D6.2.3多元复合函数求导的链式法则

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多元函数的求导法则

xy
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主讲人：苏本堂
例3. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 5. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量有增量△u ,△v ,

多元复合函数求导的链式法则

全导数
多变量函数的导数定义为所有偏导数的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导法则和单变量、多变量函数的导数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中，对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应力分布。

多元函数求导

ex y[sin( x y) ( ydx xd y) cos(x y)(d x d y) ]
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]dx
ex y[xsin( x y) cos(x y) ]d y
所以
z ex y[ y sin( x y) cos(x y)] x
5
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
求 z , z . x y
z
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
z z u z v y u y v y
第三节多元复合函数的求导法则
一元复合函数 y f (u), u (x)
求导法则微分法则
d y d y du dx du dx
dy f (u) du f (u)(x) dx
推广
（1）多元复合函数求导的链式法则
（2）多元复合函数的全微分
1
一. 复合函数求导的链式法则
定理如果函数 u (t) , v (t) 都在点 t可导,函数
yzf2)
f1 z
yf2
yz
f1 v v z
f11
xyf12;
f2; z
u
f1
,
f2
v
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
x
y
z
x
y
z
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )

多元复合函数的求导法则

解: 如左图，有 z z x , z z x z dy s x s t x t y dt
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
注意防止记号的混淆.
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如, z f (x, y), y (x,t)
d(uv) vdu u d v
d(u v) du d v
d

u v

v
d
u v2
u
d
v
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量
和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性，可以不再考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z (x2 y2 )xy 的全微分和偏导数. 解: 设 u (x2 y2 ) v xy 则 z uv

x
dx

t
dt

x
dx

z
dz

f y

t

z

f z
dz
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例10. 已知解: 由条件又因为所以
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求两边求微分, 得
解: 解法一，dz z dx z dy
代入
dt x dt y dt
(2xy 3y4)et (x2 12xy3)cost
(2et sin t 3sin4 t)et (e2t 12et sin3 t)cost 解法二，先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin4 t，所以

多元函数的求导法则-精选

z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]

链式求导法则公式

链式求导法则公式
链式求导法则也称为链式法则，它是微积分中求复合函数导数的基本方法。

在应用链式法则时，需要遵循以下步骤：
1. 确定复合函数的中间变量，并表示出复合函数的表达式。

2. 对复合函数的中间变量进行求导，得到导数表达式。

3. 将导数表达式代入复合函数的原始表达式中，并对复合函数的原始表达式进行求导。

4. 在求导过程中，需要将复合函数的中间变量替换为其导数表达式，并进行相应的运算。

5. 最后，得到复合函数的导数。

一元函数的链式法则可以用以下公式表示：
(uv)' = u'v + uv'
其中，u 和 u' 分别表示函数 u 和其导数，v 和 v' 分别表示函数 v 和其导数。

对于多元函数的链式法则，可以类似地表示为：
(u/v)' = (u'/v) + (u/v')
其中，u 和 u' 分别表示函数 u 和其偏导数，v 和 v' 分别表示函数 v 和其偏导数。

链式法则在求复合函数的导数时非常有用，它可以大大简化计算过程。

多元复合函数求导的链式法则

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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1

z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y

z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。

多元复合函数的求导法则

= 2 ( y + x sin y cos y ) e
4
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂f x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2 ⋅ 2 xsin y = 2xe +2ze = ∂x 2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 x (1+ 2 x sin y) e ∂u ∂ f ∂ f ∂z x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y = + ⋅ = 2ye +2ze ∂y ∂y ∂z ∂y 4 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 ( y + x sin y cos y ) e 为中间变量时, 注:变量 x, y既是中间变量最终变量,当视 x, y 的函数 x, y, z 是独立的, 当视 x, y 最终变量时, z是 x, y ∂u ∂ f x, y, z 不是独立的. 故与在这里含义不同. ∂x ∂x ∂ f 是视 x, y为中间变量求导,故对 u求导时 x, y, z 是独立的,故
中间变量到达它就有几项之和);每一项都是对中间变量的偏导数与该中间变量对自变量的导数之积.
例4. 设 z = f (cos e
解: 令 u = cos e
x+2 y
)
∂z ∂z ∂2 z 求 , ∂x ∂y ∂x∂y
z
u
x+2 y
x
y
∂z dz ∂u ' x+2 y x+2 y x+2 y = = f (cos e )(−sin e )e ∂x du ∂x ∂z dz ∂u ' x+2 y (−sin ex+2 y )ex+2 y 2 = = f (cos e ) ∂y du ∂y ∂2 z ∂ ∂z ∂ ' x+2 y x+2 y x+2 y = ( − f (cos e )sin e e ) = ∂x∂y ∂y ∂x ∂y '' x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y = [− f (cos e )(−sin e )e 2]sin e e

