高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习

高中数学求函数解析式解题方法大全

及配套练习

一、定义法：

根据函数的定义求解析式用定义法。

【例1】

【例2】

【例3】

【例4】

二、待定系数法：（主要用于二次函数）

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】

【解析】

【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求

f（x）的解析式.

解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①

f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b

②

由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得

解得

故f（x）= x2+7x.

【例3

】

三、换元（或代换）法：

道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.

【例1】

【解析】

【例2】

【例3】

【例4】

（1）

在（1

（2）

1

（3）

【例5】

（1（2）由

【例6】

四、代入法：

求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．

【例1】

解

则

解得

，

上，

(五

)配凑法

【例1】：

2x

当然，上例也可直接使用换元法

即

由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【例2】：

分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。

(六)构造方程组法（消去法）。

若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．

则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

【例3】：

分析：为此，

等式，通过解方程组达到消元的目的。

①

..②

小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)

数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得

f(x)的解析式。

【例4】

小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)

f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【例5】

解析式

①，

解①②联立的方程组，得

七、特殊值法：（赋值类求抽象函数）

当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．

【例1】：N

【例2】设是定义在R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意的实数x，y，有f（x －y）= f（x）－y（2x－y+1），求f（x）函数解析式.

分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）= f（x）－y（2x－y+1），得到f（x）函数解析式，只有令x = y.

解：令x = y ，由f（x－y）= f（x）－y（2x－y+1）得

f（0）= f（x）－x（2x－x+1），整理得f（x）= x2+x+1.

八．利用给定的特性求解析式.

【例1】．x＞0时，x＜0

达式.

练习．对且当x∈[－1，0]

求当x∈[9，10].

九、累加法：

累加法核心思想与求数列的通项公式相似。

【例1】：

……

……

……

……

十、归纳法：

【例1】：

………………………………，依此类推，得

再用数学归纳法证明之。

【例2】：

十一、递推法：

若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

【例1】

都有

①

得：

()(

f n f n

-

将上述各式相加得：

1

)

(+

=

∴n

f

十二、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

【例1】已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.

解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点对称.

当x≥0时，f

（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），

因此当x<0时，

1= x2 +2x.故f（x x≥0，

x＜0.