D6.2.3多元复合函数求导的链式法则
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口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 11 , 引入记号 12 f1 ,22f12 , 为简便起见 u u v
2ze
x 2 y 2 z 2 x 2 cos
2 ( y x sin y cos y ) e
4
dz . 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z 解: z d t u d t t
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u f f z y y z y
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
y
2 ye
x2 y2 z 2
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
z
u v w
t t t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
z z u z v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u
t
v
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
多元复合函数求导的链式法则
定理. 若复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
z
u
t
v
t
有增量△u ,△v , z z z u v o ( ) u v
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
所以 例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
d z z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
; 1
2. 全微分形式不变性
x y v 2
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
作业：p-27习题6-2
9,10,14
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 11 , 引入记号 12 f1 ,22f12 , 为简便起见 u u v
2ze
x 2 y 2 z 2 x 2 cos
2 ( y x sin y cos y ) e
4
dz . 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z 解: z d t u d t t
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u f f z y y z y
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
y
2 ye
x2 y2 z 2
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
z
u v w
t t t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
z z u z v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u
t
v
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
多元复合函数求导的链式法则
定理. 若复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
z
u
t
v
t
有增量△u ,△v , z z z u v o ( ) u v
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
所以 例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
d z z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
; 1
2. 全微分形式不变性
x y v 2
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
作业：p-27习题6-2
9,10,14