多元复合函数的导数

§1－5 多元复合函数的导数
一、链式法则
定理1 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微.
则复合函数 z = f ( u(x), v(x))在点 x 处可导.
且
dzzduzdv dx udx vdx
(公式也称为链式法则)
u
x
zcovsuuvu1, v
u 1. x
故 z vuln vco vusyuu v 1co vus x y(xy)xylnx(y)coxs(y)xy xy(xy)xy1coxs(y)xy
z x(xy)xylnx(y)coxs(y)xy y
xy(xy)xy1coxs(y)xy
例3.
设 z f(x 2 y 2 ,x)其 y , f C 中 1 ,求 z, z. x y
uf1 (u,v,w )vf2 (u,v,w )w f3 (u,v,w ) k(fu,v,w )
即 x f 1 ( x , y , z ) y f 2 ( x , y , z ) z f 3 ( x , y , z ) k ( x , y , z ) f
例7. 设 z =f (u, v), f C1, 而 u = xcosy, v = x siny.
2 xse 2(x c 2 ln x)1se 2(x c 2 ln x) x
若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y))是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?
x
x
左边 z表的示在y看表作达 ,而常式 x求对数中偏 . x

高等数学第四节多元复合函数的求导法则

由此说明不论 u , v 是自变量还是中间变量 , 都有 ∂z ∂z dz = d u+ dv ∂u ∂v 此为全微分的形式不变性 .
11
例 4 . 已知 e
−xy
∂z ∂z − 2z + e = 0 , 求 . 和 ∂x ∂y
z
解 . Q d (e − x y − 2 z + e z ) = 0 , ∴ e − x y d (− x y ) − 2 d z + e z d z = 0 ,
− e − xy ( x d y + y d x) = ( 2 − e z ) dz
dz=
− y e−xy (2−e )
z
dx+
− x e−xy (2−e )
z
dy
∴
∂ z y e−xy = z , ∂x e −2
∂ z x e−xy = z . ∂y e −2
12
复合函数的高阶偏导数
∂2z 2 2 2 例5 . 设 z = f ( x y , x − y ) , f ∈ C , 求 . ∂x∂y
= f x ⋅ x ′( t ) + f y ⋅ y ′( t ) + 0 ⋅ x ′ 2 + y ′ 2
即
du = f x ⋅ x′(t ) + f y ⋅ y′(t ) . dt
2
x = x (t ) 推广 . 对于 u = f ( x , y , z ) , y = y ( t ) , z = z (t ) f 可微, x(t ) , y(t ) , z(t ) 可导.
∂z ∂z 求 , . ∂x ∂y ∂z ′ 解. = f1′ ⋅ u x + f 2 ∂x

第四节复合函数的求导法则

,
z
y
x
y zu x2 y2 zv x2 y2 ,
于是
(x

y) z x

(x

y) z y

zu

zv
即方程变为 zu zv 0.
☆ 二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设z f ( x y, x2 y),其中 f C(2),求 z , z , 2z .
u
z df u , x du x
z y

df du
u . y
xy
或写为 zx f (u) ux , zy f (u) uy .
注意 f '(u) 与 fu 意义不同.
例1
设z sin u,
u
x y
可微,
求zx
,
zy.
例 2 设z f ( y ), f 可微, 证明： x z y z 0.
ux yzf1 2 xf2, uy xzf1 2 yf2, uz xyf1 2zf2.
(3) 若 w=f (u,v,) , 且 u= (x,y) 、v = (x,y)、w =(x,y),
则有: zx fuux fvvx fwwx , zy fuuy fvvy fwwy .
zx e x2 y[sin( xy) y cos( xy)] , z y e x2 y[2sin( xy) x cos( xy)] .
例 2 设 z ( x2 y2 )sin( x3 y), 求 z x 和 z y .
解令 u x2 y2 , v sin( x 3 y) , 则 z uv ,
[法一] 按链式法则:

