复合函数单调性的判断
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法
函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
首先对函
数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增
函数，小于零是减函数。
(1)证明一个函数的单调性的'方法：定义法，导数法；
(2)推论一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常用函数法，运用无机函数单调性规律。
3.常用复合函数单调性规律：
(1)若函数f(x),g(x)在区间d上均为减(减至)函数，则函数f(x)+g(x)在区间d上仍
为减(减至)函数。
(2)若函数f(x)在区间d上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间d上为减(增)函数。
(3)无机函数f[g(x)]的单调性的推论分后两步：ⅰ考量函数f[g(x)]的定义域；ⅱ利
用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确认函数f[g(x)]的单调性，法则就是“同增异减至”，即为内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性恰好相反时为减至函数。
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性判断：依y=f(u)，u=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
判断复合函数单调性的步骤
⑴求复合函数的定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。
复合函数的单调性判断说明
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域。
2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
《复合函数单调性的复习》
复合函数单调性的判断复合函数单调性的判断历来成为学生判断单调性的一个难点，究其原因主要是对函数单调性的定义及函数单调性的实质没有从根本上理解清楚。
研究函数单调性必须弄清函数单调性的目地和本质。
一、 函数单调性的定义对于函数y=f(x)，如果对于某区间内的任意两个实数x 1,x 2且x 1< x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)成立，称函数y=f(x)在该区间上是严格单调递增函数。
对于函数y=f(x)，如果对于某区间内的任意两个实数x 1,x 2且x 1< x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)成立，称函数y=f(x)在该区间上是严格单调递减函数。
二、函数单调性的目地和实质函数的单调性正是从运动的观点来反应自变量x 和函数值y 之间的一种变化趋势。
研究函数的单调性正是研究函数的自变量x 和函数值y 之间的这种变化关系。
严格单调递增函数反应的是自变量x 和函数值y 之间的变化趋势相同即x 增大时y 增大，x 减小时y 减小；严格单调递减函数反应的是自变量x 和函数值y 之间的变化趋势相反即x 增大时y 减小，x 减小时y 增大。
函数的单调性的实质正是反应了自变量x 和函数值y 之间的这种变化趋势。
三、 复合函数单调性的判断复合函数单调性的判断是借助于自变量x 与内层函数的关系及内层函数与函数值y 之间的关系从而建立起自变量x 和函数值y 之间的关系例1、 确定函数y=2)32(2+-x x单调区间分析：该函数可看成复合函数f(g(x))即f(g(x))＝2)(x g 且其定义域是R,其中f(x)=2x 为外层函数,g(x)=x 2－2x+3为内层函数.函数f(x)=2x 的在其定义域R 上严格单调递增,函数g(x)=x 2－2x+3在(-∞,+1)上是减函数，在[+1,+)∞上是增函数。
且当x R ∈总有g(x) R ∈即内层函数的值域总落在外层函数的增区间上，所以当x ∈(]1,+∞-时，x 增大g(x)减小，g(x)减小则f(g(x))也减小即(-∞,+1)是函数f(g(x))的减区间，类似[+1,+)∞是函数f(g(x))的增区间。
(完整版)复合函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，y＝logau是减函数，则f(x)在构成复合函数的三个函数中，只有y＝loga是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝logu是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成a复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。
补充：复合函数的单调性
拓展训练
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 解：依题意，f ( x 1) f (x2 1)
义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
本节新知识
1.在某个区间上，若f(x),g(x)同为增函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
2.在某个区间上，若f(x),g(x)同为减函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
3.在某个区间上，若f(x)为增函数，g(x)为减函 数，则f(x)-g(x)也为增函数；
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻；
TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
例2.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解：x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，
第十八讲 复合函数的单调性
3．y=logax的单调区间 若a>1，在（0,+∞）上为增函数； 若0<a<1，在（0,+∞）上为减函数。
二．根据变量的增减判断函数的单调性
在某个区间上，x、y同增同减函数为增函数； 在某个区间上，x、y一增一减函数为减函数。 三．单调区间和定义域的关系
单调区间不能超过定义域，研究单调性必须 在定义域内进行。
的函数的单调区间时：
（1）求出函数的定义域； （2）把函数分解为t=ax2+bx+c和（y=q t ） y=logat两个函数； （3）根据定义域作出函数t=ax2+bx+c简图和 函数（y= q t ）y=logat简图；
（4）比较两个图象，根据“同增异减”的 规律确定原函数的单调区间。
例1 求函数y= 2x2 2x2 的单调区间。
把上例中两个函数的图象比较可得结论：
增、增 增； 减、增 减.
