模糊数学(扩张原理)
模糊数学扩张原理与模糊数
（2）有关定理
3. 区间数
五、讨论——模糊数运算的不封闭 性问题
作业6
• 1，2，3，5，6（2）、（4）、（6）， • 8，10，12，13。
2．相关定理
小结
• 扩展原理可以将实数的代数运算扩展到实 数域上的F集合的代数运算，是模糊数学计 算分析的重要工具，具有重要的理论价值。
• 但该方法的计算量稍大，实际应用时比较 受限制，只适用于处理比较简单的问题。
四、模糊数
与高等数学中凸函数比较
（3）相关定理
2. 模糊数
模糊数学扩张原理 与模糊数
第12讲 扩张原理与模糊数
•1．普通扩张原理 •2．模糊扩张原理 •3. 二（多）元扩张原理 •4.模糊数 •5 讨论
一、普通扩张原理 1．普通扩张原理定义
2．用特征函数表示
3 性质
二、模糊扩张原理
பைடு நூலகம்
2．扩张原理可以视为换F变换（另一表示）
3 性质
三、二（多）元扩张原理
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门研究模糊集合、模糊逻辑等概念和方法的数学分支学科，它是20世纪60年代兴起的一门新兴学科，其理论和方法在实际问题中有着广泛的应用。
本文将就模糊数学的原理及其在实际中的应用进行介绍和分析。
首先，我们来看一下模糊数学的基本原理。
模糊数学的核心概念是模糊集合和
模糊逻辑。
模糊集合是指其隶属度不是二值的集合，而是在0到1之间连续变化的集合。
模糊逻辑是一种对不确定性进行推理的逻辑系统，它允许命题的真假值在0
和1之间连续变化。
这些基本概念为模糊数学的发展奠定了基础。
其次，我们来探讨模糊数学在实际中的应用。
模糊数学在控制系统、人工智能、模式识别、决策分析等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以有效地处理非线性和不确定性系统，提高控制系统的性能。
在人工智能领域，模糊推理可以用来处理模糊信息，提高智能系统的推理能力。
在模式识别中，模糊集合可以用来描述模糊的特征，提高模式识别的准确性。
在决策分析中，模糊数学可以用来处理不确定性信息，提高决策的科学性和准确性。
总之，模糊数学作为一种新兴的数学分支学科，其原理和方法在实际中有着广
泛的应用前景。
我们应该深入学习和研究模糊数学，不断拓展其理论和方法，促进其在实际中的应用，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
希望本文的介绍能够对大家对模糊数学有所了解，并对其在实际中的应用有所启发。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，也被称为模糊逻辑或模糊理论，是一种基于模糊概念和模糊集合的数学分析方法，用于处理不精确或不确定性的问题。
模糊数学允许将不明确的概念和信息进行量化和处理，以便更好地处理现实生活中存在的模糊性问题。
模糊数学的基本原理是引入模糊集合的概念，其中的元素可以具有模糊或不确定的隶属度。
模糊数学中的隶属函数可以用于刻画元素对于一个模糊集合的隶属程度。
模糊集合的运算可以通过模糊逻辑实现，模糊逻辑是概率逻辑和布尔逻辑的扩展，它允许使用连续的度量范围来推导逻辑结论。
模糊逻辑中的运算包括取补、交集和并集等，它们可以用来处理模糊概念之间的关系。
模糊数学在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以用于处理难以量化的问题，如温度、湿度和压力等。
在人工智能领域，模糊推理可以用于处理自然语言的不确定性和模糊性。
在决策分析中，模糊数学可以用于处理多个决策因素之间的不确定性和模糊性。
此外，模糊数学还在模式识别、图像处理、数据挖掘和人机交互等领域得到广泛应用。
通过使用模糊数学的方法，可以更好地处理现实世界中存在的不确定性和模糊性，从而提高问题解决的准确性和效率。
模糊数学_3第五章 模糊映射与变换,模糊关系方程
f fR : u V
满足：
{ f (u)} R | u
f (u ) vu
反之任给一普通映射 f : U V 也可确定普通关系
R {(u,v) | v f (u )}
或
1 当v f (u ) X R (u ,v) 0 当v f (u )
普通关系的映射象和原象都是清晰的。
~
R | u 4 f (u4 ) (0.7,0,0.4)
~
R | u1 0.4 0.7 0 ~ R | u 2 0.1 0.4 0.3 R ~ u R|u ~ 3 0 0.5 0 R | u 4 0.7 0 0.4 ~ v