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

高等数学多元复合函数的求导法则

x
自己做
1
解
z
2
x
z
y y
z x
f1
(
x2 x
y
2
)
f 2
(exy ) x
2x f1 yexy f2
z y
2
y
f1
x e xy
f2
例设函数 z f (x,u, v) , v (x, y,u) ,
u g(x, y) 均可微, 求 z , z .
x y
解
x
g
x
z f f g x x u x
d dx
3
(
x)
x
1
3 2 (x) d
dx
x
1
3 f1(x, f (x, x))
f2 (x, f (x, x)) f1(x, x) f2(x, x) x 1 3 2 3 (2 3) 51
机动目录上页下页返回结束
不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。不过，一切纪律都当小心地施用，除了诱导学生去把他们的工作完全作好以外，没有别种目的。——夸美纽斯成功永远属于一直在跑的人。假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。抛弃时间的人，时间也抛弃他。——莎士比亚天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。不要在你的智慧中夹杂着傲慢。不要使你的谦虚心缺乏智慧。要想人前显贵，必得人后受罪。如果你不知道从哪里来，那么你就不知道到哪里去；如果你不知道该到哪里去，那么你就不能够持久的走在一条正确的道路上。名人之所以能够成为名人，是因为他们在同伴嬉乐或休息时不停地攀登；凡人之所以成为凡人，是因为别人忙于攀登时他却安然入睡。我不是天生的王者，但我骨子里流着不服输的血液。

多元复合函数的链导法则

多元复合函数的链导法则链导法则是微积分中的一个重要概念，它是描述在复合函数中各个函数导数之间的联系。

多元复合函数的链导法则是指，一个多元函数通过复合形式与另一个多元函数连接，它们之间的导数如何计算。

这个法则在实际问题的求解中应用广泛，让我们来看一下具体的内容。

假设 g 是 m 个变量的函数，其中所有变量都是 x 的函数；f 是 n 个变量的函数，其中所有变量都是 g 的函数。

那么，对于 fog（也记作f(g(x))），有：df/dx = (df/dg)·(dg/dx)其中，df/dg 表示 f 对 g 的导数，而 dg/dx 表示 g 对 x 的导数。

这个法则意味着，可将复合函数的导数分解为两个函数的导数之积，即中间的函数 g 扮演着桥梁的角色，将两个函数捆绑在一起。

为了更清晰地理解这个公式，我们可以看一个简单的例子。

假设我们有以下两个函数：g(x,y) = x+yf(u,v) = uv如果我们想要求复合函数 h(x,y) = f(g(x,y))，那么它就变成了：h(x,y) = f(g(x,y)) = (x+y)·(x+y) = (x+y)²现在，我们来计算 h 对 x 的偏导数。

根据链导法则，我们可以将 h 分解为两个函数的导数之积：求出其中的各个部分，我们有：dh/dg = df/dg = v·udg/dx = ∂g/∂x = 1将这些结果代入公式中，我们有：因此，我们得出了 h 对 x 的偏导数，即：∂h/∂x = 2(x+y)这个例子说明，链导法则可以在被复合函数中使用它的一组函数之间识别，使我们能够逐步求出复杂函数的导数。

总结一下，多元复合函数的链导法则非常有用。

它可以将复杂问题拆解为独立的部分，并且在微积分的应用中非常常见。

因此，对于需要掌握微积分的人，理解多元函数的链导法则是非常必要的。

多元复合函数的求导法则ppt课件

多元复合函数的求导法则
一、链锁法则
( x ,y ), u ,v ), u v ( x ,y ) 引入： zf(
复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]
问：怎样求它的偏导数？若上面三个函数都是具体函数，那么，它们的
复合函数也是具体函数，当然，我们会求它的偏导数。
2 2 2 2 x y z x cos y

