静磁场

2、若有一角为的圆孤电流，在圆心O的磁场
B 0I 2R 2
例3，载有电流 I 的无限长直导线，中部弯成半径R的 半圆形圆环，如图所示。求环中心O的磁感应强度。
C
IR
A
BO D
E
解：根据磁感应强度的叠加性，O点磁感应强度B等
于AB段、BCD段和DE段的磁感 应强度的矢量和 B BAB BBCD BDE
B
0 4
Il rˆ
r2


0 4
qnSvl r2
rˆ

0 4
qnSlv

rˆ
r2

0 4
qNv

rˆ
r2
于是，单个运动电荷 产生的磁感应强度为：
B

0 4
qv

rˆ
r2
例，氢原子中，处于基态的电子绕核作半径为a0作匀 速圆运动。求电子在核处的磁感应强度大小。
2
安培环路定理 1、安培环路定理

B dl 0 I内
磁感应强度沿任何闭合回路L的线积分，等于穿过以
这回路为边界的任何曲面上的电流强度代数和的0倍
当电流与回路正向成右手关系时，取正，反之取负。
证明略
2、安培环路定理的应用 安培环路定理可以用来求有高度对称的磁场。其步骤
1、分析对称性（B的大小与方向，特别是什么曲线 上B大小相等）。
螺线管 2r 3
dl

0nI sind
螺线管 2
2 0nI sind
1 2

0nI
2
(cos1

cos2 )
讨论
.............
1

2
x
1)无限长螺线管，轴线上的磁感应强度 B 0nI 2)半无限长螺线管，管口处的磁感应强度 B 0nI
dx
2 2 (a x) cos
方向如图。
合力： F dF 方向与图中一致，
合力矩：M


x
cos
dF
所以：
bcos
F
0 I1 I 2
dx
0 2 (a x) cos
0I1I2 ln a b cos
2 cos
a
M
bcos 0 I1 I2 xdx 0 2 (a x) cos 2
3 安培提出分子电流假说：一切磁现象起源于电 现象，磁性物质中，存在着许多小的回路电流，称 为分子电流。分子电流相当于基元磁铁，当它们杂 乱无章在排列时，不显磁性；当它们规则排列时， 对外显磁性。
§2 磁场 磁感应强度 磁力线 磁通量
磁铁与磁铁之间的相互作用是通过磁场来进行的，任 何运动电荷或电流，都会在周围空间中产生磁场。为 了定量在描写磁场，我们引入几个物理量：
3、磁通量
通过任一给定曲面的磁场的曲面积分，称为通过该曲 面的磁通量。
dm B dS

m B dS

同于 dm B dS BdS
所以，磁通量可以理解为通过任一给定曲面的总的 磁力线的条数。
国际单位
Tm2 Wb
4、磁场的高斯定理 特别地，对于一闭合曲面，因为磁力线是连续的，所 以穿进的条数等于穿出的条数，于是总的磁通量为零。

B
0
电流 4
Idl rˆ
r2
例1：直线电流的磁场。如图，有一条长为L的直导线
，电流强度为I，计算邻近一点P处的磁感应强度。
解：取微元dl，于是
y 2
dB
0 4
Idl r2
sin
方向如图

因为所有微元产生的磁场
dl
的方向相同，故合磁场方
1 r
y
向就是图中方向，大小为

R
r
O
x
具有的电流为 di nI dl

在x处的磁感应强度
dB

0 R2i
2r 3

0 R2nI
2r 3
dl
方向向右
合磁感应强度
B

0 R2nI
螺线管 2r 3
dl
xl

Rctg
dl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rd sin2
且
方向向右
r R
sin
于是
B

0 R2nI
取图中的矩形回路

（逆时针为正）,有
B
l
2Bl 0 jl
B 0 j
2
B
例４，求螺线环（如图）的磁场和通过截面的磁通。
设总匝数Ｎ，通电电流为Ｉ。
解；磁力线为同心圆环，取 该圆环为闭合回路，有

