距离为
W
P a , 接触面间的摩擦系数为 f , 问 当 P逐渐增大时,方块先行滑动 还是先行翻倒. b a
11
假定方块处于滑动临界平衡状 态画受力图.
W
∑Fy = 0 ∑Fx = 0
N-W=0
a
P
P - Fm = 0
21
总 结
1.滑动摩擦：两个物体接触面作相对滑动或具有相对 滑动摩擦： 滑动摩擦 滑动趋势时的摩擦。 滑动趋势时的摩擦。 2.滑动摩擦力：当两个相互接触的物体有相对滑 滑动摩擦力： 滑动摩擦力 动或有相对滑动趋势时， 动或有相对滑动趋势时，彼此间存在着阻碍滑动 的机械作用，这种机械作用称为滑动摩擦力。 的机械作用，这种机械作用称为滑动摩擦力。 3.静摩擦定律：最大静摩擦力 Ffmax 的大小与接触面上 静摩擦定律： 静摩擦定律 法向反力FN 的大小成正比。 法向反力 的大小成正比。
∑Fx = 0
Fmax -Ffmax + Fmax cos α - Gsin α =0 (1)
α
α
Ffmax FN G
∑Fy= 0
FN - Fmax sin α - Gcos α =0 Ffmax = fs FN (2)
(3) (4)
F
α fs =tg ϕm
28
y x G
y x Fmax G
α
Fmin
B
xmin
RB C (ϕm)B D ϕ
F
E
RA
(ϕm)A ϕ A
W θ
8
x
∠BAC = 90° - θ - (ϕm)A ° ϕ ∠BCA = ∠CFA + (ϕm)A ϕ = 90° - (ϕm)B + (ϕm)A ° ϕ ϕ
理论力学(大学)课件9.3 考虑摩擦的平衡问题(解析法)
b
解：取挺杆为研究对象，系统处于临界平衡状态，分 析挺杆受力。列平衡方程：
FSA
FNB
B FSB
F
SFx = 0
FNA - FNB = 0
M
ΣFy = 0 - FSA - FSB + F = 0
e
SM A = 0
-
FNB b
-
FSB d
+
F (a
+
d 2
)
=
0
a
挺杆处于临界平衡状态，摩擦力为最大静滑动摩擦力，故：
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
例3 凸轮挺杆机构滑道尺寸为d，宽度为b，挺杆与滑道间静滑动摩擦系数 为fs，不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 求：挺杆不被卡住之尺寸a 值.
分析：由经验可知，当a太大时，挺杆会被卡住，此时挺杆 会在AB两点与滑道接触。可取刚要被卡住还没被卡住的临
A d F的a值。
FA = fsFNA
FB = fs FNB
a
=
b 2 fs
故挺杆不被卡住时： a
<
b 2 fs
3、考虑摩擦的平衡问题 （解析法）
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
例4 均质木箱重P=5kN，与地面的静滑动摩擦系数fs=0.4，木箱尺寸 h=2a=2m，在箱子D点作用一斜向上的拉力F，θ=30°。
求：(1)当拉力F=1kN时，木箱是否平衡？ (2)能保持木箱平衡的最大拉力。
A
x
Fs
这一类问题，我们称之为临界平衡问题，即主动力未知，计算系统平衡（不平衡）
时，主动力需要满足何种条件的问题。通常这类问题的解法是，取系统的临界平衡状
态（考虑摩擦时摩擦力对应的为最大静摩擦力），计算此时的主动力大小，得到主动
理论力学(第7版)第四章 摩擦PPT课件
系数f=0.1,求能自锁的倾斜角a 。
解：研究楔块，受力如图
X 0 , R c o ) R s 1 c( o 0
由二力平衡:条 R件 R1
, 2
又 tg 0 .1 f, t g 1 0 .1 5 0 4'
211026' (极 限 状 ) 态
[思考题：P125 4-1 、4-4，4-5]
fs
全约束力和法线间的夹角的正切等于静
滑动摩擦系数．
0f
摩擦锥
（顶角为 2）f
13
14
4-2 摩擦角和自锁现象 二、自锁： ①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦力与正压力
（即组成的全反力）自己把自己卡紧，不会松开（无论外力 多大），这种现象称为自锁。
②自锁条件：
当0时f，永远平衡（即自锁）
1、静滑动摩擦力： 当物体上作用一大小可变化的水平拉
力P时，当拉力P由零值逐渐增加但不很 大时，物体仅有相对滑动趋势，但仍保 持静止。即，如图支承面对物体除有法 向约束力FN外，还有一个阻碍物体沿水 平面向右滑动的切向约束力，此力即静 滑动摩擦力，简称静摩擦力。
6
4-1 滑动摩擦
2、状态：①静止: Fs P，(PFS ，FS为不固)定
全约束力必在摩擦角之内 15
16
4-2 摩擦角和自锁现象
结论： （1）如果作用于物块的全部 主动力的合力F R的作用线在摩
擦角 之 f内，则无论这个力怎
样大，物块必保持静止—— 自锁现象。
[注]：此时还有个方向问题，主动力 合力的方向应与全约束反力方向相 反，否则，则不会平衡，也不会自 锁。
