-第1章-量子力学基础详细讲解
量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。
1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。
黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。
按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。
Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。
经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。
• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。
• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。
能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
第一章 量子力学基础
氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动 量量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释：由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的，如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了， 但“定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
测物理量. 波函数应具有品优性 , 包括单值性、连续性 、平方可积性.
波函数的概率解释
例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.
不确定原理可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
波是不确定性的表现
单 缝 衍 射
这个象征着科学 的标志, 迄今仍被有 些人认为是原子模型 的真实图像. 实际上, 它只是照耀过科学历 程的星光:
由于坐标与相应 的动量分量不可能同 时精确测定, 所以， 原子中的电子不可能 具有这种轨迹确切的 轨道.
(photoelectric effect), 后来导致了光的粒子学说. 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图G为电 流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1898年，P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902年指出: 1.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子; 2.光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比; 3.光电流强度与光强成正比。
de Broglie波不仅对建立量子
力学和原子、分子结构理论有重要
意义，而且在技术上有重要应用.
使用de Broglie波的电子显微镜分辨率
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
第1章 量子力学基础知识
d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
量子力学基础教程
量子力学基础教程量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将为读者介绍量子力学的基础知识，帮助大家对这一领域有一个初步的了解。
第一章：量子力学的起源量子力学起源于20世纪初，当时科学家们发现传统物理学无法解释一些实验现象，例如黑体辐射和光电效应。
为了解决这些难题，一些科学家开始重新思考物质和能量的本质。
这些思考最终导致了量子力学的诞生。
第二章：波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。
在经典物理学中，我们认为光可以被看作是一种波动现象。
然而，量子力学揭示了光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种奇妙的特性不仅出现在光中，也出现在其他微观粒子（如电子和中子）中。
第三章：不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。
它指出，在测量某个粒子的位置和动量时，我们无法同时获得精确的结果。
这意味着，我们无法完全预测微观粒子的行为。
不确定性原理的提出颠覆了经典物理学中确定性的观念，揭示了微观世界的混沌和难以捉摸的一面。
第四章：量子态和波函数量子态是描述微观粒子状态的数学概念。
它可以用波函数来表示，波函数是一个复数函数，描述了粒子的概率分布。
通过对波函数的测量，我们可以获得粒子的位置、动量等信息。
波函数的演化由薛定谔方程描述，它是量子力学的基本方程之一。
第五章：量子力学的应用量子力学在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。
