工程力学(天津大学)第11章答案

第十一章 梁弯曲时的变形
习 题
11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。

解：（a ）取坐标系如图所示。

弯矩方程为：x
l
M M e
=
挠曲线近似微分方程为：x
l
M y EI e
-=''
积分一次和两次分别得：C
x
l M
y EI e +-=
'2
2， （a ）
D
Cx x
l
M
EIy e
++-
=3
6 (b)
边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0
,6
==D l M C
e
梁的转角和挠度方程式分别为：
)
6
2(12
l M x
l
M
EI
y e e
+
-=
'，)6
6(13
lx M x
l
M
EI
y
e
e
+
-
=
所以：EI
l
M y l EI
M
θEI
l M θe C e
B e A 16,3,
62
=
-
==
（b ）取坐标系如图所示。

AC 段弯矩方程为：)
2
0(11l x x l
M M e
≤
≤=
BC
段弯
矩
方程为
：
)2
(22l x l M
x l
M M e
e
≤≤-=
两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：
(a)
(b)
习题11−1图
x
AC 段：11x l
M y EI e
-
=
''
12
11
2C x l M
y EI e
+-='， （a ） 1113
11
6D x C x l
M
EIy
e
++-
= (b)
BC 段：e
e
M
x l
M y EI +-
=''22
22
22
2C M
x l M
y EI e
e
++-='， （c ）
2
2223
22
6D x C x M x l
M
EIy
e e
+++-
= (d)
边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：21
2121
2
y y y y l x x '='==
=，时，
代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：,
8
D 0,24
11,
24
2
2121
l M D l M C l M
C e
e
e
=
=-==
，
梁的转角和挠度方程式分别为：AC 段：
)
24
2(12
1l M x l
M
EI
y e e
+
-=
'，)24
6(113
11
lx M
x l
M
EI
y e
e
+
-
=
BC 段：
)24
112(122
2
2
l M x M x l
M
EI
y e e e
-
+-='，)8
24
112
6(12
222
32
2l M lx M x M x l
M
EI
y e e
e
e
+
-
+
-
=
所以：0
,24,
24==
=
C e
B e A y l EI
M
θEI
l M θ
11−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。

解：（a ）取坐标系如图所示。

弯矩方程为：
2
2x
q M -
=
习题11−2图
B A （a ）
B
挠曲线近似微分方程为：2
2x
q y EI =''
积分一次和两次分别得：C
x
q y EI +=
'3
6， （a ）
D
Cx x
q EIy ++=
4
24
(b)
边界条件为：x =l 时，y =0，y'=0， 代入（a ）、(b)式，得：4
3
8
1,
6ql
D l q C
=
-
=
梁的转角和挠度方程式分别为：
)6
6(13
3
l q x
q EI
y -
=
'，)
8
16
24
(
14
3
4
ql x l q x
q EI
y +
-
=
所以：EI
ql
y EI
ql
θA A
8,
64
3
=
-
=
（b ）取坐标系如图所示。

弯矩方程为：e
M
M =
挠曲线近似微分方程为：e
M
y EI -=''
积分一次和两次分别得：C
x M y EI e +-='
（a ）
D
Cx x
M EIy e
++-
=2
2
(b)
边界条件为：x =l 时，y =0，y'=0， 代入（a ）、(b)式，得：2
21,
l
M D l M C
e e -
==
梁的转角和挠度方程式分别为：
)
(1l M x M EI
y e e +-=
')2
12
(12
2
l M lx M x
M EI
y e e e
-
+-
=
所以：EI
l M y EI
l M θe A e A
2,
2
-
==
11−3 一悬臂梁在BC 段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由端截面C 的转角和挠度。