（实际中常应用该原理的机构：圆锥销、压榨机）
解得：Fs 40.63 N(向上)
解：研究楔块，受力如图
X 0 , R c o ) R s 1 c( o 0
由二力平衡:条 R件 R1
, 2
又 tg 0 .1 f, t g 1 0 .1 5 0 4'
211026' (极 限 状 ) 态
[思考题：P125 4-1 、4-4，4-5]
fs
全约束力和法线间的夹角的正切等于静
滑动摩擦系数．
0f
摩擦锥
（顶角为 2）f
13
14
4-2 摩擦角和自锁现象 二、自锁： ①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦力与正压力
（即组成的全反力）自己把自己卡紧，不会松开（无论外力 多大），这种现象称为自锁。
②自锁条件：
当0时f，永远平衡（即自锁）
1、静滑动摩擦力： 当物体上作用一大小可变化的水平拉
力P时，当拉力P由零值逐渐增加但不很 大时，物体仅有相对滑动趋势，但仍保 持静止。即，如图支承面对物体除有法 向约束力FN外，还有一个阻碍物体沿水 平面向右滑动的切向约束力，此力即静 滑动摩擦力，简称静摩擦力。
6
4-1 滑动摩擦
2、状态：①静止: Fs P，(PFS ，FS为不固)定
全约束力必在摩擦角之内 15
16
4-2 摩擦角和自锁现象
结论： （1）如果作用于物块的全部 主动力的合力F R的作用线在摩
擦角 之 f内，则无论这个力怎
样大，物块必保持静止—— 自锁现象。
[注]：此时还有个方向问题，主动力 合力的方向应与全约束反力方向相 反，否则，则不会平衡，也不会自 锁。
（实际中常应用该原理的机构：圆锥销、压榨机）
解得：Fs 40.63 N(向上)
理论力学第七版第四章摩擦资料
F
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
30
• 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动 • 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
第一种情况
合力作用线
G
如右图，建立参考基，利用 静力平衡关系
y
Fm i n
Fm
x FN
n
Fix 0
i1
Fmin cos Fm Fg sin 0
m
(a)
n
Fiy 0
i1
第一类 问 题
F F max，,物体处于静止 状态，已知主动力求约束力， 与一般平衡问题无异。
第二类 问 题
平衡问题—临界运动趋势 不平衡问题—滑动或翻倒
F ＝ F max
[ 确定平衡位置； 确定各主动力之间的关系。
考虑摩擦时 的平衡问题
例 题1
已知：三角块和矩 形块的质量分别为20 kg和10kg；各部分之 间的摩擦因数均为f s = 0.4 。
§5-3摩擦平衡问题
一、两种运动趋势与临界运动状态
1、滑动（slip)
WW W WW
FPFPFPFPFP
FmFamxFaxmFaxmFamx ax
FNFNFNFNFFNRFRFRFRFR
2、翻 倒（tip over)
FFFPPPFFP P
WWWWW
FFFFssss
FFFFFNNNNN
二、两类摩擦平衡问题
静止状态
运动状态
45° O
FP
F Fmax Fd
临界状态
静止状态
运动状态
O
FP
静止状态 — F＝FP＜F max
运动状 临态界状态
— F＝Fd — F＝F max = fs FN
一般静摩擦力的值： 0 ≤ F≤Fmax
理论力学4.2、滑动摩擦与滚动摩擦
x
68
M点坐标:(70.25，-0.25)
则有：c=|QM|=14.2(mm)； c值范围:[0，14.2mm] 10
课堂练习题1 梯子AB长5m,自重不计,斜靠在竖直墙边 (图示),与水平地面间夹角 60; 重量G=650N的人 沿梯上爬,设梯子两端与地面、墙壁间的静摩擦系数都 为 f s 0.2;5在梯子不滑倒的情况下,求人所能达到的 最大安全距离S的值。
图示),并受到水平推力F1的作用,物体与斜面间的静摩
擦系数为 f s ,对应摩擦角为 f ( f );求能使物块保
持静止状态的推力F1的最大、最小值;
解 研究对象:物块,F1力很小(或很大)时,其受力如图 c/d所示,则有： FR sin( f ) F1
图c：FR cos( f ) P F1 tan( f )P
fs tan f
3
物块平衡时，静摩擦力（不一定达到最大值）是闭 区间[0，Fmax]中的某个值，因此地面对物块的作用 力（支持力、摩擦力的合力）与支持力之间的夹角 属于闭区间[0， f ]
1.2、自锁现象
FS FN
P sin
P
cos
FS
tan
FN
4
例4.2-1 重量为P的物块放在倾角为 的粗糙斜面上(
M B min
PR(sin
R
cos )（顺时针旋向）
FS
P cos
R
（沿斜面向上）
16
17
FBN B
G A
FAN FAS