2 ( y x sin y cos y ) e
2 2 4 2 x y x si y n
t 例3 设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，
d z 求全导数 . d t
解： d z
z du z dv z + 1 + v dt dt u d t t
这时的对应增量为获得增量由第三节定理2的证明过程我们可得到具有连续的偏导数limdtdulimdtdvdtdvdtdudtdvdtdudtdvdtdu按定义得dtdz且其导数dtdvdtdu如果函数都在点t可导函数zfuvw在对应点uvw具有连续偏导数则复合函数的导数存在且有dtdwdtdvdtdudtdz2复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数具有连续偏导数现在将y取定为常数则由定理1得同理将x取定为常数则可得4式
u ( x ,y ) z f( u ,x ,y ),
+
f u z u x x f = u z f y u
f 1 x
+
f 0 y
u f + x x u f f + + 1 0 y y x
f f u = + y u y
u
z z u z v x u x v x

多元函数的求导法则

xy
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例3. 设 zuvsitn ,u et , vcot,s求全导数 d z . dt
解: d z z du z dv z
d t u dt v dt t
z
v e tusitncot s et(cto ssit)nco t s
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
例如, u f( x ,y ,v ) ,v ( x ,y ) ,
u
u x
f1 f31 ;
2. 全微分形式不变性
u y
f 2 f3 2
x yv xy
对 zf(u,v),不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u ( u , v ) d u f v ( u , v ) d v
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作业：p-167习题3
P171 习题 5 6 P174 习题1 （4） P178 习题 4 6（1），（3）7
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
u
2 x (1 2 x 2 s2 iy ) n e x 2 y 2 x 4 s2 iy n x y z
u y
f y
f z z y
2yex2y2z22zex2y2z2 x2 cosy
2 (y x 4 sy ic n y o )e x 2 s y 2 x 4 s2 iy n

复合函数链式求导法则

思考题解答
不相同. 不相同
的函数，等式左端的 z 是作为一个自变量x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 u , v, x 的三元函数，
写出来为
dz dx
x
∂f = ∂u
du ∂f ( u ,v , x ) ⋅ x + dx ∂v
dv ( u ,v , x ) ⋅ dx
u v w
x
y
特殊地 z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y ) 即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
w = y,
∂v = 1, ∂x
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
∂w = 1. ∂y
区别类似
∂ z ∂f ∂ u ∂ f = ⋅ + , ∂x ∂u ∂ x ∂ x
dz 三、设 z = arctan(xy ) ,而 y = e ,求 . dx
x
四、设 z = f ( x 2 − y 2 , e xy ), (其中f具有一阶连续偏导
∂z ∂z 数),求 , . ∂ x ∂y ,(其五、设 u = f ( x + xy + xyz ) ,(其中f具有一阶连续偏导 ∂u ∂u ∂u ),求数),求 , , . ∂x ∂y ∂z x ,(其有二阶连续偏导数), ),求六、设 z = f ( x , ) ,(其中f具有二阶连续偏导数),求 y ∂2z ∂2z ∂2z , , 2. 2 ∂x ∂x∂y ∂y
∂2z 八、 2 = φ 11 (1 + ϕ ′ ) 2 + φ 1ϕ ′′, ∂x ∂2z = φ 11 (ϕ ′ ) 2 − φ 12ϕ ′ + φ 1ϕ ′′ − φ 21ϕ ′ + φ 22 . ∂y 2

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口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 11 , 引入记号 12 f1 ,22f12 , 为简便起见 u u v
2ze
x 2 y 2 z 2 x 2 cos
2 ( y x sin y cos y ) e
4
dz . 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z 解: z d t u d t t
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u f f z y y z y
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
y
2 ye
x2 y2 z 2
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
z
u v w
t t t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
二、多元复合函数的全微分
设函数都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
z z u z v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u
t
v
t

(△t＜0 时,根式前加“–”号)
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
多元复合函数求导的链式法则
定理. 若复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
z
u
t
v
t
有增量△u ,△v , z z z u v o ( ) u v
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
所以例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
d z z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
; 1
2. 全微分形式不变性
x y v 2
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
作业：p-27习题6-2
9,10,14

D6.2.3多元复合函数求导的链式法则

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