对于模糊集合普通映射， f : U V 给定 A F (U )，在 f 之下的象应当是什么？ ~ 给定 B F (V )，在 f 之下的原象应当是什么？ ~ 普通集合 f 怎样扩展到 F (U ) 与 F (V ) 之间去。 • 定义5.６ 设 f : U V ，所谓 f 在模糊集类上的扩展， 1 乃是指这样两个映射，仍记为 f 与 f
f : U V
设 A 1, 0, 0.2, 0, 0.1,， 0.9
~
由扩展原理： f ( A) (v1) A (u1 ) A (u2 ) A (u3 )
~ ~ ~ ~
1 0 0.2 1
f ( A) (v2 ) 0.1
f ( A) (v3 ) 0.9
在身高论域V上应表现为
0 .1 0 .2 1 . 5 1 .6
b a R (0.8,1,0.8,0.6,0.2) 0.8 1 0.8 0.6 0.2 1.4m 1.5m 1.6m 1.7m 1.8m
Ch2_Sec1-2-3-4 模糊数学
∨ A(x), f (x)=y f (A)( y) = 0,
f −1( y) ≠∅ f −1( y) =∅
Example 2.4.1 Let X ={x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6} and
Examinee x1 x2 Grade (mark)100 94 x3 32 x4 61 x5 85 x6 55 x7 x8 x9 x10 25 72 86 40
Now we pick out winters according to principle “enrolling only those who are outstanding”.
A(x) =∨{α | α ∈[0,1], x∈ A } α
Proof
A(x) = ∨ (α ∧ χAα (x))
α∈ [0,1]
, 1 A(x) ≥α χAα (x) = 0, A(x) <α
分解定理
=
0≤α≤A( x)
∨ { } =∨{ | α ∈[0,1], x∈ A } α α α
x的隶属度=包含x的所有截集中α的最大值。
Theorem 2.1.1 Let A,B∈F (X) and α,β∈[0,1], then (1) (2) e.g.
A ? A⊆ α α α < β ⇒ Aββ⊆ Aβ α A ⊆ A
A ⊆ B ⇔∀α ∈[0,1], A ⊆ B α α
0.2 0 0.5 1 0.7 A= + + + + x1 x2 x3 x4 x5
α
A α
1 kerA
0 suppA
Definition 2.2.1 Let A∈F (X) and α∈[0,1]. We define a fuzzy set αA with membership as
模糊数学的基础理论
模糊数学的基础理论本章将简要介绍相关的模糊数学理论，包括模糊集、区间数、模糊数、模糊测度及Choquet 积分等。
模糊数学是本书研究模糊合作对策的主要理论工具，是将经典合作对策推广到模糊合作对策的主要依据。
因此，本章对模糊数学相关概念做简单回顾是十分必要的，这将为后续几章的研究提供理论基础。
一模糊集本节重点介绍模糊集的定义、模糊集的运算、模糊集与经典集合的互相转化关系（分解定理与表现定理）及模糊集的扩张原理等。
（一）模糊集的概念与运算在经典集合论中，论域X上的子集A可以由特征函数唯一确定。
该特征函数指明了X中每个元素x的隶属程度，若x∈A，则特征函数χ（x）=1；若x∉A，则χ（x）=0。
也就是说，对于X中的每个元素x，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一。
这说明，经典集合只能表现具有明确外延的概念，然而现实生活中很多现象（或者概念）都具有模糊的性质，因此经典集合论在模糊概念面前显得无能为力。
为了定量地刻画模糊现象和模糊概念，Zadeh[141]在经典集合论的基础上将集合、运算的概念加以扩充，相应地把特征函数取值范围从值域｛0，1｝推广到区间[0，1]，其具体定义如下。
定义2.1[141]设X为论域，x为X中的元素，是X到[0，1]的一个映射，即称是X上的模糊集（fuzzy set），称为模糊集的隶属函数（mem⁃bership function）[或将称为元素x对模糊集的隶属度（grade of membership）]。
设论域X上全体模糊集构成的集合为，X上全体经典集合构成的集合为。
若，且，则为经典集合，即，因此经典集合可视为模糊集的特例，即有。