B dl 0 I内
r
2rB 0 NI
B 0 NI 2r

B dS 0
称为磁场的高斯定理。
§ 9.3 毕奥-萨伐尔定律
由于载流导线会产生磁场，十九世纪二十年代，毕奥
、萨伐尔总结和分析了很多实验后，得出一条有关电
流产生磁场的基本规律——毕奥-萨伐尔定律：

任一电流元 Idl 在给定点产生的磁感应强度的大小与 电流元的 Idl 大小成正比；与电流元到P点的矢径 r 之
解：电子的速度
e2
m v2
4 0a02 a0
电子在核处的磁感应强度
B

0qv

rˆ
4r 2

0ev
4a
2 0
载流导线的安培力
１、安培力


F Idl B
导线
讨论
１），匀强度磁场中的导线



F Idl B I( dl ) B Il B

B dl 0 I内
即：
2rB


0
I
R2
r
2
(r R)
0I (r R)
.. . . . .r
B
..
所以
0 Ir
B


2R 2 0I
2r
(r R) (r R)
同理，无限长圆筒形上的均匀电流的磁感应强度
0 (r R)


B
M FAB | DA | cos IB | AB || DA | cos
F A(B)
IBS cos IBS sin
定义线的磁矩
pm IS
其中，面积的法线与电流成右手关系。

M pmBsin | pm B |
力矩引起的转动趋势为
pm
沿差小于的角度转到
静磁场
§1 基本的磁现象
人们对磁现象的认识是从天然磁铁开始的。我国 早在战国时期就发现了磁石吸铁的现象。十一世纪就 造出了指南针，并发现了在磁偏角。 早期发现的磁现象限于磁铁之间的相互作用，总节 如下
（1） 磁铁的这种能吸引铁、钴、镍的性质称为磁性。 条形磁铁的两端磁性最强的区域称为磁极。把一条 磁铁悬挂起来，它将自转到南北方向，指南的一极称 为南极，用S表示，指北的一极称为北极，用N表示。 （2）磁铁有两个磁极，不可能分成独立的N极和S极。 这是磁极与电荷的基本区别。
即：

B dl 0 I内
B轴 | AB | BCD | AB | 0
BCD B轴 0nI
B内 0nI
.
. D.
.
.
.
.
C ..
.
.
.
.
B
A
B

取回路ABCD,正向如图。有

B dl 0 I内
即： B轴 | AB | BCD | AB | nI | AB |
磁感应强度矢量 ：在磁场中引入一小电流导线
（I，dl ），当导线的方向不同时，受磁场力也不同。
设当导线在某一方向时有一最大的磁力
应强度
B
的大小和方向分别为：
dFmax
，则磁感
B dFmax / Idl
方向由右手法则确定。
B
I F
dF Idl B
2 磁力线：我们用磁力线形象在表示磁场，磁力线上 任一点的切线方向就是该处磁场的方向，通过磁场中 某点处垂直于B的单位面积的磁力线的条数等于该点 B的大小。即是说，磁场越 强的在方磁力线越密，磁 场越 弱的在方磁力线越疏。 磁力线是闭合曲线.
Ｂ一致。
例1、求长直导线（电流为I1）对共面的直导线AB （长为b，电流为I2）的合力和对A点的力矩。
解：取微元x~x+dx
dF I 2 B
相应的导线长度： dl dx
I1
cos
所在处的磁场：B 0I1
A
aO x
x
2 (a x)
dx
所受的力为：