例如，它在原子物理学中用于解释原子的结构和性质；在材料科学中用于研究材料的电子结构和导电性；在量子计算中用于开发新型的计算机技术等等。
量子力学的应用正在不断拓展，为人类的科技发展带来了巨大的潜力。
结语：量子力学是一门复杂而奇妙的学科，它颠覆了传统物理学的观念，揭示了微观世界的独特规律。
本文介绍了量子力学的起源、波粒二象性、不确定性原理、量子态和波函数以及量子力学的应用。
希望通过这篇文章，读者对量子力学有了初步的了解，并能进一步探索这一神秘的学科。
量子力学基础
i 2 i 2 xpx Et xpx Et A exp h x h
第一章 量子力学基础知识
i 2 i 2 i 2 xpx Et px A exp p x h h h
z
e2
第一章 量子力学基础知识
e1
不考虑核的运动
r1 r12 r2
z
2 p12 p2 2e 2 2e 2 e2 E 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
e2
ˆ 2 2 2e 2e e H 1 2 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
第一章 量子力学基础知识
合格（品优）波函数
由于波函数的概率性质，所以波函数必须满足下 列条件： • 单值的，即在空间每一点 只能有一个值；
• 连续的，即 的值不出现突跃； 对x, y, z的 一级微商也是连续函数；
• 平方可积的，即 在整个空间的积分
* d
为一个有限数，通常要求波函数归一化，即
态函数的形式与光波的方程类似，习惯上称之为 波函数。如： 平面单色光的波动方程： A exp i 2 x t E hv, p h 代人波粒二象性关系： i 2 得单粒子一维运动波函数： A exp xpx Et
h
定态波函数：当微观粒子的运动状态不随时 间而变时，其波函数可以写作：
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , t
or
or
1,2,3, t
q1 , q2 , q3 , t ,
<关于波函数的一些概念和说明> 波函数是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。
1结构化学第一章量子力学基础知识讲解课件
·结构与性能的关系（结构
决定 反映
性能）
结构化学的发展历程
▲利用现代技术不断武装自己
采用电子技术、计算机、单晶衍射、多晶衍射、原子光谱、 分子光谱、核磁共振等现代手段，积累了大量结构数据，为归 纳总结结构化学的规律和原理作基础；
▲运用规律和理论指导化学实践
将结构和性能联系起来，用以设计合成路线、改进产品 质量、开拓产品用途。
Wien假定辐射波长的分布与Maxwell分子速度分 布类似，计算结果在短波处与实验较接近。
经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。
Planck能量量子化假设
1900年，Planck（普朗克）假定，黑体中原子或 分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频 率为、能量为h的整数倍的电磁能，即振动频 率为的振子，发射的能量只能是0h，1h， 2h，……，nh（n为整数）。
普朗克
The Nobel Prize in Physics 1918
Max Karl Ernst Ludwig Planck
Germany Berlin University Berlin, Germany
1858 - 1947
1.1.2
光电效应是光照在金属表面上，金属发射出电子的现象。
图1-3 光电效应示意图
“光子说”表明——光不仅有波动性，且有 微粒性，这就是光的波粒二象性思想。
Einstein
The Nobel Prize in Physics 1921
爱因斯坦
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
[结构化学]第一章-量子力学基础详解
![[结构化学]第一章-量子力学基础详解](https://img.taocdn.com/s3/m/1233bc93192e45361066f5c3.png)
★光子不但有能量，还有质量(m)，但光子的静止质量为零。 根据相对论的质能联系定律=mc2，光子的质量为： m=h/c2，不同频率的光子具有不同的质量。
★光子具有一定的动量：p=mc=h/c=h/ (c=） ★光的强度取决于单位体积内光子的数目（光子密度）。
=h，p＝h/
de Broglie(德布罗意）假设：
1924年，de Broglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒
（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也 有 波 粒 二 象 性 .[ 微 观 粒 子 :10-10m 数 量 级 的 粒 子 ] 。 认 为 =h ， p=h/ 也适用于实物微粒，即以p=mv的动量运动的实物微粒， 伴随有波长为 =h/p=h/mv 的波。此即de Broglie关系式。 de Broglie波与光波不同：光波的传播速度和光子的运动速度相 等；de Broglie波的传播速度（u）只有实物粒子运动速度的一 半 ： v=2u 。 对 于 实 物 微 粒 ： u= ， E=hν=hu/λ=h(1/2v)/λ=h(1/2v)/(h/mv)=p2/(2m)=(1/2)mv2 ,对于光： c=，E=pc=mc2
上述理论可解释当时常见物理现象，但也
发现了解释不了的新现象。