q
A C
习题11−3
图
q
解：取坐标系如图所示。

AB 段弯矩方程为：)
20(83212
1l x ql
x ql M ≤≤-
=
BC 段弯矩方程为：)
2
(
)2
(2
183222
22
2l x l l x q ql
x ql M
≤≤-
-
-
=
两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为： AB 段：2
118
32
ql
lx q y EI +
-
=
''
112
2
11
8
34C x ql x ql y EI ++
-='， （a ）
1112
12
311
16312
D x C x ql lx q EIy
+++
-
= (b)
BC 段：2
22
22
)
2
(2
18
32
l x q ql
x ql y EI -
+
+
-
=''
2
3
222
2
2
)2
(6
18
34
2
C l x q x ql x
ql y EI +-
++
-=' （c ）
2
224
22
2
3
2
)
2
(24
116
312
2
2
D x C l x q x ql x ql EIy
++-
+
+-
= (d)
边界条件为：x 1=0时，y 1=0，y 1'=0， 变形连续条件为：21
2121
2
y y y y l x x '='==
=，时，
代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：0
D 0,0,
02121====，D C C
梁的转角和挠度方程式分别为： AB 段：
)834(112211x ql x ql EI y +-='，)16
312(12
12311x ql lx q EI y +-=
BC 段：
])2
(61834[13
222
2
2
2
l x q x ql x
ql EI y -+
+
-
='])2
(24
116
3
12
[14
22
2
3
22
2
l x q x
ql x
ql EI
y -
+
+
-=
所以：0
,38441,
4874
3
==
=
C C C
y EI
ql
y EI
ql
θ
11−4 一外伸梁受均布荷载，如图所示，试用积分法求A 、B 截面的转角以
及C 、D 截面的挠度。

习题11−4图
解：取坐标系如图所示。

AB 段弯矩方程为：)20(214312
11
l x qx
x ql M ≤≤-
=
BC 段弯矩方程为：)32()
2(4
92
14
3222
22
l x l l x ql qx
x ql M
≤≤-+
-
=
两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为： AB 段：2
1112
143qx
lx q y EI +
-
=
''
13
2
11
1
6183C qx
x ql y EI ++
-='， （a ）
1114
13
11
24
124
3D x C qx lx q EIy
+++
-
= (b)
BC 段：)
2(4
9214322
222
l x ql qx
x ql y EI --
+
-
=''
2
2
23
2
2
)2(8
961832
2
C l x ql qx
x
ql y EI +--
+-=' （c ）
2223
24
3
2
)2(24
924
18
2
2
D x C l x ql qx x
ql EIy
++--
+-
= (d)
边界条件为：x 1=0时，y 1=0， 变形连续条件为：21
212102y y y y l x x '='====，时，
代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：0D 0,6
,61213
23
1
====，D ql C ql C
梁的转角和挠度方程式分别为：AB 段：)
6
1618
3(13
3
2
111
ql qx
x ql EI
y +
+
-=
'
)6
24
18
(113
41
3
1
1x ql qx
lx q EI
y +
+
-=
BC 段：
]61)
2(8
96183[13
2
23
2
2
2
2
ql l x ql qx
x
ql EI y +
--
+
-
=']6
1)
2(24
924
1
8[123
3
24
3
22
2
x ql l x ql qx
x
ql EI
y +
--
+
-
=
所以：EI
ql
y EI
ql
y θEI
ql
θD C B A
12,8,0,
64
4
3
=
=
==
11−5 用积分法求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程式？试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件。

解：（a ）分三段。

AB 、BC 、CD 段位移分别为y 1、y 2、y 3。

则边界条件B 点：,
y y ,l
x x 0时2
2121===
=
C 点：,
y y ,
l
x x 0时2
32332
==
=
=
变形连续条件为：,
y y ,l
x x '='=
=2121
时2
'='=
=2
121时2
y y ,l
x x
（b ）分两段。

AB 、BC 段位移分别为y 1、y 2。

则边界条件A 点：,y ,x 0
时011== B 点：,
y y ,
l x x 0时2132
====
变形连续条件为：,
y y ,
l x x '
='==2121
时
11−6 一简支型钢梁承受荷载如图所示，已知所用型钢为18号工字钢，E =210G Pa ，M =8.1kN·m ，q =15kN/m
，跨长l =3.26m 。