例2 求函数 y= log1 (x2 2x 3) 的单调区间。
2ห้องสมุดไป่ตู้
把上例中两个函数的图象比较可得结论：
减、减 增； 增、减 减
概括起来：同增异减。
四．求复合函数单调区间的方法 求形如（y= qax2 bx c）y= logq(ax2 bx c)
第十八讲 复合函数的单调性
一．基本函数的单调区间
1．y=a(x+h)2+k的单调区间
若a>0，在(-∞,-h)上为减函数，在(-h,+∞) 上为增函数；
若a<0，在(-∞,-h)上为增函数，在(-h,+∞) 上为减函数。
2．y=ax的单调区间 若a>0，在（-∞,+∞）上为增函数；
复合函数单调性的判断
复合函数单调性的判断))((x g f y =以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.1求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.2、 求函数()231x y =的单调性及最值3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A.)(log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 23、求函数)12(log )(21+=x x f 的单调区间.4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；（2）函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_________5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ）（A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 21x f y = （D ）2)]([x f y =7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ）（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）12+-=x y （D ）x y -=120.函数342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2]21.函数y=在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。
21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2)的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞)31.函数y=log a2(x2-2x-3)当x<-1时为增函数，则a的取值范围是A.a>1B.-1<a<1C.-1<a<1且a 0D.a>1或a<-1例7.若f(x)=log a(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。
复合函数的单调性--课件必修一
2减函数：如果对于区间 I内某个的任意两个值 x1 , x2 ,
当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说y f ( x) 在区间I上是单调减函数。
函数的单调性是函数的局部性质。
二.常用函数的单调性
y kx b(k 0)
y
y kx b(k 0)
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是 增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] 为增函数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增 函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] 为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
五.有关函数单调性的常用结论
复合函数的单调性
已经学过的判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法
2.图像法
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f ( x)的定义域为 A,区间I A.
1增函数：如果对于区间 I内的任意两个值 x1 , x2 ,
当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说y f ( x) 在区间I上是单调增函数。
对于复合函数 y f [ g ( x)] 的单调性，必须考虑 y f (u)与 u g ( x)的单调性，从而得出 y f [ g ( x)] 的单调性。
y f ( x)
u g ( x)
增函数
减函数 增函数 减函数
y f [ g ( x)]
增函数
增函数 减函数 减函数
增函数
复合函数的单调性
复合函数： 令 则 u=g(x) y=f(u)
y=f[g(x)]
内函数 外函数 原函数 以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
复合函数的单调性
单调性的一般步骤： 二、判断复合函数y=f[g(x)] 单调性的一般步骤： 判断复合函数
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。 将复合函数分解成两个简单函数： 与 。 其中y=f(u)又称为外层函数 u=g(x)称为内层函数 又称为外层函数 称为内层函数 其中 又称为外层函数, 称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) ①若两个函数在对应的区间上的单调性相同， 若两个函数在对应的区间上的单调性相同， 则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数； 为增函数； 则复合后的函数 为增函数 ②若两个函数在对应的区间上的单调性相异， 若两个函数在对应的区间上的单调性相异， 则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。 为减函数。 则复合后的函数 为减函数
复合函数的单调性可概括为一句话： 同增异减” 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
三.复合函数的单调性 复合函数的单调性
外层函数 y = f (u )
合 数 内层函数 u = g (x ) 复 函 y = f [g(x)]
增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
y = ax 2 + bx + c(a > 0)
O
x=−
b 2a
x
y = ax 2 + bx + c(a < 0)
图象的函数解析式是：y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)。此函数是二次函数。 b b 当a > 0时，函数在 −∞, − 上是减函数，在 − , +∞ 上是增函数； 2a 2a b b 当a < 0时，函数在 −∞, − 上是增函数，在 − , +∞ 上是减函数。 2a 2a
14、复合函数单调性和单调区间的判别
复合单调性和单调区间的判别步骤
一、两层复合
第一步：求定义域
第二步：确定内外层函数的解析式。
第三步：画出内外图像对称轴，对称零点分区间。
内层图像分上下，❶❹上❷❸下，外层图像分左右，❷❸左❶❹右；同号增减定把复合断。
第四步：理清突变点，指的是内层函数的零点或者是区间端点。
如果零点不知道，根据内外层函数相互示解。
结论：
1、一种关系：内层的y 轴相当于u ，u 相当于外层x 轴；外层y 轴的增减就是复合函数单调性；
2、最终定论：（1）复合函数的单调性最终由外层u 的增减变化和外层图像的增减来确定。
（2）内层函数的单调区间就是复合函数的单调区间；
3、一个原则：不论是定内层函数的单词性还是外层函数的单调性，其原则都是“同增异减”.