F1
fs ·FN
P
理论力学：考虑摩擦时物体的平衡
的墙壁上(夹角为 ）, 它与地面的静
滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水 平力F，BD = a，求维持平衡时的F。
解：取梯子为研究对象, 画受力图
MP 0 :
FsL cos
F(L
a) cos
W
L 2
sin
0
Fy 0 : FB W 0
MB
0:
Fa cos
W
L sin
2
FAL cos
0
Fs
八达岭（山区地段）高速 公路进京方向有十多公里的下 坡路，常常有大货车制动失灵 引发交通事故。
2020/12/9
10
理论力学
2009年9月 德国客机迫降
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
后起落架故障
11
理论力学
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A 问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑
FW
W
FR
2020/12/9
24
理论力学
思考题
思考题2：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。
P
Fmax
FN max
Fmax
W
FN
2020/12/9
2
不被卡住的条件：max
2
f
tanmax
tan
2
25
理论力学
摩擦在机械中的应用
滚扎机及其力学模型
fs min tan 300
17
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅
滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水 平力F，BD = a，求维持平衡时的F。
解：取梯子为研究对象, 画受力图
MP 0 :
FsL cos
F(L
a) cos
W
L 2
sin
0
Fy 0 : FB W 0
MB
0:
Fa cos
W
L sin
2
FAL cos
0
Fs
八达岭（山区地段）高速 公路进京方向有十多公里的下 坡路，常常有大货车制动失灵 引发交通事故。
2020/12/9
10
理论力学
2009年9月 德国客机迫降
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
后起落架故障
11
理论力学
影响摩擦系数的因素
2020/12/9
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A 问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑
FW
W
FR
2020/12/9
24
理论力学
思考题
思考题2：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。
P
Fmax
FN max
Fmax
W
FN
2020/12/9
2
不被卡住的条件：max
2
f
tanmax
tan
2
25
理论力学
摩擦在机械中的应用
滚扎机及其力学模型
fs min tan 300
17
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅
第五章 摩擦(静力学专题)
A
FAN FA
FW
FR
解得：FR=20kN
B
(3) 假设A、B点处于极限状态
F F
FBN
FB
iy ix
0 : FAN FW FBN 0 0 : FR FA FB 0 FB f s FBN
FA f s FNA ,
解得：FR=27kN
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
A
FAN FA
FW
FR FB
B
FBN
假设平衡：∑MB= FR · r – FA · 2r = 0 ， （25- FA ×2）r=0 FA=12.5 > FAL ＝12 可见 A点有相对滑动。
假设平衡：∑MA= FR · r – FB · 2r = 0 ， （25- FB × 2）r=0 FB=12.5 < FBL＝15 可见B点无相对滑动。
FN2 - FPmax sin - FQ cos = 0 补充 FL2 = f · FN2
sinα+ f cosα FPmax = cosα- f sinα
FPmax
FN1 FL1
FQ
= FQ tan(α+φm )
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
30
FQ FP
∵ F Pmin = FQ tan(α-φm )
解：∵ m ∴ FP 太小，物块有下滑趋势。 FP 太大，物块有上滑趋势。
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