试用积分法求此梁跨中点C 处的挠度。

解：取坐标系如图所示。

弯矩方程为：2
2
121
qx M qlx M e
-
-=
挠曲线近似微分方程为：2
2
12
1
qx M qlx y EI e
+
+-
=''
积分一次和两次分别得： C
qx x M qlx y EI e ++
+-
=
'3
2
6
14
1 （a ）
D
Cx qx x
M qlx EIy e
+++
+
-
=4
2
3
24
12
12
1 (b)
习题11−5图 (b)
q (a) D
A
习题11−6图
边界条件为：x ==0=l 时，y =0 代入（a ）、(b)式，得：0
24
2
3
=+
-
=D ,ql
l M C e
梁的挠度方程式为：
x
)x M ql (
qx x
M qlx EI y e e
2
24
124
1
2
12
1
[13
4
2
3
-
++
+
-=
所
以
：
mm
243(m)103.24 ]
8
26
310
18384
26310155[
10
166010
2101
838453
-2
3
4
3
8
9
2
4
....EI
l M EI
ql
y e C =⨯=⨯⨯-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
-=
-
11−7 一简支梁受力如图所示，试用叠加法求跨中截面C 点的挠度。

解：当右边的F 单独作用时，查表得：
EI
Fa a a a EI a Fa x b l lEI Fbx y C
1211]461[46)(63
222222=--⨯⨯=--=
由对称得：EI
Fa EI
Fa
y C
611212113
3
=
⨯=
11−8 一简支梁承受均布荷载作用，并在A 支座处有一集中力偶作用，如图所示，已知：20
2
ql
M
=，试用叠加法求A 、B 截面的转角和跨中截面C 的挠度。

解：当q 单独作用时，EI
ql
y ,
EI
ql
θ,EI
ql
θCq Bq Aq 384542424
3
3
=
-
==
当M q 单独作用时，
EI
ql EI Ml
y ,
EI
ql EI Ml
θ,EI ql EI Ml θCM
Bq AM
3201612066034
2
3
3-
=-===-=-=
所
以
：
EI
ql
y y y ,
EI
ql
θθθ,EI
ql
θθθCM Cq C BM Bq B AM Aq A 19201930404
3
3
=
+=-
=+==
+=
11−9 一悬臂梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。

习题11−7图 q
习题11−9图
习题11−8图
解：
EI ql l EI q
θ,EI
ql
l EI q
y B
B
4826128283
3
4
4
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯==
⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯=
所以：EI
ql θθ,EI ql EI ql l
EI ql θl y y B C B B
C 48384748212823
4
3
4
===⨯+=⋅+＝
11−10 一外伸梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。

已知：F =ql
解：对AB 段，看作在均布荷载和力偶Fl/2作用下的简支梁， 则，EI
ql EI Fl
EI Ml θ,EI
ql
θBM
Bq
366
3423
2
3
===-
=
所以：EI
ql
θθθBM Bq B
723
-
=+=
将BC 段看作悬臂梁，固定端处有转角B
θ,则
EI
ql l θy ,EI ql EI Fl l EI F y B C C 144214424234
24
3
3
1
-=⋅===⎪⎭⎫
⎝⎛⋅=
所以：021=+=C C C
y y y
,EI
ql EI Fl
l EI F θCF
488223
2
2
==⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=则,
EI
ql
EI
ql
EI
ql
θθθB CF C
14472483
3
3
=
-
=
+=
11−11 试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和转角。