4、序号对应：内层图像分上下，上❶❹下❷❸，外层图像分左右，左❷❸右❶❹
内层图像和外层图像决定复合函数的单调性，内层区间就是复合函数的单调区间。
复合单调性的判别
1、一次函数+二次函数 2
325-
=⇐=u x 突变点
2、根含二次类 02
3=⇐-=u x 突变点
3、根含分式类
4、抽像一次类
5、抽象二次类
6、内外二次类
•
7、抽象分式类
分三类讨论突变点有两个
三、三层复合函数的单调性的判断
如果氢前两层看成一个整体，先把前两层进行复合，依旧遵行同增异减，复合后再和第三层复合依旧遵循同增异减的规律，若只有一层递减则整体递减。
，这点其实像正负数乘法的规律因为减减为增抵消了
由于根式不改变内层函数的单调性。
所以我们可以把分式函数看居是两层。
专题3复合函数的单调性
二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过 一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行 判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数， 则 函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则 函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减 函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自 变量x1,x2的值,
复合函数的单调性
复合函数的定义：
如果y是u的函数,u又是x的函数，即ｙ=f(ｕ) , ｕ=g(ｘ),那么ｙ关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］ 叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复合函数，u叫做
中间变量，x叫自变量，y叫函数值。
例如、y f (u) u2,
3、对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与
u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
法
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)]
增函数
增函数
增函数
则
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数
同
减函数
增函数
增
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 异
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 减
复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)+g(x)也是增函数。
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x)+g(x)也是减函数。 结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数 结论4：若f(x) 在R上是减函数， g(x)在R上是增函数，则函数 y=f(x) －g(x)也是减函数
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
复合函数的单调性
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(2) f(x)在R上是减函数， f(x)在［－3， 3］上也是减函数 f(x)min =f(3),f(x)max =f(-3)
注意：求单调区 4， 0） 间时，一定要先 f (2 x )的单减区间是（－ 看定义域。
P103(4,6)
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组 且f(x－1)<f(x2－1), 1 x 1 1 求x的取值范围。 2
注： 在利用函数的 单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。 保证实施的是等价 转化
解此类题型关 键在于充分利用题 目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
由题意有 f ( x 2 x ) f (8)
2
f ( x )为R 上 的 增 函 数 x0 4 x 2 0 解得x 2， x2 2x 8
复合函数的单调性
复合函数： 令 则 u=g(x) y=f(u)
y=f[g(x)]
内函数 外函数 原函数 以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
y=f[g(x)]
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x) 的单调性共同决定。它们之 间有如下关系：
求解复合函数单调性
求解复合函数单调性【引理证明】已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 【方法技巧】1．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 2．复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
【例题演练】例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
复合函数单调性
思考：
当一个函数的自变量不仅仅是一个变量 而是一个函数时，这样的函数的单调性又 如何判定呢？比如函数y=f[g(x)]？
复合函数单调性
对于复合函数 y f [ g ( x )]的单调性，必须考虑 y f ( u )与 u g ( x )的单调性，从而得出
y f ( x)
2
1 2 ,
上是增函数。
y 3
x x6
2
1 在 , 上是减函数，在 2
1 2 , 上是增函数。
y 3
x x6
2
的单调递减区间为
1 ， 。 2
小结
（一）函数单调性解题应用.
