多项式判定

有理数域上多项式的可约性

定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设

011)(a x a x a x f n n n n +++=--

是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得

1. n a p |/;

2. 021,,,|a a a p n n --;

3. 02|a p /

. 则多项式)(x f 在有理数域上不可约.

由艾森斯坦判断法得到:

有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n x x f .,其中n 是任意正整数.

艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件. 有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.

例3 设p 是一个素数,多项式

1)(21++++=--x x x x f p p

叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.

证明：令1+=y x ，则由于

1)()1(-=-p x x f x ,

y C y C y y y yf p p p p p p 1

11

1

)1()1(--+++=-+=+ ,

令)1()(+=y f y g ，于是

1211)(---+++=p p p p p C y C y y g ,

由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.