28
1°求FPmin 由 F ix = 0， FPmincos + FL1 - FQ sin = 0 由 F iy = 0， FN1 – FPminsin - FQ cos = 0 补充 FL1 = f · FN1
FAN FA
FW
FR
解得：FR=20kN
B
(3) 假设A、B点处于极限状态
F F
FBN
FB
iy ix
0 : FAN FW FBN 0 0 : FR FA FB 0 FB f s FBN
FA f s FNA ,
解得：FR=27kN
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
A
FAN FA
FW
FR FB
B
FBN
假设平衡：∑MB= FR · r – FA · 2r = 0 ， （25- FA ×2）r=0 FA=12.5 > FAL ＝12 可见 A点有相对滑动。
假设平衡：∑MA= FR · r – FB · 2r = 0 ， （25- FB × 2）r=0 FB=12.5 < FBL＝15 可见B点无相对滑动。
FN2 - FPmax sin - FQ cos = 0 补充 FL2 = f · FN2
sinα+ f cosα FPmax = cosα- f sinα
FPmax
FN1 FL1
FQ
= FQ tan(α+φm )
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
30
FQ FP
∵ F Pmin = FQ tan(α-φm )
解：∵ m ∴ FP 太小，物块有下滑趋势。 FP 太大，物块有上滑趋势。
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
28
1°求FPmin 由 F ix = 0， FPmincos + FL1 - FQ sin = 0 由 F iy = 0， FN1 – FPminsin - FQ cos = 0 补充 FL1 = f · FN1
理论力学--摩擦4.
赛 车 起 跑
为什么赛车运动员起跑前要将车轮与 地面摩擦生烟？
几个有意义的实际问题（2）
赛车结构
Fw
ma
F FN
为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？
几个有意义的实际问题（3）
台式风扇放在光滑的桌面上，风扇工作时 将会发生什么现象？
落地扇工作时又会发生什么现象？
几个有意义的实际问题（4）
Q2 max P 405.83N 2( 3 0.5)
P
′ FBA
A
FN P
O
Fmax
Qmax 405.83N
Q1max fs 3 fs P 429.03N
如图（a），有 2n 块相同 例 题 9 的均质砖块在作用于物块 H上的水平力F 的作用下保持平衡。已知： d = 5cm, h = 20cm, fs =0.5，水平接触面 均光滑。求：当 F = 2nP 时，能保持平 衡 n 的最大值。
第4章
※ 引 言 ※ 滑动摩擦
摩 擦
※ 摩擦角与自锁现象 ※ 考虑摩擦时物体的平衡
※ 滚动摩阻
※ 结论与讨论
引
摩擦的分类
言
按两物体的相对运动形式分，有滑动摩擦和滚动摩阻。 按两物体间是否有良好的润滑，滑动摩擦又可分为干摩擦 和湿摩擦。
摩擦的机理
1. 接触表面的粗糙性 2. 分子间的引力
摩擦的利弊
几个有意义的实际问题（1）
dF F2 F fs 0 d
F
F1 F1 fs ln fs , e F2 F2
为维持皮带平衡，应有
F2
F1
F1 F2e
fs
接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且 知F2 =1kN，求绳平衡时F1的范围，绳 与圆柱间的摩擦系数为fs =0.5。
理论力学第四章-摩擦(第七版)
解：
2a极限 tan 2a极限 fs
a极限 b 2 fs
b a 2 fs
§4-4滚动摩阻(擦)的概念 静滚动摩阻(擦)
Fx 0
MA 0
F Fs 0
M FR 0
0 Fs Fmax
0 M M max
Fmax fs FN
M max FN －－最大滚动摩阻(擦)力偶
sin f s cos F1 P cos f s sin
sin f s cos sin f s cos PF P cos f s sin cos f s sin
例4-3 已知：b、d、fs， 不计凸轮与 挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 求：挺杆不被卡住之 a 值. 解：取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
t anf
摩擦锥
全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数．
Fmax f s FN fs FN FN
