-学高数学：指数函数知识点与练习

指数函数

(一)指数函数的概念：

函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数.其中x 是自变量.函数的定义域为R . 在以前我们学过的函数中，一次函数用形如)0(≠+=k b kx y 的形式表示，反比例函数用形如)0(≠=

k x

k

y 的形式表示，二次函数用)0(2≠++=a c bx ax y 的形式表示．这些函数对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值. 思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？

将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论：

(1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时对于等，在实数范围内函数值不存在；

(2)如果a =0，

、

(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； （4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数. 很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）. （二）指数函数的图象与性质：

研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 指数函数)10(≠>=a a a y x

且的图象与性质：

1a > 01a <<

(四)指数函数性质的简单应用

例1. 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1

分析：对于这样两个数比大小，观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1. 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解． 2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论．

3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小． 解 : (1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73

(2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8-0.2,所以 0.8-0.1< 0.8-0.2

(3) 观察图像可得,(0.3)-0.3<(0.2)-0.3不同底数幂在比大小时,可利用多个指数函数图象比大小 (4) 由指数函数的性质知：1.703 >1.7 0 =1,093.1<0.90 =l 即 1.70.3 >0.93.1<1,所以 1.70.3 >0.93.1 总结：同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 .

图 象

性 质

（1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞

（3）过定点(0,1)，即当0=x 时，1=y （4）在(,)-∞+∞上是增函数

（4）在(,)-∞+∞上是减函数

不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1) 例3：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 : (l )2m <2n (2)0.2m >0.2n (3)a m 0）

解：(1) 因为y =2x 是一个单调递增函数，所以由题意m 1时y =a x 是一个单调递增函数，所以此时m n

特点：已知幂值大小判断指数大小.可以构造指数函数，利用单调性解题. 1、求下列函数的定义域：

2 ．比较下列各题中两个值的大小 : （1）30.9 ,30.8; （2）0.75-0.2，0.750.2

3、已知a = 0.80.7,b = 0.80.9,c = 1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是 五、归纳小结，

本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点． 1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质． 2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用. 3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想. 思考：1．函数)1,0(12

≠>+=-a a a

y x 且的图象必经过点___________．

2．解不等式：1)

2

1(1

>-x ．

练习题

一、选择题1. 函数()x

f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ）

Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y +=

Ｄ．()()()f x y f x f y +=+

2.下列各式中，正确的是＿＿＿.(填序号)

①12

()a a -=-;②13

3

a

a -

=-；③2

(0)a a a =-<；④3443()()()a a

a b b

=≠、b 0.

3.当[]1,1-∈x 时函数23)(-=x x f 的值域是（ ）

[]

[]55A.,1 B.1,1 C.1, D.0,133⎡⎤

⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

4.函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a =( ) A.

21 B.2 C.4 D.4

1 5.已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）2

2

a b >；(2)22a

b

>；(3)b

a 1

1<；(4)11

33a b >；

(5)1133a b

⎛⎫⎛⎫

< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

中恒成立的有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

6.函数1

21

x y =-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞

7.函数

（

）的图象是（ ）

8.下列函数式中，满足1

(1)()2

f x f x +=的是( ) A 、

1(1)2x + B 、1

4

x + C 、2x D 、2x - 9．若

，

，则函数

的图象一定在（ ）

A ．第一、二、三象限

B ．第一、三、四象限

C ．第二、三、四象限

D ．第一、二、四象限

11．已知 且 ， ，则 是（ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．奇偶性与 有关

二、1.已知2

3

4x

-=，则x =___________