将经典集合间的关系和运算进行拓展，可定义模糊集的相等、包含关系及并集、交集、补集[141-149]。
下面我们用取大（∨）和取小（∧）运算定义模糊集间的各种运算。
定义2.2设，是论域X上的模糊集，则模糊集的相等、包含关系及并集、交集、余集表示为：在研究和处理时，我们往往希望对模糊概念有个明确的认识和归属，这就涉及模糊集与经典集合的互相转化问题，模糊集的截集和强截集[141-149]是处理这种转化问题的两种比较满意的手段。
模糊数学原理及其应用
则 判 决 x0 相 对 地 属
若 d 则不能识别，应查找原因另作分析。 若 d 且 有 Ai1 ( x 0 ) d ， Ai2 ( x 0 ) d … Aim ( x 0 ) d 于 Ai1 Ai2 Aim 例 2 三角形识别问题
我 们 把 三 角 形 分 成 等 腰 三 角 形 I ,直 角 三 角 形 R , 正 三 角 形 E ,非 典 型 三 角 形 T ,这 四 个 标 准 类 型 ,取 定 论 域
Ai ( x 0 ) max A k ( x 0 ) 1 k n
则 认 为 x0 相 对 隶 属 于 Ai 所 代 表 的 类 型 。 例 1 通货膨胀识别问题 通 货 膨 胀 状 态 可 分 成 五 个 类 型 :通 货 稳 定 ;轻 度 通 货 膨 胀 ;中 度 通 货 膨 胀 ;重 度 通 货 膨 胀 ;恶 性 通 货 膨 胀 .以 上 五 个 类 型 依 次 用 R (非 负 实 数 域 ,下 同 ) 上 的 模 糊 集 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 表 示 , 其 隶 属 函 数 分 别 为 :
有 时 待 识 别 对 象 x0 关 于 模 糊 集 A1 , A2 An 中 每 一 个 隶 属 程 度 都 相 对 较 低 ， 这 时 说 明 模 糊 集 合 A1 , A2 An 对 元 素 x 不 能 识 别 ；其 二 是 有 时 待 识 别 对 象 x 关 于 模 糊 集 A1 , A2 An 中 若 干 个 的 隶 属 程 度 都 相 对 较 高 ， 这时还可以缩小 x 的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。 阈 值 原 则 ： A1 , A2 An F (U ) 是 n 个 标 准 类 型 ， x 0 U , d (0,1] 为 一 阈 值 （ 置 信 水 平 ） 令 max Ak ( x 0 ) 1 k n
第五节 扩张原理和模糊数
模糊数的运算
设R为实数域，映射＊：R×R →R是一个实数 域上的二元运算，由这个映射诱导出的新映射 ＊： ℱ (R)× ℱ (R) → ℱ (R) 是实数域R上的二元F集的代数运算 定理2 设＊是实数域R上的二元运算，A,B ∈ ，则
或
两个模糊数作某种运算，是它们的元素作某种运算，相应的隶属度则取小运算
f-1 ({3}), f-1 ({1,3}), f-1 ({3,4}), f-1 ({1,3,4})在f下没有原像。 因此，在B={3},{1,3},{3,4},{1,3,4}时， f-1均不是B到f-1(B)的映射
例题7.2
设U={-3,-2,-1,1,2,3}, V={1,2,3,…,9},且 f: U →V u ↦ u2=v 由f诱导出的一个新的映射 f: ℘(U) → ℘(V) 是 {1} ↦ {1}，{1,2} ↦ {1,4} {2} ↦ {4}, {1,3} ↦ {1,9},…… 记A={1,3},则f(A)={1,9} f(A)的特征函数是 f(A)(1)= f(A)(9)=
例题
设论域为整数集，F数 2=0.4/1+1/2+0.7/3 3=0.5/2+1/3+0.6/4， 求2-3
练习
设2=0.4/1+1/2+0.7/3， 3=0.5/2+1/3+0.6/4， 求2+3，3×2
A(x)和B(z-x)等均为x的函数（z为参数）
例题
设
，求2+2
t z-x-1
导出。
扩张原理的其他表现及性质
扩张原理可由截集的形式表现
定理1：设f: U →V，A ∈ ℱ(U), B ∈ ℱ(V)，则
模糊决策与分析方法
例如：• L(x) max 0，1 x p ，( p 0)，
当p 1时，图形如下：
• L(x) exp( x p )( p 0)
（2）L－R型模糊数
设L和R为模糊数的参照函数，若模糊数I的隶属函数为
为模糊数。