1. 黑体辐射与能量量子化
黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一 小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定，黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出 的，按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量 随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
中科院量子力学超详细笔记_第一章_量子
第一章 量子力学的物理基础§1.1 ，实验基础1, 第一组实验 —— 光的粒子性实验：黑体辐射、光电效应、Compton 散射能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。
《黑体辐射谱问题》黑体辐射谱的Wien 经验公式（1894年）：考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在ννν→+d 间的能量密度为dE d νεν=((1.1)这里c 1、c 2β=1/kT 间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。
Rayleigh-Jeans 公式（1900，Rayleigh ；1905，Jeans ）：将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连续分布的经典观念和Maxwell - Boltzmann 分布律，导出黑体辐射谱的另一个表达式——。
若记ενενν()=N ，这里N ν是腔中辐射场单位体积内频率ν附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它为823πνc。
下面来简单推算出它： 00:222ikx ikxx x LL e e n kL n k k L L πππ==→==→=→Δ= 于是，在单位体积辐射场中，波数在3k k d k →+v v 内的自由度数目（22k c c ππνωλ===v ）为 22332233232312428882L k d k k d k d kd d c cL ππννπννππππ=⋅====⎛⎞⎜⎟⎝⎠v v v v 而εν是频率为ν的驻波振子的平均能量， 由M -B 分布律得kT d e d e ==∫∫∞−∞−00εεεεεβεβν于是得到 (1.2)这个与Wien但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无穷大的荒谬结果。
这就是著名的所谓“紫外灾难”，是经典物理学最早显露的困难之一。
1900年Planck 用一种崭新的观念来计算平均能量εν。
他引入了“能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振子的频率ν成正比并且只能取分立值， ......,3,2,,0νννh h h这里的正比系数h 就是后来所称的Planck 常数。
第一章 量子力学基础总结
ψ c1ψ1 c 2 ψ 2 ... c n ψ n ci ψi
i 1
假设Ⅴ 微观粒子除空间运动外还作自旋运动
一维势箱
通解
2 d 2 ( x) E ( x) 2 2m dx 2mE 2mE ( x) A cos x B sin x
量 子 力 学 的 简 单 应 用
[
h
8 2 m h2 [ 2 2 V ( x, y, z )] ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 8 m
N
2 V ( x, y, z )] ( x, y, z, t )
ih ( x, y , z , t ) 2 t
假设Ⅳ 如果ψ1、ψ2、ψ3、...、ψn是某个微观体系的可能状态，那么， 将这些状态线性组合得到的ψ也是这个体系可能存在的状态
第一章 量子力学基础
§1量子力学产生的背景 §2量子力学基本原理 §3量子力学基本原理的简单应用
刘杰 2012210605
黑体辐射 经典 力学 无法 解释 光电效应 氢原子光谱 光照在金属表面上，金 属发射出电子的现象。
能量量子化 光子学说 波尔理论
量 子 力 学 产 生 的 背 景
1 1 1 RH( 2 2 ) n1 n 2
2i ( x, t ) a0 exp[ ( x p x Et )] h
品优波函数条件：①单值函数②一阶微商连续③平方可积
假设Ⅱ 微观体系每一个可观察的力学量都对应于一个线性厄米算符 哈密顿算符 拉普拉斯算符 2
ˆ T
h
8 mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
ˆ H
h2
8 2 m
ˆ 2 V
第一章 量子力学基础-1
第一章 量子力学基础
• 对光电效应的解释：
1 2 hν = W + Ek = hν 0 + mv 当hν< W时，光子没有 2 足够的能量使电子逸出
金属，而不能发生光电 效应。 当hν= W时，这时的频 率是产生光电效应的临 阈频率。 当hν> W时，从金属中 发射的电子具有一定的 动能，它随ν的增加而 增加，与光强无关。
电磁波：电场和磁场的振动在空间传播，不依赖 于介质，能在真空传播。
y
实物微粒波产生于所有带电或不带电物体的运 动——不是电磁波
实物微粒波——概率波。认为 空间任何一点波的强 概率波。 度和粒子出现在这一点的概率成正比。 度和粒子出现在这一点的概率成正比