0 f
二.自锁现象
3. 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
tan tanf f s
斜面自锁条件
f
螺纹自锁条件
f
§4-3考虑滑动摩擦时物体的平衡问题 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本
Fx 0 F cos30 P sin 30 Fs 0
Fy 0 F sin 30 P cos30 FN 0
P
F
y
30°
Fs 403.6N
FN 1499N
(向上)
Fs x P FN
解：
取物块，画受力图，设物块平衡
Fx 0 Fy 0
fs 或
燕山大学理论力学内部资料——空间力系_摩擦
4-1、力系中，1001=F N、N、3002=F 2003=F N,各力作用线的位置如图所示（单位：mm）。
将力系向原点简化。
O4-2、水平圆盘的半径为r ，外缘处作用有已知力C F 。
力F 位于铅垂平面内，且与处圆盘切线夹角为，其他尺寸如图所示。
求力C o 60F 对z y x ,,轴之矩。
4-3、图示空间构架由三根无自重直杆组成，在端用球铰链连接，如图所示。
、D A B 和端则用球铰链固定在水平地板上。
如果挂在端的物重，试求铰链、C D KN 10=P A B 和的反力。
C4-4、图示六杆支撑一水平板，在板角处受铅直力F作用。
设板和杆自重不计，求各杆的内力。
4-5、无重曲杆有两个直角，且平面与平面垂直。
杆的端为球铰链支座，另一端受轴承支持，如图所示。
在曲杆的、BC 和CD 上作用三个力偶，力偶所在平面分别垂直于、和CD 三线段。
已知力偶矩和，求使曲杆处于平衡的力偶矩和支座反力。
ABCD ABC BCD D A AB AB BC 2M 3M 1M5-1、物重A KN 5=A P ，B 物重，物与KN 6=B P A B 物间的静滑动摩擦系数，1.01=s f B 物与地面间的静滑动摩擦系数2.02=s f ，两物体块由绕过一定滑轮的无重水平绳相连。
求使系统运动的水平力F 的最小值。
5-2、鼓轮B 重，放在墙角里，如图所示。
已知鼓轮与水平地板间的摩擦系数为0.25，而铅直墙壁则假定是绝对光滑的。
鼓轮上的绳索下端挂着重物。
设半径，N 500mm 200=R mm 100=r ，求平衡时重物的最大重量。
A5-3、均质圆柱重P 、半径为r ，搁在不计自重的水平杆和固定斜面之间。
杆端为光滑铰链，D 端受一铅直向上的力A F ，圆柱上作用一力偶，如图所示。
已知P F =，圆柱与杆和斜面间的静滑动摩擦系数皆为3.0=s f ，不计滚动摩阻，当时，045=αBD AB =。
求此时能保持系统静止的力偶矩M 的最小值。
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F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与 tan fs ,
P sin fs cos F P sin fs cos
cos fs sin
cos fs sin
例4-3 已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之 a值.
tan
2a极限 tan 2a极限 fs
b a极限 2 fs a b
2 fs
例4-4 已知：物块重 P,鼓轮重心位于 O处1 ，闸杆重量不
计， ，fs 各尺寸如图所示.
求： 制动鼓轮所需铅直力 F.
解： 分别取闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮， M O1 0 对闸杆， M O 0
且 Fs fs FN
rFT RFs 0 Fa FNb Fsc 0
而 解得
FT P, Fs Fs F rP(b fsc) fs Ra
例4-5
已知：均质木箱重 P 5kN , fs 0.4 , h 2a 2m , 30o ；
求：（1）当D处拉力 F 1k时N，木箱是否平衡? （2）能保持木箱平衡的最大拉力.
O
Fm in
D
FND
当fs 0.3时，FD 40N FDmax , D 处无滑动
Fmin 26.6N
当fs 0.15时，FD 40N > FDmax , D 处有滑动
(2) D处摩擦力达最大值，取杆与轮.
M A 0
FNC
l 2
FB
l
0
FNC
FC
FB
FNC 100 N 不变
C
FAy
但 FC FC max fC FNC
静摩擦因数为 fs， 其它接触处光滑； 求：使系统保持平衡的力 F的值.
解： 取整体分析，画受力图
Fy 0 FNA P 0
FNB
FNA P
设力 F小于 F时1 ，
楔块 A向右运动
取楔块 A分析 ，画受力图
F1 FNA tan( ) P tan( )
FNA
FR1
F1
P
F
FNA
FR1 F1
同理，圆柱 O有向上滚动趋势时
得
fs
R
圆柱匀速纯滚时，
fs
.