解：（a ）当M 单独作用时，EI
Fl
EI Ml θ,EI
Fl EI Ml CM
CM
2
3
2
22y ====
习题11−10图 习题11−11图
(a)
B
(b)
当F 单独作用时，EI
Fl l EI F θ,EI
Fl l EI F BF
BF
8222423y 2
2
3
3
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=
所以：EI
Fl
θθ,EI
Fl l θBF
CF BF
BF CF
84852y y 2
3
=
==⋅+=
则：EI
Fl EI Fl EI Fl
θθθ,EI
Fl EI Fl EI Fl y CF
CM C CF
CM C
89848294852y y 2
2
2
3
3
3
=+=+==+=+=
解：（b ）当C 点处的F 单独作用时，EI
Fa θ,EI
Fa C
C
23y 2
3
=
=
此时
EI
Fa θθ,
EI
Fa
a θy C
B C
C B 2342y 2
13
1=
==
⋅+=
当D 点处的F 单独作用时，EI
Fa EI a F θ,
EI
Fa EI
a F D D
2
2
3
3
22)2(383)2(y =
=
=
=
此时
EI
Fa θθ,
EI Fa a θy D
B D
D B 2
23
22314y =
==
⋅+=
所以EI
Fa θθθ,
EI
Fa y y B B B B B B
256y 2
2
13
2
1=
+==
+=
11−12 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：l =6m ， M =4kN·m ，q =3kN/m ，400
1][=
l
f ，工字钢为20a ，钢材的弹性模量E =200GPa ，试校核梁的
刚度。

解
：
mm
.m .)(
EI
Ml
EI ql
max 481401448016
4
1042384
6
103510
2370102001
1623845y 2
34
38
9
2
4
==⨯⨯⨯
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯+=-
则
400
14141=<=
]l f [l
y max ，所以刚度满足要求。

习题11−12图
习题11−13图
11−13 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：l =6m ，F =10kN ，q =4kN/m ，250
1][
=
l f ，材料许用应力MPa
150
][=σ，弹性模量E =200GPa ，试
选择工字钢的型号并校核梁的刚度。

解：跨中最大弯矩为：
m kN 334
610164814
8
M
2
2
⋅=⨯⨯+⨯⨯=
+
=)Fl ql max
[]
3
3
3
6
3cm
220m
10
12010
1501033M
W =⨯=⨯⨯=
≥
-.σmax
取Ⅰ20a ，则
mm
.m .)(
EI
Fl
EI ql
max 73230237048
61010384
6
104510
2370102001
483845y 2
34
38
9
3
4==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=-则
250
182521=
<=
]l f [.l
y max ，所以刚度满足要求。

11−14 在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁，并判定各种超静定梁的次数。

解：（a ）2次；（b ）1次；（c ）2次；(d)1次；（e ）静定结构；（f ）3次。

(c) (d) 习题11−14图
q
(f)
解：（a ）该梁为一次超静定梁，将B 支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力F R B 。

根据该梁的变形条件，梁在B 点的挠度应为零，即补充方程式为：
0=B y
由叠加法:
0=+=BF M B B y y y （a ）
式中：y BM 为梁在力偶单独作用下引起的B 点的挠度（图 d ），由表格11−1可查得：
EI
Ml y B 22
M
-
= （b ）
y BF 为梁在F R B 单独作用下B 点的挠度，同样由表格11−1可查得：
EI
l F l EI
l F y B B BF 3263
R 2
R -
=⋅-
= （c ）
将(b)、（c ）两式代入式（a ），得：
0323
R 2
=--EI
l F EI Ml
B
（d ）
由该式可解得：l
M
F B
23R -
=
则M 图为：
（b ）该梁为一次超静定梁，将B 支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力F R B 。

根据该梁的变形条件，梁在B 点的挠度应为零，即补充方程式为：
0=B y
由叠加法:
0=+=RB F B B y y y （a ）
式中：y BF 为梁在F 单独作用下引起的B 点的挠度，由表格11−1可查得：
EI
Fa a EI
)a (F EI
)a (F a θy y C C B 31422323
2
3
F =
⋅+
=
+= （b ）
y RB 为梁在F R B 单独作用下B 点的挠度，同样由表格11−1可查得：
EI
a F a EI
F y B B RB 3
R 3
R 9)3(3-
=-
= （c ）
将(b)、（c ）两式代入式（a ），得：
93143
R 3
=-
EI
a F EI
Fa
B （d ）
由该式可解得：27
14R F F B
=
则M 图为：
(c) 该梁为一次超静定梁，将B 支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力F R B 。

