利用导数判断函数的单调性

(uv)/＝u/v+v/u.
（3）．函数的商的导数 （u v
/ ） =
u 'v v 'u 2 v
(v≠0)。
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
dy dy du . 或 或 y x f ( u) ( x )， dx du dx
例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2. 令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0， f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0， f(x)是减函数.
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
二、新课讲解:
在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正, 函数y=f(x)是增函数,即 y >0 时,函数 y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增函数. 在区间(-∞,2)内,切线的斜 率为负,函数y=f(x)是减函数, 即 y <0 时,函数y=f(x) 在区间 (-∞,2)内为减函数.
3.注意在某一区间内 f ( x ) >0(<0)只是函 数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不 必要条件.
4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构 造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义, 证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域 相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.
利用导数判断函数的单调性
一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式 / （1）.常函数：(C) 0, (c为常数)；
Fra Baidu bibliotek
（2）.幂函数 ：
/ n (x )
nxn1
（3）.三角函数 ：
（ 1） (sin x) cos x （2） (cos x) sin x
1 (log a x) . x ln a
(A) (－∞，－2)
(B) (－2，0)
(C) (－∞，－ ) 2
(D ) ( －
2，0)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C )
(A)单调增函数 (B)单调减函数 (C) 在(0, 是增函数
1 e
)上是减函数，在(
1 e
, 1)上
1 e
(D ) 在 (
是增函数
1 e
, 1)上是减函数，在(0,
f ( x ) >0
1 例4．证明函数f(x)= 在(0，+∞)上是减 x 函数. 1 1 证明：∵f ’(x)=( )’=(－1)· x－2=－ 2 ， x x
∵ x>0，∴x2>0， 1 ∴－ 2 ＜0. 即f ’(x)＜0， x 1 ∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数. x
例5．求函数y=x2(1－x)3的单调区间. 解：y’=[x2(1－x)3]’
例3:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9 令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 x (3,) 或 x (,1) 时, f(x)是增函数. 令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 x (1,3)时, f(x)是 减函数.
x
故f(x)是[1，+∞)上的增函数，应有： 当x>1时，f(x)>f(1)=0， 1 2 x 3 即当x>1时， x
五、小结:
1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导 数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续 点和不可导点.
例1．如图，设有圆C和定点O， 当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速 旋转(旋转角度不超过90°)时， 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数，它的图象大致是 下列四种情况中的哪一种？
D
解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增 速快， 图A表示S的增速是常数，与实际不符， 图A应否定； 图B表示最后时段S的增速快，也与实际 不符，图B也应否定； 图C表示开始时段与最后时段S的增速快， 也与实际不符，图C也应否定； 图D表示开始与结束时段，S的增速慢， 中间的时段增速快，符合实际，应选D。
)上
4．函数y=x2(x+3)的减区间是 (－2，0) ， 增区间是 (－∞，－2)及(0，+∞) 5．函数f(x)=cos2x的单调区间是 .
(kπ, kπ+

), k∈Z 2
.
6．函数y= 2x x2 的单调增区间是
(0，1) 上是增函数。
.
7．证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间(－ , 0) 2 1 证明：f ’(x)= (cosx)’=－tanx. cos x 当x∈(－ 2 , 0)时, －tanx>0, 即f ’(x)>0, ∴函数f(x)=ln(cosx)在区间(－ , 0)上是 2
且 y x yu u x，
即：因变量对自变量求导,等于 因变量对中间变量求导,乘以中间变 量对自变量求导. ( 链式法则 )
3. 函数的单调性:
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2 时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区 间I上的增函数.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区 间I上的减函数.
增函数。
1 8．当x>1时，证明不等式：2 x 3 x 1 证明：设f(x)= 2 x 3
显然，f(x)在[1，∞)上连续，且f(1)=0．
1 1 1 1 2 (1 ) f ’(x)= x x 1 x x x ∵ x>1, ∴ 1 >0，于是f ’(x)>0. x x
（4）.对数函数的导数: 1 (1) (ln x ) . (2) x （5）.指数函数的导数:
x (1) (e ) e . x
x
x (2) (a ) a ln a(a 0, a 1).
2.导数的运算法则
（1）函数的和或差的导数 （2）．函数的积的导数
(u±v)/＝u/±v/.
故f(x)在(-∞,1)和 (3,+∞)内是增函数, 在(1,3)内是减函数. 而我们可以从右边的 函数的图象看到上面 的结论是正确的. （一）利用导数讨论函数 单调性的步骤: (1):求导数 f ( x). (2)解不等式 解不等式
y
1 0 1 3
x
3
得f(x)的单调递增区间; f ( x ) < 0得f(x)的单调递减区间.
=2x(1－x)3+x2· 3(1－x)2· (－1)
=x(1－x)2[2(1－x)－3x] =x(1－x)2· (2－5x)
2 2 令x(1－x) (2－5x)＞0，解得0＜x＜
2 ∴ y=x2(1－x)3的单调增区间是(0， ) 5
5
.
令x(1－x)2(2－5x)＜0，
2 解得x＜0或x＞ 且x≠1. 5
y
1 1
o
－1
22 x m n
用函数的导数判断函数单调性的法则： 1．如果在区间(a，b)内，f ’(x)>0，则f(x) 在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增 区间； 2．如果在区间(a，b)内，f ’(x)<0，则f(x) 在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减 区间； 若在某个区间内恒有 f ( x) 0 则 f ( x) 为常数
5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函 数f(x) 时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可 以扩大到闭区间[a,b]上.
6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导 数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它 充分体现了数形结合的思想.
∵ x=1为拐点，
∴ y=x2(1－x)3的单调减区间是
2 (－∞，0)，( ，+∞) 5
练习题 1．函数y=3x－x3的单调增区间是( C )
(A) (0，+∞)
(C) (－1，1)
(B) (－∞，－1)
(D) (1，+∞)
2 2．设f(x)=x＋ (x<0)，则f(x)的单调增区 x 间是( C )