（2）区间数 任意闭区间[a，b]是模糊数，称区间数。 区间数也可记[a, a],其中a和a分别为下限和上限； 还可记A= m(A), w( A) ,其中m和w分别为中点和半宽。 区间数的运算：设[a，b]，[c，d ]为二区间数。则 •[a，b] [c，d ] [a c，b d ] •[a，b] [c，d ] [a d，b c] •[a，b][c，d ] [min(ac，ad，bc，bd )，max(ac，ad，bc，bd )]
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
A
可以开，故
可以左（右）侧不连续
A
故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
模糊数学原理及其应用
绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
课程教学大纲理论课课程名称模糊数学原理及应用适用专业
课程教学大纲(理论课)课程名称：模糊数学原理及应用适用专业：数学与应用数学课程类别：学科知识深化课程制订时间： 2006年8月数学与计算机科学学院制《模糊数学》课程教学大纲（2002年制订，2006年修订）一、课程代码：0501142003二、课程类别：学科知识深化课程（选修）三、预修课程：高等数学，概率与数理统计四、学分：3学分五、学时：52学时六、课程概述：模糊数学是诞生于上世纪六十年代的一门新兴的数学分支，是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学，具有非常广泛的应用前景。
本课程简明阐述了模糊数学的基本理论和基本方法，主要内容包括：F集合，F模式识别，F关系与模糊聚类分析，F映射与综合评判，F控制等以及它们在科学技术各个领域中的应用。
本课程着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
七、教学目的：为适应我国在21世纪社会主义发展的需要，培养“厚基础、宽口径、高素质”的人才需要，学习模糊数学这门专业选修课。
通过本课程的学习，要求学生较系统掌握F集合，F模式识别，F关系与模糊聚类分析，F映射与综合评判，F控制等基本理论。
进一步提高学生的数学思维能力，分析问题、论证问题和解决问题的能力，全面提高学生的数学修养，为有志于深造的学生提供一个雄厚而坚实的理论基础。
八、学时分配表九、教学基本内容：预备知识（2学时）本章是预备知识，是经典集合的初步知识，是学习模糊数学所必备的知识。
了解有关集合的概念、运算、映射及关系，了解有关序、格、同态、同构的知识。
第一章 F集合（10学时）教学要求：模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。
通过本章学习，理解模糊集的定义、表示方法以及模糊集的运算。
掌握模糊数学的基本原理：分解定理（它是联系普通集与模糊集的桥梁），扩张原理（它扩充了经典集），了解模糊集表现定理，了解模糊度的概念。
教学内容：一、F集的基本概念及运算（4学时）基本内容：F集的定义，F集的并交补运算，F集的运算性质重点内容：F集的定义，F集的并交补运算基本要求：1、掌握和理解F集的定义，F集的表示2、掌握F集的并交补运算，F集的运算性质3、注意F集与普通集的区别和联系4、了解F集运算的其他定义二、F集的截集和分解定理（4学时）基本内容：F集截集的定义，分解定理I，II，III重点内容：分解定理I基本要求：1、理解F集截集的定义2、掌握分解定理I，它是联系普通集与模糊集的桥梁三、集合套与表现定理（2学时）基本内容：集合套的定义，表现定理重点内容：集合套的定义基本要求：1、理解集合套的定义2、了解表现定理3、注意集合套与截集和强截集的联系和区别第二章 F模式识别（10学时）教学要求：本章要求学生掌握几种贴近度的求法，了解模式识别原理，掌握模式识别方法和步骤。
分解定理及扩张原理
要证明两个模糊集相等，可证它们的任意截集相等.
A( x)
xA xA
X {x1, x2 , x3 , x4 , x5} X 0 0.2 {x , x , x , x } 0.2 0.5 1 2 3 5 A {x1 , x3 , x5} 0.5 0.6 求A. {x , x } 0.6 0.7 1 3 {x3} 0.7 1 A( x1 ) 0.7 A( x2 ) 0.5 A( x3 ) 1
性质： (i) 1 2 1 A 2 A;
(ii) A1 A2 A1 A2
A( x) A( x)
A
A
事实上， 1 2 (1 A)( x) 1 A( x) 2 A( x) ( 2 A)( x)
分解定理I
求B f ( A), f ( B).