根据该梁的变形条件，梁在B 点的挠度应为零，即补充方程式为：
0=B y
由叠加法:
=+=RB F B B y y y （a ）
式中：y BF 为梁在F 单独作用下引起的B 点的挠度，由表格11−1可查得：
EI
Fa lEI
)
x b l (Fbx y B 121163
2
2
2
F =
--=
（b ）
y RB 为梁在F R B 单独作用下B 点的挠度，同样由表格11−1可查得：
EI
a F a EI
F y B B RB 4864)4(483
R 3
R -
=-
= （c ）
将(b)、（c ）两式代入式（a ），得：
486412113
R 3
=-
EI
a F EI
Fa
B （d ）
由该式可解得：16
11R F F B
=
则M 图为：
（d ）该梁为三次超静定梁，将A 支座化为固定铰支座，解除该支座的转动约束，并施加多余约束反力M A 。

将B 支座化为可动铰支座，解除该支座的转动约束和水平约束，并施加多余约束反力M B 和水平力H B ，由于水平支反力对位移的影响可忽略不计，所以先不考虑H B ，根据该梁的变形条件，梁在A 点和B 点的转角应为零，即补充方程式为：
00==B A θθ
由叠加法:
,θθθθ,
θθθθBMB BMA F B B AMB AMA F A A 00=++==++=
（a ）
式中：θAF 和θB F 为梁在F 单独作用下引起的A 点和B 点的转角，由表格11−1可查得：
,EI
Fa EI )a (F θ,EI
Fa EI )a (F θB A 416241622
2
F 2
2
F -=-
===
（b ）
θAMA 和θBMA 为梁在M A 单独作用下A 点和B 点的转角，同样由表格11−1可查
得：
,EI
a M a EI
M
θ,
EI
a M a EI
M
θBMA AMA 3)2(632)2(3A A
A A
-
=-
==
=
（c ）
θAMB 和θBM B 为梁在M B 单独作用下A 点和B 点的转角，同样由表格11−1可查得：
,EI
a M a EI
M
θ,
EI
a M a EI
M
θBMA AMB 32)2(33)2(6B B
B B
-
=-
==
=
（d ）
将(b)、（c ）(d)式代入式（a ），得：
⎪⎭⎪⎬
⎫=++=+
+
03234
3324B A 2
B A 2
EI a M EI a M Fa EI
a
M EI a M Fa
由上式可解得：4
4
Fa M
,Fa
M
B
A
-
=-
=
则M 图如下：
（e ）该梁为一次超静定梁，将B 支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力F R B 。

根据该梁的变形条件，梁在B 点的挠度应为零，即补充方程式为：
0=B y
由叠加法:
0=+=RB q B B y y y （a ）
式中：y Bq 为梁在q 单独作用下引起的B 点的挠度，由表格11−1可查得：
[]
EI
qa a a )a ()
a (EI
)a (q EI
)
lx l x (qx y B 63423436224224464
2
2
2
2
2
2
q =
⨯⨯-+=
-+=
（b ）
y RB 为梁在F R B 单独作用下B 点的挠度，同样由表格11−1可查得：
EI
a F a EI
F y B B RB 38)2(33
R 3
R -
=-
= （c ）
将(b)、（c ）两式代入式（a ），得：
386343
R 4
=-
EI
a F EI
qa B （d ）
由该式可解得：8
17R qa F B
=
则M 图为：
11−16 一集中力F 作用在梁AB 和CD 连接处，试绘出二梁的弯矩图。

已知：EI 1=0.8EI 2。

解：该梁为一次超静定梁，AC 和CD 梁的受力图如图所示，其中F C 为未知力。

变形条件为：二梁在自由端处挠度相等，即：CD
A B y y =
由表格11−1可查得：
3
22
3
3
1
380
38)2(3a
EI
F y EI
.a )F F (a EI F F y C CD C C BA =
⨯-=
-=
代入上式解得：11
10F F C
=
则弯矩图为：
11−17 在下列结构中，已知横梁的弯曲刚度均为EI ，竖杆的拉伸刚度均为EA ，试求图示荷载作用下各竖杆内力。