第一章 量子力学基础
<注意>
• 电子的运动表现有波性，不能理解为一个电子象波那 样分布于一定的空间区域，或理解为电子在空间的振 动。只能理解为电子运动时，在空间不同区域出现的 几率是由其波动性所控制的。 • 说到电子等实物微粒具有微粒性时，也要注意到它不 同于经典的“质点”。 • 实物微粒波：本质尚待阐明。但其强度反映粒子出现 概率的大小，称为概率波。
第一章 量子力学基础
实物粒子与光子运动规律的有关计算公式的比较 h h p= p= λ p=mv λ p=mc λ λ
u λ= v
实物粒子
ν
E = hν
E
p2 E= 2m
c λ= v
光子
E = pc
ν
E = hv
E
¾ 主要差别： 光子的λ＝c/ν，c既是光的传播速度，又是光子的运动速 度；实物粒子λ＝u/ν，u是de Broglie波的传播速度，不等 于粒子的运动速度，可以证明v＝2u 。 光子：p＝mc，E＝pc ≠ p2/2m；实物粒子：p＝mv，E＝ p2/2m ≠ pv 。
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1.3.4 表象变换 设有两个表象A和B，其基矢分别为、。 （a）态矢的表象变换 在表象A中，可将任意态矢展开为 ，； 在表象B中，可将同一个态矢展开为 ，。 所谓态矢的表象变换，就是要建立和之间的关系。
（1.28） （1.29）
， （1.30） 其中
（1.31） 矩阵称为表象A和表象B之间的变换矩阵。（1.30）式可简写成
态矢量的归一化条件为 （1.23）
在连续变量表象中，完备性条件为 （1.24）
任意态矢量可展开为 （1.25a）
其中 （1.25b）
是态矢在表象中的表示，也就是通常讲的波函数。可见，态矢量在连续 表象中表现为一个普通函数。
态矢量的归一化条件为
（1.26） 可见，选定了一组基矢，就选定了一个表象；这类似于，选定了一 组单位矢量，就选定了一个坐标系。常用的连续表象有坐标表象和动量 表象；常用的离散表象有能量表象和角动量表象。
由于线性厄密算符的上述性质，在实验上可观测的力学量（如：坐 标、动量、能量、角动量、自旋等）均用线性厄密算符表示。不过，我 们也会遇到一些非常重要的非厄密算符，如光子产生算符、光子湮灭算 符等。
算符在量子态中的期望值（平均值）记为 （1.12a）
平均值为c数。若将态矢量按（1.11a）式用算符的本征态展开，则平均 值的计算如下：
1.4.2 纯态和混合态举例 (a) 纯态： 光子数态（photon-number state） ，其密度算符为 （1.51）
其中为光子数。 相干态（coherent state），其密度算符为 （1.52）
（1.18） 其中 。例如，坐标和动量的对易关系为
其不确定度关系为
（5） 全同粒子假设 作为量子力学的一条基本假设，认为所有的同一类粒子（例如所有 的电子、所有的光子等）的各种固有属性都是相同的，即同一类粒子是 全同的粒子。因而，在由全同粒子组成的系统中，交换其中任意两个粒 子不会改变系统的状态，这导致描述全同粒子系统的波函数对粒子的交 换要么是对称的，要么是反对称的。 研究发现，全同粒子可分为两大类，一类称为玻色子，其自旋为零 或正整数（，…）；另一类称为费米子，其自旋为半奇数（，…）。玻 色子和费米子具有完全不同的性质，例如，描述玻色子系统的波函数对 粒子的交换是对称的，而描述费米子系统的波函数对粒子的交换是反对 称的；玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，而费米子服从费米-狄拉克统 计。
(f) 幺正变换不改变算符之间的代数关系 设
则 (g) 幺正变换不改变算符对易关系的形式 设有算符，在表象中服从下列对易关系 在表象中 注意到算符的本征值、平均值、迹、对易关系等均与测量结果相联 系，因此上述结果表明了下列要求：数学上的表象变换不应该影响物 理上的测量结果。
.4 纯态、混合态、密度算符
（1.17c） 称为时间演化算符。
（4） 量子力学中的测量问题 a) 设算符的本征方程为 ，若系统处于算符的本征态，则测量力学 量得到相应的本征值，测量后系统仍处于本征态；若系统处于任 意态，则测量力学量时以概率得到本征值，若测量得到本征值， 则测量后系统塌缩到相应的本征态。 b) 若两个力学量算符和彼此对易，即，则和具有共同本征态，可 以同时具有确定值；若和彼此不对易，即，则和不具有共同本征 态，他们不能同时具有确定值，其不确定度服从不确定度原理：
（2） 量子体系力学量的描述 在量子理论中，量子体系的力学量用一个线性算符描述，线性算符 满足
（1.5a） （1.5b） 有时将量子力学算符称为q数(q: quantum)，对应的，将经典的数称为c
数(c: classical) 。以后为了书写方便，在不引起混淆的情况下，我们略 去算符上的帽子“”，简单写为。
1.3.3 算符在具体表象中的表示 设有任意算符，可将其用算符的本征态集展开为 （1.27a）
其中矩阵 （1.27b）
称为算符在表象中的表示。可见，算符在离散表象中表现为一个矩阵。 在连续变量表象中，算符表现为微分算符或普通函数。 算符只有作用在态矢量上才有意义，在离散表象中，矩阵作用于列
矢量，构成量子力学的矩阵形式（Heisenberg的矩阵力学）；在连续表 象中，微分算符作用于连续变化的波函数，构成量子力学的波动形式（ Schrödinger的波动力学）。
1990’s，光场的非经典性质（反群聚效应、亚泊松分布、压缩态）、