1
扩张原理提供了将普通映射和运算模糊化的
一般方法。通过普通映射的扩张，可将普通集合
论中的一些非模糊概念扩张为模糊概念，这就为
经典数学的各领域结构的模糊化提供了可能的途
径。
对任意X上的模糊集A
A A
[ 0 ,1]
A
A
A
A
X
( A )( x) (A )( x) 证明：
[ 0 ,1]
[ 0 ,1]
( A ( x))
[ 0 ,1]
xA
A( x)
A( x )
A 所以， A [ 0 ,1]
普通集？
定义
设X是论域，A F ( X ), [0,1],
扩张原理1
取小运算, 如2∧3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系。 二元关系简称为关系。 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0。 映射R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数。
0 0 R1 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 R2 0 1 0 0 0 1
合成(
°
)运算的性质
性质1： (A ° B) ° C = A ° (B ° C)；
性质2： Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn；
L.A.Zadeh（1921-） 美国工程科学院院士，自动控 制专家。 1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。 现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算 机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性
工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教
育勋章。
1949年他在关于时变网络频率分析的博 士论文中引入的时变变换函数的概念，后 来成为线性时变系统分析的工具。 1953年他给出一种设计非线性滤波器的新 的逼近方法。 1963年他和C.A.德舍尔合著的《线性系统 的状态空间理论》是该领域的经典著作。书 中介绍的状态空间逼近已成为最优控制中的 标准工具，广泛用于工业机器人和社会经济 系统。
因此∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1，
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关
系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一 个关系。 (R1 ° R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
教学大纲_模糊数学
《模糊数学》教学大纲课程编号：121082B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：金融数学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、教学目标模糊数学是统计学院金融数学专业选修的基础课之一。
通过本课程的学习，使学生对模糊数学的原理和思想方法有一个基本的认识。
掌握应用模糊数学的原理分析和解题的基本技巧。
了解模糊数学方法在各个领域的应用，为应用模糊数学知识解决问题打下基础。
二、教学基本要求本课以课堂讲授为主。
适当补充一些模糊数学在实际中应用的实例，理论联系实际。
在各章中均可安排一些内容引导学生自学，通过布置作业和讨论题，提高学生自己解决问题与分析问题的能力。
同时，也可适当让学生自己来寻找一些实际问题，应用学过的知识来进行分析、综合、评判，以期达到更好的巩固、应用的目的。
(一) 模糊数学的基本理论和基本原理1、模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。
理解模糊集的定义、表示方法、模糊集的运算。
了解模糊算子的定义及各种模糊算子，了解模糊集的模糊度定义。
2、理解模糊集截集的定义及性质，掌握模糊数学的基本原理：分解定理（联系普通集与模糊集的桥梁）、扩张原理。
了解模糊数及模糊数的运算。
(二) 模糊数学方法及其在各领域中的应用1、理解模糊关系的概念及性质，深入理解在有限域的情况下，模糊关系可以用矩阵表示。
理解模糊关系合成的定义及性质。
理解掌握贴近度概念及最大隶属原则和择近原则。
了解模糊变换以及模糊控制。
2、对于模糊数学方法的应用。
重点掌握模糊模式识别、模糊聚类分析、模糊综合评判决策，以及了解它们在不同领域的应用举例。
每章节后的习题要求全部完成；本课程建议使用形成性和终结性考试相结合，并各占50%比例。
第七讲扩张原理与模糊数.ppt
2021/3/26
1
OUTLINE
一、扩张原理 二、模糊数 三、区间数
2021/3/26
2
扩张原理----经典扩张原理
定义: 设X,Y为经典集合,给定X到Y的映射
f : X Y，x | f(x)
可诱导出两个映射:一个是P(X)到P(Y)的映射,记 为f ; 另一个是P(Y)到P(X)的映射,记为f 1,分别 定义为:
)
A(u2 ))
u1
u2
(1(
u
u1
)
2(u2 ))
f
(
A1 ,
A2
)(1)
(1(0)
011
2(1))
0.1
0.2
0.2
f
(
A1
,
A2
)(2)
u1 u2
(1(
2
u1
)
2(u2
))
(1(0)
2(2))
(1(1)
2(1))
(0.1 0.8) (0.9 0.2) 0.2
...
f ( A1, A2 )(3) 0.8, f ( A1, A2 )(4) 0.2, f ( A1, A2 )(5) 0.1
• [0,1)
•
f 1(B)
f 1(B );
• [0,1)
•
f 1(B)
f 1(B )
[0,1]
2021/3/26
13
多元扩张原理
定义: 设U1,…, Un, V为经典集合,给定映射
f : U1… Un V，v | f(u1,…, un)
可诱导出F(U1)… F(Un)到F(V)的映射,隶属函数为:
A(x3) A(x1) A(x2) 即x3A, A是凸集.