R
fs
R
例4-10
已知： 拖车总重 P ,车轮半径 R,， , 其他尺寸如图；
求：拉动拖车最小牵引力 F（ F平行于斜坡）.
a
F
b
h
P
A
H
B
解： 取整体
Fx 0
Fy 0
F FAs FBs P sin 0 FAN FBN P cosθ 0
M C 0 M C1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0
又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1
MC1 70.39N m 设 M C M时C，2 系统有顺时针方向转动趋势
画两杆受力图.
M A 0
FN2 AB M A 0
D
MA
FS 2 B
在水平路上行驶（ ）0， 4.4mm
Fm in
P
R
4.4 40 0.4kN 440
牵引力为总重的1％。
M O1 0
M A FAs R 0
（6）
M O2 0
M B FBs R 0
（7）
FAS
七个方程联立解得
Fm in
P(sin
R
cos
)
FAN
若 ，90o 若 ，0o
则 则
Fm in Fm in
， P
，
R
P
意味什么？ 意味什么？
FBS
FBN
若拖车总重量 P 40，kN 车轮半径 R 440，mm
A
FAx
对轮 M O 0 FC r FD r 0
Fx 0 FNC sin 60o FC cos 60o Fmin FD 0
Fy 0
FND P FNC cos 60o FC sin 60o 0
FD f D FND
FNC '
当 fD 0时.15， 解得 FND 172 .4N
FNA
设力 F大于 F时2 ， 楔块 A向左运动 取楔块 A分析，画受力图
F2 FNA tan(θ ) P tan(θ )
P tan( ) F P tan( )
FR2 F1
FNA
FNA FR 2
F1
例4-8
已知：均质轮重 P 100N , 杆无重， r ,l , 60o 时，
F
解： （1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 Fs F cos 0
Fy 0 FN P F sin 0
M A 0
hF
cos
P
a 2
FNd
0
而 Fmax fs FN 1800N
Fs 866 N FN 4500 N
d 0.171m
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
而 Fmax fs FN 299.8N
F
FS
物块处于非静止状态．
Fd fd FN 269 .8N , 向上．
FN
P
例4-2
已知： P , , fs .
求： 使物块静止，水平推力 F的大小．
F
P
解： 使物块有上滑趋势时，推力为F1 画物块受力图
Fx 0
F1 cos P sin Fmax 0
Fy 0 FN P cosθ 0
又 M max FN
FT1
P(sin θ
R
cosθ)
设圆柱 O有向上滚动趋势，取圆柱 O
M A 0
P sin θ R FT2 R M max 0
Fy 0 FN P cosθ 0
又 M max FN
FTmax
P(sin
R
cos )
Fs fs FN1 fs P cos
Fmax' fs FN '
F1
sin cos
fs cos fs sin
P
sin fs cos P F sin fs cos P
cos fs sin
cos fs sin
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
（1） （2）
MB 0
FAN (a b) Fh P cos b P sin H M A M B 0
M A FAN （4）
a
b
M B FBN （5）
h
（3）
F
能否用 FAs f，s FAN
FBs fs FBN 作为补充方程?
P
A MA
H
B FAS
FBS
MB
FAN
FBN
取前、后轮
FD F C fD FND 25.86N
FC '
C 处无滑动 Fmin 47.81N .
FD
O
Fm in
D
FND
例4-9
已知：P , R , , ；
求：（1）使系统平衡时，力偶矩 M B； （2）圆柱 O匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的 最小值.
解： （1）设圆柱O有向下滚动趋势，取圆柱 O
M A 0 P sin θ R FT1 R M max 0
第四章 摩 擦
例4-1 已知：P 1500N , fs 0.2 , fd 0.18 , F 400N 。 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
F
P
解： 取物块，画受力图，设物块平衡
Fx 0 F cos30 Psin 30 Fs 0 Fy 0 F sin 30 P cos30 FN 0 Fs 403.6N(向上) FN 1499N
1443N
最大拉力为 1443N
例4-6 已知：M A 40N m , fs 0.3 , 各构件自重不计，
尺寸如图； 求：保持系统平衡的力偶矩 M.C
解： 设 M C 时M C，1 系统即将逆时针方向转动
画两杆受力图.