例1.设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的 单调区间。
解：令t ( x ) 2 x , 则由已知得 f ( t )在t 2， （ 6）上是增函数， 而t ( x ) 2 x 2， （ 6） x （－4， 0） 又t ( x ) 2 x在x ( 4,0)上 是单减的， 由复合函数单调性可知 ， f ( 2 x ) f [ t ( x )]在x （－4， 0） 上是单调递减的。
2
(问：函数 y
x 4 x 3的单调递增区间是什么
2
？）
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间 是定义域的某个区间。
1 例 3 .求 函 数 y 2
2
x 4 x3
2
的单调递减区间。
解 ： x 4 x 3 0,
即 函 数 的 定 义 域 为 1, 3
y f [ g ( x )]的单调性。
y f [ g ( x )]
复合函数的单调性 ppt课件
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。
2020/12/2
5
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增
函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
2020/12/2
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
8
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
4
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
复合函数的单调性
复合函数的单调性
复合函数的单调性
复合函数是指y关于x的函数y f[g(x)]，其中u是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如，函数y x23可以拆分为函数y f(u)和函数u x22x3的复合函数。
对于函数y f(u)和函数u g(x)，若在区间(a,b)上具有单调性，当x(a,b)时，u(m,n)，且y f(u)在区间(m,n)上具有单调性，则复合函数y f[g(x)]在区间(a,b)上的单调性规律如下：
y f(u)。
u g(x)
增。
增
增。
减
减。
增
减。
减
证明：设x1和x2是区间(a,b)上的任意两个值，且x1<x2.因为u g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2)，且
g(x1),g(x2)(m,n)。
又因为y f(u)在(m,n)上是增函数，所以
f[g(x1)]f[g(x2)]，所以函数y f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
其它三种情况同理。
因此，复合函数y f[g(x)]的单调性规律可以概括为四个
字“同增异减”。
复合函数单调性的判断
复合函数单调性的判断))((x g f y = )(u f y = 增 ↗ 减 ↘)(x g u = 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗减 ↘))((x g f y = 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘增 ↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.1求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.2、 求函数()231x y =的单调性及最值3.在区间(－∞，0)上为增函数的是A.)(log 21x y --= B.x xy -=1 =－(x +1) =1+x3、求函数)12(log )(21+=x x f 的单调区间.4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；（2）函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_________5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （） （A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 21x f y = （D ）2)]([x f y =7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ）（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）12+-=x y （D ）x y -=120.函数342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2]21.函数y=在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。
21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x )的单调增区间是A.(－∞，1］B.［－1，+∞)C.(－∞，－1］D.［1，+∞)31.函数y =log a 2(x 2-2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是>1 <a <1 <a <1且a ≠0 >1或a <-1例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。
复合函数的单调性
复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。
第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复合函数单调性的判断))((x g f y =
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
1求函数y=2
1log （4x-x 2）的单调区间.
2、 求函数()2
31x y =的单调性及最值
3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. )
(log 21x y --= B.x x
y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2
3、求函数)12(log )(2
1+=x x f 的单调区间.
4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；
（2）函数)34(log )(22
1-+-=x x x f 的递减区间为_________
5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （
） （A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2
1x f y = （D ）2
)]([x f y =
7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ）
（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1
2+-
=x y （D ）x y -=1
20.函数
342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2]
21.函数y=
在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。
21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2
)的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞)
31.函数y =log a 2(x 2
-2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-1<a <1 C.-1<a <1且a ≠0 D.a >1或a <-1
例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。
例6.已知函数f(x)=
(x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____
例6.已知函数f(x)=
(x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。
分析如下：
令u=x 2-ax+3a ，y=
u 。
因为y=
u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)=
(x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。
对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。
-4＜a≤4
例7.若f(x)=log a(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。
令u=-ax+3＞0，y=log a u，由于a作对数的底数，所以a＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0得x
＜。
在[0，1]上，且u是减函数。
∴ f(x)=log a(3-ax)在[0，1]上是减函数。
y=log a u是增函数，且[0，1](-∞，]
1＜a＜3
所以a的取值范围是(1，3)。