模糊数学的基础知识
模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础一.Fuzzy 数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy 概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy 概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A，二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。
这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。
二.模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。
三. 模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。
* 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。
模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。
2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。
模糊数学整理
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
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扩张原理1
设f: UV,由f可以诱导出一个映射：
f:F(U)F(V), A|f(A) 隶属函数
f
(
A)(v)
f
(u)v
A(u)
f 1(v)
0
f 1(v)
吉林大学计算机科学与技术学院
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扩张原理1
设f: UV,由f可以诱导出另一个映射：
f-1:F(V)F(U), B|f-1 (B) 隶属函数f-1(B)(u)=B(v), v=f(u)
模糊数学 10
1
题4-1
2
题4-4
3
题4-5
4
题4-11
设T是从U到V的模糊变换，A是U 上的普通子集，证明
T (A)(v) T (u,v),v V uA
5
题4-11 证明
设T是从U到V的模糊变换，A是U 上的普通子集，证明
T (A)(v) T (u,v),v V uA
T (A)(v) (A(u) T (u, v)) ( (A(u) T (u, v))) ( (A(u) T (u, v)))
uU
uA
uA
对于u A, A(u) 0,故 (A(u) T (u, v)) 0 uA
对于u A, A(u) 1,故 (A(u) T (u, v)) T (u,v)
uA
uA
6
第五章 扩张原理
7
映射
设有映射f:UV，由它可以诱导出 一个新映射，仍记做f,
f: P(U)P(V), 即A|B=f(A)，其中 f(A) ={v|存在u∈A, 使得f(u)=v,v∈V} 这个映射把一个普通集合映射为另
f=(0A∨)(91)==1∨f(u)=9A(u)=A(-3) ∨A(3)
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诱导
由映射f还可以诱导另一映射,记做f-1
f-1 :P(V)P(U)，B| f-1(B)，其中
f-1(B) ={u| u∈U, 存在v∈B, 使得v=f(u)}
1
B={1,9}
1
2
-1
3
f-1(B) =?
2
4
-2
5
f: UV, u|u2 = v
1 -1 2 -2 3 -3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
例
由f诱导出一个新映射f:P(U)P(V) A={1,3}，问f(A)=?
f(A)={1,9} 特征函数是什么？
f(A)(1)=∨f(u)=1A(u)=A(-1) ∨A(1) =0 ∨1=1
3
6
-3
7
8
9
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f-1的特征函数
对于任何u∈U，f-1(B)(u)=B(v), v=f(u)
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U中的一个普通集合A，在一个映射 f: UV下，A的像f(A)是V中的一个 普通集合
问题：如果A是U上的模糊集合，像 f(A)是什么？
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一个普通集合
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像的特征函数
B=f(A)称为集合A在f之下的像
像是一个V上的普通集合
特征函数是什么？
1 u A，使得f (u) v
f (A)(v) 0
否则
f
(
A)(v)
f
(u)v
A(u
)
f 1(v)
0
f 1(v)
9
例
设U={-3,-2,-1,1,2,3}, V={1,2,…,9}
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扩张原理 例2
设论域U＝｛1，2，3，4，5，6｝，
论域V＝｛a，b，c，d｝，映射f：U
V如下：
a,u 1, 2,3
f (u) b,u 4,5
c,u 6
设B为论域V上的模糊集合，B＝ 0.7/a+0.2/b+0.9/c+0/d, 求f-1(B)(u)机科学与技术学院
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扩张原理 例1
设论域U＝｛1，2，3，4，5，6｝，
论域V＝｛a，b，c，d｝，映射f：U
V如下：
a,u 1, 2,3
f (u) b,u 4,5
c,u 6
设A为论域U上的模糊集合，
A＝1/1+0.2/3+0.1/5+0.9/6 ，求f(A).
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