FN 1 '
FS1 '
D
B
MA
B
A FS1
FN1
MC
C
M A 0
FN1 AB M A 0
AC CB l ; FB 50 N , fC 0.4 （杆，轮间） 2
求：若要维持系统平衡
（1） fD (0轮.3 ，地面间）， 轮心 O处水平推力 Fmin
（2）fD 0.（15 轮，地面间）， B
轮心O处水平推力 F.min
FB
C
O
Fm in
A
D
解： F 小于某值，轮将向右滚动.
C , D 两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动.
A
FN 2
M C 0 MC2 FN2 l sin 60o Fs2 l cos60o 0
又 Fs2 Fs2 fs FN2 fs FN2
MC2 49.61N m
FN 2 '
系统平衡时
FS 2 '
B
49.61N m MC 70.39 N m M C
C
例4-7
已知：力 P，角 ，不计自重的 A块, 间B 的
系统平衡时 P(R sin cos ) M B P(R sin cos )
（2）设圆柱 O有向下滚动趋势.
M C 0 Fs R M max 0 Fy 0 FN P cos 0
又 M max FN
Fs
R
P cos
只滚不滑时， 应有 Fs fs FN fs P cosθ 则
Fy 0 FND P FNC 'cos 60 FC 'sin 60 0
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与 tan fs ,
P sin fs cos F P sin fs cos
cos fs sin
cos fs sin
例4-3 已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之 a值.
tan
2a极限 tan 2a极限 fs
b a极限 2 fs a b
2 fs
例4-4 已知：物块重 P,鼓轮重心位于 O处1 ，闸杆重量不
计， ，fs 各尺寸如图所示.
求： 制动鼓轮所需铅直力 F.
解： 分别取闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮， M O1 0 对闸杆， M O 0
且 Fs fs FN
rFT RFs 0 Fa FNb Fsc 0
而 解得
FT P, Fs Fs F rP(b fsc) fs Ra
例4-5
已知：均质木箱重 P 5kN , fs 0.4 , h 2a 2m , 30o ；
求：（1）当D处拉力 F 1k时N，木箱是否平衡? （2）能保持木箱平衡的最大拉力.
O
Fm in
D
FND
当fs 0.3时，FD 40N FDmax , D 处无滑动
Fmin 26.6N
当fs 0.15时，FD 40N > FDmax , D 处有滑动
(2) D处摩擦力达最大值，取杆与轮.
M A 0
FNC
l 2
FB
l
0
FNC
FC
FB
FNC 100 N 不变
C
FAy
但 FC FC max fC FNC
静摩擦因数为 fs， 其它接触处光滑； 求：使系统保持平衡的力 F的值.
解： 取整体分析，画受力图
Fy 0 FNA P 0
FNB
FNA P
设力 F小于 F时1 ，
楔块 A向右运动
取楔块 A分析 ，画受力图
F1 FNA tan( ) P tan( )
FNA
FR1
F1
P
F
FNA
FR1 F1
同理，圆柱 O有向上滚动趋势时
得
fs
R
圆柱匀速纯滚时，
fs
.
R
fs
R
例4-10
已知： 拖车总重 P ,车轮半径 R,， , 其他尺寸如图；
求：拉动拖车最小牵引力 F（ F平行于斜坡）.
a
F
b
h
P
A
H
B
解： 取整体
Fx 0
Fy 0
F FAs FBs P sin 0 FAN FBN P cosθ 0
M C 0 M C1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0
又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1
MC1 70.39N m 设 M C M时C，2 系统有顺时针方向转动趋势
画两杆受力图.