解：（a ）该结构为一次超静定结构，将BC 杆的拉力F BC 看作多余约束，变形方
程为：
BC
A B y y = （a ）
式中y BA 为梁AB 在q 和拉力F BC 共同作用下，B 端的挠度。

y BC 为拉杆BC 的伸长量。

a
EA
F y EI
l F l EI
q y y y BC BC BC FBC q BA =
-
=383
4
＝＋
A 习题11−16图 A
代入（a ）式得：)
aI Al
(Aql F BC
3833
4
+=
（b ）该结构为一次超静定结构，将EC 杆的拉力F EC 看作多余约束，变形方程为：
C
CE y y = （a ）
式中y C 为梁AB 在q 和拉力F EC 共同作用下，C 点的挠度。

y CE 为拉杆EC 的伸长量。

a
EA
F y EI
l F l EI
q y y y EC EC EC FEC q C =
-
=4838453
4
＝＋
代入（a ）式得：)
aI Al
(Aql F EC 162453
4
+=
11−18 梁AB 因强度、刚度不够，用同一材料和同样截面的短梁AC 加固，试求：二梁接触处的压力F R C 。

加固前后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度各减少多少？
解：AB 杆和AC 杆的受力情况如图所示。

二梁在C 点处的挠度相同。

即变形条件为：
CAB
CA y y = （a ）
式中y CA 为梁AC 在F C 作用下C 点的挠度。

y CAB 为梁AB 的在F 和F C 共同作用下C 点的挠度。

3
3
3
322
3244852336)l (
EI
F y EI
l F EI Fl
)l (EI F )x l (EI Fx y y y C EC C
C FC F CAB
=
-=--=＝＋
代入（a ）式得：4
5F F C
=
加固前AB 梁的最大弯矩在支座A 处，弯矩值为Fl ，加固后梁的最大弯矩在B 处，弯矩值为Fl /2，所以梁的最大弯矩减少50%。

习题11−18图
A
加固前B 点的挠度为EI
Fl y BA 33
=
加固后B 点的挠度为
EI
Fl
)l (EI F l EI Fl EI Fl ]θl )l (EI F [EI Fl y C C C BA
38478222965322333
23333=⋅--=+-='
挠度减少：%
EI
Fl
/EI Fl EI Fl 3933847833
3
3
=）－（
答 案
11−1 （a ）EI
l M A 6e =
θ，EI l M B
3e -
=θ，EI
l
M y C
162
e =
（b ）EI
l M A 24e =
θ，EI
l M B 24e =
θ，0
=C
y
11−2 （a ）EI
ql
A 63
-
=θ，EI
ql
y A
84
=
;（b ）EI
l M A
e =
θ，EI
l M y A
22
e -
=
11−3 EI ql
C 4873
=θ，EI
ql
y C
384414
=
11−4 0
,63
==
B A EI
ql
θθ，)(84
↓=
EI
ql
y C
，EI
ql
y D 124
-
=
11−6 mm
24.3=C y
11−7
EI
Fa y C 6113
=
11−8 EI ql
A 403
=
θ，EI ql
B 303
-
=θ，EI
ql
y C 1920194
=
11−9 EI ql
C
483
=
θ，EI
ql
y C
38474
=
11−10 EI
ql
C
1443
=
θ，0
=C
y
11−11 （a ）EI
Fl y C 48293
=
，EI
Fl C 892
=θ；（b ）EI
Fa y B
3
6=
，EI
Fa B
252
=
θ
11−12 mm
48.14max =y
11−13
3
cm
220≥w ，mm
73.23y max
=
11−17 （a ）)
3(833
4
N
aI Al
Aql
F +=
，（b ）)
16(2453
4
N
aI Al
Aql F +=
11−18 F
F C 4
5R。

挠度减少39%，弯矩减少50%。