量子光学新发展： 量子信息科学：量子通信、量子计算等。 冷原子物理：原子的激光冷却与囚禁、atom optics（通常直译为“原子光 学”，但作者认为意译为“原子波学”更合适，因为它研究的是由原子的 波动性引起的物理效应）、玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）、atom laser（通常直译为“原子激光（器）”，但作者认为意译为“相干原子波 激射（器）” 更合适）、nonlinear atom optics（建议意译为“非线性原子 波学”，原因同上）等。
1925， Heisenberg（海森堡）， 矩阵力学 1926, Schrödinger（薛定谔）, 波函数，波动方程- Schrödinger方程，波 动力学: 1926， Born（波恩）, 波函数的统计诠释：为概率密度，
1926， Dirac（狄拉克），狄拉克符号、态矢量、量子力学的表象理论 1927， Dirac，电磁场的量子化 1928， Dirac，相对论性波动方程
1.4.1纯态、混合态、密度算符 在量子力学中有两大类量子态，其中一类可以用态矢量表示，这类
量子态称为纯态。另外一种情况是，体系并不处于某个确定的纯态，而 是以不同的概率处于不同的纯态，这类量子态称为混合态，混合态不能 用态矢量表示，而要用所谓的密度算符描述。
纯态对应的密度算符为 （1.37）
混合态的密度算符为 （1.38）
象。 (a) 幺正变换不改变两个态矢的内积（因而不改变算符的期待值） 设 则 特例：，即幺正变换不改变态矢的模。 (b) 幺正变换不改变算符的本征值 设 则 (c) 幺正变换不改变算符的迹（因而不改变算符的期待值）
(d) 幺正变换不改变算符的矩阵元
(e) 幺正变换不改变算符的线性性质和厄密性质 设 则 设 则
.3 态矢量和力学量算符的表象及表象变换
1.3.1 表象的概念 设有力学量算符（例如：坐标、动量、能量、角动量、自旋等），
其正交归一化的本征态集为，张起一个完备的矢ห้องสมุดไป่ตู้空间。若将这组态矢 量作为基矢量来表示任意态矢量和算符，则称采用表象。
1.3.2 态矢量在具体表象中的表示 设力学量算符的本征方程为 （1.19）
（1.48） 式中称为概率幅，一般为复数。纯态（1.48）若用密度算符表示，则为
（1.49） 而混合态表示为
（1.50） 式中为实数，表示本征态在混合态中出现的概率。
将混合态的密度算符与纯态的密度算符进行比较，可以发现在混合 态的密度算符中只出现对角项，而在纯态的密度算符中除了出现对角项 外，还出现非对角项。非对角项引起干涉效应，称为相干项。在实际问 题中，量子体系由于与周围环境的相互作用，描述其量子态的密度算符 在随时间的演化过程中要发生衰减，其对角元的衰减往往伴随着能量的 损耗，而非对角元的衰减往往伴随着相干性的消退，因此，非对角元的 衰减常称为消相干或退相干（decoherence）。消相干问题是量子光学和 量子信息中的一个重要问题。
（1.44） 另外，
（1.45） 式中等号对应于纯态。
在任意纯态中，任意力学量算符的平均值为 （1.46）
在任意混合态中，任意力学量算符的平均值为 （1.47）
式中表示在纯态中的平均值。可见，在混合态中的平均值为两重平均， 其一为量子力学平均，另一为经典统计平均。
注意不要将混合态与叠加态形式的纯态相混淆。设有某力学量的一 组完备本征态，则任意纯态可表示为
其下标“”表示混合态（mixed states）。为实数，表示纯态（或）在混合 态中出现的概率，满足
（1.39） 不难证明，纯态的密度算符具有下列性质： （a）、厄密性：
（1.40） （b）、半正定性（非负性）：在任意态中，有
（1.41） （c）、幺迹性
（1.42） （d）、幂等性
（1.43） 而混合态的密度算符满足厄密性、半正定性、幺迹性，但不满足幂等 性，即
.2 量子力学的基本原理
（1） 量子体系状态的描述 在量子理论中，量子体系的状态用一个态矢量（这种形式的态矢量 称为右矢）描述。态矢量满足下列线性叠加性
（1.1a） （1.1b） 其中为普通的数，一般为复数。（1.1）式称为态叠加原理，它是量子 力学中非常重要的一条原理。 右矢的厄密共轭定义为左矢，记为 （1.2） 态矢量和的内积记为 （1.3a） 内积为普通的数，其复数共轭为 （1.3b） 态矢量和的正交性表示为 （1.4a） 态矢量的归一化条件表示为 （1.4b）
至此，量子力学的基本架构已建立，起初主要用其处理原子、分 子、固体等实物粒子问题。尽管量子力学在处理实际问题中获得了巨大 成功，但是关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论，最著名 的有： 1935， Schrödinger 猫态 1935， EPR佯谬
1960 前后，量子理论用于电磁场：量子光学 1956， Hanbury Brown 和Twiss，强度关联实验 1963， Glauber（2005年诺奖得主），光的量子相干性 1963， Jaynes & Cummings, J-C 模型：量子单模电磁场与二能级原子的 相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax三个主要学派） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光、超荧光、超辐射 1980’s，光学双稳态
（1.12b） 进一步，若 为的本征态，即 ，则
（1.12c） 可见，表示当量子体系处于量子态时，测量力学量得到其本征值的概 率。
上面讨论的是本征值不连续变化的情况（离散情况），对本征值连 续变化的情况则有：
正交归一性： （1.13）
完备性： （1.14）