M A 0
FN2 AB M A 0
D
MA
FS 2 B
在水平路上行驶（ ）0， 4.4mm
Fm in
P
R
4.4 40 0.4kN 440
牵引力为总重的1％。
M O1 0
M A FAs R 0
（6）
M O2 0
M B FBs R 0
（7）
FAS
七个方程联立解得
Fm in
P(sin
R
cos
)
FAN
若 ，90o 若 ，0o
则 则
Fm in Fm in
， P
，
R
P
意味什么？ 意味什么？
FBS
FBN
若拖车总重量 P 40，kN 车轮半径 R 440，mm
A
FAx
对轮 M O 0 FC r FD r 0
Fx 0 FNC sin 60o FC cos 60o Fmin FD 0
Fy 0
FND P FNC cos 60o FC sin 60o 0
FD f D FND
FNC '
当 fD 0时.15， 解得 FND 172 .4N
FNA
设力 F大于 F时2 ， 楔块 A向左运动 取楔块 A分析，画受力图
F2 FNA tan(θ ) P tan(θ )
P tan( ) F P tan( )
FR2 F1
FNA
FNA FR 2
F1
例4-8
已知：均质轮重 P 100N , 杆无重， r ,l , 60o 时，
F
解： （1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 Fs F cos 0
Fy 0 FN P F sin 0
M A 0
hF
cos
P
a 2
FNd
0
而 Fmax fs FN 1800N
Fs 866 N FN 4500 N
d 0.171m
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
而 Fmax fs FN 299.8N
F
FS
物块处于非静止状态．
Fd fd FN 269 .8N , 向上．
FN
P
例4-2
已知： P , , fs .
求： 使物块静止，水平推力 F的大小．
F
P
解： 使物块有上滑趋势时，推力为F1 画物块受力图
Fx 0
F1 cos P sin Fmax 0
Fy 0 FN P cosθ 0
又 M max FN
FT1
P(sin θ
R
cosθ)
设圆柱 O有向上滚动趋势，取圆柱 O
M A 0
P sin θ R FT2 R M max 0
Fy 0 FN P cosθ 0
又 M max FN
FTmax
P(sin
R
cos )
Fs fs FN1 fs P cos
Fmax' fs FN '
F1
sin cos
fs cos fs sin
P
sin fs cos P F sin fs cos P
cos fs sin
cos fs sin
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
（1） （2）
MB 0
FAN (a b) Fh P cos b P sin H M A M B 0
M A FAN （4）
a
b
M B FBN （5）
h
（3）
F
能否用 FAs f，s FAN
FBs fs FBN 作为补充方程?
P
A MA
H
B FAS
FBS
MB
FAN
FBN
取前、后轮
FD F C fD FND 25.86N
FC '
C 处无滑动 Fmin 47.81N .
FD
O
Fm in
D
FND
例4-9
已知：P , R , , ；
求：（1）使系统平衡时，力偶矩 M B； （2）圆柱 O匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的 最小值.
解： （1）设圆柱O有向下滚动趋势，取圆柱 O
M A 0 P sin θ R FT1 R M max 0
第四章 摩 擦
例4-1 已知：P 1500N , fs 0.2 , fd 0.18 , F 400N 。 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
F
P
解： 取物块，画受力图，设物块平衡
Fx 0 F cos30 Psin 30 Fs 0 Fy 0 F sin 30 P cos30 FN 0 Fs 403.6N(向上) FN 1499N
1443N
最大拉力为 1443N
例4-6 已知：M A 40N m , fs 0.3 , 各构件自重不计，
尺寸如图； 求：保持系统平衡的力偶矩 M.C
解： 设 M C 时M C，1 系统即将逆时针方向转动
画两杆受力图.
FN 1 '
FS1 '
D
B
MA
B
A FS1
FN1
MC
C
M A 0
FN1 AB M A 0
AC CB l ; FB 50 N , fC 0.4 （杆，轮间） 2
求：若要维持系统平衡
（1） fD (0轮.3 ，地面间）， 轮心 O处水平推力 Fmin
（2）fD 0.（15 轮，地面间）， B
轮心O处水平推力 F.min
FB
C
O
Fm in
A
D
解： F 小于某值，轮将向右滚动.
C , D 两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动.
A
FN 2
M C 0 MC2 FN2 l sin 60o Fs2 l cos60o 0
又 Fs2 Fs2 fs FN2 fs FN2
MC2 49.61N m
FN 2 '
系统平衡时
FS 2 '
B
49.61N m MC 70.39 N m M C
C
例4-7
已知：力 P，角 ，不计自重的 A块, 间B 的
系统平衡时 P(R sin cos ) M B P(R sin cos )
（2）设圆柱 O有向下滚动趋势.
M C 0 Fs R M max 0 Fy 0 FN P cos 0
又 M max FN
Fs
R
P cos
只滚不滑时， 应有 Fs fs FN fs P cosθ 则
Fy 0 FND P FNC 'cos 60 FC 'sin 60 0