dF IBdl sin
0 I1 I 2
在轴上的分量为
dB
xr
dl
O
dB轴

0 4
Idl r2
sin
I
于是
B dB轴
导线
0 导线 4
Idl r2
sin

0 I 4r 2
sin dl
导线

0 RI
2r 2
sin

0 R2 I
2r 3
方向用右手判断。
讨论 1、在圆心O，磁场为
B 0I
2R

0 I1 I 2 2 cos2
(b cos

a ln
a

b cos
a
)
例2，光滑水平面上有一半径为R，均匀带电为Q的 圆盘，以绕其轴线作匀速转动。水平磁场大小不一 为B。求（1）磁矩，（2）所受的磁力矩。
解：取微元r~r+dr，其电量为
取垂直于纸面向里为正，有 B o I 1 Io
2R 2 4R
例4求半径为 R ，总长度 L ，单位长度上的匝数为 n， 通电电流为 I 的螺线管在其轴线上一点的磁场？
解：螺线管可以看成由许 多的圆形电流组成。取微 元 l ~ l dl
. . .l . d. l . . . . . . . .
导线
导线
IlB sin
B

l
２），对于均匀磁场中的闭合导线，合力为零。
２，闭合导线的力矩
FAB I | AB | B
FDA I | CD | B sin
FCD I | AB | B
FBC I | CD | B sin
D
I

A
B
CB
合力=0 合力矩
F
D(C )

cos2 )
方向可用右手判断。
讨论： 1、无限长直导线，有 2、半无限长直导线，
B 0I 2a
B 0I 4a
3、若地直导线的延长线上的一点，磁感应强度为零
例2、求圆环电流（R，I）在轴线上一点的B。
解：由对称性可知，合磁场沿 轴线方向。取微元dl，有
dB
0 4
Idl r2
２、选择一个闭合曲线作为积分回路，并选取回路正 向。 ３、使用安培环路定理求出Ｂ。
例１，求无限长直导线，半径为Ｒ，沿轴线均匀流有 电流Ｉ在空间中的磁感应强度分布。
解：由对称性强知，空间任一点的磁
I
感应强度方向在垂直于导线的平面内，
且与导线中电流成右手关系；在同心
圆环上的Ｂ处处相等。如图。
取同心圆环为闭合回路，并取逆 时针为正向，有
因
B轴

0nI
2
B外 BCD 0
例３，求设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其
上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流密度j
（即指通过与电流方向垂直的单位长度的电流）到处
均匀。

解：由对称性知，磁 感应强度与流和平面 均平行，且在平行的
dB' dB
dB' '
p
直线上大小相等。
dl' o dl''
间方的成夹反角 比的 ；正B的弦方成向正垂比直；于并I与d l 和电流r
到P点的距离的平 所组成的平面，
并满足d右B手法4则o 。 Idrl2 rˆ

p dB
Idl
r
0 4 107 N / A 称为真空的磁导率
对任一有限的电流所产生的磁场，等 于各电流元产 生的磁场的矢量和：
尽管电荷与磁极有某些类似之处，但在过去很 长时间内它们是独立在发展的。直到十九世纪 初发现了磁现象和电现象之间的密切联系后， 才逐渐认识到磁性起源于电荷的运动。
2. 电流磁效应：1819年奥斯特发现，放在载流导 线周围的小磁针，会受到力的作用而发生偏转。
1820年安培又发现，放在磁场中的载流线圈，也 会受到力的作用。于是人们认识到电荷运动可产生 磁现象，运动电荷本生可受到磁力的作用。
B
B 0
导线 4
Idl r2
sin
y a ctg

2 0 1 4
Idy r2
sin
a
dy sin2
r a
sin
B 2 0 Id sin
1 4 a
0I 2 sind
4a 1

0 I 4a
(cos1
截面的磁通量
h
R1 r
R2
dr
m
BdS
R2 Bhdr
R1
R2 0 NI R1 2r
hdr

0 NIh 2
ln
R2 R1
运动电荷的磁场
如右图，设导线中的载流 子电荷为q，数密度为n， 运动速度为v，则
I
S

r
l
I qnSvt qnSv t
导线在r处的磁感应强度为：
B


0 I
2r
(r R)
例２，求无限长螺线管内外的磁感应强度。
.............

解：因为对称性，空间任一点的Ｂ与轴线平行，且 与电流与右手关系；在与轴线平行的直线上Ｂ大小 相等。
.............
D
C
B
A
B

取回路ABCD,正向如图。有